Перенос тепла в плоской стенки

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Орский  гуманитарно-технологический институт (филиал)

Государственного  образовательного учреждения

Высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет» 
 
 

Механико-технологический  факультет

Кафедра электроснабжения и энергообеспечения 
 
 

Лекция  № 2

по дисциплине «Теоретические основы теплотехники» 

      ОГУ 140106 
 
 

Тема  №2. 2.3

«Перенос тепла в плоской стенки  при постоянном и переменном коэффициенте теплопроводности» 
 

                                                                               
 
 

   

      Ануфриенко  О. С.

      К.т.н., доцент. 
 
 
 
 
 
 

Орск 2010 

Содержание 
 

  Общая характеристика процесса_______________________________3 

1. Плоская стенка с граничными условиями I рода.

 

1. Однослойная стенка при  = const.___________________________3
2. Многослойная стенка при  =const.__________________________6
3. Однослойная стенка при =f(Т)._____________________________7

 

   I I)       Плоская стенка с граничными  условиями III рода. 

4. Однослойная стенка при  =const.__________________________9
5. Многослойная стенка при =const.___________________________11
6. Заключение_____________________________________________12
7. Список литературы_______________________________________13

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Под теплопередачей черен  стенку понимается теплообмен между  двумя жидкостями (капельными или  упругими), разделенными твердой стенкой.

  Этот вид теплообмена имеет самое широкое распространение в практике. Примерами его могут служить: передача тепла от дымовых газов воде через стенки кипятильных труб в паровых котлах, передача тепла от конденсирующегося  пара воде через стенки трубок в поверхностных конденсаторах и пароводяных подогревателях, передача тепла от преющей воды воздуху помещений через стенки нагревательных приборов в системах центрального отопления и т д. Теплопередача через плоскую стенку является сложным видом  теплообмена, в процессе которого тепло передается всеми способами.

Действительно, от греющей  жидкости стенке тепло передается излучением и соприкосновением, через стенку — теплопроводностью и, наконец, от стенки нагреваемой жидкости - соприкосновением.

Рассмотрим прежде всего процесс теплопередачи через плоскую однослойную стенку.

  Греющая жидкость имеет температуру , а нагреваемая жидкость - температуру , при чем в ходе теплопередачи температуры обеих жидкостей постоянны. Примерам такого процесса может служить передача тепла от конденсирующегося пара кипящей воде. 

  Количество тепла, переданного от одной жидкости другой через стенку, пропорционально разности температур жидкостей, поверхности стенки F и времени , т. е.

 

 

 
   При передаче теплоты от стенки к окружающей среде в основном преобладает конвективный теплообмен, поэтому будут рассматриваться такие задачи. 

I) Плоская стенка с граничными условиями I рода. 

   Однослойная стенка при = const. Рассмотрим плоскую стенку, толщина которой по координате х существенно меньше ее протяженности по координатам у, z (высоты h и длины стенки) (рис. 1). В этом cлyчаe тепловой поток можно принять одномерным в направлении х и уравнение принимает вид (при =const)

 

  (1) 

      Интегрирование (1) дает

;

, 

где - постоянные, зависящие от граничных условий. 

  При граничных  условиях I-го рода заданы температуры  на границах стенки: х=0, ; , .

 

  Получаем: 

 

  (2а) 

или в безразмерной форме 

 

.  (2б) 

   Согласно (2.) температура  плоской стенки при  =соnst меняется линейно от до ( - теплопроводность твердого тела).   

 Таким образом,  при  = const температура в полной стенке изменяется по линейному закону.

 

  Тепловой поток. Плотность теплового потока q найдем из соотношения 

(3). 

    В зависимости  от соотношения  и тепловой поток может иметь знак «ппюс» при > (рис.2а) и знак «минус» при < (рис.2б). Связано это с тем, что в первом случае градиент температуры возрастает с уменьшением х, а направление теплового потока совпадает с положительным направлением х. Во втором cлyчае положительное направление градиента температуры совпадает с положительным направлением х, а тепловой поток направлен в противоположную сторону. Знак теплового потока необходимо учитывать при наличии внутренних источников теплоты, когда тепловые потоки могут быть направлены одновременно в противоположные стороны, например, когда температура в центре пластины имеет максимум (или минимум). 

 

   Так как  в рассматриваемом случае тепловой  поток обусловлен только градиентом  температур на границах стенки, в уравнении (3) можно использовать  положительный перепад температур  Т. Вводя внутреннее термическое сопротивление стенки , получим 

  (4) 

    Величина термического сопротивления определяет характер изменения температуры. При (бесконечная теплопроводность) Т 0, т.е. температура стенки на поверхности и по всей толщине одинакова (рис.2, кривая 1); при (нулевая теплопроводность) поле температур ограничено одной поверхностью и плотность теплового потока q=0 (рис.3, кривая 2). Чем больше внутреннее термическое сопротивление, тем более круто падает температура стенки.

 Таким образом,  плотность теплового потока, проходящего через плоскую стенку, прямо пропорциональна разности температур ее поверхностей и обратно пропорциональна термическому сопротивлению. 

  В большинстве практических задач приближенно предполагается, что коэффициент теплопроводности  не зависит от температуры и одинаков по всей толщине стенки. значение находят в справочниках при средней температуре . 

    Многослойная стенка  при   =const. Стенка состоит из последовательно расположенных плоских слоев (стенок) разной толщины и теплопроводности , общая толщина стенки существенно меньше остальных размеров (рис.3,а). 

 

  

Так как тепловой поток  постоянен 

, 

где - термическое сопротивление i – го слоя; Т - перепад температур на границах i – го слоя.  

 Тогда  

         ;   ; ; . 

  Суммируя значения  , найдем 

 

  (5)

где Т - полный перепад температур на границах тела, - общее термическое сопротивление стенки. 

   Тогда перепад температур Т в i-ом слое можно выразить через

полный перепад температур на границах стенки Т  

 

   Параллельное расположение  проводников теплоты (например, изолированная стенка со сквозными металлическими болтами) (рис. З,б). Суммарная плотность теплового потока q будет равна сумме плотностей тепловых потоков через каждый проводник 

        
 

   Полное термическое  сопротивление равно 

(6) 

  Однослойная стенка  при =f(Т). В этом случае дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид 

    (7)

и

  (8) 

С граничными условиями 

х=0,

; , . 

Интегрируя (8), получим 

(9) 

Согласно теореме о среднем 

 

где - средне значение коэффициента теплопроводности в интервале температур . 

   Подставим  в (9), получим  

(10) 

     При  , найдем из (10) 

 

и с учетом (8) 

  (11) 
 

где - средне значение коэффициента теплопроводности в интервале температур . 

  Подставим значение    в уравнение (10), получим  

(12) 

   Для большинства тел =f(Т) можно задать линейной зависимостью, (при этом b может быть больше или меньше нуля).   

  Тогда 

 

   Величина будет возрастающей (b>0) или убывающей (b<0) функцией температуры. Соответственно, профиль температур по толщине плоской стенки при =f(Т) будет нелинейным

(рис.4). 

 

  

I I) ПЛОСКАЯ СТЕНКА С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ III РОДА 

Однослойная стенка при  =const. На границах плоской стенки заданы коэффициенты конвективной теплоотдачи и и значения температуры окружающей среды T и Т (рис. 8.5). Внешнее

термическое сопротивление в пограничном слое на границах стенки будет 1/ и 1/ . Уравнение для плотности теплового потока

(4) не меняется по  форме, но термическое сопротивление теплообмену будет включать как внутреннее, так и внешнее термическое сопротивление 

(13)

   

где R - полное термическое сопротивление. 

Термическим сопротивлением называется величина, численно равная отношению разности температур двух изометрических поверхностей к плотности теплового потока в какой-либо точке на одной из этих поверхностей. Это сопротивление, обусловленное внутренним механизмом процесса теплопроводности. 
 
 

  (14) 

 

Коэффициент теплопередачи через плоскую стенку K  

. (15)  

   Коэффициент  теплопередачи характеризует интенсивность   процесса теплопередачи. Он численно  равен плотности теплового потока, передаваемого через стенку при  температурном напоре,  равном единице. Он представляет собой величину, обратную сумме всех термических сопротивлений. Если одно из сопротивлений значительно больше всех остальных, то практически оно одно и будет определять значение коэффициента теплопередачи. Чтобы увеличить коэффициент теплопередачи, надо уменьшить наибольшее термическое сопротивление. 

 Уравнение (13) для плотности теплового потока q аналогично закону

Ньютона , но вместо коэффициента конвективной теплоотдачи а входит коэффициент  K (Вт/м •К).  

  Коэффициент теплопередачи K , подсчитанный по уравнению (15) меньше, чем каждый из входящих в него коэффициентов переноса , , . 

 Если использовать критерий краевого подобия Bi =( ) /(1/ )

представляющий собой  отношение внутреннего термического сопротивления стенки к сопротивлению в пограничном слое на ее

границах 1/ , то полное термическое сопротивление можно как 

  (16) 

где Bi ,Bi

При Bi внешними сопротивлениями можно пренебрeчь и получаем плоскую пластину с граничными условиями I рода. 

,

.

Температуры стенки T и T найдем из условия постоянства плотности теплового потока q  

, 

откуда 

;  (17а) 

;  (17б) 

.  (17в) 

  Многослойная стенка  при  =const. Уравнение теплового потока через многослойную стенку из n слоев с толщеной и термическим сопротивлением получим из (4) путем добавления внешних термических сопротивлений  

,  (18)

где - полный положительный перепад температур  

. (19) 

  - общее сопротивление, равное сумме внешних термических сопротивлений на границах тела и внутреннего термического сопротивления многослойной стенки . Величина, обратная полному термическому сопротивлению, есть коэффициент теплопередачи 

. (20) 

   Мы рассмотрели  стационарную теплопроводность  плоской стенки при заданных температурных поверхностей и (или - для многослойной стенки), т.е. при граничных условиях первого рода. Практически важным является процесс, в котором известным считаются величины, входящие в граничные условия третьего рода: температуры жидкости и с двух сторон стенки, а также коэффициенты теплопередачи со стороны первой и со стороны второй жидкостей. 
 

Пример  задачи 

Нapyжнaя стенка здания  выполнена из красного кирпича ( = 0,6 ккал/м час град) толщиною 750 мм. Температура воздуха внутри помещения равна =+8°С, а наружного = - 24° С. Определить коэффициент теплопередачи через стенку.

Коэффициент теплоотдачи со стороны внутреннего воздуха равен = 7 ккал/м час град, а со стороны наружного воздуха - = 20 ккал/м час град.

Решение. Термическое  сопротивление теплопередаче 

0,143 6+ 1,25 + 0,05 = 1,448 

Коэффициент теплопередачи 

= 0,69 ккал/м час град. 
 

Список  используемой литературы. 

1. Теплотехника  В. Н. Луканин

 

2. Курс лекций по теплотехнике Скрябин В. И.

 

3. Теплообмен  Цветков Ф. Ф., Григорьев Б.А.

 
 
 
 
 
 
 
 

Контролирующий  тест 
 

  1.Температура плоской стенки при =const ….. 

а) не изменяется 

б) изменяется по линейному  закону 

в) изменяется не по линейному  закону 
 

  2. Плотность теплового потока однослойной стенки первого рода при =const определяется формулой 

а)  

б)  

в)  
 

  3. Величина термического сопротивления определяет характер 

а) изменения теплового  потока 

б) изменения коэффициента теплопроводности 

в) изменения температуры   
 

  4. Для многослойной стенки третьего рода при =const коэффициент теплопроводности определяется формулой 

а) . 

б)

в)  

5.  Для того что  бы увеличить коэффициент теплопередачи  нужно 

а) увеличить наибольшее термическое сопротивление 

б) уменьшить наибольшее термическое сопротивление 

в) увеличить наименьшее термическое сопротивление 
 

    6. Полное термическое сопротивление состоит из: 

 а) двух внутренних  и одного внешнего 

б) двух внешних и  одного внутреннего 

в) трех внешних 
 

   7. Термическим сопротивлением называется 

а) отношение плотности  теплового потока к температурному напору 

б) величина, численно равная отношению разности температур двух изометрических поверхностей к плотности теплового потока в какой-либо точке на одной из этих поверхностей. 

в) называется передача теплоты от горячего теплоносителя к холодному теплоносителю через стенку, разделяющую эти теплоносители. 
 

   8. При параллельном расположении проводников теплоты многослойной стенки первого рода при =const суммарная плотность потока находится  формулой 

а)

б)

в)  

   9. При Тw1>Тw2 тепловой поток имеет знак «минус» это связано с тем что 

а) направление градиента температуры совпадает с положительным направлением х, а тепловой поток направлен в противоположную сторону.  

б) градиент температуры возрастает с уменьшением х, а направление теплового потока совпадает с положительным направлением х 
 

в) градиент температуры уменьшается с возрастанием х, а направление теплового потока совпадает с положительным направлением х 
 

    10. Плотность теплового потока многослойной стенки первого рода при =const определяется формулой 

а)

б)

в)  

11. При 0 температура …. 

а) ограничена одной поверхностью и плотность теплового потока q=0 

б) на поверхности и по всей толщине одинаковая 

 

  12 Отношение внутреннего термического сопротивления стенки к сопротивлению в пограничном слое на ее границах 1/ называется 

а) термическим сопротивлением 

б) критерием краевого объема 

в) тепловым потоком 
 

13 Общее термическое сопротивление многослойной стенки третьего рода при постоянном коэффициенте теплопроводности определяется формулой 

а)

б)  

в)  

     14. Определить плотность теплового, через чугунную стенку толщиной d = 5 мм, если температуры поверхностей t₁ = 120⁰ C и t₂ =100⁰ C. l_чугун = 29 Вт/(м град). 

а) 1.17 *  

б) 0.14 *  

в) 3.45 *  
 

    15. Определить плотность теплового потока через стенку, состоящую из слоя стали (d₁ = 3 мм) и слоя цинка (d₂ = 0,2 мм), если температуры поверхностей стенки t₁ = 80⁰ C и t₂ = 65⁰ C.  l_стали = 38 Вт/(м град), l_цинка =112 Вт/(м град). 

а) 17.9 *  

б) 121.02 *  

в) 1.86  *

  
 

Правильные  ответы на контролирующий тест: 

 
 

Правильные  решения на задачи контролирующего  теста: 

Задача 14.   Определить плотность теплового, через чугунную стенку толщиной d = 5 мм, если температуры поверхностей t₁ = 120⁰ C и t₂ =100⁰ C. l_чугун = 29 Вт/(м град). 

Решение. 

Плотность теплового  потока через плоскую стенку с  заданными температурами на ограничивающих поверхностях равна , где термическое сопротивление стенки

d/ l = ;  . 

Задача 15.   Определить плотность теплового потока через стенку, состоящую из слоя стали (d₁ = 3 мм) и слоя цинка (d₂ = 0,2 мм), если температуры поверхностей стенки t₁ = 80⁰ C и t₂ = 65⁰ C.  l_стали = 38 Вт/(м град), l_цинка =112 Вт/(м град). 

Решение.

  Для заданных  граничных условий первого рода (заданы температуры на ограничивающих  стенку поверхностях) плотность  теплового потока q  определяется как:  

 Для вычисления  температуры на поверхности соприкосновения  нужно записать выражение для  плотности теплового потока в  одном из составляющих стенку  слоев. В это выражение войдет  искомая температура  , а плотность теплового потока нам уже известна (используется тот факт, что в плоской стенке плотность теплового потока не зависит от координаты).