Описание Mathcad

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Цепи Маркова………………………………………………………………3
1. Цепи Маркова с дискретным временем………………………………3
2. Цепи Маркова с непрерывным временем…………………………….5
3. Классификация состояний марковских цепей……………………….7
4. Области применения цепей Маркова…………………………………8
2. Описание Mathcad………………………………………………………...10
1. Краткие сведения……………………………………………………..10
2. Панели инструментов………………………………………………...11
3. Справочная информация……………………………………………  14
4. Ввод и редактирование формул. Элементы интерфейса редактора формул…………………………………………………………………15
5. Математические выражения и встроенные функции………………18
6. Переменные и оператор присваивания……………………………...20
7. Типы чисел…………………………………………………………….21
8. Графики. Типы графиков. Построение графика……………………24
9. Операторы……………………………………………………………..28

2.10Некоторые алгебраические преобразования……………………….31

2.11 Пример решения задачи  с помощью Mathcad……………………..35

 

Список использованных источников……………………………………36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.ЦЕПИ МАРКОВА.

1.1 ЦЕПИ МАРКОВА С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ.

Цепи Маркова широко используются в экономических исследованиях – в частности, при изучении систем массового обслуживания. Примерами процессов массового обслуживания могут служить, в частности: обслуживание покупателей в сфере розничной торговли, транспортное обслуживание, ремонт аппаратуры, машин и механизмов, находящихся в эксплуатации, обработка документов в системе управления и т.п. Главной особенностью процессов массового обслуживания является случайность (момент возникновения заявки на обслуживание и окончание обслуживания заявки часто непредсказуемы). 

В теоретическом плане цепи Маркова рассматриваются как частный вид случайных процессов. Функция  называется случайной, если ее значение при любом аргументе t является случайной величиной. Если в качестве t выступает время, то случайная функция описывает случайный процесс. 

Цепью Маркова называют последовательность испытаний, в каждом из которых появляется только одно из k несовместных событий   полной группы, причем, условная вероятность   того, что в s-м испытании наступит событие  , при условии, что в (s-1)–м испытании наступило событие  , не зависит от результатов предшествующих испытаний. 

Например, если последовательность испытаний образует цепь Маркова, и полная группа состоит из четырех несовместных событий  , причем, известно, что в шестом испытании появилось событие  , то условная вероятность того, что в седьмом испытании наступит событие  , не зависит от того, какие события появились в первом, втором, …пятом испытаниях. 

Пусть некоторая система в каждый момент времени находится в одном из k состояний. В отдельные моменты времени в результате испытания состояние системы изменяется, т.е. система переходит из одного состояния, например i, в другое, например j. После испытания система может остаться в том же состоянии (перейти из состояния   в состояние  ). 

Для цепей Маркова часто используется следующая терминология: события называют состояниями системы, а испытания – изменениями ее состояний. 

В связи с этим цепью Маркова можно назвать последовательность испытаний, в каждом из которых система принимает только одно из k состояний полной группы, причем, условная вероятность   того, что в s–м испытании система будет находиться в состоянии j, при условии, что после (s-1)–м испытания она находилась в состоянии i, не зависит от результатов предшествующих испытаний. 

Цепью Маркова с дискретным временем называют цепь, изменение состояний которой происходит в определенные фиксированные моменты времени. 
Конечная дискретная цепь определяется:

1. множеством состояний S = {s1, …, sn}, событием является переход из одного состояния в другое в результате случайного испытания

2. вектором начальных вероятностей (начальным распределением) p(0) = {p(0)(1),…, p(0)(n)}, определяющим вероятности p(0)(i) того, что в начальный момент времени t = 0 процесс находился в состоянии si

3. матрицей переходных вероятностей P = {pij}, характеризующей вероятность перехода процесса с текущим состоянием si в следующее состояние sj, при этом сумма вероятностей переходов из одного состояния равна 1:

∑j=1…n  pij = 1

Пример матрицы переходных вероятностей с множеством состояний S = {S1, …, S5}, вектором начальных вероятностей p(0) = {1, 0, 0, 0, 0}:

С помощью вектора начальных вероятностей и матрицы переходов можно вычислить стохастический вектор p(n) — вектор, составленный из вероятностей p(n)(i) того, что процесс окажется в состоянии i в момент времени n. Получить p(n) можно с помощью формулы:

p(n) = p(0)×P n

Векторы p(n) при росте n в некоторых случаях стабилизируются — сходятся к некоторому вероятностному вектору ρ, который можно назвать стационарным распределением цепи. Стационарность проявляется в том, что взяв p(0) = ρ, мы получим p(n) = ρ для любого n. 
Простейший критерий, который гарантирует сходимость к стационарному распределению, выглядит следующим образом: если все элементы матрицы переходных вероятностей P положительны, то при n, стремящемуся к бесконечности, вектор p(n) стремится к вектору ρ, являющемуся единственным решением системы вида  
p × P = p. 
Также можно показать, что если при каком-нибудь положительном значении n все элементы матрицы P n положительны, тогда вектор p(n)  все-равно будет стабилизироваться. 
Доказательство этих утверждений есть в [1] в подробном виде.

