Парадоксы в теории вероятностей

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА «Систем электроснабжения предприятий»

РЕФЕРАТ по курсу 

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И  МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»   

на тему

 «ПАРАДОКСЫ В ТЕОРИИИ  ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

Выполнил: студент группы 
Эн2-04оженко А.Е.

Проверил: профессор кафедры              
«СЭСП» Манусов В.З.

Новосибирск, 2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………………………….3

Глава 1. ПАРАДОКС МОНТИ  ХОЛЛА…………………………………………………………...4

1.1 ФОРМУЛИРОВКА………………………………………………………………….......4

1.2 РАЗБОР…………………………………………………………………………………..5

Глава 2. ПАРАДОКС МАЛЬЧИКА И ДЕВОЧКИ………………………………………………..8

2.1 ФОРМУЛИРОВКА И ИСТОРИЯ  ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПАРАДОКСА…………….8

2.2 ПЕРВЫЙ ВОПРОС……………………………………………………………………..9

2.3 ВТОРОЙ ВОПРОС……………………………………………………………………...9

2.4 АНАЛИЗ НЕОДНОЗНАЧНОСТИ……………………………………………………10

2.5 ПСИХОЛОГИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ…………………………………………12

Глава 3. ПАРАДОКС ДНЕЙ РОЖДЕНИЯ………………………………………………………13

Глава 4. САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ  ПАРАДОКС…………………………………………….15

4.1 ФОРМУЛИРОВКА И ИСТОРИЯ  ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПАРАДОКСА…………...15

4.2 РЕШЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОГРАНИЧЕНИЯ  РЕАЛЬНОГО МИРА………………………...15

4.3 РЕШЕНИЕ ЧЕРЕЗ ФУНКЦИЮ  ПОЛЕЗНОСТИ……………………………………16

Глава 5. ПАРАДОКС ДВУХ КОНВЕРТОВ……………………………………………………...18

5.1 ФОРМУЛИРОВКА…………………………………………………………………….18

5.2 ИСТОРИЯ……………………………………………………………………………....18

5.3 РАЗРЕШЕНИЕ…………………………………………………………………………21

5.4 ФОРМАЛЬНАЯ АРГУМЕНТАЦИЯ…………………………………………………21

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………………………22

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………………………………23

 ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей представляет собой область математики, необычайно богатую парадоксами — истинами, настолько противоречащими здравому смыслу, что поверить в них трудно даже после того, как правильность их подтверждена доказательством. Парадоксы в теории вероятностей — различного рода парадоксы, возникающие в теории вероятностей из-за несовершенства аксиоматики, в частности из-за определения вероятности через вероятность, неопределённости понятия «равновероятные события» и иных пробелов в основаниях данного раздела математики. Рассмотрим  основания возникновения данных парадоксов. В теории вероятности парадоксы бывают двух типов: первый — когда существует строгое решение в рамках аксиоматики, просто оно не очевидно, и условия задачи таковы, что ведут интуитивное понимание условий в ошибочном ключе, примерами таких парадоксов являются — Санкт-Петербургский парадокс, Парадокс закона больших чисел Бернулли, Парадокс дней рождения; второй тип — парадоксы, которые основываются на неоднозначной интерпретации аксиоматики теории вероятности, её недоопределённости, которую отмечал еще Пуанкаре, их и можно назвать истинными парадоксами. Примеры истинных парадоксов: Проблема Монти -Холла, Парадокс двух конвертов, Парадокс Хемпеля, Парадокс Бертрана. Ценность обоих типов парадоксов в том, что они помогают лучше понять суть теории, область её ограничения, глубже понять основания теории, и иногда исследование парадоксов вело к созданию отдельных разделов математики. Ниже нами будут рассмотрены наиболее популярные и интересные парадоксы.

Глава 1.  
ПАРАДОКС МОНТИ ХОЛЛА

1.1 ФОРМУЛИРОВКА

Парадокс Монти Холла — одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Задача формулируется как описание игры, основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространенная формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом: 
Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор? 
          После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться следующей стратегии: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу. Наиболее популярной является задача с дополнительным условием— участнику игры заранее известны следующие правила: автомобиль равновероятно размещен за любой из 3 дверей; 
ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой и предложить игроку изменить выбор, но только не дверь, которую выбрал игрок; если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью. В нижеследующем тексте обсуждается задача Монти Холла именно в этой формулировке.

1.2 РАЗБОР

Таблица 1.1. Возможные варианты

При решении этой задачи обычно рассуждают примерно так: ведущий всегда в итоге  убирает одну проигрышную дверь, и тогда вероятности появления  автомобиля за двумя не открытыми  становятся равны 1/2, вне зависимости  от первоначального выбора. Вся суть в том, что своим первоначальным выбором участник делит двери: выбранная A и две другие - B и C. Вероятность того, что автомобиль находится за выбранной дверью = 1/3, того, что за другими = 2/3. Для каждой из оставшихся дверей сложившаяся ситуация описывается так:

P(B) = 2/3*1/2 = 1/3     (1.1) 
          P(C) = 2/3*1/2 = 1/3,    (1.2), 
где     P(B) – вероятность нахождения автомобиля за дверью B, 
          P(C) – вероятность нахождения автомобиля за дверью C, 
          1 /2 - условная вероятность для данной двери при условии, что автомобиль не за дверью, выбранной игроком.

Ведущий, открывая одну из оставшихся дверей, всегда проигрышную, сообщает тем самым игроку ровно 1 бит информации и меняет условные вероятности для B и C соответственно на "1" и "0". 
В результате выражения принимают вид:

P(B) = 2/3*1 = 2/3        (1.3) 
          P(C) = 2/3*0 =0            (1.4), 
где     P(B) – вероятность нахождения автомобиля за дверью B, 
          P(C) – вероятность нахождения автомобиля за дверью C, 
          1 и 0 –условная вероятность для данной двери при условии, что автомобиль не за дверью, выбранной игроком.

Таким образом, участнику следует  изменить свой первоначальный выбор - в этом случае вероятность его  выигрыша будет равна 2/3.

Рис. 1.1. Иллюстрация, поясняющая 
вероятности выигрыша в случаях, когда 
игрок меняет свой первоначальный выбор и когда он этого не делает.

Одним из простейших объяснений является следующее: если вы меняете дверь  после действий ведущего, то вы выигрываете, если изначально выбрали проигрышную  дверь (тогда ведущий откроет  вторую проигрышную и вам останется  поменять свой выбор чтобы победить). А изначально выбрать проигрышную  дверь можно 2 способами (вероятность 2/3), т.е. если вы меняете дверь, вы выигрываете  с вероятностью 2/3.

Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации большинством людей, поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла, т.е. парадоксом в бытовом смысле.

А интуитивное восприятие таково: открывая дверь с козой, ведущий  ставит перед игроком новую задачу, никак не связанную с предыдущим выбором — ведь коза за открытой дверью окажется независимо от того, выбрал игрок перед этим козу или автомобиль. После того, как третья дверь открыта, игроку предстоит сделать выбор  заново — и выбрать либо ту же дверь, которую он выбрал раньше, либо другую. То есть, при этом он не меняет свой предыдущий выбор, а делает новый. Математическое же решение рассматривает  две последовательные задачи ведущего, как связанные друг с другом.

Однако следует брать во внимание тот фактор из условия, что ведущий  откроет дверь с козой именно из двух оставшихся, а не дверь, выбранную  игроком. Следовательно, оставшаяся дверь  имеет больше шансов на автомобиль, так как она не была выбрана  ведущим. Если рассмотреть тот случай, когда ведущий, зная, что за выбранной  игроком дверью находится коза, все  же откроет эту дверь, этим самым  он нарочно уменьшит шансы игрока выбрать правильную дверь, т.к. вероятность  правильного выбора будет уже 1/2. Но подобного рода игра будет уже  по другим правилам.

Глава 2. 
ПАРАДОКС МАЛЬЧИКА И ДЕВОЧКИ

2.1 ФОРМУЛИРОВКА И ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПАРАДОКСА

Парадокс Девочки и мальчика также известен в теории вероятностей, как «Парадокс второго ребенка», «Дети мистера Смита» и «Проблемы Миссис Смит». Впервые задача была сформулирована в 1959-ом году, когда Мартин Гарднер (Martin Gardner) опубликовал один из самых ранних вариантов этого парадокса в журнале Scientific American под названием «The Two Children Problem» и сформулировал её следующим образом:

• У мистера Джонса двое детей. При этом старший ребёнок - девочка. Какова вероятность того, что оба ребёнка девочки?

• У мистера Смита двое детей. При этом хотя бы один ребёнок – мальчик. Какова вероятность того, что оба ребёнка мальчики?

Сам Гарднер изначально давал ответ 1/2 и 1/3 соответственно, но впоследствии понял, что ситуация во втором случае не однозначна. Ответом на второй вопрос может быть и 1/2 в зависимости от того, как было выяснено, что один из детей мальчик. Неоднозначность в зависимости от конкретного условия задачи и сделанных допущений была подтверждена позднее. Психологическое восприятие данного парадокса также представляется интересным. Научное исследование, проведённое в 2004 году,  показало, что при идентичной исходно заданной информации, но различных вариациях в формулировке задачи, подталкивающей к выбору определённой точки зрения, доля студентов программ MBA, дававших ответ 1/2 на второй вопрос колеблется от 85% до 39%. Парадокс зачастую вызывает множество противоречий . Много людей являются ярыми сторонниками каждого из вариантов ответа, при этом они отрицают и иногда презирают противоположную точку зрения. Парадокс заключается в том, что при различном подходе к анализу искомая вероятность различна. Наиболее очевидный ответ на оба вопроса - 1/2. Однако, этот ответ очевиден лишь в том случае, когда из каждого из вопросов следует, что есть два равновероятных исхода для пола второго ребёнка (мальчик или девочка), и что вероятности этих исходов безусловны.

2.2 ПЕРВЫЙ ВОПРОС

У мистера Джонса двое детей. При этом старший ребёнок - девочка. Какова вероятность того, что оба ребёнка девочки? Выберем случайную семью, соответствующую условиям первого вопроса. Тогда существуют 4 равновероятных исхода.

Таблица 2.1. Всевозможные исходы

И только 2 из возможных  исходов удовлетворяют критерию, указанному в вопросе. (Это варианты ДД, ДМ). Из-за того, что оба исхода из нового множества элементарных исходов {ДД, ДМ} равновероятны, и только один из исходов содержит 2-х девочек - ДД. Таким образом, вероятность того, что оба ребёнка девочки равна 1/2.

2.3 ВТОРОЙ ВОПРОС

       У  мистера Смита двое детей. При  этом хотя бы один из детей  – мальчик. Какова вероятность  того, что оба ребёнка мальчики? Второй вопрос похож на первый, однако вместо утверждения о том, что старший ребёнок мальчик в вопросе говорится о том, что хотя бы один из детей мальчик. В ответ на критику со стороны читателей Гарднер соглашается, что из-за "невозможности детально описать процедуру рандомизации" его изначальная формулировка имеет 2 способа интерпретации метода отбора семьи:

1. Из всех семей с двумя детьми, где хотя бы один мальчик, выбрана произвольная семья. В этом случае ответ 1/3.

2. Из всех семей с двумя детьми, один ребёнок выбирается случайным образом, и пол этого ребёнка задан. В этом случае ответ 1/2.

Очевидно, что каждый мистер Смит имеет по одному сыну (это необходимое условие), однако не ясно, будет ли каждый мистер Смит с одним сыном попадать под наше рассмотрение. В этом и заключается проблема: утверждение не говорит, что наличие сына – есть достаточное условие для включения мистера Смита в «выборку». При этом , Бар-Хиллель и Фальк комментируя работу Гарднера замечают, что «Мистер Смит в отличие от читателя естественно знает, какого пола его дети, когда утверждает что-либо. И отталкиваясь от ответа: «У меня двое детей и хотя бы один из них мальчик» правильным, по их мнению будет ответить 1/3 как изначально и предлагал Гарднер.

2.4 АНАЛИЗ НЕОДНОЗНАЧНОСТИ

Если допустить, что  семья выбрана по принципу, что  в ней есть хотя бы один ребёнок-мальчик  и при этом наличие мальчика принимается  как необходимое и достаточное  условие, то остаются три из четырёх  равновероятных исхода для семьи  с двумя детьми среди описанного выше множества элементарных исходов.

Таблица 2.2. Всевозможные исходы , при условии что хотя бы один ребёнок-мальчик

При допущении, что в  процессе поиска мальчика рассматриваются  оба ребёнка, ответом на второй вопрос будет 1/3. Однако, если сначала была выбрана семья, а потом уже наложено условие на пол ребёнка, то правильным способом подсчета будет уже не подсчет подходящих вариантов, а вычисление условной вероятности для каждого случая.

Таблица 2.3. Всевозможные исходы и их вероятности, при условии, что сначала была выбрана семья, а потом уже наложено условие на пол ребёнка

Ответ получен путём  вычисления условной вероятности (1/4)/(0+1/8+1/8+1/4)=1/2.

Заметим, что в случае с выбором  конкретного ребёнка все произойдет несколько иначе и аналогичный  ответ будет получен с помощью  других вычислений. Например, если сначала  мы будем узнавать пол младшего ребёнка, тогда(1/4)/(0+1/4+0+1/4)=1/2.

Таблица 2.4. Всевозможные исходы и их вероятности, при условии, что сначала была выбрана семья, а пол одного ребёнка известен заранее

2.5 ПСИХОЛОГИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

Вышеописанные вопросы часто неоднозначны и не имеют "правильного" ответа, как такового. Однако парадокс второго ребёнка на этом не исчерпывается, также полезными являются возможности, которые он открывает для исследования интуитивного восприятия вероятности человеком. Исследования утверждают, что если бы люди были последовательными, то скорее всего приходили бы к ответу 1/3, но чаще встречается ответ 1/2. Неоднозначность этого второго вопроса, хотя и создает парадоксы в классической математике, является почвой для того, чтобы изучать интуитивное восприятия вероятности людьми. Фокс и Левав (Fox и Levav) в 2004 году использовали этот парадокс, чтобы изучить, как люди оценивают условную вероятность. В этом исследовании парадокс был представлен людям в двух видах: *Мистер Смит говорит: «У меня двое детей, и по крайней мере один из них мальчик» Получив эту информацию, скажите, какова вероятность того, что второй ребёнок мистера Смита тоже мальчик. *Мистер Смит говорит: «У меня двое детей, и это не 2 девочки». Получив эту информацию, скажите, какова вероятность того, что у мистера Смита 2 сына? Первая формулировка даёт читателю ошибочное впечатление, что существует две равновероятных возможности для "другого ребёнка", тогда как вторая формулировка даёт читателю впечатление, что существует четыре возможных исхода, один из которых был исключён (в результате вероятность для двух мальчиков равна 1/3, так как существует три возможных оставшихся элементарных исхода, только в одном из которых оба ребёнка мальчики). По результатам этого эксперимента выяснилось, что 2 эти формулировки запутывают людей. Так в первом случае ответ 1/2 давали 85% респондентов, в то время как во второй только 39%. Причиной, по которой люди по разному отвечают на эти 2 вопроса, является то, что люди принимают решения с помощью эвристик, предполагающих использование неформализованных методов; в отличие от решения методами, опирающимися на четкие математические модели.

Глава 3.  
ПАРАДОКС ДНЕЙ РОЖДЕНИЯ

Прекрасным примером служит парадокс с днями рождения. Выберем  
наугад 24 человека. Какова, по вашему мнению, вероятность того, что двое или большее число из них родились в один и тот же день одного и того же месяца (но, быть может, в разные годы)? Интуитивно чувствуется, что вероятность такого события должна быть очень мала. На самом же деле она оказывается равной 27/50, то есть чуть выше 50%!

Вероятность того, что дни  рождения любых двух людей не совпадают, очевидно, равна 364/365 (поскольку лишь в одном случае из 365 возможных  дни рождения совпадают). Вероятность несовпадения дня рождения третьего человека с днем рождения любых двух других членов отобранной группы составляет 363/365. Для четвертого человека вероятность того, что его день рождения отличается от дней рождения любых трех людей, равна 362/365 и т. д. Дойдя до двадцать четвертого участника эксперимента, мы увидим, что вероятность несовпадения его дня рождения с днями рождения остальных двадцати трех участников равна 342/365. Таким образом, мы получаем набор из 23 дробей. Перемножив их, мы найдем вероятность того, что все 24 дня рождения различны. Сократив числитель и знаменатель произведения двадцати четырех дробей, мы получим дробь 23/50. Иначе говоря, заключая пари на то, что среди 24 по крайней мере двое родились в один и тот же день, вы будете выигрывать в 27 и проигрывать в 23 случаях из 50. (Проведенный нами подсчет вероятности не совсем точен, он не учитывает того, что год может быть високосным — то есть в феврале может быть 29 дней — и что дни рождения чаще приходятся на одни месяцы и реже на другие. Первое обстоятельство уменьшает вероятность интересующего нас события, второе — увеличивает.)

Приведенные цифры настолько  неожиданны, что экспериментальная  проверка их в классе или среди  сослуживцев может явиться отличным развлечением. Если присутствует более 23 человек, попросите каждого написать на листке бумаги его день рождения. Соберите и сложите листки. Скорее всего по крайней мере две даты совпадут, что обычно вызывает невероятное удивление даже у людей, знакомых друг с другом в течение многих лет. Результат не изменится, если кто-нибудь схитрит, написав неправильную дату. Вероятность совпадения остается и в этом случае.

Еще проще проверить парадокс, выбирая случайным образом даты рождения 24-х людей из книги «Кто есть кто» или какого-нибудь другого  биографического справочника. Естественно, что чем большее число имен превышает 24, тем больше вероятность  совпадения. На рис. 1.1 изображена кривая, показывающая рост вероятности с  увеличением числа людей. График обрывается, когда число людей  достигает 60, потому что дальше вероятность  уже слишком близка к достоверности (то есть к значению 1) и кривую практически  невозможно отличить от прямой. В действительности даже для 23-х людей вероятность совпадения по крайней мере одного дня рождения превышаети равна 0,507... Обратите внимание, как круто поднимается кривая примерно до числа 40 и как она выходит на плато по мере приближения к достоверности. Взяв 100 человек, вы сможете заключить пари, выигрывая в 3 299 000 случаях из 3 300 000. Конечно, абсолютная достоверность достигается лишь тогда, когда взято 366 человек.

Глава 4.  
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПАРАДОКС

4.1 ФОРМУЛИРОВКА И ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПАРАДОКСА

Парадокс получил известность  после публикации Даниилом Бернулли в заметках Академии наук Санкт-Петербурга в 1738 году, однако впервые парадокс упоминается двоюродным братом Даниила, — Николаем Бернулли в 1713 году в письме к математику Монмору. Иногда, ошибочно, парадокс приписывают Эйлеру. Суть парадокса: игроком бросается правильная монета до момента выпадения решки, игрок при выпадении получает 2^r рублей, где r — это номер бросания, при котором выпала решка, — при каждом последующем бросании потенциальный выигрыш увеличивается вдвое. Сколько необходимо выплатить игроку за участие в игре с такими условиями, чтобы его средний выигрыш перекрыл выплату за игру. Ответ парадоксален, — математическое ожидание банковских выплат бесконечное. Выигрыш может выпасть при любом из r бросаний, тогда математическое ожидание равняется: 
m_x=2^r=½*2+1/4*4+1/8*8...=1+1+1... (4.1), 
где m_x – математическое ожидание выигрыша, 
      r – число бросаний. 
Этот бесконечный ряд расходится, то есть имеет бесконечную сумму.

4.2 РЕШЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОГРАНИЧЕНИЯ РЕАЛЬНОГО МИРА

Приведём оценки для решений  парадокса через ограничение  количества игр и времени. Вероятность того, что в определённой игре количество бросков превысит некоторое n, равна 1/2ⁿ. Пусть игрок может сыграть не более k игр. Тогда вероятность того, что количество бросков хотя бы в одной игре превысит n, равна 1-(1-1/2ⁿ)^k. Для больших n она приближённо равна k/2ⁿ. Будем считать, что событие, имеющее вероятность меньше некоторого p, не произойдёт никогда. Тогда «реальное» количество бросков не превышает log₂(k/p). При таком допущении средний выигрыш за одну игру приближёно равен:

                                       
                                       (4.2)

                                    
                           (4.3),

где n – реальное количество бросков, 
      k – предельное количество игр, 
      p – вероятность того, что количество бросков не превысит n.

                   (4.4)

То есть, средний выигрыш равен   

Для 1000 игр и p=10^-6 получаем средний выигрыш около 15.

4.3 РЕШЕНИЕ ЧЕРЕЗ ФУНКЦИЮ ПОЛЕЗНОСТИ

Другой вариант разрешения — через функцию полезности денег. Рассматривая выпуклую функцию предельной полезности (часто — логарифмическую), мы снова достигаем конечность её математического ожидания. Так, если считать, что для игрока важно увеличение не на некоторое кол-во денег, а в некоторое кол-во раз, то он оценивает выигрыш с точки зрения логарифмической функции полезности: он хочет максимизировать ,

                                              П=              (4.5),

 где X — выигрыш, 
       П – полезность, 
       — вклад в игру.

При этом в классической постановке парадокса математическое ожидание полезности становится конечным:

                                                                 (4.6),

где П – полезность, 
       X — выигрыш, 
       — вклад в игру.  
Откуда легко получить справедливую стоимость игры: .

Это решение можно усовершенствовать, рассматривая полезность выигрыша с  точки зрения увеличения уже имеющегося капитала игрока w (миллиардеру прирост в $ 1000 не так желателен, как нищему), однако это лишь немного изменяет ответ. При этом можно так изменить систему выплат, что и данное решение будет неприемлемо: для каждой неограниченной функции полезности существует такая последовательность выплат за выпадение орла на i-том шаге, что ожидаемая полезность тоже будет равна бесконечности.

Глава 5.  
ПАРАДОКС ДВУХ КОНВЕРТОВ

5.1 ФОРМУЛИРОВКА

Парадокс двух конвертов — известный парадокс, демонстрирующий как особенности субъективного восприятия теории вероятностей, так и границы её применимости. В облике двух конвертов этот парадокс предстал в конце 1980-х годов, хотя в различных формулировках известен математикам с первой половины XX века. Есть два неразличимых конверта с деньгами. В одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. В чужом конверте равновероятно может находиться 2X или X/2. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет (2X+X/2)/2 = (5/4)X, т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?

5.2 ИСТОРИЯ

В 1953 году бельгийский математик Морис Крайчик предложил похожую задачу на примере двух галстуков: Каждый из двух лиц утверждает, что его галстук красивее. Чтобы решить спор, они обращаются к третейскому судье. Победитель должен подарить побежденному свой галстук в утешение. Каждый из спорщиков рассуждает следующим образом: «Я знаю, сколько стоит мой галстук. Я могу проиграть его, но могу и выиграть более красивый галстук, поэтому в этом споре преимущество на моей стороне». Как может в одной игре с двумя участниками преимущество быть на стороне каждого из них? Крайчик утверждает, что симметрия в игре существует, но предполагает неправомерность использования вероятности ½ при вычислении среднего дохода. С точки зрения обеих сторон игра симметрична и каждый имеет равную вероятность выиграть. Однако вероятность не является объективно данным фактом и зависит от условий задачи. В данном случае разумным является не пытаться оценивать вероятность.

Задача стала популярна  благодаря Мартину Гарднеру, который описал её в 1982 году под названием «Чей кошелёк толще?». Гарднер соглашается с Крайчиком и в том, что игра «честная» (симметричная), и в том, что игра не может быть одновременно выгодной обеим сторонам, а также в том, что в рассуждении игроков кажутся сомнительными: Может ли одна и та же игра «быть выгоднее» для каждого из двух партнёров? Ясно, что не может. Не возникает ли парадокс из-за того, что каждый игрок ошибочно полагает, будто его шансы на выигрыш и проигрыш равны? Однако Гарднер отмечает также, что подробного математического разбора задачи Крайчиком не было сделано: к сожалению, это ничего не говорит нам о том, где именно в рассуждениях двух игроков кроется ошибка. Как мы ни бились, нам так и не удалось найти простое и удовлетворительное решение парадокса Крайчика.

В дальнейшем задача принимала  названия «парадокса двух шкатулок», «парадокса двух карманов», «парадокс обмена»  и т. д.

Новый интерес к парадоксу  возник после публикации Барри Нейлбуфом статьи с перечнем ряда парадоксов теории вероятностей в журнале Journal of Economic Perspectives. После получения множества откликов на эту публикацию, им была подготовлена вторая статья «Чужой конверт — всегда зеленее» («The Other Person’s Envelope is Always Greener»), посвящённая непосредственно задаче конвертов. В предложенной им формулировке имеется два конверта: В один конверт помещается некоторая сумма денег, неизвестная для других, и этот конверт отдаётся Али. Затем скрытно подбрасывается монета. Если выпадает орёл, во второй конверт кладётся сумма в два раза большая, чем в первом. В противном случае во второй конверт кладётся сумма в два раза меньшая. Этот конверт отдаётся Бабе. Али и Баба могут открыть свои конверты, не сообщая один другому суммы которые они там видят. После этого они могут (по обоюдному согласию) обменяться конвертами. Предположим, что Али видит в своём конверте 10$. Али предполагает, что в конверте у Бабы равновероятно могут находиться 5$ или 20$. В этом случае обмен конвертами приносит Али 2,5$ (или 25 %). Аналогично Баба считает, что в конверте Али равновероятно находится сумма в два раза меньшая или большая, чем x, которая находится у него. Поэтому в среднем, при обмене конвертов, он получает (-0,5 x + x)/2 = 0,25 x. Таким образом, Баба также ожидает получить в среднем 25 % дохода, по сравнению с суммой в своём конверте. Однако, это является парадоксальным. Обмен конвертами не может быть выгоден обоим участникам. Где ошибка в их рассуждениях?

Модификация Нейлбуфа условия задачи и предложенные им решения позволили многое прояснить по сути парадокса. Однако подбрасывание монетки после наполнения первого конверта заметно нарушало первоначальную симметрию капиталов игроков. При решении акцент смещался на доказательство неравноценности стартовых условий для Бабы по сравнению с Али. Поэтому в результате дальнейшей эволюции, из условия задачи исчезла монетка, с помощью которой у Нейлбуфа определялось содержимое второго конверта. На сегодняшний день наиболее широко известна и вызывает наибольший интерес у математиков идеально симметричная постановка с внешне неразличимыми конвертами, содержащими меньшую и в два раза большую суммы, причём один из конвертов можно открыть прежде, чем начать рассуждение о выгодности обмена.

5.3 РАЗРЕШЕНИЕ  ПАРАДОКСА

С точки зрения Нейлбуфа первое удовлетворительное объяснение его задачи дано Санди Забеллом в статье «Убытки и доходы: парадокс обмена». Несколько переформулируя, Нейлбуф пишет: