Приближенные числа

ПРИБЛИЖЕННЫЕ  ЧИСЛА

Кто незнаком с правилами  действий над приближенными числами, тому, вероятно, интересно будет  хотя бы вкратце с ними ознакомиться тем более, что знание этих простых приемов оказывается и практически полезным, сберегая труд и время при вычислениях.

Объясним прежде всего, что такое «приближенное число» и откуда такие числа получаются.

Данные, входящие в технические  расчеты, получаются путем измерения. Но никакое измерение не может  быть выполнено совершенно точно. Прежде всего уже самые меры, которыми пользуются для измерения, обычно заключают в себе погрешность. Изготовить сокершенно точные метровые линейки, килограммовую гирю, литровую кружку — чрезвычайно трудно, и закон допускает при их изготовлении некоторую погрешность. Например, при изготовлении метровой линейки допускается законом погрешность до 1 миллиметра; для 10-метровой землемерной цепи или ленты — до 1 сантиметра; для килограммовой гири — до 1 грамма (Помимо погрешности в гирях, закон допускает погрешность и в устройстве весов, доходящую, например, в столовых весах до 1 грамма на каждый килограмм отвешиваемого груза); для разновески в 1 грамм — до 0,01 грамма; для литровой кружки — до 5 куб. см.

Кроме того, выполнение измерения  также вводит неточности. Пусть вы измеряете какое-нибудь расстояние, например ширину улицы. Мера, метр, отложилась в ее ширине, допустим, 13 раз, и еще  остался кусочек меньше метра. Вы можете сказать, что ширина улицы 13 метров; на самом деле, однако, она  равна 13 целым метрам и еще некоторому числу десятых, сотых и т. д. долей  метра, которых вы не учли. Следовательно, результат нашего измерения можно  изобразить так:

ширина улицы = 13, ??? метра,

где вопросительные знаки  означают неизвестные нам цифры  десятых, сотых и т. д. долей.

Если бы вы пожелали измерить ширину улицы точнее, вы узнали бы, сколько  в остающемся кусочке содержится дециметров (десятых долей метра). Допустим, что дециметров содержится 8 и еще имеется некоторый остаток, меньший дециметра. Результат нового измерения, 13,8 м, будет точнее предыдущего, но и он не строго точен, потому что, кроме 8 десятых метра, в ширине улицы  заключается еще некоторое неизвестное  нам число сотых, тысячных и т. д. долей метра. Следовательно, полученный сейчас более точный результат мы можем выразить так:

13,8?? метра.

При еще более тщательном измерении вы учтете сотые доли метра (сантиметры) в откинутом остатке, но пренебрежете остатком, меньшим  сантиметра; значит, и этот результат  не будет безусловно точен. Вообще, как бы аккуратно вы ни мерили, вы никогда не можете быть твердо уверены, что далее последней полученной вами цифры не находятся еще другие, вам неизвестные.

Дело, конечно, нисколько  не меняется от того, что при измерениях остатки, большие половины единицы меры, обычно считаются за целые. Если бы при первом измерении улицы мы считали ее ширину не 33 метров, а 14,— это также был бы лишь приближенный результат. Его можно было бы выразить так:

14,??? метров,

где вопросительные знаки  означают отрицательные цифры (т. е. показывают, на сколько десятых, сотых  и т. д. долей число 14 больше истинной ширины улицы).

Итак, результат даже самого тщательного измерения не может быть рассматриваем как совершенно точный: он выражает истинную величину лишь более или менее приближенно. Такие числа называются приближенными.

Арифметика приближенных чисел не во всем сходна с арифметикой  чисел точных. Покажем это различие на примере.

Пусть требуется вычислить  площадь прямоугольного участка, длина  которого 68 м, а ширина — 42 м. Если бы числа 68 и 42 были точные, площадь участка  в точности равнялась бы

68 * 42 = 2856 кв. м.

Но числа 68 и 42 не точные, а приближенные: в длине не ровно 68 м, а немного больше или меньше, так как невероятно, чтобы метр укладывался в ней в точности 68 раз. Да и самая длина метровой линейки едва ли в точности была равна 1 м. Мы можем, согласно предыдущему, выразить длину участка в метрах так:

68,?

Подобным же образом и  ширину участка выразим через

42,?

Проделаем теперь умножение  приближенных чисел:

68,? X 42,?

Выполнение действия видно  из следующей схемы:

Мы видим, что четвертая  цифра результата нам неизвестна: она должна получиться от сложения трех цифр (? + 6+?), из которых две неизвестны. Недостоверна также и третья цифра  результата: мы записали 5, но ведь от сложения столбца ? + 6 + ? могло получиться число больше 10 и даже 20; значит, вместо 5 может оказаться и 6, и 7. Вполне надежны только первые две цифры результата (28). Поэтому, желая быть добросовестными, мы должны утверждать лишь, что искомая площадь заключает около 28 сотен кв. метров. Каковы цифры десятков и единиц в числе кв. метров, — нам неизвестно.

Итак, правильный ответ на вопрос задачи — 2800, причем ноли здесь  означают не заведомое отсутствие единиц соответствующих разрядов, а лишь отсутствие достоверных знаний о них. Иначе говоря, ноли означают здесь то же, что и вопросительные знаки в предыдущих обозначениях.

Ошибочно думать, что ответ 2856, полученный по правилам арифметики точных чисел, вернее ответа 2800.

Ничуть: ведь мы видели, что  последние две цифры результата (56) доверия не заслуживают: поручиться за них нельзя. Ответ 2800 предпочтительнее, чем 2856, потому что он не вводит в  заблуждение; он прямо утверждает, что  Достоверны лишь цифры 2 и 8 на месте  тысяч и сотен, а какие цифры  идут дальше — неизвестно. Ответ  же 2856 обманчив: он внушает неверную мысль, будто последние две цифры  столь же надежны, как и первые две.

«Нечестно писать больше цифр, чем столько, за сколько мы можем  ручаться ... Мне очень грустно  признаться, что немало таких чисел, ведущих к превратным представлениям, встречается в лучших сочинениях о паровых машинах... Когда я  учился в школе, нам сообщали, . что среднее расстояние от Земли до Солнца 95 142 357 англ. миль. Я удивляюсь, почему не было упомянуто, сколько еще футов и дюймов. Наиболее точные современные измерения позволяют лишь утверждать, что это расстояние не больше 93 и не меньше 92,5 миллионов миль», — писал по этому поводу английский математик Перри.

Итак, при выкладках с  приближенными числами надо Принимать во внимание не все цифры результата, а только некоторые. О том, какие именно цифры следует в этих случаях удерживать и какие заменять нолями, мы будем говорить особо. Остановимся сначала на том, как надо округлять числа.

ОКРУГЛЕНИЕ ЧИСЕЛ

1)Округление числа при выкладках состоит в том, что одну или несколько цифр на его конце заменяют нолями. Так как ноли, стоящие после запятой, не имеют значения, то их отбрасывают вовсе. Например:

числа округляют в

3734 ..................... 3730 или 3700

5,314 ................. 5,31 или 5,3

0,00731 ............... 0,0073 или 0,007.

2)Если первая из отбрасываемых при округлении цифр есть 6 или больше, то предыдущую увеличивают на единицу. Например:

числа округляют в

4867....................... 4870 или 4900

5989....................... 5990 или 6000

3,666...................... 3,67 или 3,7.

3)Так же поступают, если отбрасывается цифра 5 с последующими за нею значащими цифрами. Например:

числа округляют в

4552 .................................. 4600

38,1506 ............................. 38,2.

4)Но если отбрасывается только цифра 5, то увеличивать на единицу предшествующую цифру условились лишь тогда, когда она нечетная; четную же цифру оставлять без изменения. Например:

числа округляют в

735................................................. 740

8645............................................... 8640

37,65……………………………....... 37,6

0,0275 …………………………....... 0,028

70,5 ……………………………....... 70 (Ноль рассматривают как четную цифру).

