Пифагор Самосский

Содержание

Введение

«Все есть число. Число - есть сущность всех вещей, 

 а организация Вселенной  в ее определениях  

представляет собой  вообще гармоническую

 систему чисел и  их отношений»

Пифагор

Объектная область  исследования  - математика.

Предмет  исследования  - структура таблицы умножения  Пифагора, ее закономерности.

Гипотеза: при условии, что таблица умножения встречается  практически на каждой тетради по математике, мы постоянно используем ее для решения задач и примеров, применяя заученный алгоритм, не вникая в структуру и не задумываясь, не понимая как она устроена. Я хочу выяснить - какие тайны скрыты в ней. Так же провести опрос среди учащихся школы, чтобы понять, знают ли они личность Пифагора, его таблицу умножения  Пифагора.

Задачи  исследования:

1. Узнать о жизни  Пифагора Самосского.
2. Узнать, является ли  таблица умножения его открытием.
3. Познакомиться с одним из открытий  Пифагора.
4. Заинтересовать учеников личностью  Пифагора  и показать важность знания таблицы умножения.

Методы  исследования :

Теоретический: изучить биографию Пифагора , проанализировав книгу А.В. Волошинова, математические энциклопедии, научно-популярную литературу.

Эмпирический: провести опрос учащихся, с целью выявить знания о личности  Пифагора, его открытиях.

Актуальность  исследуемой проблемы:

Эту работу я считаю актуальной потому, что в наше время стали забывать о древних открытиях.

И таким способом я решила напомнить об одном из древних ученых – Пифагоре, его достижениях, открытиях, а именно таблице умножения, показать важность знания таблицы. Ведь это не просто умножение чисел, в ней скрыто много разных тайн.

Таблица умножения это помощь в  получении основных знаний по математике, без которых будет очень сложно освоить такую интересную, но в  тоже время сложную науку - математика.

Я увлекаюсь математикой, поэтому я прочитала биографию  Пифагора, познакомилась с его открытиями, исследовала саму таблицу умножения и рассмотрела ее применение. С чем я вас и познакомлю в своей работе.

1. Биография  Пифагора  Самосского

Пифагор Самосский – великий древнегреческий ученый, который сделал массу фундаментальных открытий, кардинально изменивших наш, сегодняшний мир. Его имя знакомо каждому школьнику. Про жизнь Пифагора достоверно почти ничего неизвестно, но с его именем  связано большое количество  легенд.

Пифагор  родился в VI веке до нашей эры на острове Самос у берегов Малой Азии (Эгейское море). Будущий великий математик и философ уже Пифагор с юного возраста тянулся к знаниям и путешествиям. У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор получает знания основ музыки и живописи. Кроме этого, он уделял большое значение физическим упражнениям, был олимпийским чемпионом по  кулачному бою. В  18  лет он  покинул родной остров и отправился в чужие края.

Он побывал на Востоке в Египте, Вавилоне и Финикии. В самом Египте, он  прожил около 22 лет, где по некоторым данным постигал тайные эзотерические учения жрецов, а так же изучал астрономию, математику и другие науки. Специально для этого Пифагор выучил египетский язык.

Хорошо овладев всеми  науками египтян, в том числе и математикой, он переехал в Вавилон. В  Вавилоне Пифагор попал в  плен персидского царя Камбиза, который завоевал Египет в 525 году до нашей эры. В плену Пифагор встречался с персидскими магами, приобщился к восточной астрологии и мистике, познакомился с учением халдейских мудрецов. Там он прожил 12 лет.

Сбежав из плена, он не смог  долго оставаться на родине из-за  царившей там атмосферы насилия и тирании Поликрата. Ему пришлось покинуть родной город и поселиться в  Южной Италии - городе Кротон. Именно здесь Пифагор стал таким знаменитым, сделал свои открытия.

Вот так Дикеарх (древнегреческий  философ, ученик Аристотеля) описывает  внешность Пифагора: «...он расположил к себе весь город как человек много странствовавший, необыкновенный и  по своей природе богато одаренный судьбою, ибо он обладал величавой внешностью и большой красотой, благородством речи, нрава и всего остального...».

 В Кротоне Пифагору удалось организовать свою школу, которая действовала почти тридцать лет. Школа Пифагора, или, как ее еще называют, пифагорейский союз, была одновременно и философской школой, и политической партией, и религиозным братством. Статут пифагорейского союза был очень суровым. Каждый, кто вступал в него, отказывался от личной собственности в пользу союза, обязывался не проливать крови, не употреблять мясной пищи, беречь тайну учения своего учителя. Членам школы запрещалось обучать других за вознаграждение. Превыше всего пифагорейцы ценили самообладание, смелость и коллективную дисциплину. Пифагор, прежде всего, стремился развить в своих учениках интуицию. Пифагорейцы жили вместе, у них было совместное имущество.

Возникновение школы   Пифагора  оказало большое влияние на становление математики, геометрии, астрономии, философии и другие науки. Заслугой пифагорейцев было выдвижение мысли о количественных закономерностях развития мира, что содействовало развитию математических, физических, астрономических и географических знаний. Они создали именно те основы, которые до сих пор, изучают в школах.

Все свои открытия они считали общим достоянием. Поэтому, все достижения они приписывали  Пифагору, о котором уже при жизни ходили легенды. Кто на самом деле является автором того или иного открытия, неизвестно.

Среди его учеников было много представителей власти и знати. Они попытались изменить законы в соответствии с учениями Пифагора, это привело к  плачевным событиям. Недовольство граждан, не  разделяющих точку зрения пифагорейцев, привело к  кровавым мятежам в Кротоне.

Было убито много людей, а самому Пифагору пришлось бежать. После смерти Пифагора, его ученики организовали в разных городах Великой Греции пифагорейские общества.

Тайны, которые окружают  Пифагора  и его последователей, заставили меня задуматься о простых вещах окружающих нас в повседневной жизни. Многих исследователей интересовала личность  Пифагора.

Например: Доддс считал  Пифагора  «великим греческим шаманом», который, без сомнения, извлек теоретические выводы из своих экстатических опытов и в результате уверовал в метемпсихоз (явление переселения души человека из одного тела в другое).

Наиболее подробно проанализировал все источники легенды  о   Пифагоре  Беркерт (специалист по истории культуры и религии Греции), он указал на то, что основные ее положения вписываются в единый ритуально-мифологический сценарий, характерный, для легендарных персонажей. Легенды  о   Пифагоре  говорят о его связи с богами и духами, приписывают ему власть над животными, сообщают о пребывании одновременно в разных местах. Беркерт объясняет знаменитое «золотое плечо»  Пифагора , сравнивая его с шаманской инициацией. Считалось, что в момент инициации у шаманов Сибири происходило обновление органов, и кости их схватывались железом.

Странствования  Пифагора  сближают его с Эпименидом (древнегреческий философ) и Эмпедоклом (древнегреческий философ, врач, политический деятель), которых Беркерт также считал своеобразными «шаманами». Согласно Иерониму Родосскому,  Пифагор  спускался в Ад и встречался с душами Гомера и Гесиода, наказанными за злословие в адрес богов.

Об исключительной популярности Пифагора свидетельствует моменты  с его изображениям и с надписью «Пифагор», выпущенные в V веке до нашей эры. Это беспрецедентный случай, потому что изображения философов на монетах появляются гораздо позже.

2. Достижения Пифагора

Пифагорейская система  занятий состояла из трех разделов:

1. учения о числах – арифметике;
2. учение о гармонии - музыке;
3. учения о фигурах – геометрии;
4. учения о строении Вселенной – астрономии.

Система образования, заложенная  Пифагором, просуществовала много  веков. Главной считалась арифметика. Именно она лежала в основе и геометрии, и астрономии, и музыки (гармонии).

Пифагорейцы представляли числа как совокупность точек, образующих геометрические конфигурации – наподобие рисунка из камешков на земле. Они рассматривали свойства чисел, между которыми главнейшими были четные, нечетные, четно-нечетные, квадратные и неквадратные, изучали арифметические прогрессии и новые числовые ряды, происходящие от последовательных суммирований их членов.

Мир – множество и  состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности  к единству и соединяет все  в космос, есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых выражениях. Музыка, гармония и числа были неразрывно связаны в учении пифагорейцев. Математика и числовая мистика были фантастически перемешаны в нем.

Между тем в пифагорейской  «математе» именно музыке суждено было стать первым, и, пожалуй, единственным физическим свидетелем, подтверждавшим справедливость пифагорейского тезиса: «все есть число». Именно в музыке впервые была обнаружена таинственная направляющая роль чисел в природе. В свою очередь, родство с арифметикой в пифагорейской «математе» обогатило музыку методами построения её фундамента – музыкальной гаммы, фундамента, на котором и было возведено прекрасное здание искусства музыки. Пифагорейцы обнаружили такие музыкальные интервалы как октава, квинта и кварта, соответствуют звучанию пары одинаково натянутых струн, длины которых находятся в соотношении 1/2, 2/3 и 3/4.

За два с половиной  тысячелетия этот математический фундамент музыки, заложенный пифагорейцами, настолько глубоко «врос в землю», что о его существовании почти забыли.  Ведь без него рухнуло бы все здание музыки.

Начиная с Пифагора теории музыки посвящали глубокие исследования такие прославленные ученые, как Архит и Евклид, Клавдий Птолемей и Северин Боэций, а впоследствии Иоганн Кеплер, Готфрид Лейбниц, Леонард Эйлер. Не всегда эти изыскания приносили желанные плоды (так, о математической теории музыки Эйлера  говорили, что «она слишком музыкальна для математиков и слишком математична для музыкантов»), но всегда они служили развитию как науки математики, так и искусства музыки. И в математике, и в музыке продолжали звучать могучие аккорды, некогда взятые Пифагором.

 Школа Пифагора много сделала, чтобы придать геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой. Пифагор много занимался пропорциями и прогрессиями и, вероятно, подобием фигур, так как ему приписывают решение задачи: «По данным двум фигурам построить третью, равновеликую одной из данных и подобную второй». Пифагор и его ученики ввели понятие о многоугольных, дружественных, совершенных числах и изучали их свойства. Арифметика как практика вычислений не интересовала Пифагора, и он с гордостью заявил, что поставил арифметику выше интересов торговца».

 Пифагор одним из первых считал, что Земля имеет форму шара и является центром Вселенной: ведь нет никаких оснований, что она была смещена или вытянута в какую-то одну сторону. Считал, что мы – не единственные во Вселенной, что Солнце, Луна и планеты имеют собственное движение, отличное от суточного движения неподвижных звезд.

Пифагор утверждал, что Луна светит не собственным светом, а отражает  на Землю солнечный  свет. По предложению советских астрономов именем Пифагора назван кратер на видимой стороне Луны.

Учение пифагорейцев о движении Земли Николай Коперник воспринял как предысторию своего гелиоцентрического учения. Недаром церковь объявила систему Коперника «ложным пифагорейским учением».

Не менее важными оказались идеи Пифагора и для естествознания. Открытие Пифагором закона целочисленных музыкальных отношений, названного немецким физиком и математиком Арнольдом Зоммерфельдом (1868-1951г.г.) первым законом математической физики, явилось одновременно и открытием эвристического (от архимедовой «Эврики» - находить) свойства математики. «Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны» - так писал об этом свойстве математики, открытом Пифагором, современный американский физик лауреат Нобелевской премии в 1963 году Юджин Вигнер.

В школе Пифагора открытия учеников приписывались учителю, поэтому практически невозможно определить, что сделал сам Пифагор, а что его ученики. Споры ведутся вокруг пифагорейского союза уже третье тысячелетие, однако общего мнения так и нет. У пифагорейцев было множество символов и знаков, которые были своего рода заповедями: например, «через весы не шагай», то есть не нарушай справедливости;  «огня ножом не вороши», то есть не задевай гневных людей обидными словами.

Рисунок 1 Пифагорейская звезда

Но главным пифагорейским символом - символом здоровья и опознавательным знаком - была пентаграмма или пифагорейская звезда, звездчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника.

     О смерти самого Пифагора ходило много самых разных легенд. Но учение Пифагора и его учеников продолжало жить.

3. Структура таблицы умножения  Пифагора 

В третьем классе мы изучали таблицу  Пифагора, не вдаваясь в подробности, как она построена, кто ее изобрел и какие еще тайны она в себе хранит. Поэтому меня заинтересовало одно из открытий  Пифагора  - таблица умножения.

Впервые таблица  Пифагора  примерно в таком же виде, каком мы ее находим на обложках ученических тетрадей. Мало кто знает, что этот незамысловатый набор натуральных чисел, таит в себе много интересных закономерностей и удивительных свойств.

Числа в каждой строке таблицы  Пифагора  образуют последовательность чисел составленных определенным образом. Умножение натуральных чисел есть не что иное, как многократное прибавление к сумме одного и того же слагаемого. Таблица  Пифагора  симметрична относительно диагонали, ведущей из левого верхнего угла в правый нижний. Данное свойство – геометрическая иллюстрация свойства умножения (рис.2).

Рисунок 2  Таблица умножения Пифагора

Рассмотрим некоторые факты:

1) Для произвольных двух цифр А и В последняя цифра произведения АВ равна последней цифре произведения (10-А) × (10-В), так как разность чисел АВ и (10-А) × (10-В) делится на 10. Например: 4×6=24 и (10-4)×(10-6)=6×4=24

2) На главной диагонали  таблицы Пифагора стоят только  квадратные числа (рис.3).

Рисунок 3   Таблица умножения Пифагора

Если рассмотреть квадрат, диагональ которого лежит на главной  диагонали таблицы Пифагора, то сумма  четырех чисел, расположенных в  вершинах этого квадрата тоже квадратное число.

Например, 25+40+40+64=169=13².

3. Раскрасим клетки таблицы Пифагора в шахматном порядке (рис.4).

Рисунок 4   Таблица умножения Пифагора

 Рассмотрим все  возможные пары чисел, в которых  первым взято какое-либо число  главной диагонали, а вторым  – одно из чисел, взятых на «желтой»  линии клеток, перпендикулярной к главной диагонали. Интересно то, что разность чисел в каждой такой паре – квадратное число. Например, в одной из пар – (36; 27) разность равна 36 – 27 = 9 =3². 

В российских школах таблица умножения традиционно доходит до 10×10. В Великобритании до 12×12, что связано, в том числе с единицами английской системе мер длины (1фут (Foot) = 12 дюймов) и денежного обращения, существовавшего до 1971 года (1 фунт стерлингов = 20 шиллингам, 1 шиллинг = 12 пенсам).

Заключение

Таким образом, я узнала много нового из жизни  Пифагора и о его  исследованиях. Интересно было узнать, что в сферу интересов членов школы Пифагора входили научные  исследования  – религиозные и философские изыскания, политическая деятельность. Пифагорейцы вели суровый образ жизни, превыше всего ценили самообладание, смелость и коллективную дисциплину, все свои  открытия  они  считали  общим  достоянием.

Гениальные идеи Пифагора, предвосхитившие эвристическую роль математики в познании окружающего мира, укрепили у последующих поколений веру в могущество человеческого разума, убежденность в познаваемости природы, они послужили отправной точкой для многих блестящих самостоятельных учений, подаренных греками.

Школа Пифагора сыграла большую роль в усовершенствовании научных методов разрешения математических проблем: в математику твердо вошло положение о необходимости строгих доказательств, что и придало ей  значение  особой науки. Заслугой пифагорейцев было заложение основ развития математических, физических, астрономических и географических знаний, которые изучают в наше время в школах:

- Арифметика – в основе вещей лежит число, учил  Пифагор, познать мир - значит познать управляющие им числа. Изучая числа, они разработали числовые отношения, и нашли их во всех науках – математике, геометрии,  музыке, астрономии, физике.

- Музыка - Пифагор был не только математиком и философом, но и теоретиком музыки. Пифагорейцы обнаружили такие музыкальные интервалы как октава, квинта и кварта, соответствуют звучанию пары одинаково натянутых струн.

- Геометрия - знаменитая  и всеми любимая теорема Пифагора плюс построение некоторых многоугольников и многогранников.

- Астрономия – Пифагор одним из первых высказал гипотезу о шарообразной форме Земли. Считал, что Солнце, Луна и планеты имеют собственное движение, отличное от суточного движения неподвижных звезд.

Не менее важными  оказались идеи Пифагора и для  естествознания. Открытие Пифагором  закона целочисленных музыкальных  отношений, первого закона математической физики, явилось одновременно и открытием  эвристического (от архимедовой «Эврики» - находить) свойства математики, позволяющее делать открытия «на кончике пера», со времен Пифагора вызывает восторженный трепет у ученых.

Вот так восторженно писал об этом свойстве математики, современный американский физик лауреат Нобелевской премии в 1963 году Юджин Вигнер: «Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны».

В новое время благодаря  бурному развитию естествознания, астрономии и математики идеи Пифагора о мировой гармонии обретают новых поклонников. Великие Николай Коперник (1473-1543г.г.) и Иоганн Кеплер (1571-1630г.г.), знаменитый художник и геометр Дюрер (1471-1528г.г.), гениальный Леонардо да Винчи (1452-1519г.г.), английский астроном Эддингтон (1882-1944г.г.).

Одним из самых значительных открытий Пифагора является таблица умножения, так как в ней зашифрован закон гармонии развития числовой основы вселенной, как единой целой. Кроме всего уже сказанного, можно сказать, что таблица умножения величайшее в мире «НОУ-ХАУ».

Проведя опрос среди  учащихся нашей школы, я сделала следующие выводы, что большинство знает биографию ученого, основные открытия  Пифагора, а именно таблицу умножения.

Я считаю, что данная работа поможет учащимся узнать много нового о жизни  Пифагора.

Список литературы

1. Аннаева Л. Золотые законы и нравственные правила Пифагора. Афоризмы и высказывания/Амрита-Русь, 2011.
2. Волошинов А.В. Пифагор/Москва-Просвещение,1993.
3. Ламин, А.С. Античная философия / СПб.: Триада-С, 2006. 
4. Интересные факты о Пифагоре //www.funfacts.ru.
5. Триумф и забвение способа Пифагора //www.numbernautics.ru