Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Поверхностные интегралы первого рода

Поверхностные интегралы первого рода

Рассмотрим скалярную функцию и поверхность S. Пусть S задана векторной функцией

где координаты (u,v) изменяются в пределах некоторой области определения в плоскости uv. Заметим, что функция рассматривается только в точках, принадлежащих поверхности S, то есть

Поверхностный интеграл первого рода от функции по поверхности S определяется следующим образом:

где частные производные и равны

а означает векторное произведение. Вектор перпендикулярен поверхности в точке .

Абсолютное значение называется элементом площади: оно соответствует изменению площади dS в результате приращения координат u и v на малые значения du и dv (рисунок 1).


Рис.1		Рис.2

Площадь поверхности S выражается с помощью поверхностного интеграла в виде

Если поверхность S задана уравнением , где z (x,y) − дифференцируемая функция в области D (x,y), то поверхностный интеграл находится по формуле

Если поверхность S состоит из нескольких частей S_i, то для вычисления поверхностного интеграла можно использовать свойство аддитивности:

Пример 1

Вычислить поверхностный интеграл , где S − часть плоскости , лежащая в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).

Решение.

Запишем уравнение плоскости в виде

Найдем частные производные

Применяя формулу

поверхностный интеграл можно выразить через двойной интеграл:

Область интегрирования D представляет собой треугольник, показанный выше на рисунке 2. Вычисляем окончательно заданный интеграл:

Пример 2

Вычислить интеграл , где S представляет собой полную поверхность конуса .

Решение.

Обозначим через S₁ боковую поверхность конуса, и через S₂ − его основание. Запишем данный интеграл в виде суммы двух интегралов

Найдем сначала первый интеграл I₁, используя формулу

Частные производные здесь равны

Тогда

Поскольку z = 2 для основания конуса, то область интегрирования D (x,y) определяется неравенством z² + y² ≤ 4 (рисунок 3). Следовательно, интеграл I₁ записывается в виде

Его легко вычислить в полярных координатах:

Рассмотрим теперь второй интеграл I₂. Уравнение основания конуса имеет вид z = 2. Поэтому,

где равно площади основания . Тогда

Таким образом, полное значение поверхностного интеграла равно


Рис.3		Рис.4

Пример 3

Вычислить интеграл , где S − часть конуса внутри поверхности .

Решение.

Определим сначала область интегрирования D, которая является проекцией поверхности S на плоскость Oxy. Запишем уравнение в следующем виде:

Как видно, область интегрирования D представляет собой круг с центром в точке (a, 0) (рисунок 4). Поскольку частные производные равны

то элемент площади конической поверхности имеет вид

Следовательно, по формуле

получаем

Для вычисления полученного интеграла удобно перейти к полярным координатам. Область интегрирования D при этом принимает вид

Тогда интеграл равен

В последней формуле интеграл I₁ равен нулю, поскольку подынтегральная функция является нечетной, а интегрирование выполняется в интервале, симметричном относительно начала координат. Отсюда следует

Пример 4

Найти интеграл , где поверхность S − часть сферы , лежащая в первом октанте.

Решение.

Данный интеграл удобно вычислять в сферических координатах. Элемент площади в сферических координатах имеет вид . Поскольку , то интеграл можно записать в следующей форме:

Область интегрирования определяется как

Следовательно, интеграл равен

Пример 5

Найти интеграл , где S − часть цилиндрической поверхности, заданной параметрически в виде .

Решение.

Вычислим частные производные:

и их векторное произведение

Тогда, элемент площади заданной поверхности равен

Теперь можно вычислить поверхностный интеграл:

Пример 6

Вычислить интеграл . Поверхность S задана параметрически в виде .

Решение.

Найдем частные производные и их векторное произведение:

Тогда элемент площади равен

Теперь несложно вычислить заданный поверхностный интеграл:

Поверхностный интеграл первого рода

Поверхностный интеграл первого рода является таким же обобщением двойного интеграла, как криволинейный интеграл первого рода по отношению к определённому интегралу.

