Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Оценка погрешностей результатов измерений

СОДЕРЖАНИЕ

Список принятых сокращений……………..……………………….3

Введение…………………………………………………………………4

1.Классификация погрешностей…………………………………...6

2. Случайные погрешности и их вероятностное описание..…10

3. Случайные погрешности результатов измерений ………….18

Заключение………………………………………………… ..…...….26

Список используемых источников и литературы ……………..27

Список принятых сокращений

СКО - среднеквадратическое отклонение

СКП - среднеквадратическая погрешность

Введение

Данная работа имеет своей целью изучение физических основ измерений.

Задачи, рассматриваемые в реферате:

- дать описание понятия погрешностей измерений и классифицировать их;

- изучить способы оценки погрешностей;

- исследовать оценку погрешностей результатов измерений.

При практическом использовании тех или иных измерений важно оценить их точность. Термин "точность измерений", т. е. степень приближения результатов измерения к некоторому действительному значению, не имеет строгого определения и используется для качественного сравнения измерительных операций. Для количественной оценки используется понятие "погрешность измерений" (чем меньше погрешность, тем выше точность). Понятие "погрешность" — одно из центральных в метрологии, где используются понятия "погрешность результата измерения" и "погрешность средства измерения". Она характеризует точность результатов измерений, проводимых данным средством.

Оценка погрешности измерений — одно из важных мероприятий по обеспечению единства измерений. Количество факторов, влияющих на точность измерения, достаточно велико, и любая классификация погрешностей измерения в известной мере условна, так как различные погрешности в зависимости от условий измерительного процесса проявляются в различных группах.

Оценивание погрешностей производится с целью получения объективных данных о точности результата измерения. Погрешность измерения описывается определенной математической моделью, выбор которой обуславливается имеющимися априорными сведениями об источниках погрешности, а также данными, полученными в ходе измерений. С помощью выбранной модели определяются характеристики и параметры погрешности, используемые для количественного выражения тех или иных ее свойств.

1. Классификация погрешностей

Любое измерение есть процесс сравнения. Процедура нахождения отношения размера физической величины к размеру той же величины, принятому за единицу, может быть записана в математической форме

, (1)

где Q — размер измеряемой физической величины; |Q| — размер физической величины, принятый за единицу. Уравнение (1) называют уравнением измерения.

Значение физической величины, полученное в результате сравнения, является оценкой физической величины в принятых для измерения данной величины единицах.

Истинное значение физической величины — это значение физической величины, которое идеальным образом характеризует в количественном и качественном отношении соответствующую физическую величину.

Действительное значение физической величины — значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него.

Результат измерения — значение величины, полученное путем ее измерения. Результат измерения представляет собой приближенную оценку истинного значения величины.

Погрешность результата измерения — это разница между результатом измерения Х и истинным (действительным) значением Q измеряемой величины:

D = Х – Q, (2)

Погрешность указывает границы неопределенности значения измеряемой величины. Истинное значение применяют при решении теоретических задач метрологии. На практике пользуются действительным значением величины.

Погрешность средства измерений — разность между показанием средства измерений (значением величины, полученным при помощи этого средства) и истинным (действительным) значением.

По способу выражения различают абсолютную, относительную и приведенную погрешность. Абсолютная погрешность — это погрешность, выраженная в единицах измеряемой величины и определяемая согласно выражения (2).

Относительная погрешность — это погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности к действительному значению. Относительную погрешность d находят из выражения:

, (3)

и выражают в относительных единицах или в процентах (в последнем случае в формуле (3) к правой части добавляется множитель 100 %).

Приведенная погрешность — это относительная погрешность, в которой абсолютная погрешность средства измерений отнесена к условно принятому значению Q_N, постоянному на всем диапазоне измерений или его части:

, (4)

Условно принятое значение величины Q_Nназывают нормирующим значением.

Погрешность (как и результат сравнения в (1)) не является постоянной величиной. Установлено, что одна ее часть проявляется как постоянная величина, а другая изменяется непредсказуемо. Эти части назвали систематической и случайной погрешностями.

В упрощенном виде классификация погрешностей по характеру их проявления приведена на рис. 1.

Рис. 1. Классификация погрешностей измерений по характеру их проявления

По характеру проявления следует также выделить грубые погрешности (промахи).

Грубые погрешности (промахи) — это такие погрешности, которые при исправных средствах измерений и корректных действиях экспериментатора (оператора) не должны появляться.

Промахи возникают из-за ошибок или неправильных действий оператора, вследствие резких кратковременных изменений условий проведения измерений (сбой в работе аппаратуры, скачки напряжения в сети, вибрация и т. п.), других аналогичных причин. Если промахи обнаруживаются в процессе измерений, то результаты, их содержащие, отбрасывают.

Случайная погрешность — составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии повторных измерений физической величины постоянного размера, проведенных с одинаковой тщательностью в одинаковых условиях. В появлении таких погрешностей не наблюдается какой-либо закономерности, они проявляются при повторных наблюдениях в виде некоторого разброса полученных результатов. Случайные погрешности неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения.

Систематическая погрешность — составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной для данного ряда измерений или же закономерно изменяющаяся при повторных измерениях физической величины постоянного размера. Систематические погрешности могут быть предсказаны, обнаружены и исключены (уменьшены) из результата измерений введением поправок.

Особое место среди погрешностей занимают прогрессирующие (дрейфовые) погрешности. Их особенностью является то, что они могут быть скорректированы и учтены только в данный момент времени, а в дальнейшем вновь непредсказуемо изменяются.

2. Случайные погрешности и их вероятностное описание

Случайной называют такую величину, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее — какое именно. Случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются прерывными, или дискретными, случайными величинами. Величины, возможные значения которых не отделены друг от друга и непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами.

Необходимо отметить, что граница между дискретными и непрерывными величинами далеко не так четко определена, как это может показаться на первый взгляд. Обычно при измерении принимают допущение о том, что измеряемые величины являются непрерывными. С другой стороны, непрерывные величины иногда представляются искусственно как дискретные, то есть изменяющиеся равными ступенями, и измерения производят подсчетом этих ступеней.

Для полной характеристики дискретной случайной величины необходимо и достаточно знать все возможные ее значения и вероятность появления каждого из этих значений.

Законом распределения (законом распределения вероятности) случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Простейшей формой задания закона распределения является таблица, которая часто называется рядом распределения случайной величины Х.

Х	х₁	х₂	х₃	х₄	х₅	…
Р	р₁	р₂	р₃	р₄	р₅	…

При этом сумма вероятностей равна единице:

, (5)

Считается, что если сумма какого-то набора чисел равна 1, то эти числа нормированы. Поэтому выражение (5) называется условием нормировки.

Ряд распределения может быть представлен в графическом виде. На графике по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат — вероятности этих значений (рис. 2).

Рис. 2. График распределения дискретной случайной величины

Во многих случаях наряду с распределением случайной величины или вместо него информацию об этой величине могут дать числовые параметры, получившие название числовых характеристик случайной величины.

Математическое ожидание, которое вычисляется как сумма произведений всех возможных ее значений на вероятность этих значений:

(6)

На практике при ограниченном числе наблюдений пользуются оценкой математического ожидания, которой является среднее арифметическое. Значения х_k получаются в результате измерительного эксперимента.

Дисперсия, которая является математическим ожиданием квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

(7)

Как следует из (7), дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, поэтому вводят понятие среднего квадратического отклонения (СКО), под которым понимают квадратный корень из дисперсии. СКО имеет размерность самой случайной величины:

(8)

Дисперсия и СКО служат для оценки степени разброса случайной величины относительно ее среднего значения.

Непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, поэтому ее нельзя задать тем же законом распределения, что и дискретную случайную величину. Для количественной характеристики распределения вероятности в этом случае пользуются не вероятностью события Х = х, а вероятностью события Х < х, где х — некоторая текущая переменная. Вероятность этого события зависит от х и является некоторой функцией от х. Эта функция называется функцией распределения вероятности случайной величины Х и обозначается F(x):

(9)

Функцию распределения F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения вероятности является универсальной характеристикой.

Для непрерывной случайной величины с непрерывной и дифференцируемой функцией распределения вероятности F(x) можно найти дифференциальный закон распределения вероятностей, выражаемый как:

(10)

Эта функция иначе называется плотностью распределения вероятности или дифференциальной функцией распределения. Она всегда неотрицательна и подчинена условию нормирования в виде:

В измерительной практике часто используется равномерный закон, при котором возможные значения непрерывной случайной величины находятся в пределах некоторого конечного интервала, где все значения случайной величины обладают одной и той же плотностью вероятности (рис. 3).

Рис.3. Равномерный закон распределения плотности вероятности

Другим законом, который имеет большое значение в метрологической практике, является нормальный закон распределения случайной величины.

Результат измерений при непрерывном отсчете зависит от влияния многих возмущающих факторов (воздействий). В случае, когда независимых возмущающих факторов много, но влияние каждого из них в отдельности мало и примерно одинаково, применимы две аксиомы:

1.Аксиома симметрии: при очень большом числе отсчетов случайные отклонения от среднего значения, равные по величине, но различные по знаку, встречаются одинаково часто.

2.Аксиома монотонного убывания плотности вероятностей: чаще всего встречаются меньшие отклонения, а большие отклонения встречаются тем реже, чем они больше.

Если эти аксиомы соблюдаются, то при неограниченном увеличении числа независимых влияющих факторов закон распределения плотности вероятности можно представить как:

(11)

где — среднее значение; — среднее квадратическое отклонение. Такой закон носит название нормального закона распределения случайной величины. Общий вид дифференциальной p(x) и интегральной F(x) функций распределения для нормального закона приведен на рис. 4 и 5 соответственно.

Рис.4 Дифференциальная функция Рис.5 Интегральная функция

распределения для нормального распределения для нормального

закона закона

Для оценки того или иного свойства законов распределения случайной величины в теории вероятностей используют числовые характеристики, называемые моментами. Все они представляют собой некоторые средние значения, причем если усредняются значения, отсчитываемые от начала координат, моменты называются начальными, а если от центра закона распределения — центральными.

Общее правило образования начальных моментов:

где k — номер момента. Важнейшим начальным моментом является первый — среднее значение:

(12)

Первый центральный момент называется математическим ожиданием и обозначается символом М(х) (как и для дискретной случайной величины).

Математическое ожидание служит для определения положения случайной величины на числовой оси — ее среднего значения, определяющего положение области, в которой группируются значения случайной величины.

Если начало координат перенесено в центр закона распределения вероятности, то такое распределение называется центрированным. Общее правило образования центральных моментов записывается следующим образом:

Из формулы видно, что первый центральный момент равен нулю.

Второй центральный момент называется дисперсией:

(13)

Чем больше дисперсия, тем значительнее рассеяние результатов сравнения относительно среднего значения (рис. 6).

Рис.6. Графики плотности распределения вероятности при различных значениях дисперсии

Третий центральный момент служит для оценки асимметрии распределения плотности вероятности, четвертый центральный момент используется для оценки заостренности дифференциальной функции распределения вероятности.

3. Случайные погрешности результатов измерений

Математические модели эмпирических законов распределения вероятности отдельных показаний, полученных при измерении, — дифференциальная и интегральная функции распределения вероятности, а также все их моменты любого порядка обладают важным качеством: будучи характеристиками случайной величины, сами они не являются случайными. Описание с их помощью результатов измерений было бы удобным, если бы эти характеристики можно было получить. На практике невозможно получить бесконечное множество показаний при сохранении неизменности условий, при которых выполняются измерения. Поэтому в процессе обработки результатов измерений могут быть получены только оценки этих числовых характеристик.

Оценки, получаемые по статистическим данным, являются случайными величинами, и их значения зависят от объема экспериментальных данных.

Оценки должны быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она стремится к истинному значению оцениваемой величины.

Оценка является несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемой величины.

В том случае, когда можно найти несколько несмещенных оценок, лучшей из них считается та, которая имеет наименьшую дисперсию. Такая оценка называется эффективной.

Рассмотрим n независимых наблюдений Q_i, полученных при измерении физической величины постоянного размера. Пусть каждое из них отличается от среднего значения Q (истинного значения) на δ_i:

Q₁= Q + δ₁;

Q₂= Q + δ₂;

Q₃= Q + δ₃;

… … … … …

Q_n= Q + δ_n

где случайная величина δ(отклонение от среднего значения) подчиняется центрированному симметричному закону распределения вероятности. Суммируя правые и левые части уравнений и разделив полученные суммы на n, получим:

Теория вероятностей устанавливает, что при n→ ∞ алгебраическая сумма отклонений при симметричном законе распределения вероятности стремится к нулю:

Значение:

(14)

является приближением к истинному значению и называется средним арифметическим значением. Среднее арифметическое является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой истинного значения (среднего значения или математического ожидания). Для нормального закона распределения оценку СКО отдельных результатов измерений, входящих в серию из n независимых равноточных измерений, вычисляют по формуле:

(15)

Величину, определяемую согласно выражению (15), называют средней квадратической погрешностью (СКП) результатов единичных показаний в ряду измерений. На практике и в ряде нормативных документов в области метрологии широко используется термин «среднее квадратическое отклонение», при этом опускается слово «оценка». Величина S называется также стандартным отклонением.

Среднее арифметическое, как и результат единичного измерения, является случайной величиной. В серии измерений существует зависимость между СКП единичного измерения и СКП среднего арифметического :

(16)

СКП среднего арифметического в раз меньше, чем СКП результата единичного измерения. При этом если результаты единичного измерения подчиняются нормальному закону распределения вероятности, то и среднее арифметическое подчиняется нормальному закону с тем же математическим ожиданием:

(17)

а среднее квадратическое отклонение —

(18)

В случаях, когда закон равномерного распределения вероятности не может быть получен экспериментально, его статистический смысл теряется, а сам закон распределения используется как математическая модель для учета дефицита информации при оценке погрешности результата измерения. Величину, вычисляемую согласно выражению (18), называют аналогом СКП.

Для количественной оценки и установления границ случайной погрешности результата измерения используются предельная погрешность, интервальная оценка, оценки числовых характеристик закона распределения. Выбор конкретной оценки определяется необходимой полнотой сведений об источниках погрешности, назначением измерений и характером использования их результатов.

Предельная погрешность — это максимальная погрешность, которая может появиться в конкретном измерительном эксперименте. Теоретически такая оценка погрешности правомерна только для распределений, границы которых четко выражены и существует такое значение , которое ограничивает возможные значения случайной погрешности с двух сторон от центра распределения (например, равномерного). Такая оценка не содержит информации о характере закона распределения, часто бывает завышенной и в настоящее время применяется редко.

Более информативными являются квантильные оценки. Площадь, заключенная под всей кривой плотности распределения вероятности, по условиям нормирования равна единице. Эту площадь можно разделить вертикальными линиями на части. Абсциссы таких линий называют квантилями(рис. 7).

Рис. 7. Квантильные оценки

Q₁есть 25 %-ная квантиль, так как площадь под кривой p(Q) слева от нее составляет 25 % всей площади. Абсцисса Q₂соответствует 75 %-ной квантили. Между Q₁и Q₂заключено 50 % всех возможных значений случайной величины (результатов единичных измерений). Квантильная оценка результата измерений позволяет найти вероятность, с которой значение случайной величины (результата измерения) находится в интервале от Q₁до Q₂. Такой интервал называется доверительным интервалом, а соответствующая ему вероятность — доверительной вероятностью. Принято границы доверительного интервала указывать симметрично относительно среднего арифметического значения, а половину доверительного интервала устанавливать кратной СКП (tS) и принимать за оценку случайной погрешности результата измерения (рис. 8).

Рис.8. Доверительный интервал

Принято также применять термин «доверительные границы случайной погрешности». Доверительные границы случайной погрешности находят по формуле:

(19)

где t — коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р и формы закона распределения.

Квантили, ограничивающие доверительный интервал, могут быть выбраны различными, поэтому при интервальном оценивании случайной погрешности необходимо указывать значение принятой доверительной вероятности, например U = (3,0 +/- 0,2)В при Р = 0,95.

В общем случае можно вычислить вероятность Р того, что искомое значение измеряемой величины лежит в пределах для любого положительного числа t. В табл. 2 приведены доверительные вероятности при различных значениях t для нормального закона распределения при числе независимых наблюдений n >50 (при n < 50 используются коэффициенты Стьюдента). Более точные таблицы для значений t приводятся в специальной литературе по метрологии.

Таблица 2.

Зависимость коэффициента t от доверительной вероятности Р для нормального закона распределения

t	0,50	0,75	1,00	1,25	1,50	1,75	2,00	2,50	3,00	4,00
P, %	38	55	68	79	87	92	95,4	98,8	99,7	99,99

В целях единообразия оценивания случайных погрешностей интервальными оценками при технических измерениях доверительная вероятность принимается равной 0,95. В случаях особо точных и/или ответственных измерений допускается применять другую доверительную вероятность.

Согласно третьему свойству дисперсии, при суммировании нескольких статистически независимых случайных величин, которыми могут являться несколько случайных погрешностей, суммируют дисперсии, а не доверительные интервалы. Соответственно при необходимости оценить погрешность суммированием ее составляющих сложение числовых оценок дисперсии производят по формуле:

(20)

Таким образом, для того чтобы отдельные составляющие случайной погрешности можно было суммировать расчетным путем, они должны быть представлены своим СКП, а не предельными или доверительными границами. При необходимости дальнейшей обработки результатов измерений и оценки суммарного значения случайной погрешности используют информацию о числовых характеристиках законов распределения.

Формула (20) правомерна только для некоррелированных случайных величин. В том случае, когда суммируемые составляющие погрешности коррелированы, расчетные соотношения усложняются, так как требуется учитывать коррелированные связи. Методы выявления коррелированных связей и их учет являются предметом изучения в теории вероятностей и рассматриваются в специальной литературе по метрологии.

Необходимо отметить, что форма закона распределения при суммировании случайных величин сохраняется лишь для небольшого числа законов распределения (например, нормального, закона Пуассона и некоторых других). Этим во многом объясняется значительная роль нормального закона распределения в метрологии, которую он играет до настоящего времени. В общем случае при суммировании случайных величин законы их распределения деформируются и закон распределения суммы оказывается отличным от закона распределения слагаемых. Соответственно усложняется проблема определения доверительного интервала по отношению к конечному результату.

Заключение

В результате проделанной работы по изучению оценки погрешностей результатов измерения можно сделать следующие выводы.

В основу выбора оценок погрешностей положен ряд принципов. Во-первых, оцениваются отдельные характеристики и параметры выбранной модели погрешности. Это связано с тем, что модели погрешностей, как правило, сложны и описываются многими параметрами. Определение их всех весьма затруднительно, а иногда и невозможно. Кроме этого, в большинстве практических случаев полное описание модели погрешности содержит избыточную информацию, в то время как знание отдельных ее характеристик вполне достаточно для достижения цели измерения. Во-вторых, оценки погрешности определяют приближенно, с точностью, согласованной с целью измерения. Это обусловлено тем, что погрешности определяют лишь зону неопределенности результата измерения и их не требуется знать очень точно. В-третьих, погрешности оцениваются сверху, поэтому погрешность лучше преувеличить, чем преуменьшить, так как в первом случае снижается качество измерений, а во втором — возможно полное обесценивание результатов всего измерения. В-четвертых, поскольку стремятся получить реалистические значения оценки погрешности результата измерения, т.е. не слишком завышенные и не слишком заниженные, точность измерений должна соответствовать цели измерения. Излишняя точность ведет к неоправданному расходу средств и времени. Недостаточная точность в зависимости от цели измерения может привести к признанию годным в действительности негодного изделия, к принятию ошибочного решения и т. п.

Оценка погрешностей результатов измерений 📙 Реферат → 🆔 190359