Основы решения транспортных задач об оптимальных перевозках

 ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ  ОБ ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕВОЗКАХ

 

В автотранспортное предприятие поступила заявка на перевозку грузов на завтрашний день.

Требуется составить оптимальный сменно-суточный план перевозки грузов (маршруты движения автомобилей и сменные задания водителям), обеспечивающих вывозку заданных объёмов при минимальном суммарном пробеге автомобилей.

 

2.1 Математическая постановка задачи

 

Рассмотрим и сформулируем в математической форме условие транспортной задачи. Потребителям Б1, Б2, ...., Бj, ...., Бn  требуется груз в количествах b1, b2, ....., bj, ....., bn (т) единиц, который имеется или производится у поставщиков A1, A2, ......, Ai, ......, Am в количествах a1, a2, ......., ai, ......, am (т) единиц соответственно. Обозначим через qij объём перевозок из i-ого пункта отправления в j-ый  пункт назначения. Объём перевозок известен для всех пунктов ( задана заявка на перевозки грузов, см. таблицу 1.). Расстояние между поставщиками и потребителями известно (см. таблицу 2.) и составляет lij (км). В процессе выполнения перевозок в пунктах назначения Б1, Б2, ...., Бj, ...., Бn после разгрузки автомобилей будет образовываться порожняк в количествах b`1, b`2, ....., b`j, ....., b`n который надо направить в пункты A1, A2, ......, Ai, ......, Am в количествах a`1,a`2,…a`j,….a`m.

 С методической точки для  решения задачи удобней пользоваться  понятием “ездка”. Поэтому за  единицу измерения будет приниматься  ездка автомобиля с грузом  и без него.

В задаче будет выполняться условие:

                m                                                            n                                                                             

b`j = bj = S qij , где j=1,2,......,n     и      a`i = ai = S qij , где i=1,2,......,m    ,

                1                                                                                           1

Дополнительным условием задачи является требование, чтобы за рабочую смену автомобиль направлялся не более, чем в четыре разных пункта отправления и в такое же количество пунктов назначения. Практически  это означает, что при сменном задании с большим числом ездок необходимо составить кольцевой маршрут так, чтобы по нему можно было сделать несколько оборотов. Необходим план перевозок который обеспечит выполнение заданных объёмов с наименьшим холостым пробегом автомобиля.

Исходные данные для решения транспортной задачи  приведены в таблицах N No -1, 2, 3. 

 

Таблица 2.1.  - Заявка на перевозку грузов (в тоннах).

Пункт отправления	А1	А1	А1	А2	А3	А4	А4	А5	А5	А6	А6
Пункт назначения	Б1	Б7	Б8	Б2	Б5	Б3	Б4	Б1	Б3	Б5	Б6
Объём перевозок	189	81	81	81	81	36	54	108	54	54	54

 

 

Таблица 2.2-  Расстояния между пунктами отправления и назначения ( в км).

	Пункт   назначения
Пункт отправления	Б1	Б2	Б3	Б4	Б5	Б6	Б7	Б8	АТП
А1	5	1	7	8	4	2	14	15	3
А2	5	13	8	6	3	1	7	3	1
А3	12	4	14	13	11	4	12	10	12
А4	16	7	15	15	13	5	15	12	2
А5	9	1	13	6	1	1	4	1	10
А6	3	1	5	3	8	10	3	2	15
АТП	8	17	16	11	4	6	9	9	--

Таблица 2.3. - Расчётные нормативы.

Показатель	Обозначение	Значение
Грузоподъёмность	q	5
Коэффициент использования грузоподъёмности	g	0,9
Время в наряде * (в часах)	Тн	12,5
Среднетехническая скорость (в км/час)	Vт	24
Простой под погрузкой и выгрузкой на одну ездку с грузом (мин)	t пв	85

  *   Примечание.  Допустимое  отклонение ± 35 минут.

** Примечание.  Используется автомобиль  ЗИЛ-130 грузоподъёмностью 5 тонн.

 

2.2 Математическая запись задачи

 

Обозначим через Xij количество порожняка (в автомобиле - ездках) предназначенного  к отправке из пункта разгрузки Бj в пункт погрузки Ai , тогда суммарный холостой пробег автомобиля из всех пунктов с наличием порожняка во все пункты его подачи будет иметь вид:

                              n    m                                                                 

S S Xij * lij à min.                                                                 (2.1)

                               j=1 i=1                     

  Условие полного удовлетворения спроса на порожняк каждого пункта отправления за счёт подачи его из разных пунктов с наличием порожняка выглядит так:

                                                     n         

         S Xij = a`i , где i= 1,2,...,m.                             (2.2)

                                                     j=1                                     

Весь порожняк из каждого пункта назначения должен быть подан в пункт отправления под погрузку, т.е. :

 

  m

S Xij = b`j , где j= 1,2,...,n.                                                                              (2.3)  i=1                          

Очевидно, что количество автомобилей не может быть отрицательным числом, т.е.

                               Xij > 0, при i= 1,2,...,m, j= 1,2,...,n.                                    (2.4)

Таким образом, в математической форме транспортная задача формулируется  так:

Определить значение переменных Xij минимизирующих линейную форму, выраженную (2.1),  при ограничениях, указанных в (2.2),(2.3),(2.4). Необходимо равенство общей потребности получателей и наличия груза у поставщиков или отправителей:

                                           m              n

  S b`j = S а`j                                                                                ( 2.5 )

                          i=1          j=1 

Это равенство является необходимым и достаточным условием для совместимости  уравнений (2.2) и ,(2.3).

Цель решения выражается уравнением (2.1): найти минимальный суммарный холостой пробег автомобилей. Задачу, выраженную формулами (2.1) – (2.5) принято называть задачей минимизации холостых пробегов автомобилей.

 

2.3 Метод совмещённых планов

 

Для решения задачи разработан метод совмещённых планов. С его помощью она решается в три этапа.

На первом этапе решают задачу минимизации холостых пробегов автомобилей, в результате чего находят оптимальный план возврата порожняка под погрузку после разгрузки. Составление оптимального плана отражено в блок-схеме алгоритма метода потенциалов на рисунке 1.

На втором этапе из грузопотока ( линий перевозок ) заданных заявкой на перевозки и линий оптимального плана возврата порожняка, найденного на первом этапе, составляют схему кольцевых и маятниковых маршрутов движения автомобилей, в совокупности обеспечивающих минимум холостых пробегов автомобилей при выполнении заданных перевозок.

 

 

На третьем этапе найденные маршруты прикрепляют к АТП (автотранспортному предприятию), после чего разрабатывают сменно-суточные задания водителям по каждому маршруту.

 

 

 

 

Составление матрицы условий

 

 

Составление допустимого исходного плана

 

Подсчёт числа занятых клеток в матрице (N) и сравнение с (m+n-1)

Ликвидация лишних занятых клеток

N=m+n-1

Создание недостающих занятых клеток

    N>m+n-1                                                                            N<m+n-1

 

Проверка незанятых клеток на потенциальность

Построение цепочки возможных перемещений загрузок

 

Расчёт знаков  “+”  и  “-“ по вершинам цепочки

Поиск наименьшей среди загрузок, отмеченных знаком “-“

Изменение загрузки на вершинах цепочки

 

Решение закончено: оптимальный план составлен

Потенциальных клеток нет

             Примечание [ 1]

Рисунок 2.1.-  Блок-схема алгоритма метода потенциалов.

       Теперь рассмотрим   расчёт  по  методу  совмещённых  планов.

Пункт 1. Расчёт оптимального плана возврата порожняка. Решение транспортной задачи начинается с разработки допустимого исходного плана, который разрабатывается в табличной форме. В матрицу условий (таблица 2.1) вводится дополнительный столбец и строка.

Таблица 2.4. -  Матрица условий.

		Пункт назначения (образов. порожняка)
Пункт назначения	Вспом. Индек.		Б1	Б2	Б3	Б4	Б5	Б6		Б7	Б8	Потребность в перевозках
	Ui / Vi
А1			5	1	7	8	4		2	14	15
А2			5	13	8	6	3		1	7	3
А3			12	4	14	13	11		4	12	10
А4			16	7	15	15	13		5	15	12
А5			9	1	13	6	1		1	4	1
А6			3	1	5	3	8		10	3	2
Наличие порожняка
Примечание [cоставлено автором]

В строке записываются значения индексов Vj,  а в столбце – значения индексов Ui .Для дальнейших расчётов необходимо определить количество автомобиле-ездок, их находим по формуле :    Ze= Q/ q* g ,   где Q – объём перевозок; q – грузоподъёмность автомобиля (т); g -- коэффициент использования грузоподъёмности. Значения q и g возьмём из таблицы 2.3. Результаты вычисления занесём в таблицу 2.5.

Таблица 2. 5.-  Расчёт ездок  от объёма  перевозки грузов (в тоннах).

Пункт отправления	А1	А1	А1	А2	А3	А4	А4	А5	А5	А6	А6
Пункт назначения	Б1	Б7	Б8	Б2	Б5	Б3	Б4	Б1	Б3	Б5	Б6
Объём перевозок	189	81	81	81	81	36	54	108	54	54	54
Количество автомобиле- ездок	42	18	18	18	18	8	12	24	12	12	12

Примечание [cоставлено автором]

 

В правом верхнем углу клеток, представляющих собой реальные маршруты перевозок, указаны расстояния между соответствующими пунктами; условие S bj = S аi = 194 (ездки) выполняется.

 

Таблица 2. 6.  -Допустимый исходный план.

		Пункт  назначения (образов. порожняка)
Пункт назначения	Вспом. Индек.		Б1	Б2	Б3	Б4	Б5	Б6		Б7	Б8		Потребность в перевозках
	Ui \ Vi
А1			425	1	7	8	4		2	1814		1815				78
А2			5	1813	8	6	3		1	7		3				18
А3			12	4	14	13	1811		4	12		10				18
А4			16	7	815	1215	13		5	15		12				20
А5			249	01	1213	6	01		1	4		1				36
А6			3	1	5	3	128		1210	3		2				24
Наличие порожняка			66	18	20	12	30		12	18	18			194/194

План разрабатывается способом минимального элемента по строке. Разработка производится в следующем порядке: сначала, планируются перевозки с первого склада, записывая их в соответствующие клетки первой строки, при этом удовлетворяются запросы потребителя, находящегося ближе всего к этому складу.

  Планируем перевозки ближайшим из неудовлетворённых ещё потребителей, записывая соответствующие загрузки в клетки с наименьшими расстояниями. При соблюдении условий, описанных выше, удовлетворяя спрос и предложения пунктов отправления и потребления, происходит заполнение  необходимых клеток; остаток по столбцу или строке сносится в клетку остатков, который впоследствии заносится в свободные не вычеркнутые клетки. При этом необходимо соблюдать условие, что количество заполненных клеток должно соответствовать числу m + n -1, где m — число пунктов отправления или погрузки; n – число пунктов погрузки.

В таблице 2.6 количество занятых клеток равно числу m + n -1=13; а в таблице 6 количество занятых клеток не равно этому числу 13 . Поэтому необходимо создать недостающие клетки, поставив нулевые загрузки в клетки А5-Б2 и А5-Б5.

Допустимый исходный план составлен, проверим его на оптимальность. 

Пункт 2 .Расчёт индексов для занятых клеток.

П.2.1. Расчёт суммарного холостого пробега. Рассчитываем суммарный холостой пробег для допустимого исходного плана (таблица 2. 6) с помощью формулы:

                      n   m                                                                              

SLx = S S Xij * lij  ,              (2. 6)

                       j=1 i=1 

где SLx  --  суммарный холостой пробег (км); Xij – количество порожняка, подаваемого между i-ым пунктом назначения, ездки; lij – расстояние от i-ого пункта отправления до j-ого пункта назначения (км).

П.2.2. Расчёт индексов. Следующим пунктом вычислений  находим индексы для загруженных клеток :

Ui + Vj =lij Xij ,                                                                                              (2.7 )

Проверка допустимого плана на оптимальность заключается в соблюдении условий:

Ui + Vj =lij ,   для Xij>0                                                                               {2. 8 )

и            Ui + Vj =lij ,  для Xij=0                                                                  (2. 9 )

Для определения индексов используются следующие правила:

а)  индексы Ui записываются во вспомогательный столбец ;

б)  индексы Vj записываются во вспомогательную строку;

в)  индексы правой клетки вспомогательного столбца принимаются за нуль: U1=0.

Тогда из уравнения (2.6) можно выразить Ui и Vj .

Далее, рассчитаем индексы для таблицы 2.7 допустимого исходного плана по этим правилам.

 

 

 

Таблица 2.7. - Допустимый исходный план ( предварительный вариант).

		Пункт  назначения (образов. порожняка)
Пункт назначения	Вспом. Индек.		Б1	Б2	Б3	Б4	Б5	Б6		Б7	Б8		Потребность в перевозках
	Ui \ Vi		5	-3	9	9	-3		-1	14	15
А1	0		425	1	72	81	4		2	1814		1815				78
А2	16		516	1813	817	619	310		114	723		+ 328				18
А3	14		127	47	149	1310	1811		49	1216		1019				18
А4	6		16	7	815	1215	13		5	155		129				20
А5	4		249	01	1213	67	01		12	419		18				36
А6	11		313	17	515	313	128		1210	322		224				24
Наличие порожняка			66	18	20	12	30		12	18	18			194/194

V1= A1Б1 – U1 = 5-0= 5;   V7 = A1Б7 – U1 = 14-0=14;    V8 = A1Б8 – U1= 15-0 =15

………………………..     …………………………..        ………………………… 

U5= A5Б1 – V1 = 9-5= 4;   V3 = A5Б3 – U5 = 13-4= 9;     U4= A4Б3 – V3 = 15-9 =6;

После расчёта индексов проверяем незанятые клетки на потенциальность.

П.2.3. Определение потенциальных клеток.  Незанятые клетки, для которых получилось, что Ui + Vj >lij – называются потенциальными.              Проверяем незанятые клетки на потенциальность. Проверка сводится к сравнению расстояний каждой незанятой клетки с суммой соответствующих ей индексов.

А1Б2 = u1 + v2 = 0-3 = -3 < ( l1-2=1);

А1Б3 = u1 + v3 = 0+9 = 9 > ( l1-3=7) --   2    ;

....................................................................;

А2Б8 = u2 + v8 = 16+15= 31> ( l2-8=3)--  28  ;

.....................................................................;

А6Б8 = u6 + v8 = 11+15= 26> ( l6-8=2)--  24 .

По данным вычислений построим таблицу 2. 7.

 

п. 2.4. Оптимизация плана. Проверка допустимого плана на оптимальность заключается в соблюдении условий: (2.8) и (2.9). Если данные условия не соблюдаются для клеток  Xij =0, то значение потенциала отрицательно, что и определяет потенциальную клетку. Следует скорректировать допустимый план. Корректировка плана состоит в перемещении в потенциальную клетку с наименьшим по модулю потенциалом какую-нибудь загрузку. Перемещение производится при условии сохранения количества “+” и “-“ по строке и столбцу. Производя перемещение, следует повторить процесс определения потенциала  до тех пор, пока условия (2.8) и (2.9) не будут соблюдены. Признаком оптимальности является отсутствие клеток, в которых сумма индексов будет больше расстояний.

Из наличия потенциальных клеток можно сделать вывод, что составленный план не является  оптимальным. Выявленные клетки являются резервом улучшения плана, а превышение суммы индексов над расстоянием – потенциалом (в таблице 2.7 они размещены в нижнем правом углу клетки и выделены другим цветом). Улучшение неоптимального плана сводится к перемещению загрузки в потенциальную клетку матрицы.

Цепочку возможных перемещений определяют: для потенциальной клетки с наибольшим значением потенциала строят замкнутую цепочку из горизонтальных и вертикальных отрезков так, чтобы одна из её вершин находилась в данной клетке, а все остальные вершины в занятых клетках. Знаком “+” отмечают в цепочке её нечётные вершины, считая вершину в клетке с наибольшим потенциалом, а знаком “-“ – чётные вершины. Наименьшая загрузка в вершинах 18 ездок, уменьшая загрузку в вершинах со знаком “-“ и  увеличивая её в вершинах со знаком “+” получают улучшенный план. Дальнейшие расчёты по его оптимизации производятся аналогично. Признаком оптимальности является отсутствие клеток, в которых сумма индексов будет больше расстояний.