Плоскости и прямые в пространстве

Уравнение плоскости, проходящей через  данную точку, перпендикулярно заданному  вектору и определение нормального  вектора плоскости. Общее уравнение  плоскости. Алгебраическое представление  плоскости.

 

О п р е д е л е н и е: Общим уравнением плоскости называется линейное уравнение первой степени относительно трех переменных: , и т.е. уравнение вида

 

 

(1.1)

 

Коэффициенты при , и являются координатами вектора, который перпендикулярен плоскости.

 

О п р е д е л е н и е: Всякий вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости.

 

Если известна фиксированная  точка , лежащая в данной плоскости, и вектор, перпендикулярный данной плоскости, то уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору, имеет вид

 

 

(1.2)

 

Покажем, что уравнение  является общим уравнением плоскости. Для этого раскроем скобки и соберем  в скобки свободный член:

 

 

 

Обозначив , получим уравнение .

З а д а ч а: Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору, если .

Решение. Найдем нормальный вектор плоскости :

.

Для нахождения уравнения  плоскости используем уравнение :

 

Ответ:  .

З а д а ч а: Составить уравнение плоскости, проходящей через точку  , перпендикулярно оси .

Решение. В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять любой вектор, лежащий на оси , например, , тогда уравнение плоскости:

 

Ответ:

Особенности расположения плоскости  относительно декартовой системы координат  и их аналитические условия.

 

Вид уравнения	Геометрическая иллюстрация	Вид уравнения	Геометрическая иллюстрация
	плоскость пересекает оси , ,		плоскость проходит через начало координат
	плоскость || оси		плоскость || оси
	плоскость || оси		плоскость || плоскости
	плоскость || плоскости		плоскость || плоскости

 

 

Уравнение плоскости, проходящей через  три точки, не принадлежащей одной  прямой. Уравнение плоскости в  отрезках.

 

О п р е д е л е н и е: Рассмотрим общее уравнение плоскости

 

Перенесем свободный член в правую часть  уравнения и разделим обе части  уравнения на .

 

Обозначив , получим уравнение плоскости в отрезках

 

где , , – это отрезки, которые отсекает плоскость от координатных осей.

З а д а ч а: Найти точки пересечения плоскости с осями координат.

Решение. Приведем уравнение плоскости к уравнению в отрезках:

 

Тогда координаты точек ,, .

Ответ: ,, .

 

Уравнение плоскости, проходящей через  три точки

Даны три точки 

 

не лежащие на одной прямой. Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Из геометрии известно, что такая плоскость существует и единственная. Так как она проходит через точку , то ее уравнение имеет вид

 

где , , одновременно не равны нулю. Так как она проходит еще через точки то должны выполняться условия:

 

 

Составим однородную линейную систему уравнений относительно  неизвестных , , :

 

 

 

Здесь есть произвольная точка, удовлетворяющая уравнению плоскости. В силу того, что системе удовлетворяет нетривиальный вектор , то определитель этой системы равен нулю

 

Мы получили уравнение  плоскости, в чем легко убедиться, разложив полученный определитель по элементам первой строки. При этом эта плоскость проходит через точки что вытекает из свойств определителя

 

З а д а ч а: Найти уравнение плоскости проходящей через три заданные точки

Решение. Возьмем произвольную точку принадлежащую плоскости, уравнение которой нам необходимо найти.

 

Найдем  определитель нашей матрицы, это  и будет ответом нашей задачи.

 

Ответ:

 

Уравнение плоскости проходящей через данную точку, параллельно двум неколлинеарным векторам. Параметрическое уравнение плоскости. Определение параметров точки на плоскости.

 

Пусть задана точка  и два неколлинеарных вектора и . Существует единственная плоскость, проходящая через заданную точку и параллельная векторам и .

 

О п р е д е л  е н и е: Множество радиусов-векторов точек плоскости представимо в виде

 

 

(4.1)

 

, где  – радиус-вектор заданной точки , и являются параметрами. Такое представление плоскости называется параметрическим уравнением плоскости.

 

Зная радиус-вектор точки принадлежащей плоскости можно установить параметры и . Для этого достаточно решить уравнение (4.1)

 

Для того, чтобы найти общее уравнения плоскости, проходящей через точку, параллельно двум неколлинеарным векторам, воспользуемся векторным произведением двух векторов. Найдем нормаль искомой плоскости

 

 

 

Зная нормальный вектор плоскости  и точку принадлежащую искомой плоскости можно найти уравнение.

 

 

 

З а д а ч а: Найти уравнение плоскости параллельной двум векторам и проходящей через точку

 

Решение. Найдем нормальный вектор искомой плоскости. Для этого воспользуемся векторным произведением двух векторов.

 

 

 

Уравнение плоскости, имеющей  нормаль  и проходящей через точку , будет иметь вид

 

 

Ответ:

 

Уравнение плоскости, проходящей через две точки, параллельно данному вектору.

 

Для решения задач нахождения уравнения плоскости, где задаются две точки , и параллельный к нему вектор , достаточно определить вектор . И задача сводится к тому, чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельно двум неколлинеарным векторам и .

 

З а д а ч а: Найти уравнение плоскости параллельной вектору и проходящей через две точки , .

 

Решение. Вычислим вектор

 

 

 

Найдем нормальный вектор искомой плоскости. Для этого  воспользуемся векторным произведением  двух векторов.

 

 

 

Уравнение плоскости, имеющей  нормаль  и проходящей через точку , будет иметь вид

 

 

Ответ:

 

 

З а д а ч а: Найти уравнение плоскости параллельной вектору и проходящей через две точки , .

 

Решение. Вычислим вектор

 

 

 

Найдем нормальный вектор искомой плоскости. Для этого  воспользуемся векторным произведением  двух векторов.

 

 

 

Уравнение плоскости, имеющей  нормаль  и проходящей через точку , будет иметь вид

 

 

Ответ:

Определение и формула вычисления угла между двумя плоскостями. Аналитические  условия параллельности. Совпадения и перпендикулярности двух плоскостей.

 

Две пересекающиеся плоскости  образуют две пары равных между собой  двугранных углов:

 

Величина двугранного  угла измеряется величиной соответствующего линейного угла.

Чтобы построить  линейный угол двугранного угла, нужно  взять на линии пересечения плоскостей произвольную точку, и в каждой плоскости  провести к этой точке луч перпендикулярно линии пересечения плоскостей. Угол, образованный этими лучами и есть линейный угол двугранного угла:

Величиной угла между плоскостями  называется величина меньшего двугранного  угла.

Пусть наши плоскости  и заданы уравнениями:

 

 

Косинус угла между плоскостями находится по такой формуле:

 

(6.1)

Если плоскости  параллельны, , а если , то плоскости перпендикулярны. Совпадение плоскостей возможно тогда и только тогда, когда существует число такое, что

 

 

 

 

З а д а ч а: Найти острый угол между двумя плоскостями и

 

 

Воспользуемся формулой (6.1) и вычислим угол

 

 

 

Ответ:

 

Аналитическое условие пересечения, параллельности и совпадения двух плоскостей, основанные на теореме Кронекера-Капелли.

 

Т е о р е м а Кронекера-Капелли: Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

 

Пусть наши плоскости  и заданы уравнениями:

 

 

Представим уравнения  в виде системы линейных уравнений.

 

 

,где , и являются переменными.

 

По теореме Кронекера-Капелли, если ранг расширенной матрицы не совпадает с рангом основной матрицы, то значит, что нет решений данной системы, что означает плоскости и параллельны.

 

Если ранги совпадают  и равны 1, то значит, что плоскости  и совпадают.

 

В противном случае, если ранги равны 2, то плоскости  и пересекаются.

 

З а д а ч а: Определить взаимное расположение плоскостей и

 

 

Решение: Представим уравнения в виде системы линейных уравнений.

 

Основная матрица

 

 

Расширенная матрица

 

 

 

Ответ: Совпадают

 

Правило вычисления расстояния от точки  до плоскости. Правило вычисления расстояния между параллельными плоскостями.

 

Расстояние  от точки до плоскости — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Если  задано уравнение плоскости 

 

, то  расстояние от точки  до плоскости можно найти, используя следующую формулу

 

Расстояние  от точки  до плоскости - это, по определению, длина перпендикуляра , опущенного из точки на плоскость.

Вектор  и нормальный вектор плоскости параллельны, то есть угол между ними равен 0 или , если вектор имеет направление противоположное, указанному на рис. Поэтому

 

Из  этого следует

 

Координаты  точки , которые нам неизвестны, обозначим , , . Тогда

 

Так как получим

 

 

 

 

 

З а д а ч а: Найти расстояние между плоскостью

 

и точкой

Решение: Подставим в формулу коэффициенты плоскости и координаты точки

 

Ответ:

 

Каноническое уравнение прямой в пространстве. Определение направляющего вектора прямой. Уравнения прямой в пространстве. Определение параметра точки на прямой.

 

Пусть прямая проходит через точку и параллельна вектору . Составим уравнение этой прямой.

 

Возьмем произвольную точку  на этой прямой и найдем зависимость между . Построим вектор

 

 

 

Векторы и должны быть коллинеарны. Из этого выводится

 

 

(9.1)

 

такой вид представления  прямой называется каноническим уравнением прямой в пространстве.

 

О п р е д е л е н и е: Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.

 

Пусть радиус-вектор точки . Радиус-вектор произвольной точки прямой можно представить в виде

 

 

(9.2)

 

Разложив это уравнение  по координатам получим

 

 

 

 

(9.3)

 

Такой вид равнения называется параметрическим уравнением прямой.

 

Если прямая задана точкой и параллельным вектором , то для любой точки этой прямой существует однозначное определенное число такое, что удовлетворяет уравнение (9.3)

 

 

 

 

 

З а д а ч а: Составить канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору.

 

Решение: Подставим в формулу коэффициенты вектора и координаты точки

 

Канонические уравнения  прямой составим по формуле (9.1)

 

 

 

 

 

Ответ:

 

З а д а ч а: Составить параметрические уравнения прямой по точке и направляющему вектору.

 

Решение: Подставим в формулу коэффициенты вектора и координаты точки

 

Параметрические уравнения прямой составим по формуле (9.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

З а д а ч а: Составить параметрические уравнения прямой по двум точкам и .

 

Решение: Направляющим вектором для нашей прямой будет вектор

 

 

 

Параметрические уравнения прямой составим по формуле (9.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

Общее уравнение прямой в пространстве. Правило приведения общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду.

 

Линия в трехмерном пространстве определяется, вообще говоря, пересечением двух поверхностей, т.е. описывается  системой двух уравнений.

 

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию  пересечения двух плоскостей и, следовательно, описывать системой двух линейных уравнений

 

 

 

при условии, что эти плоскости  непараллельные, т.е. их нормальные векторы  и неколлинеарные.

 

Эта система уравнений  называется общими уравнениями прямой в пространстве.

 

Недостатком задания прямой общими уравнениями является то, что  по их виду ничего нельзя сказать о  расположении прямой в пространстве. При решении задач удобнее  использовать другие, более наглядные  формы записи уравнений прямой –  параметрические или канонические уравнения.

 

Направляющий вектор прямой будет перпендикулярным нормалям плоскостей. Значит, направляющий вектор можно найти с помощью векторного произведения.

 

 

 

З а д а ч а: Записать канонические уравнения прямой

 

Решение:

1) Найдем  одно из решений системы. Так  как  , то этот минор можно выбрать в качестве базисного минора матрицы системы. Следовательно, переменные и можем выбрать в качестве базисных, а переменную – свободной. Так как нам не нужно все множество решений системы, то придадим переменной конкретное значение. Например, полагаем . Тогда переменные   и будут удовлетворять системе

Решаем эту систему  по формулам Крамера и получаем:

, , ;

  , .

Таким образом, – одно из решений системы, и точка – точка на рассматриваемой прямой.

2) Найдем  направляющий вектор    прямой.  Имеем:

,     ;

  .

Следовательно, в качестве направляющего  вектора прямой можем взять вектор  ,  и канонические уравнения рассматриваемой прямой будут иметь вид:

.

 

Ответ:

 

Аналитические условия скрещивающихся, пересекающихся, параллельных и совпадающих двух прямых в пространстве. Аналитическое условие принадлежности двух прямых одной плоскости.

 

Пусть даны две прямые и с направляющими и соответственно и две точки и лежащие на прямых соответственно.

 

О п р е д е л е н и е: Две прямые в пространстве параллельны, если лежать на одной плоскости и не имеют общих точек.

 

Из определения направляющего  вектора прямой известно, что .

 

,

 

 

 

О п р е д е л е н и е: Две прямые в пространстве совпадают, если направляющие параллельны и вектор построенный из любых двух точек параллельна направляющим.

 

 

 

О п р е д е л е н и е: Две прямые в пространстве пересекаются, , если лежать на одной плоскости и не параллельны и не совпадают.

 

 

 

О п р е д е л е н и е: Две прямые в пространстве скрещиваются, если не существует плоскости, их содержащей. Иначе говоря, две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными.

 

З а д а ч а: Выяснить взаимное расположение плоскостей

 

:       и     : 

 

Решение:

Векторы    и   параллельны. Следовательно прямые параллельны.

 

Ответ: параллельны.

 

З а д а ч а: Выяснить взаимное расположение плоскостей

 

:       и     : 

Решение:

Направляющие векторы  не параллельны и ( , ,) = 0

Ответ: пересекаются.

 

Определение и формула вычисления угла между двумя скрещивающимися  прямыми. Аналитическое условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

 

О п р е д е л е н и е: Углом между двумя скрещивающимися прямыми и называется угол между прямой и прямой , где произвольная прямая удовлетворяющая условиям и , лежат на одной плоскости.

 

Иначе говоря, угол между  скрещивающимися прямыми – это  угол между двумя пересекающимися  прямыми, параллельными данным

 

Пусть даны две пересекающиеся или скрещивающиеся прямые:

 

 

 

 

 

Так как один из углов между прямыми равен углу между их направляющими векторами, а второй угол ,  то углы могут быть найдены по формуле

 

 

(12.1)

 

где знак плюс берется в  том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус –  когда надо найти величину тупого угла.

 

Две прямые параллельны если или . Это означает, что угол между прямыми равна 0, либо 180 градусам.

 

Две прямые перпендикулярны если . Это означает, что угол между прямыми равна 90 градусам.

 

З а д а ч а: Найти угол между прямыми:

 

 

 

 

 

Решение: Воспользуемся формулой (12.1) и найдем острый угол между прямыми.

 

 

 

 

Ответ:

 

Формула вычисления расстояния от точки  до прямой и между двумя параллельными прямыми в пространстве.

 

Пусть дана прямая

 

 

 

и – точка, не принадлежащая этой прямой. Обозначим – направляющий вектор прямой , – точка на прямой , – расстояние от точки до .

Рассмотрим параллелограмм, построенный  на векторах и . Тогда – высота этого параллелограмма, опущенная из вершины . Следовательно,

 

 

Для нахождения расстояния между двумя  параллельными прямыми достаточно найти расстояние от любой точки  одной прямой до другой прямой.

 

 

 

 

 

 

 

З а д а ч а: Найти расстояние от точки до прямой

 

 

Решение: Из условия задачи имеем , . Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

Формула вычисления расстояния между  двумя скрещивающимися прямыми.

 

О п р е д е л е н и е: Расстоянием  между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

 

Пусть даны две скрещивающиеся прямые

 

 

 

 

 

и – расстояние между

 

 

и  – расстояние между    и . 

Построим  плоскость  , проходящую через прямую параллельно .  Тогда   – расстояние от прямой    до плоскости .  Найти это расстояние можно по формуле:

,

где  – общее уравнение плоскости  , 

 – любая точка на прямой  .