Пусть S - поверхность в трёхмерном пространстве Oxyz, а F(x,y,z) - непрерывная функция, определённая в точках этой поверхности. Поверхность S сетью линий разобьём на n участков ΔS₁, ΔS₂, ...., ΔS_i, ..., ΔS_n, не имеющих общих внутренних точек (рис. 3.8). Площади "элементарных" участков обозначим теми же буквами S_i(i = 1,...,n), а наибольший из диаметров этих участков - через λ На каждом "элементарном" участке ΔS_i произвольным образом выберем по точке M_i(x_i,y_i,z_i) (i = 1,...,n) и составим сумму

которая называется интегральной суммой для функции F(x,y,z) по поверхности S.

Определение 3.3. Если существует конечный предел

не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔS_i и от выбора точек M_i ΔS_i(i=1,....n), то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по поверхности S и обозначается

Поверхностный интеграл обладает всеми обычными свойствами интеграла, включая теорему о среднем значении.

Приведём простейшие достаточные условия существования поверхностного интеграла первого рода.

Теорема 3.4. Если поверхность S задана уравнением z = f(x,y), где функция f(x,y) и её частные производные f'_x(x,y) и f'_y(x,y) непрерывны в замкнутой области τ (τ - есть область, в которую проектируется поверхность S на координатную плоскость Oху), а функция F(x,y,z) непрерывна на S, то интеграл

существует.

К использованию этих условий, равно как и условий, получающихся из них перестановкой переменных x, y, z сводится большинство практически встречающихся случаев.

Вычисление поверхностных интегралов первого рода обычно производится путём их сведения к двойным интегралам.

Пусть выполнены все условия приведенной выше теоремы, тогда, обозначив проекцию ΔS_i (и площадь проекции) на плоскость Oxy через Δτ_i, по теореме о среднем значении будем иметь:

где (x_i, y_i) Δτ_i, а, следовательно

при данном специфическом выборе точек M_i. Но сумма, стоящая справа, в последнем интеграле есть интегральная сумма для функции

по плоской области τ. Переходя к пределу, получаем:

Если проектировать поверхность S не на координатную плоскость Oxy, а на координатную плоскость Oxz или Oyz, то можно записать формулы для вычисления поверхностного интеграла аналогично формуле (3.14).

Приложения поверхностного интеграла различны. Так, например:
1) если положить F(x,y,z)=1, то интеграл (3.12) будет численно равен площади поверхности S.
2) если же функцию F(x,y,z) интерпретировать как плотность вещества, распределенного по поверхности S, то интеграл (3.12) численно равен массе материальной поверхности S.

Пример 3.9. Вычислить

где S - поверхность конуса

при 1 ≤ z ≤ 2 (рис. 3.9).

Решение

Очевидно, что поверхность S проектируется на плоскость Oxy в кольцо τ: 1 ≤ х2 + у2 ≤ 4.

В области τ функция

и её производные
и есть непрерывные функции.

Следовательно,

Пример 3.10. Найти массу поверхности полусферы

если в каждой её точке поверхностная плотность вещества пропорциональна квадрату расстояния этой точки от оси Oz.

Решение

Имеем

и, следовательно,

Внутренний интеграл находится так:

Поверхностные интегралы второго рода

Рассмотрим векторное поле и поверхность S, которая описывается вектором

Предполагается, что функции x(u,v), y(u,v), z(u,v) являются непрерывно дифференцируемыми в некоторой области D(u,v), и что ранг матрицы

равен 2.

Обозначим через единичный нормальный вектор к поверхности S в точке (x,y,z). Если поверхность S гладкая и векторная функция непрерывна, то в каждой точке поверхности существуют два противоположно направленных единичных нормальных вектора:

Выбор одного из них называется ориентацией поверхности.

Если S является границей ограниченной области, то ее можно ориентировать внешней или внутренней нормалями. Поверхность S, ориентированную внешней нормалью, называют ее внешней стороной, а ориентированную внутренней нормалью, − ее внутренней стороной.

Поверхностный интеграл второго рода от векторного поля по ориентированной поверхности S (или поток векторного поля через поверхность S) может быть записан в одной из следующих форм:

Если поверхность S ориентирована внешней нормалью, то

Если поверхность S ориентирована внутренней нормалью, то

Величина называется векторным элементом поверхности. Точка обозначает скалярное произведение соответствующих векторов. Частные производные, входящие в последние формулы, вычисляются следующим образом:

Если поверхность S задана явно в виде уравнения z = z(x,y), где z(x,y) − дифференцируемая функция в области D(x,y), то поверхностный интеграл второго рода от векторного поля по поверхности S записывается в одной из следующих форм:

Если поверхность S ориентирована внешней нормалью (k-компонент вектора нормали является положительным), то

Если поверхность S ориентирована внутренней нормалью (k-компонент вектора нормали является отрицательным), то

Поверхностный интеграл второго рода можно записать также в координатной форме. Пусть P (x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z) являются компонентами векторного поля . Введем cos α, cos β, cos γ − направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S. Тогда скалярное произведение равно

Следовательно, поверхностный интеграл можно записать в виде

Поскольку (рисунок 1), и, аналогично, , получаем следующую формулу для вычисления поверхностного интеграла II рода:

Если поверхность S задана в параметрической форме с помощью вектора , то последняя формула принимает вид

где (u,v) изменяются в пределах области интегрирования D(u,v).


Рис.1

Если поверхность S не представима в явном или параметрическом виде, то ее можно попробовать разбить на конечное число частей, каждая из которых представима в таком виде. В этом случае справедливо свойство аддитивности: поверхностный интеграл второго рода по поверхности S будет равен сумме интегралов по ее частям.

Пример 1

Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением , где .

Решение.

Применим формулу

Поскольку

то поверхностный интеграл можно записать в виде

В результате простых вычислений находим ответ:

Пример 2

Найти интеграл от векторного поля по поверхности S, заданной в параметрической форме вектором .

Решение.

Сначала найдем частные производные.

Отсюда следует, что

Следовательно, векторный элемент площади равен

Так как , то векторное поле можно представить в виде:

Тогда исходный поверхностный интеграл равен

Пример 3

Оценить поток векторного поля через коническую поверхность , ориентированную внешней стороной.

Решение.

Поверхность конуса можно описать вектором :

Область интегрирования D(x,y) представляет собой круг .
Найдем векторный элемент площади , перпендикулярный поверхности и направленный во внешнюю сторону. Определим частные производные:

Тогда

и векторный элемент равен

Векторное поле на поверхности конуса можно записать в виде

Отсюда следует, что поток векторного поля через поверхность S (или, другими словами, поверхностный интеграл II рода) равен

Значение последнего интеграла легко вычисляется в полярных координатах.

Пример 4

Оценить поток векторного поля через внутреннюю сторону единичной сферы .

Решение.

Запишем уравнение единичной сферы в сферических координатах:

где . В результате вектор на заданной поверхности можно записать в виде

Вычислим векторный элемент площади . Частные производные равны

Следовательно,

Таким образом, получаем

(Этот вектор соответствует внутренней ориентации поверхности.) Находим поток векторного поля через заданную поверхность (или поверхностный интеграл второго рода):

Пример 5

Вычислить интеграл , где S − часть внутренней поверхности эллипсоида, заданного параметрически в виде . Параметры u,v изменяются в интервале .

Решение.

Воспользуемся формулой

Поскольку

определитель может быть записан в виде

Следовательно, поверхностный интеграл равен

Пример 6

Найти интеграл , где S − внутренняя поверхность сферы .

Решение.

Запишем компоненты векторного поля :

Уравнение сферы удобно преобразовать в сферические координаты:

где . Применим формулу

Так как

то определитель под знаком двойного интеграла будет равен

Это значение соответствует внутренней ориентации поверхности.

Искомый поверхностный интеграл будет равен

Вычислим последние два интеграла отдельно.

Следовательно, поверхностный интеграл имеет значение

Поверхностные интегралы первого рода 📙 Реферат → 🆔 197016