Марковская цепь изображается в виде графа переходов, вершины которого соответствуют состояниям цепи, а дуги — переходам между ними. Вес дуги (i, j), связывающей вершины si и sj будет равен вероятности pi(j) перехода из первого состояния во второе. Граф, соответствующий матрице, изображенной выше:

 
1.2 ЦЕПИ МАРКОВА С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ.

 

Марковский случайный процесс называется цепью Маркова с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние происходят не в фиксированные, а в случайные моменты времени. 

Время наступления событий часто предсказать заранее невозможно. Например, любая деталь устройства или агрегат могут выйти из строя в любой, непредсказуемый момент времени. Описание таких, и гораздо более сложных ситуаций возможно при использовании формализма непрерывных цепей Маркова. 

Пусть система характеризуется   состояниями  , и переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени. Обозначим через   вероятность того, что в момент времени   система будет находиться в состоянии  . Требуется определить для любого момента времени вероятности состояний  . При этом, очевидно, должно выполняться условие нормировки: 

 

Для процесса с непрерывным временем вместо переходных вероятностей 
 рассматриваются плотности вероятностей перехода 
, представляющие собой предел отношения вероятности перехода системы за время   из состояния   в состояние  к величине  : 

 

где   – вероятность того, что система, пребывавшая в момент   в состоянии  , за время   перейдет из него в состояние  ; при этом всегда  . 

Если  , то процесс называется однородным, если же  , то – неоднородным. 

При рассмотрении непрерывных марковских процессов принято считать, что переходы системы происходят под влиянием некоторых потоков событий. 

Потоком событий называется последовательность событий, следующих одно за другим через какие-то случайные интервалы времени. Плотность вероятности перехода интерпретируется, как интенсивность   соответствующих потоков событий. Если все эти потоки пуассоновские, то процесс, протекающий в системе, является марковским. 

Марковские процессы удобно иллюстрировать с помощью графа состояний (Рис. 1), где кружками обозначены состояния системы, а стрелками – возможные ее переходы. Задержки в прежнем состоянии изображают «петлей», т.е. стрелкой, направленной из данного состояния в него же. Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным. 

 

Как правило, в графе состояний над стрелками проставляют соответствующие переходам интенсивности  . Такой граф называют размеченным.

 

1.3 КЛАССИФИКАЦИЯ СОСТОЯНИЙ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ.

При рассмотрении цепей Маркова нас может интересовать поведение системы на коротком отрезке времени. В таком случае абсолютные вероятности вычисляются с помощью формул из предыдущего раздела. Однако более важно изучить поведение системы на большом интервале времени, когда число переходов стремится к бесконечности. Далее вводятся определения состояний марковских цепей, которые необходимы для изучения поведения системы в долгосрочной перспективе. 
Марковские цепи классифицируются в зависимости от возможности перехода из одних состояний в другие.  
Группы состояний марковской цепи (подмножества вершин графа переходов), которым соответствуют тупиковые вершины диаграммы порядка графа переходов, называются эргодическими классами цепи. Если рассмотреть граф, изображенный выше, то видно, что в нем 1 эргодический класс M1 = {S5}, достижимый из компоненты сильной связности, соответствующей подмножеству вершин M2 = {S1, S2, S3, S4}. Состояния, которые находятся в эргодических классах, называются существенными, а остальные — несущественными(хотя такие названия плохо согласуются со здравым смыслом). Поглощающее состояние si является частным случаем эргодического класса. Тогда попав в такое состояние, процесс прекратится. Для Si будет верно pii = 1, т.е. в графе переходов из него будет исходить только одно ребро — петля.

Поглощающие марковские цепи используются в качестве временных моделей программ и вычислительных процессов. При моделировании программы состояния цепи отождествляются с блоками программы, а матрица переходных вероятностей определяет порядок переходов между блоками, зависящий от структуры программы и распределения исходных данных, значения которых влияют на развитие вычислительного процесса. В результате представления программы поглощающей цепью удается вычислить число обращений к блокам программы и время выполнения программы, оцениваемое средними значениями, дисперсиями и при необходимости — распределениями. Используя в дальнейшем эту статистику, можно оптимизировать код программы — применять низкоуровневые методы для ускорения критических частей программы. Подобный метод называется профилированием кода.

Например, в алгоритме Дейкстры присутствуют следующие состояния цепи:

• vertex (v), извлечение новой вершины из очереди с приоритетами, переход только в состояние b;

• begin (b), начало цикла перебора исходящих дуг для процедуры ослабления;

• analysis (a), анализ следующей дуги, возможен переход к a, d, или e;

• decrease (d), уменьшение оценки для некоторой вершины графа, переход к a;

• end €, завершение работы цикла, переход к следующей вершине.

Остается задать вероятности переходом между вершинами, и можно изучать продолжительности переходов между вершинами, вероятности попадания в различные состояния и другие средние характеристики процесса.

Аналогично, вычислительный процесс, который сводится к обращениям за ресурсами системы в порядке, определяемом программой, можно представить поглощающей марковской цепью, состояния которой соответствуют использованию ресурсов системы – процессора, памяти и периферийных устройств, переходные вероятности отображают порядок обращения к различным ресурсам. Благодаря этому вычислительный процесс представляется в форме, удобной для анализа его характеристик.

Цепь Маркова называется неприводимой, если любое состояние Sj может быть достигнуто из любого другого состояния Si за конечное число переходов. В этом случае все состояния цепи называются сообщающимися, а граф переходов является компонентой сильной связности. Процесс, порождаемый эргодической цепью, начавшись в некотором состоянии, никогда не завершается, а последовательно переходит из одного состояния в другое, попадая в различные состояния с разной частотой, зависящей от переходных вероятностей. Поэтому основная характеристика эргодической цепи –  
вероятности пребывания процесса в состояниях Sj, j = 1,…, n, доля времени, которую процесс проводит в каждом из состояний. Неприводимые цепи используются в качестве моделей надежности систем. Действительно, при отказе ресурса, который процесс использует очень часто, работоспособность всей системы окажется под угрозой. В таком случае дублирование такого критического ресурса может помочь избежать отказов. При этом состояния системы, различающиеся составом исправного и отказавшего оборудования, трактуются как состояния цепи, переходы между которыми связаны с отказами и восстановлением устройств и изменением связей между ними, проводимой для сохранения работоспособности системы. Оценки характеристик неприводимой цепи дают представление о надежности поведения системы в целом. Также такие цепи могут быть моделями взаимодействия устройств с задачами, поступающими на обработку.

 

1.4 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ  ЦЕПЕЙ МАРКОВА.

 

Цепи Маркова служат хорошим введением в теорию случайных процессов, т.е. теорию простых последовательностей семейства случайных величин, обычно зависящих от параметра, который в большинстве приложений играет роль времени. Она предназначена, главным образом, для полного описания как долговременного, так и локального поведения процесса. Приведем некоторые наиболее изученные в этом плане вопросы.

Броуновское движение и его обобщения – диффузионные процессы и процессы с независимыми приращениями. Теория случайных процессов способствовала углублению связи между теорией вероятностей, теорией операторов и теорией дифференциальных уравнений, что, помимо прочего, имело важное значение для физики и других приложений. К числу приложений относятся процессы, представляющие интерес для актуарной (страховой) математики, теории массового обслуживания, генетики, регулирования дорожного движения, теории электрических цепей, а также теории учета и накопления товаров.

Мартингалы. Эти процессы сохраняют достаточно свойств цепей Маркова, чтобы для них оставались в силе важные эргодические теоремы. От цепей Маркова мартингалы отличаются тем, что когда текущее состояние известно, только математическое ожидание будущего, но необязательно само распределение вероятностей, не зависит от прошлого. Помимо того, что теория мартингалов представляет собой важный инструмент для исследования, она обогатила новыми предельными теоремами теорию случайных процессов, возникающих в статистике, теории деления атомного ядра, генетике и теории информации.

