СОДЕРЖАНИЕ 

1. Использование алгебры матриц в экономике 

     Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики - матричная алгебра - имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное - компактной матричной форме.

     С помощью матриц удобно записывать некоторые  экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.):

     Может быть записана в компактной форме  в виде матрицы распределения  ресурсов по отраслям: 

     В данной записи, например, матричный  элемент а₁₁ = 5,3 показывает, сколько электроэнергии употребляет промышленность, а элемент а₂₂ = 2,1 - сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

     2. Использование систем линейных уравнений в экономике

     К системам линейных уравнений приводит множество экономических задач. 

     Задача 

     Обувная фабрика специализируется по выпуску  изделий трех видов: сапог, кроссовок  и ботинок; при этом используется сырье трех типов: S₁, S₂, S₃. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей: 

     Найти ежедневный объем выпуска каждого  вида обуви.

     Решение 1.

     Пусть ежедневно фабрика выпускает x₁ пар сапог, x₂ пар кроссовок, x₃ пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему: 

     Решим систему по теореме Крамера.

     = 5 x 1 x 2 + 3 x 1 x 3 + 2 x 2 x 4 – 3 x 1 x 4 – 2 x 3 x 2 – 2 x 1 x 5 = 1, 

     Т.е. система имеет единственное решение:

     = 2700 x 1 x 2 + 3 x 1 x 1600 + 900 x 2 x 4 – 1600 x 1 x 4 –  900 x 3 x 2 – 2 x 1 x 2700 = 200, 

     x₁ = | A₁ | / | A | = 200 / 1 = 200.

     = 5 x 900 x 2 + 2700 x 1 x 3 + 2 x 1600 x 4 – 3 x 900 x 4 – 2 x 2700 x 2 – 1600 x 1 x 5 = 300, 

     x₂ = | A₂ | / | A | = 300 / 1 = 300. 

     = 5 x 1 x 1600 + 3 x 900 x 3 + 2 x 2 x 2700 – 3 x 1 x 2700 – 2 x 3 x 1600 – 2 x 900 x 5 = 200, 

     x₃ = | A₃ | / | A | = 200 / 1 = 200. 

     Т.е. фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 пар кроссовок и 200 пар ботинок.

     Ответ: (200, 300, 200).

     3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

     В настоящее время большое число  работ посвящается модели Леонтьева  многоотраслевой экономики. Эта  модель хорошо отражает многие существенные особенности современного производства и в то же время сравнительно легко поддается расчету. Во многих странах мира балансовый метод используется для экономического анализа, планирования и прогнозирования.

     Основной  задачей данной модели является нахождении вектора валового выпуска (X) по известному вектору конечного потребления (Y) и матрице коэффициентов прямых затрат (A), что эквивалентно решению балансового уравнения (в матричной записи): X=A*X+Y (1).Откуда: 

     X=(E-A)^-1Y. 

     Матрицу (E-A)^-1 называют матрицей коэффициентов косвенного потребления.

     Условием  разрешимости балансового уравнения  является существование и неотрицательность  данной матрицы (под неотрицательностью матрицы понимается неотрицательность  каждого ее элемента).

     Справедливо соотношение (E-A)^-1=E+A+A²+…. Откуда  

     X=Y+AY+A²Y+… (2). 

     Соотношение (2) показывает, что весь валовой выпуск слагается из затрат: 0-го порядка (Y), 1-го порядка (AY), 2-го порядка (A²Y) и т.д.

     Можно отметить, что при решении относительно простого балансового уравнения (1) возникает ряд подзадач:

• нахождение произведения матриц;
• вычисление обратной матрицы;
• учет ошибок округления при вычислениях.

     Кроме того, собственные векторы и собственные  значения матрицы A характеризуют степень  сбалансированности торговых отношений.

     Таким образом, расчет балансовой модели Леонтьева  позволяет не только познакомить  студентов с современными экономическими методами, но и рассмотреть некоторые  алгоритмы матричной алгебры. Кроме  того, студенты знакомятся с экономическим смыслом матрицы A и ее степеней. Описанный выше алгоритм позволяет рассматривать матрицы достаточно большого размера.

     Модель  Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).

     Цель  балансового анализа - ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

     Связь между отраслями, как привило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая  их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым.

     Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутри производственное потребление  данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

     Рассмотрим  процесс производства за некоторый  период времени (например, год).

     Введем  следующие обозначения:

     x_i - общий (валовой) объем продукции i-й отрасли (i = 1,2,...,n);

     x_ij - объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства (i,j = 1,2,...,n);

     y_i - объем конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления.

     Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, то 

     x_i = (x_i1 + x_i2+ ... + x_in) + y_i , (i = 1,2,...,n). 

     Эти уравнения (их n штук) называются соотношениями  баланса. Будем рассматривать стоимостный  межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения, имеют стоимостное выражение.

     Введем  коэффициенты прямых затрат: 

     a_ij = x_ij / x_j , (i,j = 1,2,...,n), 

     показывающие  затраты продукции i-й отрасли  на производство единицы стоимости j-й отрасли.

     Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты a_ij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е. 

     x_ij = a_ijx_j , (i,j = 1,2,...,n), 

     вследствие  чего построенная на этом основании  модель межотраслевого баланса получила название линейной.

     Теперь  соотношения баланса примут вид: 

     x_i = (a_i1x₁ + a_i2x₂ + ... + a_inx_n) + y_i , (i = 1,2,...,n), 

     Обозначим

     где

     X - вектор валового выпуска; 

     A - матрица прямых затрат (технологическая  или структурная матрица);

     Y - вектор конечного продукта.

     Тогда соотношения баланса можно записать в виде: 

     X = AX + Y. 

     Основная  задача межотраслевого баланса состоит  в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

     Перепишем матричное уравнение в виде: 

     (E - A) X = Y. 

     Если  матрица (E - A) невырожденная, т.е. ее определитель не равен нулю, тогда: 

     X = (E - A)^-1 Y. 

     Матрица S = (E - A)^-1 называется матрицей полных затрат.

     Чтобы выяснить экономический смысл элементов  матрицы S = (s_ij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта.

     Следовательно, каждый элемент s_ij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.

     В соответствии с экономическим смыслом  задачи значения x_i должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях y_i и a_ij.

     Матрица А называется продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E - A) X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

     Существует  несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит  о том, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы. 

     Задача 

     В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в усл. ден. ед.: 

     Вычислить необходимый объем валового выпуска  каждой отрасли, если конечное потребление  энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.

     Решение

     Имеем  

     x₁ = 100, x₂ = 150, x₁₁ = 7, x₁₂ = 21, x₂₁ = 12, x₂₂ = 15, y₁ = 72, y₂ = 123.

      По формуле a_ij = x_ij / x_j находим коэффициенты прямых затрат: a₁₁ = 0,07; a₁₂ = 0,14; a₂₁ = 0,12; a₂₂ = 0,10.

     Т.е. матрица прямых затрат имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:

     max {0,17 + 0,12; 0,14 + 0,10} = max {0,19; 0,24} = 0,24 < 1.

     Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле X = (E - A)^-1 Y. 

     Напишем матрицу полных затрат S = (E - A)^-1:

     Так как |E - A| = 0,8202, то

     По  условию вектор конечного продукта:

     Тогда по формуле X = (E - A)^-1 Y получаем вектор валового выпуска:

     т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед., а в машиностроительной - до 160,5 усл. ед.

      4. Линейная модель  обмена (модель международной  торговли)

     В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящей к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).

     Пусть имеется n стран S₁ , S₂ , ... , S_n, национальный доход каждой из которых равен соответственно x₁ , x₂ , ... , x_n. Обозначим коэффициентами a_ij долю национального дохода, которую страна S_j тратит на покупку товаров у страны S_i. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е. 

     a_1j + a_2j + ... + a_nj = 1 (j = 1,2,...,n). 

     Рассмотрим  матрицу которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с предыдущим равенством сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1.

     Для любой страны S_i (i = 1,2,...,n) выручка от внутренней и внешней торговли составит: 

     p_i = a_i1 x₁ + a_i2 x₂ + ... + a_in x_n. 

     Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны S_i, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода: 

     p_i > = x_i (i = 1,2,...,n). 

     Если  считать, что p_i > x_i (i = 1,2,...,n), то получаем систему неравенств: