Оригами в математике

Содержание 

Введение                      3

Глава 1. Понятие об оригами        4

       1.1. История оригами        5

       1.2. Виды и техники оригами      8

Глава 2. Азбука оригами        10

1. Оригами-это математика!      16  

Заключение           20 

Использованная  литература         21   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

       Оригами - удивительное искусство бумажной пластики. Оригами это японское искусство складывания бумаги, образовано от японского oru (складывать) и kami (бумага). Сегодня множество людей во всем мире увлекаются искусством «оригами». Бумажные фигурки делают дети и взрослые, художники и конструкторы. Его даже преподают в школах, о нем пишут книги и выпускают журналы с интересными статьями и описанием различных моделей. Мы заметили, что, складывая фигурки оригами, сталкиваемся с математическими понятиями. И нам стало интересно, как связаны таинственное искусство складывания фигурок из бумаги, оригами и давно интересующая нас математика.

       Цель  работы:

       Изучить происхождение оригами и связь  этого искусства с математикой.

       Задачи:

       1. Изучить понятие, виды, историю  происхождения оригами.

       2. Проанализировать связь оригами  и математики на примере основных  элементов азбуки оригами. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 1. Понятие об оригами

       Многие  удивляются, услышав слово «оригами». «А что это такое?» — спрашивают они. Между тем каждый человек наверняка хоть раз в жизни создавал самое простенькое изделие из квадратного листа бумаги— кораблик или самолетик. А в те времена, когда в магазинах не было такого выбора соломенных шляп и панам, люди летом нередко сооружали себе «пилотку» из газеты. И бумажные кораблики, и пилотка сделаны по принципу «оригами».

       Это искусство родилось в Японии. В  «Японских хрониках» говорится, что его начало восходит к 610-му году. Кто бы подумал, глядя на простенький  кораблик, что первоначально в изделия из бумажного квадрата вкладывался большой смысл! На востоке к квадрату относились с большим уважением. В буддизме он считался отражением Космоса, той великой Пустоты, из которой происходят все вещи. К бумаге японцы тоже относились с почтением, как ко всему недолговечному, непрочному, живущему один миг. Они считали, что в каждой такой вещи — бабочке, росинке, тонком листочке бумаги — живет дыхание вечности и надо уметь его уловить.

       Так, квадрат — символ Космоса, из которого на Землю приходят и обретают форму вещи, и бумага — миг, в котором заключено дыхание вечности, стали родителями оригами. И, правда, разве не чудо: сделать без ножниц и клея, без каких-либо подручных средств, из простого бумажного листа все, что угодно: человека, зверя, птицу, цветок, сказочного дракона…

       Со  временем искусство «оригами» завоевало  весь мир. Дошло и до нас. Еще великий  Лев Толстой описывал в своей  статье «Что такое искусство» случай, когда его научили «делать  из бумаги, складывая и выворачивая ее известным образом, петушков, которые, когда их дергаешь за хвост, махают крыльями».

       Сегодня множество людей во всем мире увлекаются искусством «оригами». Бумажные фигурки  делают дети и взрослые, художники  и конструкторы. Его даже преподают  в школах, о нем пишут книги и выпускают журналы с интересными статьями и описанием различных моделей.

       Сейчас  первоначальный философский смысл  этой игрушки забылся. Кроме традиционных поделок из квадрата, изобрели множество  других способов создания бумажных фигур. Это могут быть модели, сложенные из правильного треугольника и половинки квадрата, оторванной по вертикали или диагонали, или даже из пяти-, шести-, восьмиугольников. Последняя «мода» — складывать оригами из листа обычной писчей бумаги стандартного формата.

       Еще делают модели, сплетенные из бесконечной  ленты — тут уж оригами переходит  в макраме. Совсем отошел от традиционного  «оригами» также способ делать модели из множества одинаковых деталей (модулей). Так, из нескольких квадратов можно  сделать красивый браслет или даже диадему.

       В наше время оригами перестало  быть только игрушкой. Этим искусством заинтересовались ученые и конструкторы. Проходят научные симпозиумы по оригами. Уже создаются сложнейшие технические конструкции — бумажные модели.

       Итак, оригами – это искусство складывания из бумаги.

1.1. История оригами 

       Знакомство  с оригами следует начинать с  древней истории. Именно там, в Древнем  Китае, в 105 году нашей эры появились  первые предпосылки для возникновения  оригами- искусства складывания  любых фигурок из квадратного листа бумаги без использования ножниц и клея.

       Как свидетельствует история, в том  знаменательном году чиновник Цай Лунь сделал официальный доклад императору о том, что создана технология производства бумаги. Многие десятилетия  под страхом смертной казни китайцы хранили тайну создания белого листа. Но со временем, когда монахи Китая начали свои путешествия в Японию, вместе с ними стали путешествовать, и некоторые тайны этой страны. В 7 веке странствующий буддийский монах Дан-Хо, о котором современники говорили, что он богат знаниями и умеет делать тушь и бумагу, пробирается в Японию и обучает монахов изготавливать бумагу по китайской технологии. Очень скоро в Японии сумели наладить свое массовое производство бумаги, во многом обогнав Китай.

       Первые листочки бумаги, сложенные в необычные фигурки появляются сначала в монастырях. Иначе и быть не могло. Ведь в японском языке понятия "Бог" и "Бумага" звучат одинаково, хотя и обозначаются разными иероглифами. Фигурки из бумаги имели символическое значение. Они становились участниками религиозных церемоний. Украшали стены храмов. Помещались на жертвенный костер. До наших дней дошли одни из первых фигурок из бумаги - коробочки "санбо", в которые японцы вкладывали кусочки рыбы и овощей, поднося их в качестве жертвоприношений. Но это еще не было искусство. Просто лист бумаги, очень ценный и дорогой, несущий в себе имя Бога, становился неотъемлемой частью жизни японца.

       В средние века, когда производство бумаги позволило снизить на нее  цену, искусство складывания проникло в быт дворянства. И тогда появилось искусство самураев. В те времена считалось признаком хорошего воспитания умение богатого дворянина развлечь свою даму на балу складыванием бумажных фигурок. Тогда же возникло и искусство сворачивания тайных писем. Используя свое умение, самураи так складывали свои записки, что только посвященный мог развернуть его. Кроме того, оригамные фигурки часто использовали в свадебной церемонии, украшении домов или праздничных шествиях.

       Со  временем оригами (а этот термин возникает только в 1880 году) становится обязательным занятием во многих японских семьях. Мамы передавали свои знания дочкам, показывая немногие известные им фигурки.

       Таким образом, в 105 году нашей эры в  Китае впервые заговорили о возможности  складывать фигурки из бумаги. В 7 веке странствующий буддийский монах Дан-Хо, о котором современники говорили, что он богат знаниями и умеет делать тушь и бумагу, пробирается в Японию и обучает монахов изготавливать бумагу по китайской технологии. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.2. Виды и техники оригами

Модульное оригами 

       Одной из популярных разновидностей оригами  является модульное оригами, в котором целая фигура собирается из многих одинаковых частей (модулей). Каждый модуль складывается по правилам классического оригами из одного листа бумаги, а затем модули соединяются путём вкладывания их друг в друга, появляющаяся при этом сила трения не даёт конструкции распасться. Одним из наиболее часто встречающихся объектов модульного оригами является кусудама, объёмное тело шарообразной формы.

Простое оригами

       Простое оригами — стиль оригами, придуманный  британским оригамистом Джоном Смитом, и который ограничен использованием только складок горой и долиной. Целью оригами является облегчение занятий неопытным оригамистам, а также людям с ограниченными двигательными навыками. Данное выше ограничение означает невозможность многих (но не всех) сложных приёмов, привычных для обычного оригами, что вынуждает к разработке новых методов, дающих сходные эффекты.

Складывание по развёртке

       Развёртка (англ. crease pattern; паттерн складок) — один из видов диаграмм оригами, представляющий собой чертёж, на котором изображены все складки готовой модели. Складывание по развёртке сложнее складывания по традиционной схеме, однако, данный метод даёт не просто информацию, как сложить модель, но и как она была придумана — дело в том, что развёртки используются при разработке новых моделей оригами. Последнее также делает очевидным факт отсутствия для некоторых моделей иных диаграмм, кроме развёртки. 

Мокрое  складывание

       Мокрое  складывание — техника складывания, разработанная Акирой Ёсидзавой и использующая смоченную водой бумагу для придания фигуркам плавности линий, выразительности, а также жесткости. Особенно актуален данный метод для таких негеометричных объектов, как фигурки животных и цветов — в этом случае они выглядят намного естественней и ближе к оригиналу.

       Не  всякая бумага подходит для мокрого  складывания, а лишь та, в которую  при производстве добавляют водорастворимый клей для скрепления волокон. Как правило, данным свойством обладают плотные сорта бумаги. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 2. Азбука оригами

       В международной литературе по оригами  давно сложился определенный набор  условных знаков, необходимых для  того, чтобы зарисовать схему складывания  даже самого сложного изделия. Условные знаки играют роль своеобразных "нот", следуя которым можно воспроизвести любую работу. Каждый оригамист должен знать эти знаки и уметь пользоваться ими для записей. Помимо знаков, существует небольшой набор приемов, которые встречаются достаточно часто. Обычно они даются в книгах без комментариев. Считается, что любой новичок умеет выполнять их на практике[1, 120]. Международные условные знаки вместе с набором несложных приемов и составляют своеобразную "азбуку" оригами, с которой должен быть знаком любой складыватель. Большая часть условных знаков была введена в практику еще в середине XX века известным японским мастером Акирой Йошизавой. В последние десятилетия к этим знакам добавилось несколько новых. К введению любых дополнительных обозначений следует относиться очень осторожно, и уж, конечно, совсем не стоит "изобретать велосипед" и пытаться записывать схемы складывания как-то по-своему. Все обозначения в оригами можно разделить на линии, стрелки и знаки.

       Линии

• линия сгиба "долина" (на себя)
• линия сгиба "гора" (от себя)
• линия после перегиба
• невидимая или воображаемая линия

       Стрелки

       Согнуть на себя - сделать складку "долина".

       Согнуть от себя - сделать складку "гора".

       Перегнуть на себя - согнуть и разогнуть, сделав складку "долину".

       Перегнуть от себя - согнуть и разогнуть, сделав складку "гору".

       Складка-молния - сочетание складок "долиной" и "горой".

       Двойная складка-молния - сочетание складок "долиной" и "горой", которые  выполняются с двумя слоями бумаги.

       Тащить, тянуть.

       Раскрыть (обычно "карман").

       Повернуть (в одной плоскости).

       Перевернуть на другую сторону.

       Завернуть (сделать подряд несколько линий "долин").

       Сделать подряд несколько складок-молний.

       Знаки

       Повторить действие (обычно сзади или на соседней стороне).

       Нажать, надавить, вогнуть.

       Держать здесь.

       Точка, отмечающая угол, край, линию или  пересечение линий.

       Прямой  угол.

       Равные  углы.

       Следующая картинка - вид отсюда.

       Увеличение  изображения.

       Равные  части или стороны.

       Базовые формы:

1. Совсем простые треугольник и прямоугольник:

2. Блин или  блинчик:

3. Водяная бомбочка:

       4. Бумажный змей (воздушный змей), плавно переходящий в ромб

       Змей:

       Ромб:

       5. Рыбное ассорти: рыба-1 и рыба-2:

       Рыба-1:

       Рыба-2:

       6. Квадрат, он же двойной квадрат:

       7. Птица-1 и птица-2: 
 

       Птица-1:

       Птица-2:

             8.Лягушка-1:

       Лягушка-2:

       9. Дверь:

       10. Узор и стол:

       Узор:

       Стол:

       Вот такие вот базовые фигуры в  искусстве оригами. Разумеется, от трактовки  к трактовке могут варьироваться  названия, этапы получения, но суть остаётся нерушимой: это основные складки, на которых базируются все сложные  фигуры. 
 
 
 

2.1. Оригами – это математика! 

       Очень многое в оригами связано с  математикой. В этой статье рассказывается о взаимоотношениях геометрии и  оригами и о том, как наука  о числах способна изумить нас  формами, о возможности существования  которых, мы, может быть, и не догадывались. 
 

    Теорема Пифагора и свойства пифагоровых  треугольников позволяют доказать и обобщить центральную теорему  оригаметрии – теорему Хага о  делении стороны квадрата на три  равные части.

, , . Из подобия треугольников МСК и LNS следует, что . Итак, если сторону квадрата  разделить в отношении , то мы можем построить и такие части стороны: , , , . Полученные результаты сведём в таблицу:

И так  далее. Теорема Пифагора и прямоугольные треугольники с рациональными сторонами позволили найти способ деления стороны квадрата на любое количество равных частей. В таблице числа, обведённые в рамочку, показывают начало складывания, а в заштрихованных клетках выделены наиболее интересные результаты, получающиеся при этом складывании.

Для того, чтобы достаточно точно построить  методами перегибания квадратного  листа бумаги нужный нам острый угол, можно или приблизить соответствующий  ему прямоугольный треугольник  Пифагоровым треугольником, или приблизить тангенс данного угла рациональным числом. Для дальнейших построений нам будут нужны тангенсы половинных углов правильных многоугольников. Результаты, которые применялись при разработке и построении моделей, следующие: , , и т.д.  (В самом деле, , ). Проведённые вычисления позволяют разработать и построить методами оригами не только рёберные модели правильных и полуправильных многогранников, но и рёберную модель любого многогранника, встречающегося при решении задач. Эти модели интересно и удобно использовать при решении задач, в которых в данный многогранник вписывается прямая, плоскость, другой многогранник, сфера, … 

    Любой правильный и полуправильный многогранник можно поместить внутри сферы таким образом, что его центр совпадёт с центром сферы. Спроектировав затем из центра на поверхность сферы рёбра многогранника, мы получим сеть, состоящую из дуг больших окружностей сферы. Эта сеть разбивает сферу на сферические многоугольники, каждый из которых соответствует одной из граней многогранника. Плоскости симметрий многогранника добавят к разбиению новые дуги. С учётом этих новых дуг поверхность сферы будет разделена на сферические треугольники. Сферические модели правильных и полуправильных многогранников можно построить из бумаги с помощью клея. Наиболее сложная часть в построении модели – математические вычисления. Когда все необходимые углы вычислены, для построения модели нужны только желание и терпение. Рассмотрим сказанное на примере построения сферической модели икосододекаэдра.

    В вершине икосододекаэдра сходится 2 треугольника и два пятиугольника. У этого многогранника количество треугольных граней равно 20 (как  у икосаэдра), а количество пятиугольных граней равно 12 (как у додекаэдра). Поэтому при центральном проектировании поверхность сферы разбивается на сеть из 20 треугольников и 12 пятиугольников. Вычислим углы этих сферических многоугольников. Пусть углы сферического треугольника равны , а пятиугольника - , причём , (рис. 22).

    Решая систему, находим  ; .

Заключение 

       Так для чего же нужно оригами???

       Оригами, прежде всего, – искусство, призванное дарить людям радость.

       Некоторые люди сделали изготовление бумажных фигурок своей профессией. Бумажные птицы и рыбы, звери и многогранники  украшают витрины магазинов. Красивые и выразительные маски широко продаются как настенные украшения. Многие предприниматели заказывают мастерам бумажные фигурки для использования в качестве символа фирмы. Муниципалитеты платят за оформление городских праздников, шоу и карнавалов. Бумажные фигурки используются при создании рекламных роликов и плакатов.

       Оригами – и детская забава, и элемент  дизайна, и неотъемлемый атрибут  народных праздников во многих странах  мира. Существуют театры, где персонажами  и декорациями являются бумажные фигурки.

       Занятие оригами оказывает положительное  влияние на развитие детей. Специалисты-медики считают, что оно позволяет полнее использовать ресурсы психики, гармонично развивая оба полушария головного мозга. У ребят совершенствуются мелкая моторика рук, движения пальцев становятся более точными вырабатывается усидчивость. Ведь чтобы получилась красивая фигурка, нужна аккуратность, внимание, сосредоточенность. Кроме того, оригами развивает память, мышление, пространственное воображение, сообразительность. Неспроста это занятие применяют в своей практике врачи-логопеды. Помогает оно и людям с нарушениями опорно-двигательного аппарата, с психическими расстройствами.

       Лично для нас оригами стало новым увлечением, которое смогло и сможет окунуть всех нас с головой в этот удивительный мир!  

Использованная  литература 

1. С. Соколова  «Оригами» Большая настольная  книга для всей семьи  240 лучших проектов для совместного творчества. Москва ИД Домино Санкт-Петербург, 2007

2. Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Волшебные шары – кусудамы. – СПб.: Издательский дом «Кристалл», 2001. – 160с.,  

3. © 2007 Кальчева  Анастасия http://jp5.ru

4.http://www.origami.kulichki.ru

5. http://www.origami.ru