Стационарные процессы. Самая старая из известных эргодических теорем, как отмечалось выше, может быть интерпретирована как результат, описывающий предельное поведение стационарного случайного процесса. Такой процесс обладает тем свойством, что все вероятностные законы, которым он удовлетворяет, остаются инвариантными относительно сдвигов по времени. Эргодическую теорему, впервые сформулированную физиками в качестве гипотезы, можно представить как утверждение о том, что при определенных условиях среднее по ансамблю совпадает со средним по времени. Это означает, что одну и ту же информацию можно получить из долговременного наблюдения за системой и из одновременного (и одномоментного) наблюдения многих независимых копий той же самой системы. Закон больших чисел есть не что иное, как частный случай эргодической теоремы Биркгофа. Интерполяция и предсказание поведения стационарных гауссовских процессов, понимаемых в широком смысле, служат важным обобщением классической теории наименьших квадратов. Теория стационарных процессов – необходимое орудие исследования во многих областях, например, в теории связи, которая занимается изучением и созданием систем, передающих сообщения при наличии шума или случайных помех.

Марковские процессы (процессы без последействия) играют огромную роль в моделировании систем массового обслуживания (СМО), а также в моделировании и выборе стратегии управления социально-экономическими процессами, происходящими в обществе.

Также цепь Маркова можно использовать для генерации текстов. На вход подается несколько текстов, затем строится цепь Маркова с вероятностями следования одних слов за другими и на основе данной цепи создается результирующий текст. Игрушка получается весьма занятной!

 

2.ОПИСАНИЕ  MATHCAD

2.1 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Mathcad — система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы.

Mathcad имеет интуитивный и простой для использования интерфейс пользователя. Для ввода формул и данных можно использовать как клавиатуру, так и специальные панели инструментов.

В состав Mathcad входят несколько интегрированных между собой компонентов:

• мощный текстовый редактор, позволяющий вводить, редактировать и форматировать как текст, так и математические выражения

• вычислительный процессор, умеющий проводить расчеты по введенным формулам, используя встроенные численные методы

• символьный процессор, являющийся, фактически, системой искусственного интеллекта

• огромное хранилище справочной информации, как математической, так и инженерной, оформленной в виде библиотеки интерактивных электронных книг

После того как Mathcad установлен на компьютере и запущен на исполнение, появляется основное окно приложения, показанное на рис. 1.1. Оно имеет ту же структуру, что и большинство приложений Windows. Сверху вниз располагаются заголовок окна, строка меню, панели инструментов (стандартная и форматирования) и рабочий лист, или рабочая область, документа (worksheet). Новый документ создается автоматически при запуске Mathcad. В самой нижней части окна находится строка состояния. Таким образом, интерфейс пользователя Mathcad сходен с другими приложениями Windows, и, помня о близости редактора Mathcad к обычным текстовым редакторам, вы интуитивно поймете назначение большинства кнопок на панелях инструментов.

Помимо элементов управления, характерных для типичного текстового редактора, Mathcad снабжен дополнительными средствами для ввода и редактирования математических символов, одним из которых является панель инструментов Math(Математика) (рис. 1.1). С помощью этой, а также ряда вспомогательных наборных панелей удобно осуществлять ввод уравнений.

Перечислим составные элементы интерфейса пользователя Mathcad:

• верхнее меню или строка меню (menu bar);

• панели инструментов (toolbars) Standard (Стандартная), Formatting(Форматирование), Resources (Ресурсы) и Controls (Элементы управления);

• панель инструментов Math (Математика) и доступные через нее дополнительные математические панели инструментов;

• рабочая область (worksheet);

• строка состояния (status line, или status bar);

• всплывающие, или контекстные, меню (pop-up menus или context menus);

• диалоговые окна или диалоги (dialogs);

• окна ресурсов Mathcad (Mathcad Resources) со встроенными примерами и дополнительной информацией.

Большинство команд можно выполнить как с помощью меню (верхнего или контекстного), так и панелей инструментов или клавиатуры.

 
Рис. 1.1. Окно приложения Mathcad 12 с пустым документом

2.2 ПАНЕЛИ ИНСТРУМЕНТОВ

Панели инструментов служат для быстрого (в один щелчок мыши) выполнения наиболее часто применяемых команд. Все действия, которые можно выполнить с помощью панелей инструментов, доступны и через верхнее меню. На рис. 1.2 изображено окно Mathcad с основными панелями инструментов (три из них расположены непосредственно под строкой меню), а также дополнительными математическими (или наборными) панелями, о которых речь пойдет ниже. Перечислим основные панели.

• Standard (Стандартная) – служит для выполнения большинства операций, таких как действия с файлами, редакторская правка, вставка объектов и доступ к справочным системам;

• Formatting (Форматирование) – для форматирования (изменения типа и размера шрифта, выравнивания и т. п.) текста и формул;

 
Рис. 1.2. Основные и математические (наборные) панели инструментов

• Math (Математика) – для вставки математических символов и операторов в документы;

• Resources (Ресурсы) – для быстрого вызова ресурсов Mathcad (примеров, учебников, электронных книг и т. п.);

• Controls (Элементы управления) – для вставки в документы стандартных элементов управления интерфейса пользователя (флажков проверки, полей ввода и т. п.) – Эта панель на рис. 1.1 и 1.2 не показана.

Группы кнопок на панелях инструментов разграничены по смыслу вертикальными линиями – разделителями. При наведении указателя мыши на любую из кнопок рядом с кнопкой появляется всплывающая подсказка – короткий текст, поясняющий назначение кнопки. Наряду со всплывающей подсказкой более развернутое объяснение готовящейся операции можно отыскать в строке состояния.

Панель Math (Математика) предназначена для вызова на экран еще девяти панелей (рис. 1.2), с помощью которых, собственно, и происходит вставка математических операций в документы. В прежних версиях Mathcad эти математические панели инструментов назывались палитрами (palettes) или наборными панелями. Чтобы вызвать какую-либо из них, нужно нажать соответствующую кнопку на панели Math. Перечислим назначение математических панелей:

• Calculator (Калькулятор) – служит для вставки основных математических операций, получила свое название из-за схожести набора кнопок с кнопками типичного калькулятора;

• Graph (График) – для вставки графиков;

• Matrix (Матрица) – для вставки матриц и матричных операторов;

• Evaluation (Выражения) – для вставки операторов управления вычислениями;

• Calculus (Вычисления) – для вставки операторов интегрирования, дифференцирования, суммирования;

• Boolean (Булевы операторы) – для вставки логических (булевых) операторов;

• Programming (Программирование) – для программирования средствами Mathcad;

• Greek (Греческие символы) – для вставки греческих символов;

• Symbolic (Символика) – для вставки символьных операторов.

При наведении указателя мыши на многие из кнопок математических панелей появляется всплывающая подсказка, содержащая еще и сочетание горячих клавиш, нажатие которых приведет к эквивалентному действию. Ввод действий с клавиатуры часто удобнее нажатия кнопок панелей инструментов, но требует большего опыта.

Вызвать любую панель на экран или скрыть ее можно с помощью пункта Toolbars(Панели инструментов) меню View (Вид), выбирая в открывающемся подменю имя нужной панели. Убрать любую панель с экрана можно еще и посредством контекстного меню, которое вызывается щелчком правой кнопкой мыши в любом месте панели (например, на любой кнопке). В контекстном меню следует выбрать пункт Hide (Скрыть). Кроме того, если панель плавающая, т. е. не прикреплена к основному окну (как, например, все панели на рис. 1.2), то ее можно отключить кнопкой закрытия.

Математические панели, в отличие от основных, можно вызвать или скрыть нажатием соответствующей кнопки панели Math (Математика). Присутствие или отсутствие математических панелей показано в виде нажатой (или отжатой) соответствующей кнопки (см. рис. 1.2).

На некоторых рисунках этой главы (см., например, рис. 1.1) виден курсор ввода в виде небольшого крестика (на дисплее он имеет красный цвет). С его помощью отмечается незаполненное место в документе, куда в текущий момент можно вводить формулы или текст. Чтобы переместить курсор, достаточно щелкнуть указателем мыши в требуемом месте либо передвинуть его клавишами-стрелками. Если выполнить щелчок в области – формулы или начать ввод выражения на пустом месте, вместо курсора появятся линии редактирования, отмечающие место в формуле или тексте, редактируемое в данный момент (см., например, рис. 1.5 и 1.6 ниже).

2.3 СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ.

Вместе с Mathcad поставляется несколько источников справочной информации, доступ к которым осуществляется через меню Help (Справка).

• Справочные системы по вопросам использования Mathcad:

• Mathcad Help (Справка) – система справки или технической поддержки;

• What's This (Что это такое?) – контекстно-зависимая интерактивная справка;

• Developer's Reference (Справка для разработчиков) – дополнительные главы справки для разработчиков собственных самостоятельных приложений на языке Mathcad;

• Author's Reference (Справка для авторов) – дополнительные главы справки для авторов, разрабатывающих собственные электронные книги Mathcad.

Ресурсы Mathcad – дополнительные материалы, организованные в специфическом формате электронных книг Mathcad с решением множества математических примеров:

• Tutorials (Учебники) – библиотека электронных книг Mathcad с примерами, которые построены в форме обучающих курсов (от учебника для начинающих пользователей до учебника, адресованного математикам-профессионалам);