При обработке результатов  действий над приближенными числами  руководствуются теми же правилами  округления.

ЦИФРЫ ЗНАЧАЩИЕ И  НЕЗНАЧАЩИЕ

Под значащими цифрами  в учении о приближенных вычислениях  разумеют все цифры, кроме ноля, а  также и ноль в том случае, если он стоит между другими значащими  цифрами. Так, в числах 3700 и 0,0062 все  ноли — незначащие цифры; в числах же 105 и 2006 ноли значащие. В числе 0,0708 первые два ноля — незначащие, третий же ноль — значащая цифра.

В некоторых случаях значащий ноль может находиться и в конце  числа; округляя, например, числа 2,540002, мы получаем число 2,54000, в котором  все ноли на конце — значащие, так как указывают на заведомое  отсутствие единиц в соответствующих  разрядах. Поэтому, если в условии  задачи или в таблице мы встречаем  числа 4,0 или 0,80, то должны рассматривать  их, как двузначные. Округляя число 289,9 в 290, мы также получаем на конце  значащий ноль.

СЛОЖЕНИЕ И  ВЫЧИТАНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ

Результат сложения или вычитания  приближенных Чисел не должен оканчиваться значащими цифрами в тех разрядах, которые отсутствуют хотя в одном  из данных чисел. Если такие цифры  получились, их следует отбросить  посредством округления.

Нетрудно понять основание  этого правила. Пусть требуется  к 3400 м прибавить 275 м. В числе 3400 мерщик, очевидно, пренебрег десятками метров; ясно, что, прибавив к этому числу 7 десятков метров и еще 5 м, мы получим  в сумме не 3675 м, а скорее всего  результат с иными цифрами  на месте десятков и единиц. Поэтому  на месте десятков и единиц мы пишем  в сумме ноли, которые в данном случае указывают, что вычислителю  неизвестно, какие именно цифры должны здесь стоять

УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ  И ВОЗВЫШЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ

Результат умножения, а .также деления приближенных чисел не должен заключать больше значащих цифр, чем имеется их в более коротком данном. (Из двух чисел то «короче», которое содержит меньше значащих цифр.) Лишние цифры заменяют нолями.

Примеры:

При подсчете числа цифр не обращают на запятую внимания; так, 4,57 есть число трехзначное и т. п.

Число значащих цифр степени  приближенного числа не должно превышать  числа их в основании степени. Излишние цифры заменяются нолями Примеры:

1572 = 24 600 (а не 24 649); 5,81»= 196 (а не 196,122941).

Свойство множества действительных чисел.

Действительные числа  образуют совокупность элементов, обладающую следующими свойствами.

1. Свойство упорядоченности. Для любых двух чисел а и 6 определено соотношение порядка, т. е. два любых Д. ч. а и b удовлетворяют одному и только одному из следующих соотношений: а<b, а=b или а>b; при этом, если а<bи b<с, то а<с(транзитивность упорядоченности).

2.Свойство непрерывности. Для всякой системы вложенных отрезков

существует хотя бы одно число, которое принадлежит всем отрезкам данной системы. Это свойство называется также принципом вложенных  отрезков Кантора. Если длины b п- а п вложенных отрезков стремятся к нулю при  то существует единственная точка, принадлежащая всем этим отрезкам. Из перечисленных свойств Д. ч. следуют многие другие; так, из свойств I - V можно получить, что 1>0, правила действий с рациональными дробями, правила знаков при умножении и делении Д. ч., свойства абсолютной величины Д. ч., правила преобразования равенств и неравенств и т. п. Свойства I - VI полностью описывают свойства множества Д. ч. и только их, иначе говоря, если эти свойства назвать аксиомами, то окажется, что Д. ч. - совокупность элементов, удовлетворяющая аксиомам I - VI. Это означает, что аксиомы I - VI определяют множество Д. ч. с точностью до изоморфизма: если имеются две совокупности X и Y, удовлетворяющие свойствам I - VI, то всегда существует изоморфное относительно упорядоченности и операций сложения и умножения отображение X на Y, т. е. указанное отображение, обозначим его через   (здесь   является элементом, соответствующим элементу  взаимно однозначно отображает X на У так, что если

то

Отсюда следует, что множество  Д. ч. (в отличие, например, от множества  рациональных чисел) невозможно расширить  с сохранением свойств I - V, т. е. не существует множества, в котором  было бы введено соотношение порядка, операции сложения и умножения, удовлетворяющие  свойствам I - V, и которое содержало  бы подмножество, изоморфное множеству  Действительных чисел и не совпадало  бы с ним. Действительных  чисел существенно больше, чем рациональных чисел, именно рациональные числа составляют счетное подмножество множества Действительных чисел, которое само несчетно.

Как рациональные, так и  иррациональные числа обладают свойством плотности во множестве всех Д. ч.: каковы бы ни были два Действительных числа а и b, а<b, найдутся такое рациональное r, что а<r<b, и такое иррациональное x, что a<x<b.

Со свойством непрерывности  Действительные числа тесно связано  свойство их полноты, состоящее в том, что всякая фундаментальная последовательность Действительных чисел является сходящейся. Следует отметить, что множество одних только рациональных чисел уже не обладает свойством полноты: в нем существуют фундаментальные последовательности, не сходящиеся ни к какому рациональному числу.

Свойство непрерывности  множества (их полнота) связано с  их применением для измерения  тех или иных непрерывных величин, например для измерения длин геометрических отрезков: если выбрать отрезок единичной  длины, то в силу непрерывности множества  Действительных чисел  каждому отрезку  сопоставляется определенное положительное - его длина. Образно говоря, непрерывность  множества Действительных чисел  означает, что в нем нет "пустых мест". Из непрерывности множества  Действительных чисел следует, что  из всякого положительного числа  можно извлечь корень я-и степени (п- натуральное число) и что всякое положительное число имеет логарифм по любому основанию а>0,

Расширение понятия  Числа.        

важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё  в первобытном обществе, понятие  Ч. изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и  связанного с ним расширения круга  вопросов, требовавшего количеств. описания и исследования. На первых ступенях развития понятие Ч. определялось потребностями счёта и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем Ч. становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия Ч. определяется потребностями этой науки.         

 Понятие натурального  числа, вызванное потребностью  счёта предметов, возникло ещё  в доисторические времена. Процесс  формирования понятия натурального  Ч. протекал в общих чертах  следующим образом. На низшей  ступени первобытного общества  понятие отвлечённого Ч. отсутствовало.  Это не значит, что первобытный  человек не мог отдавать себе  отчёта о количестве предметов  конкретно данной совокупности, например о количестве людей,  участвующих в охоте, о количестве  озёр, в которых можно ловить  рыбу, и т.д. Но в сознании  первобытного человека ещё не  сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как, например, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись различные словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавалось различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированным понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, т. е. выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как «толпа», «стадо», «куча» и т.д.        

 Источником возникновения  понятия отвлечённого Ч. является  примитивный счёт предметов, заключающийся  в сопоставлении предметов данной  конкретной совокупности с предметами  некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона.  У большинства народов первым  таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью  подтверждается языковедческим  анализом названий первых чисел.  На этой ступени Ч. становится  отвлечённым, не зависящим от  качества считаемых объектов, но  вместе с тем выступающим во  вполне конкретном осуществлении,  связанном с природой эталонной  совокупности. Расширяющиеся потребности  счёта заставили людей употреблять  другие счётные эталоны, такие,  как, например, зарубки на палочке.  Для фиксации сравнительно больших Ч. стала использоваться новая идея — обозначение некоторого определённого Ч. (у большинства народов — десяти) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.        

 С развитием письменности  возможности воспроизведения Ч.  значительно расширились. Сначала  Ч. стали обозначаться чёрточками  на материале, служащем для  записи (папирус, глиняные таблички  и т.д.). Затем были введены другие  знаки для больших Ч. Вавилонские  клинописные обозначения Ч., так  же, как и сохранившиеся до  наших дней «римские цифры», ясно  свидетельствуют именно об этом  пути формирования обозначений  для Ч. Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления позволяющая записать любое натуральное Ч. при помощи десяти знаков — цифр. Т. о., параллельно с развитием письменности понятие натурального Ч. принимает всё более отвлечённую форму, всё более закрепляется отвлечённое от всякой конкретности понятие Ч., воспроизводимого в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.        

 Важным шагом в развитии  понятия натурального Ч. является  осознание бесконечности натурального  ряда Ч., т. е. потенциальной  возможности его безграничного  продолжения. Отчётливое представление  о бесконечности натурального  ряда отражено в памятниках  античной математики (3 в. до н. э.), в трудах Евклида и Архимеда. В «Началах» Евклида устанавливается даже безграничная продолжаемость ряда простых Ч., в книге Архимеда «Псаммит» — принципы для построения названий и обозначений для сколь угодно больших Ч., в частности бо́льших, чем «число песчинок в мире».        

 С развитием понятия  натурального Ч. как результата  счёта предметов в обиход включаются  действия над Ч. Действия сложения  и вычитания возникают сначала  как действия над самими совокупностями  в форме объединения двух совокупностей  в одну и отделения части  совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счёта  равными частями (по два, по  три и т.д.), деление — как  деление совокупности на равные  части . Лишь в многовековом опыте сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т. е. начинается развитие науки о Ч. — арифметики. В первую очередь арифметика развивается как система знаний, имеющая непосредственно прикладную направленность. Но в самом процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств Ч. как таковых, в уяснении всё более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий. Начинается детализация понятия натурального Ч., выделяются классы чётных и нечётных Ч., простых и составных и т.д. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду Ч. продолжается и составляет раздел математики, носящий название Чисел теория.         

Натуральные Ч., кроме основной функции — характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию  — характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее  в связи с этой функцией понятие  порядкового Ч. (первый, второй и т.д.) тесно переплетается с понятием количественного Ч. (один, два и т.д.). В частности, расположение в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых Ч. является наиболее употребительным с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов).        

 Вопрос об обосновании  понятия натурального Ч. долгое  время в науке не ставился. Понятие натурального Ч. столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода  в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа — с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального Ч. Отчётливое определение понятия натурального Ч. на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. 19 в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального Ч. как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается в сопоставлении по одному считаемых предметов и предметов, составляющих «эталонную» совокупность (на ранних ступенях — пальцы рук и зарубки на палочке и т.д., на современном этапе — слова и знаки, обозначающие Ч.), Определение, данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количеств. Ч. в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.        

 Другое обоснование  понятия натурального Ч. базируется  на анализе отношения порядка  следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе система аксиом была сформулирована Дж. Пеано.         

Следует отметить, что перенесение  понятия порядкового Ч. на бесконечные  совокупности [порядковые Трансфинитные числа и более общо́ — порядковые типы резко расходится с обобщённым понятием количественного Ч.; это обусловлено тем, что количественно одинаковые (равномощные) множества могут быть упорядочены различными способами.        

 Исторически первым  расширением понятия Ч. является  присоединение к натуральным Ч. дробных чисел. Введение в употребление дробных Ч. связано с потребностью производить измерения. Измерение какой-либо величины заключается в сравнении её с другой, качественно однородной с ней и принятой за единицу измерения. Это сравнение осуществляется посредством специфической для способа измерения операции «откладывания» единицы измерения на измеряемой величине и счёта числа таких откладываний. Так измеряется длина посредством откладывания отрезка, принятого за единицу измерения, количество жидкости — при помощи мерного сосуда и т.д. Однако не всегда единица измерения укладывается на измеряемой величине целое число раз, и этим обстоятельством, даже в самой примитивной практической деятельности, не всегда можно пренебречь. Здесь и содержится источник происхождения наиболее простых и «удобных» дробей, таких, как половина, треть, четверть и т.д. Но лишь с развитием арифметики как науки о Ч. созревает идея рассмотрения дробей с любым натуральным знаменателем и представление о дробном Ч. как о частном при делении двух натуральных Ч., из которых делимое не делится нацело на делитель (см. Дробь).         

Дальнейшие расширения понятия  Ч. обусловлены уже не непосредственными  потребностями счёта и измерения, но явились следствием развития математики.         

 Введение отрицательных  чисел было с необходимостью  вызвано развитием алгебры как  науки, дающей общие способы  решения арифметических задач,  независимо от их конкретного  содержания и исходных числовых  данных. Необходимость введения  в алгебру отрицательного Ч. возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Возможный отрицательный ответ в задачах такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных величин (таких, как противоположно направленные отрезки, передвижение в направлении, противоположном выбранному, имущество — долг, и т.д.). В задачах же, приводящихся к многократному применению действий сложения и вычитания, для решения без помощи отрицательного Ч. необходимо рассмотрение очень многих случаев; это может быть настолько обременительным, что теряется преимущество алгебраического решения задачи перед арифметическим. Т. о., широкое использование алгебраических методов для решения задач весьма затруднительно без пользования отрицательного Ч. В Индии ещё в 6—11 вв. отрицательные Ч. систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время.        

 В европейской науке  отрицательные Ч. окончательно вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта, давшего геометрическое истолкование отрицательного Ч. как направленных отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившее рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование оказалось по существу одинаковым.         

 Ч. целые, дробные  (положительные и отрицательные)  и нуль получили общее название  рациональных чисел. Совокупность  рациональных Ч. обладает свойством замкнутости по отношению к четырём арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных Ч. является снова рациональным Ч. Совокупность рациональных Ч. упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных Ч. обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными Ч. находится бесконечно много рациональных Ч. Это даёт возможность при помощи рациональных Ч. осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности. Т. о., совокупность рациональных Ч. оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного Ч. было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального Ч., принципиальных затруднений.        

 Совокупность рациональных  Ч. оказалась недостаточной для  изучения непрерывно изменяющихся  переменных величин. Здесь оказалось  необходимым новое расширение  понятия Ч., заключающееся в переходе  от множества рациональных Ч.  к множеству действительных (вещественных) чисел. Этот переход состоит  в присоединении к рациональным Ч. т. н. иррациональных чисел. Ещё в Древней Греции было сделано в геометрии открытие огромной принципиальной важности: не всякие точно заданные (что само по себе является присущей геометрии идеализацией) отрезки соизмеримы, т. е. не всегда длина отрезка может быть выражена рациональным Ч., если за единицу принят другой отрезок. Классическим примером несоизмеримых отрезков является сторона квадрата и его диагональ. Факт существования несоизмеримых отрезков не явился тормозом для развития геометрии. Греками была разработана (изложенная в «Началах» Евклида) теория отношений отрезков, учитывающая возможность их несоизмеримости. Они умели сравнивать такие отношения по величине, производить над ними арифметические действия (в чисто геометрической форме), т. е. греки обращались с такими отношениями, как с Ч. Однако идея о том, что отношение длин несоизмеримых отрезков может рассматриваться как Ч., у них не была осознана до конца. Это может быть объяснено культивировавшимся в школе, к которой принадлежал Евклид, идеалистическим отрывом теоретической математики от прикладных вопросов. В работах Архимеда мы находим значительно бо́льшую близость к прикладным вопросам, в частности приближённые вычисления отношений несоизмеримых отрезков, однако и у него не появляется понятие иррационального Ч. как Ч., выражающего отношение длин несоизмеримых отрезков.