Применение расширенного множества действительных чисел для решения теоретических вопросов

Айдос Е.Ж. 

Казахский национальный технический  университет имени К.И.Сатпаева

  Применение расширенного  множества действительных чисел для решения теоретических вопросов 

               Любая теорема или теория будет  иметь более широкое применение, если определения понятии,  на базе которых она построена, имеют достаточно широкий смысл или значения, принимаемые этими понятиями образуют более широкое множество чисел. В курсе математического анализа встречаются   некоторые определения основных понятии,  которые  можно (или нужно) расширить смысл, множество их значении, в результате чего можно получить возможность решения некоторых теоретических вопросов. Сначала представим к вниманию несколько известные математические утверждения, связанные с  вышеуказанными теоретическими проблемами.

     -  Определение гладкой кривой (см. напр., [1], §5.15 ):

           Определение-1. Функция f  называется гладкой на отрезке ,  если она имеет непрерывную производную на этом отрезке.

             Здесь  пределы, через которых  определены понятия «существование  производной» и «непрерывность»  - конечны,  и потому данное  определение нельзя применить  к некоторым гладким функциям, например, типа (в    была  указана теоретическая проблема  определения-1 гладкой кривой и с помощью «угловой функции кривой» было дано новое определение для широкого класса гладких кривых, в котором была снята отмеченная проблема).

            - Известные теоремы о среднем, в многих учебниках формулируются на языке конечной производной,  которая не позволяет использовать эти теоремы для достаточно широкого класса функций. Например, рассмотрим теорему Лагранжа.

   Теорема - 1 (Лагранжа). Если функция   непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале то существует точка для которой выполняется равенство

            Использовать указанную теорему, например, для функции вида  

                   (1)

мы  не сможем (производные в точке - бесконечны), хотя для функции заключение теоремы выполняется. Действительно, если взять функцию , то найдутся точки для которых выполняется равенство    

            -   Полная связь между касательной кривой и производной функции до сих пор остается неизвестной. Точнее говоря, «следует ли из существования производной функции в точке х, существование касательной в точке к кривой, и обратно»?  Ясного ответа на этот вопрос, нет.

             Причина проблем. Основная причина возникновения проблем в этих теоретических вопросах в том, что они построены на базе основных понятий математического анализа, как «предел, производная, непрерывность функции», которые определены в недостаточно широком смысле.  Поясним это.

             Обычно, понятия «существование предела и существование производной функции в точке » воспринимаются в смысле следующих конечных пределов

          ,        и      

          А понятие «непрерывности функции  в точке » определяется как существование односторонных конечных пределов  и выполнение равенств .                                                  

           Мы считаем, что указанные понятия, определенные в таком виде, имеют узкий смысл, поскольку они рассматриваются лишь в множестве конечных чисел   И теория, построенная на базе понятии имеющих узкий смысл, в результате сама  будет иметь теоретические проблемы, как указаны выше нами.

            Путь к решению вышеуказанных вопросов лежит через введения понятии «предел, производная, непрерывность функции в широком смысле».  Для этого нужно определения этих понятии рассмотреть в расширенном множестве действительных чисел - Несмотря на не выполнения  некоторых арифметических действии над бесконечными числами (напр., выражения , и т.д. не определены), они вполне могут служить для упрощения сложных математических выкладок (вспомните, например, вычисление интегралов функции комплексного переменного с помощью вычетов), а в нашем случае, именно они помогут получить решение вышеуказаных задач.

           Считаем,  что для  бесконечностей  имеет место соотношения:      т.е. бесконечности одного знака равны, но бесконечности  разных знаков не равны между собой. Выражение  или   не имеет смысла - отношение сравнения для бесконечностей без определенных знаков не распространяется. Также о выражениях будем говорить, что «значение функции в точке равно соответственно , ».  Когда говорим, что «функция определена в точке в широком смысле», то функция в этой точке может иметь значения из расширенноого множества действительных чисел, т.е.     Например, функция определена в промежутке в широком смысле, а

функция не определена в точке . 

             В случае когда будем говорить, что «функция в точке имеет предел в широком смысле». Аналогично, если имеет место равенство    то будем говорить, что «функция в точке имеет производную в широком смысле» (см.напр., - ). Например,  функция   имеет в точке предел  в широком смысле, а у функции    в этой точке предела нет.

            Определение (непрерывности в широком смысле).   Пусть в точке и в некоторой ее окрестности функция определена в широком смысле. Тогда, если в точке существует предел в широком смысле и выполнено равенство то функция называется непрерывной в широком смысле в этой точке (см. ниже примечание). 

            Например, функция     непрерывна в точке в широком смысле, ибо

              Рассмотрим, теперь теорему Лагранжа, сформулированную на языке производной в широком смысле (см. напр. - )

   Теорема -2 (Лагранжа).  Если функция   непрерывна на отрезке и   на  интервале существует ее производная в широком смысле,  то  найдется точка для которой выполняется равенство

           Условие на функции, для которых выполняется равенство здесь более свободное, чем условие предыдущей теоремы-1. И поэтому диапозон применяемости данной теоремы по сравнению с предыдущей теоремы, более широкий.  Например, к функциям вида (1), рассмотренным нами выше, теперь можно применить теорему Лагранжа, так как  для них существует производная в широком смысле.   

               Теорема. Если функция имеет в точке производную в широком смысле, то существует касательная к ее графику в точке с угловым коэффициентом и обратно, если  существует касательная в точке графика функции f , то функция имеет в точке производную в широком смысле. 

            Другими словами, для функции f между множеством ее производных в широком смысле и множеством касательных к ее графику можно установить взаимооднозначное соответствие.   

             Справедливость теоремы следует  из равенства  где - угол наклона касательной в точке (см. ) и (здесь с помощью функции установлено взаимооднозначное соответствие между расширенным множеством  чисел и множеством действительных чисел ).                         

            С помощью этой теоремы  утверждения, сформулированные на языке «производной в широком смысле» можно перевести на язык «касательной» (на язык «угловой функции») и обратно. Переведем, например, определение гладкой кривой, сформулированное на языке «угловой функции» в , на язык «производной в широком смысле».

           Определение-2 (гладкой кривой на языке «производной в широком смысле»). Непрерывная функция f называется гладкой на отрезке если существует ее производная в широком смысле и она непрерывна в широком смысле на этом отрезке. 

           Значение этого определения заключается  в том, что  здесь снята  проблема известного определения-1 гладкой кривой. Например, функция   вызвавшая проблему в смысле известного определения, теперь является гладкой на в смысле полученного определения,  так как производная   функции - непрерывна в широком смысле на     

      Примечание. В связи с введением понятия непрерывности в широком смысле, определение точек разрыва второго рода нужно скорректировать следующим образом.

         Определение (точек разрыва второго рода). Если не существует по крайней мере один из односторонных пределов , или хотя бы один из односторонных пределов равен бесконечности и выполнено соотношение то называется точкой разрыва 2-го рода для функции .

Известное определение точек разрыва 1-рода не изменится. Но в класс точек устранимого разрыва нужно присоединить случаи с бесконечностями  +∞ и - ∞.        Например, функция имеет в точке устранимый разрыв. Действительно, если доопределить функцию в точке следующим образом то функция будет непрерывной в точке _.

           Отметим, что если в теоремах, сформулированных  на языке конечной производной, условие непрерывности функции на интервале можно не требовать (из существования конечной производной функции автоматически следует ее непрерывность), то для теорем, сформулированных на языке производной в широком смысле,  указание условия непрерывности функции  - обязательно, так как и в точках разрыва первого порядка функция может иметь бесконечную произодную! Например (см.[3]), разрывная в точке функция имеет в этой точке непрерывную в широком смысле производную, равную 

           В статье мы видели, какую важную роль может сыграть бесконечные числа с определенными знаками для решения некоторых математических вопросов, связанных с понятием предела. Указанные здесь способы решения проблемных теоретических вопросов и введенные новые математические понятия могут быть полезны и в других отраслях науки, применяющие математику.