Понятие вариации, ее значение

. Понятие вариации, ее  значение

Краткое определение вариации приводится в Лекции 1. Здесь же подробнее  рассматривается понятие вариации и значение ее для общественных явлений.

Вариация – это принятие единицами совокупности или их группами различных, отличающихся друг от друга, значений признака. Вариация является результатом воздействия на единицы  совокупности множества факторов[1]. Синонимами термина «вариация» являются понятия «изменение», «изменчивость», «вариативность», и в дальнейшем они будут употребляться как  тождественные.

Вариация является одной  из важнейших категорий, применяемых  в статистической науке. Явления, подверженные вариации лежат в области исследования статистической науки, в то время  как явления неизменные, статичные, постоянные в статистике не рассматриваются.

Практически все явления, имеющие естественный характер происхождения, подвержены изменчивости. Например, химические процессы, синоптические явления, процессы выбора человеком спутника жизни (хотя в некоторых сообществах и  этот процесс регламентируется), изменчивость наследственных признаков у каждого  человека, – т.е. самые разнообразные  процессы. Искусственно созданные человеком  явления, а также ряд естественных законов могут иметь неизменный характер. Например, не имеют вариативности  общественные явления, регулируемые нормативными актами, закрепляющими параметры  этих явлений (например, минимальный  размер заработной платы, срок полномочий выборного должностного лица), или  такие явления, как скорость света  и притяжение Земли.

Вариацией называется изменчивость только тех явлений, на которые воздействуют внешние факторы и причины. Тогда  как о явлениях, изменяющихся в  силу своей внутренней природы нельзя говорить, что они подвержены вариации. Например, рост человека, меняющийся в  течении жизни. Изучение изменчивости роста отдельного человека, который, допустим, к 1 году составляет 0,8 м, а  к 25 годам 1,79 м, путем расчета среднего роста, будет некорректным, т.к. в  начале жизни рост был небольшой  в силу естественных причин.

Не следует путать с  вариацией изменение размера  признака у одной и той же единицы  совокупности, наблюдаемой в разные периоды или моменты времени. Такое изменение называется изменением во времени или динамикой явления  и исследуется с помощью специальных  методов, рассматриваемых в Лекции 6.

Необходимо подчеркнуть  значение исследования вариации в статистической науке:

1. Выявление изменчивости  размеров явления дает возможность  оценить степень зависимости  изучаемого явления от других  факторов, в свою очередь подверженных  изменчивости, или, другими словами,  – оценить степень устойчивости  явления к внешним воздействиям.

2. Вариация предполагает  оценку однородности изучаемого  явления, то есть меру типичности  рассчитанной для этого явления  средней величины.

3. Возможность оценивать  вариативность определенного признака  актуализирует статистические методы  в условиях современной экономики,  когда задачи, стоящие перед статистикой,  усложняются целым рядом объективных  факторов.

4. Вариация и методы  ее исследования имеют важнейшее  значение в изучении явлений,  протекающих в обществе. Действительно,  одной из главных проблем исследования  общественных явлений и процессов  выделяют высокий уровень их  изменчивости, так как участниками общественных процессов выступают люди, обладающие различными системами ценностей и интересов.

2. Виды вариации и система  показателей вариации

2.1. Выделяют несколько  видов вариации:

1. Если изучаемый признак  может принять только одно  из двух значений, противоположных  по своей сути, то вариация  называется альтернативной. Например, если изучается совокупность  населения мужского пола, то по  признаку прохождения службы  в рядах российской армии всех  мужчин можно разделить на  две группы: проходившие службу, и не проходившие ее. Или в  случае рассмотрения домохозяйств  города по признаку наличия  жилья в частной собственности  все домохозяйства можно разделить  на группу, обладающих жильем  в частной собственности, и  на группу домохозяйств, не обладающих  таковым.

2. Систематическая вариация  – изменение признака в определенном  направлении. Вариация является  систематической, только если  изменение явления в определенном  направлении не обусловлено внутренними  законами развития изучаемого  явления.

3. Случайной называется  вариация, не имеющая явно выраженного  направления, т.е. изменчивость  признака при случайной вариации  не предсказуема.

2.2. Изменчивость явления  в статистическом анализе отображается  с помощью целого ряда характеристик,  называемых системой показателей  вариации. В систему показателей  вариации входят:

1. Абсолютные показатели  вариации:

1) размах вариации;

2) средние величины (групповые  и общие):

а) степенные средние величины;

б) структурные средние  величины;

3) среднее линейное отклонение;

4) дисперсии (групповая,  межгрупповая и общая) и среднее  квадратическое отклонение;

2. Относительные показатели  вариации:

1) коэффициент осцилляции;

2) коэффициенты вариации (в том числе линейный);

3) коэффициенты детерминации (эмпирические и теоретические).

3. Абсолютные показатели  вариации

Абсолютные показатели вариации непосредственно характеризуют  изменчивость исследуемой совокупности, тогда как относительные показатели вариации являются результатом сопоставления  абсолютных.

В состав абсолютных показателей  вариации включаются:

3.1. Размах вариации (R), отражает  пределы изменчивости признака  или, другими словами, амплитуду  вариации. Размах вариации рассчитывается  как разность между максимальной  величиной признака (xmax) и минимальной  величиной признака (xmin), т.е. по  формуле:

Размах вариации всегда выражается в единицах измерения того признака, степень колеблемости которого он отражает.

3.2. Средние величины

3.2.1. Понятие средней величины  и значение метода средних  величин

Значения, отображающие размер признака общественного явления, различаются  между собой, и это, как указывалось  выше, называют вариацией явления. С  другой стороны, различные элементы принадлежат одному и тому же явлению, оказывают влияние друг на друга, поэтому значения признаков у  таких элементов сближаются, что  дает возможность рассматривать  их как единую совокупность. Для  исследования совокупности, обладающей различными значениями признака у отдельных  ее единиц, необходимо иметь единую типическую для совокупности величину признака, позволяющую анализировать  совокупность и сравнивать динамические изменения в совокупности. Для  этого применяется средняя величина. Средняя величина рассчитывается только по количественным признакам, т.е. определение  средней по атрибутивным признакам  невозможно.

Тогда, средняя величина это:

1) наиболее типичное для  совокупности значение признака;

2) объем признака совокупности, распределенный поровну между  единицами совокупности.

Признак, для которого рассчитывается средняя величина, в статистике называется «осредняемый». Среднюю величину принято  обозначать как  . Важно отметить, что в процессе осреднения совокупное значение уровней признака или конечное его значение (в случае расчета средних уровней в ряду динамики[2]) должно оставаться неизменным. Другими словами, при расчете средней величины объем исследуемого признака не должен быть искажен, и выражения, составляемые при расчетах средней, обязательно должны иметь смысл.

Средняя величина является показателем, рассчитываемым путем  сопоставления абсолютных или относительных  величин. Для получения требуемой  средней величины необходимо корректно  определить те показатели, которые  следует соотнести, т.е. построить  исходное соотношение средней. Исходное соотношение отражает сущность рассчитываемой средней величины. Для каждой средней  величины может быть только одно исходное соотношение. Например, средняя урожайность  рассчитывается путем соотнесения  валового сбора (выраженного в центнерах) с общим размером посевной площади (выраженного в га):

Действительно, никакие другие показатели при соотнесении друг с другом не отразят средний уровень  урожайности. Тогда, данная дробь будет  называться исходным соотношением средней.

Средняя величина имеет двойственный характер: с одной стороны она  характеризует совокупность в целом, а с другой стороны, она относится  к единице совокупности, и также  является характеристикой единицы  совокупности. Например, средний объем  грузов, перемещенный одним транспортным средством некоторого автопарка  за период времени. Он рассчитывается путем соотнесения объема всех грузов, перемещенных всеми средствами данного  автопарка за период времени, к общему числу транспортных средств, занимавшихся перемещением грузов. Этот показатель характеризует эффективность деятельности автопарка, но относится к одному транспортному средству.

Средняя величина может принимать  такие значения, которые не присущи  непосредственно ни одному из элементов  изучаемой совокупности, кроме того, на практике часто средняя величина для дискретного признака выражается как для непрерывного. Например, среднее число родившихся на каждую тысячу населения в регионе: в  регионе имеются несколько населенных пунктов, в каждом из которых складывается собственный уровень рождаемости. Чтобы рассчитать среднюю рождаемость  по региону необходимо численность  всех родившихся младенцев соотнести  с численностью населения и умножить на 1000:

Результат расчета средней  величины по данному показателю может  выражаться в дробных числах, несмотря на то, что показатель «число родившихся»  является целым числом.

Средняя величина являются равнодействующей всех факторов, оказывающих  влияние на изучаемое явление. То есть, при расчете средних величин  взаимопогашаются влияние случайных (пертурбационных, индивидуальных) факторов и, таким образом, возможно определение  закономерности, присущей исследуемому явлению. Адольф Кетле подчеркивал, что значение метода средних величин  состоит в возможности перехода от единичного к общему, от случайного к закономерному, и существование  средних величин является категорией объективной действительности. «Понятие о средней величине существует вне  науки, которая только придает ему  определенность и точность[3]».

Значения исследуемого признака принимают различные размеры, находящиеся  в определенном интервале. То есть существует возможность говорить о распределении  размеров признака, подверженном влиянию  целого ряда факторов. Тогда средняя  величина является показателем центра распределения[4].

Необходимо подчеркнуть  важность понимания средней величины как центра распределения, так как  на этом основывается дальнейший статистический анализ.

3.2.2. Условия применения  средних величин в анализе

3.2.2.1. Обязательным условием  расчета средних величин для  исследуемой совокупности является  ее однородность. Действительно,  допустим, что отдельные элементы  совокупности, вследствие подверженности  влиянию некоторого случайного  фактора, имеют слишком большие  (или слишком малые) величины  изучаемого признака, существенно  отличающиеся от остальных. Такие  элементы повлияют на размер средней для данной совокупности, поэтому средняя не будет выражать наиболее характерную для совокупности величину признака.

Если исследуемое явление  не является однородным, то его разбивают  на группы, содержащие только однородные элементы. Для такого явления рассчитываются сначала средние по группам, которые  называются групповые средние, –  они будут выражать наиболее типичную величину явления в каждой группе. Затем рассчитывается для всех элементов  общая средняя величина, характеризующая  явление в целом, – она рассчитывается как средняя из групповых средних, взвешенных по числу элементов совокупности, включенных в каждую группу.

На практике, однако, безусловное  выполнение данного условия повлекло бы за собой ограничение возможностей статистического анализа общественных процессов. Поэтому, часто средние  величины рассчитываются по неоднородным явлениям. Например, при расчете  величины средней заработной платы  по Тюменской области, когда совместно  анализируется заработная плата  труда в автономных округах и  в южных районах Тюменской  области, а затем полученный средний  уровень заработной платы труда  сопоставляется с соседними сибирскими регионами.

3.2.2.2. Еще одним важным  условием применения средних  величин в анализе является  достаточное количество единиц  в совокупности, по которой рассчитывается  среднее значение признака. Достаточность  анализируемых единиц обеспечивается  корректным определением границ  исследуемой совокупности, т.е. закладывается  еще на начальном этапе статистического  исследования. Данное условие становится  решающим при применении выборочного  наблюдения[5], когда необходимо обеспечить  репрезентативность выборки.

3.2.2.3. Определение максимального  и минимального значения признака  в изучаемой совокупности также  является условием применения  средней величины в анализе.  В случае больших отклонений  между крайними значениями и  средней, необходимо проверить  принадлежность экстремумов к  исследуемой совокупности. Если  сильная изменчивость признака  вызвана случайными, кратковременными  факторами, то, возможно, крайние  значения не характерны для  совокупности. Следовательно, их  следует исключить из анализа,  т.к. они оказывают влияние  на размер средней величины.

3.2.3. Виды средних величин,  способы их вычисления

В статистике выделяют несколько  видов средних величин:

1. По наличию признака-веса:

а) невзвешенная средняя  величина;

б) взвешенная средняя величина.

2. По форме расчета:

а) средняя арифметическая величина;

б) средняя гармоническая  величина;

в) средняя геометрическая величина;

г) средняя квадратическая, кубическая и т.д. величины.

3. По охвату совокупности:

а) групповая средняя величина;

б) общая средняя величина.

Рассмотрим подробнее  отдельные виды средних величин:

3.2.3.1. Средние величины  различаются в зависимости от  учета признаков, влияющих на  осредняемую величину:

Если средняя величина рассчитывается для признака, без  учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая средняя  величина называется средней невзвешенной или простой средней.

Если имеются сведения о влиянии на осредняемый признак  некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного  расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная.

3.2.3.2. По форме расчета  выделяют несколько видов средних  величин, которые образованы из  единой степенной средней величины. Степенная средняя величина имеет  форму:

k – показатель степени;

i –i-тый элемент совокупности;

n – число наблюдений (число  единиц совокупности).

При разных показателях степени k получаем, соответственно, различные  по форме средние величины[6] (в  лекции математический аппарат вывода формул не приводится) (см. Табл. 4.1.):

Табл. 4.1.

Выбор формы средней обусловлен исходным соотношением, суть которого приводилась выше. Существует порядок  расчета средней величины:

1. Определение исходного  соотношения для исследуемого  показателя.

2. Определение недостающих  данных для расчета исходного  соотношения.

3. Расчет средней величины.

3.2.3.2.1. Средняя арифметическая  величина

Средняя арифметическая величина – наиболее характерная форма  средней, на примере которой можно  выявить все свойства средней.

Формула расчет средней арифметической величины имеет следующий вид:

– значение изучаемого признака для i-того элемента совокупности;

n – число наблюдений (число  единиц совокупности).

1) Средняя арифметическая  невзвешенная величина

Если показатель степени  равен 1, то получаем следующую форму  средней:

xi – индивидуальные значения  признака у отдельных единиц  совокупности.

Такая средняя величина называется средней арифметической простой (невзвешенной).

Данная форма средней  величины является наиболее распространенной. Она получается путем соотношения  суммарного объема индивидуальных значений признака каждого элемента совокупности и числа элементов совокупности. Средняя арифметическая невзвешенная применяется в том случае, если имеются сведения об объеме осредняемого признака.

2) Средняя арифметическая  взвешенная величина

Если имеются сведения о количестве или доле единиц совокупности с тем или иным значением осредняемого признака, то рассчитывается средняя  арифметическая взвешенная:

xi – индивидуальные значения  осредняемого признака у отдельных  единиц совокупности;

fi – значения признака-веса  для каждой единицы совокупности.

3) В зависимости от  осредняемых данных выделяют  несколько случаев применения  средней арифметической взвешенной  величины:

- расчет средней арифметической  взвешенной в случае, если осредняемый  признак выражен в абсолютных  величинах, а признак-вес представлен  первичным показателем;

- расчет средней арифметической  взвешенной в случае, если осредняемый  признак представлен в интервальном  виде, т.е. когда данные, находящиеся  в числителе исходного соотношения,  рассчитываются следующим образом:  сначала определяются середины  интервалов (  ); затем серединное значение для каждого интервала умножается на значение признака-веса для этого интервала (fi); полученные произведения суммируются (  ). Полученный таким образом числитель соотносится с суммой значений признака-веса.

- расчет средней арифметической  взвешенной, если в качестве осредняемого  признака принимается удельный  вес (т.е. когда совокупность  поделена на подгруппы, в каждой  из которых определено количество  единиц, обладающих изучаемым признаком,  доля таких единиц в общей  численности подгруппы, и необходимо  рассчитать среднее значение  доли во всех подгруппах (  )):

– представленное в абсолютном выражении  количество единиц j-ой подгруппы, обладающих изучаемым признаком;

i = 1, 2, 3…n – количество  всех единиц j-ой подгруппы;

k – количество подгрупп  в совокупности;

То есть, если при расчете  других средних арифметических взвешенных соотносились различные показатели, то средний удельный вес сохраняет  те же показатели, которые применялись  для расчета индивидуального  значения удельного веса. Кроме того, при расчете удельного веса оба  соотносимых показателя должны выражаться в абсолютных величинах. Если же необходимые  данные отсутствуют, то следует привести показатели к сопоставимому виду.

3.2.3.2.2 Средняя гармоническая  величина

1) Средняя гармоническая  невзвешенная величина.

Если показатель степени  равен (-1), то образуется следующая форма  средней:

xi – индивидуальные значения  осредняемого признака у отдельных  единиц совокупности.

Такая средняя величина называется средней гармонической простой (невзвешенной). Она взаимосвязана со средней  арифметической невзвешенной как величина, обратная средней арифметической, рассчитанная из обратных значений признака.

Средняя гармоническая невзвешенная величина применяется в том случае, если согласно исходному соотношению  средней необходимо, чтобы в знаменателе  располагались обратные значения осредняемого признака. Данный вид средней применяется  также, если значения признаков-весов  одинаковы, следовательно, образуется тождество между средней гармонической  взвешенной и средней гармонической  невзвешенной.

2) Средняя гармоническая  взвешенная величина.

Средняя гармоническая взвешенная величина имеет следующий вид:

хi – осредняемый признак;

w – значения сводного, объемного показателя, выступающего  как признак-вес.

Средняя гармоническая взвешенная величина рассчитывается в том случае, если имеющиеся данные предоставляют  сведения об объеме определяющего показателя, рассчитываемого как произведение осредняемого признака и признака-веса. И если имеются также сведения об индивидуальных значениях осредняемого признака, а данные об отдельных  значениях признака веса отсутствуют.

Такая форма средней применяется, когда необходимо рассчитать:

- общую среднюю из групповых  средних величин;

- среднюю относительную  величину, если не известна величина, находящаяся в знаменателе осредняемого  признака.