Определенные и неопределенные интегралы

Неопределённый интеграл

Первообразная функция.

Опр.10.1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е. .  
Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f(x ) требуется найти функцию F(x), производная которой равна f(x).  
Первообразная определена неоднозначно: для функции первообразными будут и функция arctg x, и функция arctg x-10: . Для того, чтобы описать все множество первообразных функции f(x), рассмотрим

Свойства первообразной.

1. Если функция F(x) - первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f(x) на этом интервале. (Док-во: ).
2. Если функция F(x) - некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F1(x) может быть представлена в виде F1(x) = F(x) + C, где C - постоянная на X функция.

 
Док-во. Так как функции F(x) и F1(x) - первообразные для f(x), то (по теор.8.1. условие постоянства дифференцируемой функции на интервале)

3. Для любой первообразной F(x) выполняется равенство dF(x) = f(x) dx.

Из этих свойств следует, что если F(x) - некоторая первообразная функции f(x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f(x) (т.е. функций, имеющих производную f(x) и дифференциал f(x) dx) на этом интервале описывается выражением F(x) + C, где C - произвольная постоянная.

10.2. Неопределённый интеграл  и его свойства.

Опр.10.2. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом . 
Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то , где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.

Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

1. .
2. (или ).

Таблица неопределённых интегралов.

1	.	11	.
2	.	12	.
3	( ).	13	.
4	.	14	.
5	; .	15	.
6	.	16
7	.	17	.
8	.	18	.
9	.	19	.
10	.	20	; .

В формулах 14, 15, 16, 19 предполагается, что a>0. Каждая из формул таблицы справедлива на любом интервале, на котором непрерывна подынтегральная функция. Все эти формулы можно доказать дифференцированием правой части. Докажем, например, формулу 4: если x > 0, то ; если x < 0, то . 
Дальше мы докажем, что любая непрерывная функция имеет первообразную и, как следствие, неопределённый интеграл. При изучении дифференцирования было установлено, что с помощью таблицы производных и правил дифференцирования без труда можно получить производную любой элементарной функции, и эта производная тоже будет элементарной функцией. Операция интегрирования этим свойством не обладает: даже относительно простые функции могут иметь первообразные, которые через элементарные функции не выражаются. Так, доказано, что не берутся в элементарных функциях следующие интегралы, относящиеся к классу специальных функций: - интеграл Пуассона; , - интегралы Френеля; , , - интегральные синус, косинус, логарифм.

10.4. Простейшие правила  интегрирования.

1. ( );
2. ;

Для доказательства правил 1,2 достаточно продифференцировать выражения, стоящие справа от знака равенства и убедиться, что эти выражения являются первообразными для функций, стоящих слева. Например, . Примеры применения правил 1,2: 
.  
и т.д. Значительно расширяют круг функций, интегралы от которых напрямую сводятся к табличным, два приёма, которые являются частными случаями рассматриваемого дальше метода замены переменной в неопределённом интеграле: подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого и постоянного множителя:

3. Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого: если , то . (Док-во: если , то ). Пример: .
4. Подведение под знак дифференциала постоянного множителя: если , то .  
   (Док-во: если , то ).

Пример: .  
Приёмы 3, 4 легко комбинируются: если , то . Пример: .

10.5. Замена переменной в  неопределённом интеграле 
(интегрирование подстановкой).

Пусть . Тогда . Здесь t(x) - дифференцируемая монотонная функция. 
Док-во непосредственно следует из формулы для производной сложной функции. Перепишем первый интеграл, заменив переменную x на t: . Это означает, что . Заменим независимую переменную t на функцию t = t(x): . Следовательно, функция F(t(x)) является первообразной для произведения , или .

При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами.  
1. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, и f(t(x)), и , то замена переменной осуществляется подведением множителя под знак дифференциала: , и задача сводится к вычислению интеграла . Например, (задача сведена к вычислению , где t = cos x) (аналогично находится интеграл от ); (задача сведена к вычислению , где t = sin x) . В более сложных задачах операция подведения под знак дифференциала может выполняться несколько раз: (самое неприятное в подынтегральной функции - пятая степень арккотангенса под знаком экспоненты; если дальше не найдётся дифференциал этой функции, то интеграл, возможно, взять вообще не удастся; в то же время следующий множитель (arcctg4 x2) - производная (с точностью до постоянного множителя) степенной функции; затем следуют производные (опять с точностью до постоянных множителей) функций arcctg x2 и x2 по своим аргументам)

.

2. Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной. Так, в имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку) t = sin x. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t: ; в результате (возвращаемся к исходной переменной) . Другие примеры:  
. Подынтегральная функция содержит два множителя, ни один из которых не является производной другого, поэтому подводить их под знак дифференциала бесполезно. Попытаемся ввести новую переменную, такую, чтобы корни извлеклись: = . Рассмотрим (интеграл №19 из табл. 10.3.неопределённых интегралов). Здесь подынтегральная функция состоит из единственного множителя; можно опять попытаться сделать такую замену переменной, чтобы корень извлёкся. Структура подкоренного выражения подсказывает эту замену: (или , ): . Интеграл свёлся к интегралу от квадрата косинуса. При интегрировании чётных степеней синуса и косинуса часто применяются формулы, выражающие и через косинус двойного угла: . Поэтому  
. 
Искусство интегрирования в основном заключается в умении видеть необходимые подстановки; оно, как и любое другое искусство, вырабатывается упражнениями. Для основных классов функций требуемые подстановки будут изучаться дальше, здесь мы покажем, с помощью каких преобразований были выведены формулы 17, 15, 20 Таблицы 10.3.неопределённых интегралов:  
17. .

15.

.

20.

. Второй интеграл элементарно  сводится к первому: .

10.6. Интегрирование по частям.

Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения d(uv) = u∙dv + v∙du . Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом ):  
. 
Эта формула и называется формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных (dv =  v’∙dx , du =  u’∙dx):

.

 
Примеры: 
. . 
Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно. При наличии небольшого опыта в простых интегралах нет необходимости выписывать промежуточные выкладки (u = …, dv = …), можно сразу применять формулу, представив интеграл в виде : .

10.8. Интегрирование рациональных  функций.

10.8.1. Интегрирование простых  дробей. Напомним определение раздела 9.3.1. Определение рациональных функций и простых дробей: Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов:

I. ;	II. ;
III. , ;	IV. , .

 
Интегралы от дробей первых двух типов - табличные интегралы:

 
интегрирование дробей III и IV типов рассмотрено в 10.7. Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен.

10.8.2. Интегрирование рациональных  функций. Алгоритм вычисления интегралов от рациональных функций, т.е. интегралов вида

 
заключается в следующем (см. раздел 9.3. Рациональные функции и их разложение в сумму простых дробей):  
1. Если дробь неправильна, её интегрирование сводится к интегрированию многочлена и правильной дроби. Для этого она представляется в виде , n1<m; нахождение целой части Ln-m(x) и остатка Pn1(x) может быть выполнено, например, с помощью процедуры деления "уголком". Дальше рассматривается интегрирование правильных дробей.  
2. Знаменатель Qm(x) правильной дроби представляется в виде произведения , где x1, x2, …,xs - попарно различные действительные корни этого многочлена, k1, k2, …, ks - их кратности, квадратные трёхчлены (соответствующие попарно различным парам сопряжённых корней кратностей l1, l2, …,lr) с действительными коэффициентами не имеют действительных корней (т.е. ), k1+ k2+ …+ks +2(l1+ l2+ … +lr) = n.  
3. Выписывается представление дроби в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами:

 
 

.  
4. Правая часть разложения приводится к общему знаменателю. Общие знаменатели слева и справа сокращаются, и из условия равенства числителей составляется система линейных уравнений для нахождения неопределённых коэффициентов. Применяются два способа:  
4.1. Способ частных значений. В равенство подставляются различные значения x и таким образом составляют уравнения системы. В первую очередь берутся корни Qm(x); если все корни знаменателя - различные действительные числа, будут найдены все неопределённые коэффициенты.  
4.2. Приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях x многочленов слева и справа от знака равенства. При этом количество уравнений обязательно будет равно количеству неопределённых коэффициентов.  
4.3. Комбинированный способ. Некоторые коэффициенты определяются по частным значениям, для нахождения остальных составляются уравнения по способу 4.2.  
5. Выполняется интегрирование простых дробей. 
Примеры. 1. . Дробь неправильна, поэтому выделяем целую часть:

. Правильную дробь представляем  в виде  . Приводим сумму слева к общему знаменателю:

. Равенство числителей:

. Подставив в это равенство x = 1, получим 4A= 7 – 6 = 1, A=1/4; при

x = –3 получим –4B= –21 – 6 = –27, B = 27/4. Если сравнивать коэффициенты при степенях , получим систему , т.е. тот же результат. Итак, .  
2. . Разложение имеет вид . Приводим к общему знаменателю: . Условие равенства числителей:

. Применяем комбинированный метод:

Отсюда

. Здесь мы воспользовались значением  для I2, полученным в 10.6.4 (выражение в квадратных скобках).  
3. . Представление подынтегральной функции в виде суммы простых дробей: . При x = –4: . Коэффициент при x2 : A = 6. Коэффициент при x : 8A + B = 46,

B = 46 – 48 = – 2. Поэтому .

 

 

 

 

Определенный интеграл

11.1.1. Вычисление площади криволинейной  трапеции. Пусть на отрезке [a,b] (b>a) задана непрерывная функция y = f(x) , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения : при . Требуется определить площадь S криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).  
Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание AD фигуры точками x0 = a, x1 , x2 , …, xn-1 = a, xn = b на n частей [x0 , x1], [x1 , x2], …, [xi-1 , xi], …, [xn-1 , xn]; символом будем обозначать длину i-го отрезка: . На каждом из отрезков [xi-1 , xi] выберем произвольную точку , найдём , вычислим произведение (это произведение равно площади прямоугольника Pi с основанием [xi-1 , xi] и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим S ступ: .  
Sступ равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками Pi , i = 1,2,…,n; на левом рисунке эта площадь заштрихована. Sступ не равна искомой площади S, она только даёт некоторое приближение к S. Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество n отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при n = 7 (слева) и при n = 14 (справа)). При разница между Sступ и S будет тоже стремиться к нулю, т.е.  
.

11.1.2. Определение определённого  интеграла. Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x0 , x1], [x1 , x2], …, [xi-1 , xi], …, [xn-1 , xn]; длину i-го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков [xi-1 , xi] выберем произвольную точку и составим сумму .  
Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b] на части [xi-1 , xi], ни от выбора точек , то функция f(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается .  
Функция f(x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.  
Кратко определение иногда записывают так: .  
В этом определении предполагается, что b> a. Для других случаев примем, тоже по определению:  
Если b=a, то ; если b<a, то .

11.1.3. Теорема существования определённого  интеграла. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема по этому отрезку. 
Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любого найдётся такое число , что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству , то, независимо от выбора точек выполняется неравенство . Требование непрерывности f(x) достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на [a,b] при условии их ограниченности (т.е. все точки разрыва должны быть точками разрыва первого рода). Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если f(x) неограничена на [a,b], то она неограничена на каком-либо [xi-1 , xi], т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).  
11.1.4. Геометрический смысл определённого интеграла. Как следует из пункта 11.1.1, если f(x) >0 на отрезке [a,b], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).

 

11.2. Свойства определённого интеграла.

1. Линейность. Если функции y = f(x), y = g(x) интегрируемы по отрезку [a,b] , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация A f(x) + B g(x) (A, B = const), и  
.  
Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек выполняется . Перейдем в этом равенстве к пределу при . Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства.  
2. Аддитивность. Если y = f(x) интегрируема по отрезку [a,b] и точка c принадлежит этому отрезку, то .  
Док-во. Если f(x) удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку [a,b], то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам [a,c] и [c,b]. Будем брать такие разбиения отрезка [a,b] , чтобы точка c являлась одним из узлов xi: c = xi0, . Тогда . В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для , вторая - для . Переходим к пределу при . Пределы для всех трёх сумм существуют, и .  
Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например, c < b < a, и f(x) интегрируема по [c, a]. Тогда, по доказанному, . Отсюда и из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что .  
При формулировании и доказательстве следующих свойств предполагаем, что b > a.  
3. Интеграл от единичной функции ( f(x) = 1). Если f(x) = 1, то .  
Док-во. Если f(x) = 1 , то для любого разбиения  
= xn - x0 = b – a, т.е любая интегральная сумма равна длине отрезка. Предел постоянной равен этой постоянной, откуда и следует доказываемое утверждение.  
4. Теорема об интегрировании неравенств. Если в любой точке выполняется неравенство , и функции f(x), g(x) интегрируемы по отрезку [a,b], то .  
Док-во. Для любого разбиения отрезка и любого выбора точек при . Переходя в этом неравенстве к пределу при , получаем требуемое неравенство.  
5. Теоремы об оценке интеграла.  
5.1. Если на отрезке [a,b] функция удовлетворяет неравенству , то .  
Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств): . Аналогично доказывается и правое неравенство.  
5.2. Если функция f(x) интегрируема по отрезку [a,b], то .  
Док-во. .  
6. Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка , такая что .  
Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда . Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка , такая что .  
Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).

11.3. Вычисление определённого  интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница.

11.3.1. Интеграл с переменным  верхним пределом. Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования: (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой t, а буквой x обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что x - переменная, в результате интеграл будет функцией Ф(x) своего верхнего предела: . Легко доказать, что если f(t) интегрируема, то Ф(x) непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема:  
Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция f(t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и .  
Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.  
Док-во. Дадим верхнему пределу x приращение . Тогда , где c - точка, лежащая между x и (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим . При этом (c- точка, расположенная между x и ). Так как f(t) непрерывна в точке t = x, то . Следовательно, существует , и . Теорема доказана.

Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция f(x) имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой . Другим важным следствием этой теоремы является формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.

11.3.2. Формула Ньютона-Лейбница. Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции , то .  
Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной f(x). Так как F(x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F(x) + C. Положим в этом равенстве x = a. Так как , то . В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x , верхний предел x обозначим b. Окончательно, .  
Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь читается как "подстановка от a до b"), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: .  
Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .

11.3.3. Формула интегрирования  по частям для определённого  интеграла. Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то .  
Док-во. Интегрируем равенство в пределах от a до b: . Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство.  
Пример: .

11.3.4. Замена переменной в  определённом интеграле. Теорема. Пусть функция

1. определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,
2. ,
3. функция непрерывна на отрезке [a, b].

Тогда .

Док-во. Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е. , тогда - первообразная для функции . , что и требовалось доказать.

При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла.  
Пример:

.

 

Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция f(x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции f(x) от a до и обозначается .  
Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.  
Примеры: 1. ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.  
2. ; следовательно, интеграл сходится и равен .  
Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от до b : и в пределах от до : . В последнем случае f(x) определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; c - произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Пользуясь свойством аддитивности определённого интеграла, можно показать, что существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки c.  
Примеры: 3. . Интеграл сходится.  
4. следовательно, интеграл сходится и равен .  
Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным верхним пределом: сходится тогда и только тогда, когда для любого c, удовлетворяющего неравенству c > a, сходится интеграл (док-во: так как при a < c < b по свойству аддитивности , и от b не зависит, то конечный предел при для интеграла в левой части существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел для интеграла в правой части равенства).

 
     Некоторые приложения интеграла  
 
     Площадь криволинейной трапеции

(f непрерывна и неотрицательна).

 
     Площадь фигуры, ограниченной линиями y = f(x), y = g(x), x = a, x = b,

 
     Площадь криволинейного сектора в полярных координатах

 
     Объем фигуры через площади поперечных сечений

 

Объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции      

Вокруг оси      

Вокруг оси

 
     Длина кривой      

1. Заданной уравнением 

     

2. Заданной параметрически:      

a) на плоскости 

     

б) в пространстве

     

3. Заданной полярным  уравнением 

Площадь поверхности фигуры вращения      

1. Полученной вращением  кривой  вокруг оси Ox,

     

2. Полученной вращением  кривой  вокруг оси Ox,

 
     Центр масс кривой

( - плотность кривой).

 

 

     Масса:      

Статические моменты относительно координатных осей:

     

Координаты центра масс:

 
     Центр масс криволинейной трапеции

(плотность  постоянная)

 

 

     Масса:      

Статические моменты относительно координатных осей:

     

Координаты центра масс: