Понятие простых и сложных процентов

     Реферат 

     Понятие простых и сложных процентов 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Содержание 

Введение………………………………………………………………………3

Глава 1. Простые проценты………………………………………………….5

       1.1. Понятие процентов……………………………………………….....5

       1.2. Наращение по простым процентным ставкам………………….....7

       1.3. Дисконтирование по простым процентным ставкам…………….10

Глава 2. Сложные проценты………………………………………………..14

       2.1. Начисление сложных процентов …………………………………14

       2.2. Наращение по сложной процентной ставке……………………...16

       2.3. Дисконтирование по сложной процентной ставке………………17

Заключение…………………………………………………………………..19

Список  литературы………………………………………………………….20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Введение 

     Выбранная мною тема является весьма актуальной, т.к. знание методов количественного анализа финансовых операций, которые используются в деятельности финансистов, бухгалтеров, экономистов, банкиров, необходимы при подготовке специалистов экономического профиля. Даже в таких вопросах как планирование семейного бюджета или выгодное вложение денег в банки нужно уметь правильно применить проценты.

     С позиций финансового менеджмента  использование сложных процентов является более предпочтительным, т.к. признание возможности собственника в любой момент инвестировать свои средства с целью получения дохода является краеугольным камнем всей финансовой теории. При использовании простых процентов эта возможность часто не учитывается, поэтому результаты вычислений получаются менее корректными.

     Тем не менее, для краткосрочных (продолжительностью менее года) финансовых операций чаще всего используется метод простых процентов. Тому есть несколько причин:

     1. Во-первых, и ещё несколько десятилетий  назад это было достаточно  актуально, расчёты с применением  метода простых процентов намного проще, чем расчёты с применением метода сложных процентов.

     2. Во-вторых, при небольших процентных  ставках (в пределах 30%) и небольших  промежутках времени (в пределах  одного года) результаты, полученные с помощью метода простых процентов, довольно близки к результатам, полученным с применением метода сложных процентов (расхождение в пределах 1%).

     3. В-третьих, задолженность, найденная  с помощью метода простых процентов  для промежутка времени меньше  года, всегда больше, чем задолженность, найденная с применением метода сложных процентов. Так как правила игры всегда диктует кредитор, то понятно, что в таком случае он выберет первый метод.

     Краткосрочные операции (продолжительностью менее  года) составляют основную массу всех финансовых операций. Почему? Потому что долгосрочные кредиты, погашаемые по частям раз в месяц или раз в квартал (или даже раз в полугодие) — это не одна большая финансовая операция, а совокупность большого числа непродолжительных операций (длиною в месяц, квартал или полугодие). Именно поэтому в России для начисления процентов по любым кредитам используется метод простых процентов.

     Основные  цели работы – изложить приемы финансовых расчетов на основе известных математических формул, в частности, - простых и  сложных процентов.

     Объектом  исследования курсовой работы являются простые и сложные проценты, а предметом – их начисление, наращение , дисконтирование.

     Предмет и цель курсовой обусловили следующие  задачи исследования:

• Рассмотреть основные понятие процентов, их виды;
• Изучить основу наращения по сложным и простым процентным  ставкам;
• Изучить как происходит дисконтирование по сложным и простым процентным  ставкам .

     Глава 1. Простые проценты

     1.1. Понятие процентов

       Под процентными деньгами или  процентами, понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигации и т.д.

     Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода зафиксированный отрезок времени — отношение дохода (процентных денег) к сумме долга. Она измеряется в виде десятичной или обыкновенной дроби или в процентах. При выполнении расчетов процентные ставки обычно измеряются в десятичных дробях.

     В финансовом анализе процентная ставка применяется как измеритель степени  доходности (эффективности) любой финансовой, кредитной, инвестиционной или коммерческо-хозяйственной деятельности вне зависимости от того, имел место или нет факт непосредственного инвестирования денежных средств и процесс их наращения.

     Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления. В качестве такого периода принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками.

     Проценты  согласно договоренности между кредитором и заемщиком выплачиваются по мере их начисления или присоединяются к основной сумме долга (капитализация процентов).

     Процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов называют наращением, или ростом, этой суммы. В этом случае процентные ставки называют ставками наращения.

     С экономической точки зрения  процент  представляет собой плату за использование  денежных средств одного лица (кредитора) другим лицом (заемщиком, дебитором), выраженную в сотых долях от исходной суммы.

        Основная единица времени (год, квартал, месяц, день) называется базовой.

          Временной интервал, в конце (а иногда - в начале) которого начисляются проценты за этот интервал, называется конверсионным периодом или  периодом начисления.

         Если длина конверсионного периода совпадает с базовой единицей времени, то соответствующая процентная ставка называется эффективной. Кредитор является инвестором, а предоставленные им заемщику средства - капиталом.

       При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки. Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени.

     При дисконтировании (сокращении) сумма  денег, относящаяся к будущему, уменьшается на величину соответствующего дисконта (скидки). Соответственно говорят, что применяют дисконтные, или учетные ставки.

     В финансовой литературе проценты, полученные по ставке наращения, принято называть декурсивными, по учетной ставке — антисипативными.

     Для начисления простых процентов применяют  постоянную базу начисления. Когда за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования, используют сложные процентные ставки. В этом случае база начисления последовательно изменяется, то есть проценты начисляются на проценты.

     Процентные  ставки могут быть фиксированными (в  контракте указываются их размеры) или плавающими. В последнем случае указывается не сама ставка, а изменяющаяся во времени база (базовая ставка) и размер надбавки к ней — маржи. Размер маржи определяется рядом условий, финансовым положением заемщика, сроком кредита и т.д. Она может быть постоянной или переменной на протяжении срока ссудной операции.

     При последовательном погашении задолженности  возможны два способа начисления процентов. Согласно первому процентная ставка (простая или сложная) применяется к фактической сумме долга. При втором способе, который применяется в потребительском кредите, простые проценты начисляются сразу на всю сумму долга без учета последовательного его погашения.

     В практических расчетах применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные интервалы времени (год, полугодие и т.д.).

     Если  наращение или дисконтирование  производится непрерывно, за бесконечно малые промежутки времени, применяют  непрерывные проценты. Они используются в аналитических и теоретических  финансовых расчетах. 

     1.2.Наращение  по простым процентным ставкам 

     Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока начисления.

     Обозначим:

     I — проценты за весь срок  ссуды;

     P — первоначальная сумма долга;

     S — наращенная сумма, т. е.  сумма в конце срока;

     i — ставка наращения процентов  в виде десятичной дроби;

     n — срок ссуды.

     Начисленные за весь срок проценты составят    

     I=Pni

     Наращенная  сумма представляет собой сумму  первоначальной суммы и наращенных процентов:

     S = P + I = P + Pni = P(1+ ni)                              (1.1)

     Выражение (1.1) называют формулой простых процентов.

     Выражение (1+ ni) называется множителем наращения простых процентов, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной.

     График  роста по простым процентам представлен  на рис. 1. 

     Рис. 1. График роста по простым процентам

     Рассмотрим  случай, когда срок ссуды величина дробная. Срок n можно представить  в виде дроби:

     где t — число дней ссуды, К — число  дней в году, или временная база начисления процентов.

     При расчете процентов применяют  две временные базы.

     Если  К = 360 дней, то получают обыкновенные или  коммерческие проценты, а при использовании действительной продолжительности года (365, 366 дней) рассчитывают точные проценты.

     Число дней ссуды берут приближенно  и точно. При приближенном числе  дней число дней в месяце берут  равным 30дням.

     Точное  число дней ссуды определяется путем  подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения.

     В соответствии с ГК РФ (п.1 ст.839 Гражданского Кодекса РФ) дни открытия и закрытия вкладов не включаются в число дней, используемых для начисления процентов.

     На  практике применяются три варианта расчета простых процентов.

     1. Точные проценты с точным числом  дней ссуды (обозначается 365/365 или АСТ/АСТ). Применяется центральными банками и крупными коммерческими банками в Великобритании, США, дает самые точные результаты.

     2. Обыкновенные проценты с точным  числом дней ссуды (365/360 или АСТ/360). Этот метод, иногда называемый банковским, распространен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков, в внутристрановых — во Франции, Бельгии, Швейцарии. Дает несколько больший результат, чем применение точных процентов.

     3. Обыкновенные проценты с приближенным  числом дней ссуды

     (360/360). Такой метод принят в практике  коммерческих банков Германии, Швеции, Дании. Применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах.

     В кредитных соглашениях иногда предусматриваются  изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется:

     где i — ставка простых процентов в периоде — продолжительность периода с постоянной ставкой, 

     В практике при инвестировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока, то есть происходит реинвестирование средств, полученных на каждом этапе наращения, с помощью постоянной или переменной ставок. Наращенная сумма для всего срока составит

                                      (1.2)

     Где i ,i ,…i — размер ставок, по которым производится реинвестирование.

     Если  промежуточные сроки начисления и ставки не изменяются во времени, то вместо (1.2) имеем

     S= P (1+ ni)

     где m — количество повторений реинвестирования. 

     1.3.Дисконтирование  по простым процентным ставкам 

     В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды Р. Расчет Р по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче кредита, ссуды. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты, т.е. разность D = S – P — дисконтом или скидкой. Необходимость дисконтирования возникает, например, при покупке векселей и других краткосрочных обязательств.

     Дисконтирование можно рассматривать как определение  любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на более ранний момент времени.

     Этот  прием называют приведением стоимостного показателя к некоторому, обычно начальному, моменту времени. Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, называют современной стоимостью, или современной величиной будущего платежа S, а иногда — текущей, или капитализированной, стоимостью.

     В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования — математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае применяется ставка наращения, во втором — учетная ставка.

     Математическое  дисконтирование представляет собой нахождение первоначальной суммы по наращенной. То есть из формулы

     S= P(1+ ni)

     находим P:

     Установленная таким путем величина Р является современной величиной суммы S, которая будет выплачена спустя n лет.

     Дробь называют дисконтным, или дисконтирующим, множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме.

     При банковском учете банк или другое финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. Владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги ранее указанного на нем срока.

     Вексель - это ценная бумага, представляющая собой долговую расписку, выполненную в соответствии с требованиями законодательства, то есть на бланке, содержащем наименование, указание срока платежа, места, в котором должен быть совершен платеж, наименование того, кому платеж должен быть совершен, дата и место составления векселя, подпись векселедателя. Выделяют два основных вида векселя – простые и переводные.

     Простой вексель – это документ, удостоверяющий безусловное денежное обязательство векселедателя уплатить по наступлению срока обязательства определенную сумму владельцу векселя.

     Переводной  вексель (тратта) – документ, который  выписывается заемщиком (векселедателем) и представляет собой особый приказ непосредственному плательщику (обычно банку) об уплате в указанный срок суммы денег третьему лицу (векселедержателю).

     При учете векселя применяется банковский, или коммерческий, учет. Согласно этому  методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d.

     Размер  дисконта, или суммы учета, равен  Snd; если d — годовая учетная ставка, то n измеряется в годах. Таким образом,

     P= S- Snd = S( 1- nd)                             (1.4.)

     где n — срок от момента учета до даты погашения векселя.

     Дисконтный  множитель равен (1- nd) .

     Учет  посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе К = 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным, АСТ/360.

     Необходимые для расчета продолжительности  ссуды в годах и днях формулы  получим из формул (1.1) и (1.4) относительно n.

     Срок  в годах:

     Срок  в днях, учитывая, что n=t/ K , где К- временная база:

     В потребительском кредите проценты, как правило, начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу уже в момент открытия кредита.

     Погашение долга с процентами производится частями, обычно равными суммами на протяжении всего срока кредита. Таким образом, наращенная сумма на весь срок равна:

     S= P( 1+ ni)

     величина  разового погасительного платежа составит:

     R =

     где n — срок кредита в годах, m — число платежей в году.

     В связи с тем, что проценты здесь  начисляются на первоначальную сумму  долга, а его фактическая величина систематически уменьшается во времени, действительная стоимость кредита заметно превышает договорную процентную ставку.

     На  практике возникают случаи, когда  необходимо заменить одно денежное обязательство другим, например, с более отдаленным сроком платежа, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т.п. Возникает вопрос о финансовой эквивалентности обязательств.

     Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи приведенными к одному моменту времени, оказываются равными. То есть две суммы S1 и S2, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы. 
 
 
 
 
 

     Глава 2. Сложные проценты

     2.1. Начисление сложных процентов 

     Если  проценты не выплачиваются сразу  после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты. Присоединение начисленных процентов к сумме базы начисления называют капитализацией процентов.

     Применим  те же обозначения, что и в формуле  наращения по простым процентам.

     В конце первого года проценты равны  величине Рi, а наращенная сумма составит Р + Рi = Р(1 + i). К концу второго года она достигнет величины Р(1 + i)+ Р(1 + i)i = Р(1 + i) и т.д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна:

     S = Р(1 + i)                               (2.1.)

     Проценты  за этот срок:

     I= S – P = P[( 1+ i) -1]

     Величину  (1 + i)   называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов.

     Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как АСТ/АСТ. Если в контракте ставка процентов  изменяется, то применяют формулу:

     где i ,i ,…,i — последовательные значения ставок; n ,n ,…,n - периоды для соответствующих ставок.

     Часто для начисления процентов срок не является целым числом. Применяют три метода начисления процентов.

     1. Наращенная сумма находится по  формуле:

     S= P( 1 + i) ( 1+ i)

     где n - целая часть периода начисления, n – дробная часть периода начисления.

     2. Предполагает начисление процентов  за целое число лет по формуле  сложных процентов и за дробную  часть срока по формуле простых  процентов:

     S=P(1+i) (1+n i)

     3. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается:

     S = P ( 1+ i)

     Для того чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения.

     При одинаковых уровнях процентных ставок соотношения этих множителей  существенно зависят от срока. При п > 1 с увеличением срока различие в простых и сложных процентов увеличивается. Соотношение множителей наращения представлено на рис. 3.

     Рис. 3. Соотношение множителей наращения  по простым и сложным процентам

На основе формул для простых и сложных  процентов

S = P + I = P + Pni = P(1+ ni) ,

S = Р(1 + i)

получим следующие формулы удвоения:

• удвоение по простым процентам:

     2 = 1+ ni => n =

• удвоение по сложным процентам:

     n= =

     При работе со сложными процентами применяют  правило 72: если процентная ставка есть i, то удвоение капитала происходит примерно за 72/ i лет.

     Например, при ставке в 12% удвоение капитала происходит через 6 лет. 

     2.2. Наращение процентов m раз в  году.

     Номинальная и эффективная ставки 

     В современных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько  раз в году — по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневное начисление процентов.

     Пусть годовая ставка равна j, число периодов начисления в году — m. Каждый раз  проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной.

     Формула наращения:

     где N=nm — общее количество периодов начисления.