Применение теории игр в экономике

 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИГР В ЭКОНОМИКЕ

В качестве примеров здесь  можно назвать решения по поводу проведения принципиальной ценовой  политики, вступления на новые рынки, кооперации и создания совместных предприятий, определения лидеров и исполнителей в области инноваций, вертикальной интеграции и т.д.

? Инструментарий теории  игр особенно целесообразно применять,  когда между участниками процесса  существуют важные зависимости в области платежей. Ситуация с возможными конкурентами приведена на рис. 2.

Квадранты 1 и 2 характеризуют ситуацию, когда реакция конкурентов не оказывает существенного влияния на платежи фирмы. Это происходит в тех случаях, когда у конкурента нет мотивации (поле 1) или возможности (поле 2) нанести “ответный удар”. Поэтому нет необходимости в детальном анализе стратегии мотивированных действий конкурентов.

Аналогичный вывод следует, хотя и по другой причине, и для  ситуации, отражаемой квадрантом 3. Здесь реакция конкурентов могла бы изрядно воздействовать на фирму, но поскольку ее собственные действия не могут сильно повлиять на платежи конкурента, то и не следует опасаться его реакции. В качестве примера можно привести решения о вхождении в рыночную нишу: при определенных обстоятельствах у крупных конкурентов нет оснований реагировать на подобное решение небольшой фирмы.

Лишь ситуация, показанная в квадранте 4 (возможность ответных шагов рыночных партнеров), требует использования положений теории игр. Однако здесь отражены лишь необходимые, но недостаточные условия, чтобы оправдать применение базы теории игр для борьбы с конкурентами. Бывают ситуации, когда одна стратегия безусловно доминирует над всеми другими независимо от того, какие действия предпримет конкурент. Если взять, например, рынок лекарственных препаратов, то для фирмы часто бывает важно первой заявить новый товар на рынке: прибыль “первопроходца” оказывается столь значительной, что всем другим “игрокам” остается только быстрее активизировать инновационную деятельность.

? Тривиальным с позиций  теории игр примером “доминирующей  стратегии” является решение  относительно проникновения на новый рынок. Возьмем предприятие, которое выступает в качестве монополиста на каком-либо рынке (например, IВМ на рынке персональных компьютеров в начале 80-х годов). Другое предприятие, действующее, к примеру, на рынке периферийного оборудования для ЭВМ, обдумывает вопрос о проникновении на рынок персональных компьютеров с переналадкой своего производства. Компания-аутсайдер может принять решение о вступлении или невступлении на рынок. Компания-монополист может отреагировать на появление нового конкурента агрессивно или дружественно. Оба предприятия вступают в двухэтапную игру, в которой первый ход делает компания-аутсайдер. Игровая ситуация с указанием платежей показана в виде дерева на рис.3.

Та же самая игровая  ситуация может быть представлена и  в нормальной форме (рис.4). Здесь  обозначены два состояния - “вступление/дружественная реакция” и “невступление/ агрессивная реакция”. Очевидно, что второе равновесие несостоятельно. Из развернутой формы следует, что для уже закрепившейся на рынке компании нецелесообразно реагировать агрессивно на появление нового конкурента: при агрессивном поведении теперешний монополист получает 1(платеж), а при дружественном - 3. Компания-аутсайдер к тому же знает, что для монополиста не рационально начинать действия по ее вытеснению, и поэтому она принимает решение о вступлении на рынок. Грозившие потери в размере (-1) компания-аутсайдер не понесет.

Подобное рациональное равновесие характерно для “частично усовершенствованной” игры, которая заведомо исключает  абсурдные ходы. Такие равновесные  состояния на практике в принципе довольно просто найти. Равновесные  конфигурации могут быть выявлены с  помощью специального алгоритма  из области исследования операций для  любой конечной игры. Игрок, принимающий  решение, поступает следующим образом: вначале делается выбор “лучшего”  хода на последнем этапе игры, затем  выбирается “лучший” ход на предшествующем этапе с учетом выбора на последнем  этапе и так далее, до тех пор пока не будет достигнут начальный узел дерева игры.

Какую пользу могут извлечь  компании из анализа на базе теории игр? Известен, например, случай столкновения интересов компаний IВМ и Telex. В связи с объявлением о подготовительных планах последней к вступлению на рынок состоялось “кризисное” совещание руководства IВМ, на котором были проанализированы мероприятия, направленные на то, чтобы заставить нового конкурента отказаться от намерения проникнуть на новый рынок.

Компании Telex, видимо, стало известно об этих мероприятиях. Анализ на базе теории игр показал, что угрозы IВМ из-за высоких затрат безосновательны.

Это свидетельствует, что  компаниям полезно в эксплицитном виде обдумывать возможные реакции  партнеров по игре. Изолированные  хозяйственные расчеты, даже опирающиеся  на теорию принятия решений, часто носят, как в изложенной ситуации, ограниченный характер. Так, компания-аутсайдер могла  бы и выбрать ход “невступление”, если бы предварительный анализ убедил ее в том, что проникновение на рынок вызовет агрессивную реакцию  монополиста. В этом случае в соответствии с критерием ожидаемой стоимости  разумно выбрать ход “невступление” при вероятности агрессивного ответа 0,5.

Следующий пример связан с  соперничеством компаний в области технологического лидерства. Исходной является ситуация, когда предприятие 1 ранее обладало технологическим превосходством, но в настоящее время располагает меньшими финансовыми ресурсами для научных исследований и разработок (НИР), чем его конкурент. Оба предприятия должны решить вопрос, попытаться ли с помощью крупных капиталовложений добиться доминирующего положения на мировом рынке в соответствующей технологической области. Если оба конкурента вложат в дело крупные средства, то перспективы на успех у предприятия 1 будут лучше, хотя оно и понесет большие финансовые расходы (как и предприятие 2). На рис. 5 эта ситуация представлена платежами с отрицательными значениями.

Для предприятия 1 лучше всего было бы, если бы предприятие 2 отказалось от конкуренции. Его выгода в таком случае составила бы 3 (платежа). С большой вероятностью предприятие 2 выиграло бы соперничество, когда предприятие 1 приняло бы урезанную программу инвестиций, а предприятие 2 - более широкую. Это положение отражено в правом верхнем квадранте матрицы.

Анализ ситуации показывает, что равновесие наступает при  высоких затратах на НИР предприятия 2 и низких предприятия 1. При любом другом раскладе у одного из конкурентов появляется резон отклониться от стратегической комбинации: так, для предприятия 1 предпочтителен сокращенный бюджет, если предприятие 2 откажется от участия в соперничестве; в то же время предприятию 2 известно, что при низких затратах конкурента ему выгодно инвестировать в НИР.

Предприятие, имеющее технологическое  преимущество, может прибегнуть к  анализу ситуации на базе теории игр, чтобы в конечном счете добиться оптимального для себя результата. С помощью определенного сигнала оно должно показать, что готово осуществить крупные затраты на НИР. Если такой сигнал не поступил, то для предприятия2 ясно, что предприятие 1 выбирает вариант низких затрат.

О достоверности сигнала  должны свидетельствовать обязательства  предприятия. В данном случае это  может быть решение предприятия 1 о закупке новых лабораторий или найме на работу дополнительного научно-исследовательского персонала.

С точки зрения теории игр  подобные обязательства равнозначны  изменению хода игры: ситуация одновременного принятия решений сменяется ситуацией  последовательных ходов. Предприятие 1 твердо демонстрирует намерение пойти на крупные затраты, предприятие 2 регистрирует этот шаг и у него нет больше резона участвовать в соперничестве. Новое равновесие вытекает из расклада “неучастие предприятия 2” и “высокие затраты на НИР предприятия 1”. К числу известных областей применения методов теории игр следует отнести также ценовую стратегию, создание совместных предприятий, расчет времени разработки новой продукции.

Данная теория является базой  подготовки рекомендаций для организационного строительства и проектирования систем стимулирования. Она полезна также дляформирования и развития внутрифирменных культур.

Важный вклад в использование  теории игр вносят экспериментальные работы. Многие теоретические выкладки отрабатываются в лабораторных условиях, а полученные результаты служат импульсом для практиков. Теоретически было выяснено, при каких условиях двум эгоистически настроенным партнерам целесообразно сотрудничать и добиваться лучших для себя результатов.

Эти знания можно использовать в практике предприятий, чтобы помочь двум фирмам достичь ситуации “выигрыш/выигрыш”. Сегодня консультанты с подготовкой  в области игр быстро и однозначно выявляют возможности, которыми предприятия  могут воспользоваться для заключения стабильных и долгосрочных договоров  с клиентами, субпоставщиками, партнерами по разработкам и т.п.

Проблемы практического  применения в управлении

Следует, однако, указать  и на наличие определенных границ применения аналитического инструментария теории игр. В следующих случаях он может быть использован лишь при условии получения дополнительной информации.

Во-первых, это тот случай, когда у предприятий сложились разные представления об игре, в которой они участвуют, или когда они недостаточно информированы о возможностях друг друга. Например, может иметь место неясная информация о платежах конкурента (структуре издержек). Если неполнотой характеризуется не слишком сложная информация, то можно оперировать сопоставлением подобных случаев с учетом определенных различий.

Во-вторых, теорию игр трудно применять при множестве ситуаций равновесия. Эта проблема может возникнуть даже в ходе простых игр с одновременным выбором стратегических решений.

В-третьих, если ситуация принятия стратегических решений очень сложна, то игроки часто не могут выбрать лучшие для себя варианты. Легко представить более сложную ситуацию проникновения на рынок, чем та, которая рассмотрена выше. Например, на рынок в разные сроки могут вступить несколько предприятий или реакция уже действующих там предприятий может оказаться более сложной, нежели быть агрессивной или дружественной.

Экспериментально доказано, что при расширении игры до десяти и более этапов игроки уже не в  состоянии пользоваться соответствующими алгоритмами и продолжать игру с  равновесными стратегиями.

Отнюдь не бесспорно и  принципиальное, лежащее в основе теории игр предположение о так  называемом “общем знании”. Оно гласит: игра со всеми правилами известна игрокам и каждый из них знает, что все игроки осведомлены о  том, что известно остальным партнерам  по игре. И такое положение сохраняется  до конца игры.

Но чтобы предприятие  в конкретном случае приняло предпочтительное для себя решение, данное условие  требуется не всегда. Для этого  часто достаточны менее жесткие  предпосылки, например “взаимное знание”  или “рационализируемые стратегии”.

ВЫВОД

В последние годы значение теории игр существенно возросло во многих областях экономических и  социальных наук. В экономике она  применима не только для решения  общехозяйственных задач, но и для  анализа стратегических проблем  предприятий, разработок организационных  структур и систем стимулирования.

Уже в момент ее зарождения, которым считают публикацию в 1944 г. монографии Дж. Неймана и О. Моргенштерна “Теория игр и экономическое поведение”, многие предсказали революцию в экономических науках благодаря использованию нового подхода. Эти прогнозы нельзя было считать излишне смелыми, так как с самого начала данная теория претендовала на описание рационального поведения при принятии решений во взаимосвязанных ситуациях, что характерно для большинства актуальных проблем в экономических и социальных науках. Такие тематические области, как стратегическое поведение, конкуренция, кооперация, риск и неопределенность, являются ключевыми в теории игр и непосредственно связаны с управленческими задачами.

Первые работы по теории игр отличались упрощенностью предположений  и высокой степенью формальной абстракции, что делало их малопригодными для  практического использования. За последние 10 - 15 лет положение резко изменилось. Бурный прогресс в промышленной экономике показал плодотворность методов игр в прикладной сфере.

В последнее время эти  методы проникли и в управленческую практику. Вполне вероятно, что теория игр наряду с теориями трансакционных издержек и “патрон - агент” будет восприниматься как наиболее экономически обоснованный элемент теории организации. Следует отметить, что уже в 80-х годах М. Портер ввел в обиход некоторые ключевые понятия теории, в частности такие, как “стратегический ход” и “игрок”. Правда, эксплицитный анализ, связанный с концепцией равновесия, в этом случае еще отсутствовал.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Ковалев В.В. Финансовый  анализ М., Финансы и статистика, 1999

2. Кремер. Исследование операций  в экономике. Учебное пособие  для экономистов.

3. Льюс Р., Райфа Х., Игры и решения, пер. с англ., М., 1961;

4. Мескон М., Альберт М., Хедоури Ф. Основы менеджмента, М., Дело, 1992

5. Нейман Дж. Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, пер. с англ., М., 1970

. Применение теории игр

Теория игр — это раздел прикладной математики. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках — социологии, политологии, психологии, этике и других. Начиная с 1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение этот раздел математики имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.

Нейман и Моргенштерн написали оригинальную книгу, которая содержала главным образом экономические примеры, поскольку экономическому конфликту легче всего придать численную форму. Во время второй мировой войны и сразу после неё теорией игр серьезно заинтересовались военные, которые увидели в ней аппарат для исследования стратегических решений. Далее главное внимание снова стало уделяться экономическим проблемам. В наше время ведется большая работа, направленная на расширение сферы применения теории игр.

Двумя основными областями применения являются военное дело и экономика. Теоретико-игровые разработки применяются  при проектировании автоматических систем управления для ракетного/противоракетного оружия, выборе форм аукционов по продаже  радиочастот, прикладном моделировании  закономерностей денежного обращения  в интересах центральных банков, и т.п. Международные отношения  и стратегическая безопасность обязаны  теории игр (и теории принятия решений) в первую очередь концепцией гарантированного взаимного уничтожения. Это заслуга  плеяды блестящих умов (в том числе  связанных с RAND Corporation в Санта Монике, Калиф.), дух которой до высших руководящих постов дошел в лице Роберта Макнамары. Следует, правда, признать, что сам Макнамара теорией игр не злоупотреблял.

3.1 В военном деле

Информация – один из наиболее значимых в настоящее время ресурсов. И сейчас все

также справедливо высказывание «Кто владеет информацией, тот владеет  миром». Более того, на первый план выходит  необходимость эффективно использовать имеющуюся информацию. Теория игр  в купе с теорией оптимального управления позволяют принимать  правильные решения в разнообразных  конфликтных и неконфликтных  ситуациях.

Теория игр – математическая дисциплина, касающаяся конфликтных  задач. Военное

дело, как ярко выраженное существо конфликта, стало одним из первых полигонов применения на практике разработок теории игр.

Изучение задач военных сражений с помощью теории игр (в том  числе дифференциальных) – это  большой и трудный предмет. Применение теории игр к задачам военного дела означает, что для всех участников могут быть найдены эффективные  решения – оптимальные действия, позволяющие максимально решить поставленные задачи.

Попытки разбирать военные игры на настольных моделях делались много  раз. Но эксперимент в военном  деле (как и во всякой другой науке) есть средство, как для подтверждения  теории, так и для нахождения новых  путей для анализа.

Военный анализ есть вещь гораздо  более неопределенная в смысле законов, предсказаний и логики, нежели физические науки. По этой причине моделирование  с подробно и тщательно подобранными реалистическими деталями не может  дать общего достоверного результата, если партия не будет повторена очень  большое число раз. С точки  зрения дифференциальных игр единственное, на что можно надеяться, – это  на подтверждение заключений теории. Особенно важен случай, когда такие  заключения выведены исходя из упрощенной модели (по необходимости это случается  всегда).

В некоторых случаях дифференциальные игры в задачах военного дела играют совершенно явную и не требующую  особых комментариев роль. Это верно, например, для

большинства моделей, включающих преследование, отступление и другое маневрирование подобного рода. Так, в случае управления автоматизированными сетями связи  в условиях сложной радиоэлектронной обстановки были предприняты попытки  использовать лишь стохастические многошаговые антагонистические игры. Целесообразным представляется использование дифференциальных игр, поскольку их применение позволяет  во многих случаях с большой долей  достоверности описать необходимые  процессы и найти оптимальное  решение задачи.

Довольно таки часто в конфликтных  ситуациях противоборствующие стороны  объединяются в союзы для достижения лучших результатов. Поэтому возникает  необходимость изучения коалиционных дифференциальных игр. Кроме того, идеальных  ситуаций, не имеющих каких-либо помех, в мире не существует. А значит, целесообразно  исследовать коалиционные дифференциальные игры при неопределенности. Существуют различные подходы к построению решений дифференциальных игр [5].

Во время второй мировой войны  научные разработки фон Неймана  оказались бесценными для американской армии – военные начальники говорили, что для Пентагона ученый представляет такое же значение, как целая армейская  дивизия. Вот пример использования  Теории игр в военном деле. На американских торговых судах устанавливались  зенитные установки. Однако за все время  войны этими установками так  и не был сбит ни один вражеский  самолет. Возникает справедливый вопрос: стоит ли вообще оснащать суда, не предназначенные  для ведения боевых действий, таким  оружием. Группа ученых под руководством фон Неймана, изучив вопрос, пришла к выводу - само знание неприятелем  о наличии таких орудий на торговых судах резко уменьшает вероятность  и точность их обстрелов и бомбежек, а потому размещение «зениток» на этих судах, вполне доказало свою эффективность [6].

ЦРУ, Министерство обороны США и  крупнейшие корпорации из списка Fortune 500 активно сотрудничают с футурологами. Разумеется, речь идёт о строго научной футурологии, то есть о математических вычислениях объективной вероятности будущих событий. Этим занимается теория игр — одна из новых областей математической науки, применимой практически ко всем областям человеческой жизни. Возможно, вычисления будущего, которые раньше велись в условиях строгой секретности для «элитных» клиентов, скоро выйдут на общедоступный коммерческий рынок. По крайней мере, об этом говорит то, что в одно время сразу два крупных американских журнала опубликовали материалы на данную тему, и оба напечатали интервью с профессором Нью-йоркского университета Брюсом Буэно де Мескита (Bruce Bueno de Mesquita). Профессору принадлежит консалтинговая фирма, которая занимается компьютерными вычислениями на основе теории игр. За двадцать лет сотрудничества с ЦРУ учёный точно вычислил несколько важных и неожиданных событий (например, приход Андропова к власти в СССР и захват Гонконга китайцами). В общей сложности он рассчитал более тысячи событий с точностью более 90%.Сейчас Брюс консультирует американские спецслужбы относительно политики в Иране. Например, его расчёты показывают, что США не имеет никаких шансов предотвратить запуск Ираном ядерного реактора для гражданских нужд [7].

3.2 В управлении

В качестве примеров применения теории игр в управлении можно назвать  решения по поводу проведения принципиальной ценовой политики, вступления на новые  рынки, кооперации и создания совместных предприятий, определения лидеров  и исполнителей в области инноваций  и т.д. Положения данной теории в  принципе можно использовать для  всех видов решений, если на их принятие влияют другие действующие лица. Этими  лицами, или игроками, необязательно  должны быть рыночные конкуренты; в  их роли могут выступать субпоставщики, ведущие клиенты, сотрудники организаций, а также коллеги по работе.

Какую пользу могут извлечь компании из анализа на базе теории игр? Известен, например, случай столкновения интересов  компаний IВМ и Telex. Компания Telex объявила о вступлении на рынок продаж, в связи с этим состоялось “кризисное” совещание руководства IВМ, на котором были проанализированы действия, направленные на то, чтобы заставить нового конкурента отказаться от намерения проникнуть на новый рынок. Об этих действиях, видимо, стало известно компании Telex. Но проведенный анализ на базе теории игр показал, что угрозы IВМ из-за высоких затрат безосновательны. Это доказывает, что компаниям полезно обдумывать возможные реакции партнеров по игре. Изолированные хозяйственные расчеты, даже опирающиеся на теорию принятия решений, часто носят, как в изложенной ситуации, ограниченный характер. Так, компания-аутсайдер могла бы и выбрать ход “невступление”, если бы предварительный анализ убедил ее в том, что проникновение на рынок вызовет агрессивную реакцию компании-монополиста. В этой ситуации разумно выбрать ход “невступление” при вероятности агрессивного ответа 0,5, в соответствии с критерием ожидаемой стоимости .

Важный вклад в использование  теории игр вносят экспериментальные работы. Многие теоретические выкладки отрабатываются в лабораторных условиях, а полученные результаты служат важным элементом для практиков. Теоретически было выяснено, при каких условиях двум эгоистически настроенным партнерам выгодно сотрудничать и добиваться лучших для себя результатов.

Эти знания можно использовать в  практике предприятий, чтобы помочь двум фирмам достичь ситуации “выигрыш/выигрыш”. Сегодня консультанты с подготовкой  в области игр быстро и однозначно выявляют возможности, которыми предприятия  могут воспользоваться для заключения стабильных и долгосрочных договоров  с клиентами, субпоставщиками, партнерами по разработкам и т.п. [8].

3.3 Применение в прочих  областях

В биологии

Очень важное направление — это  попытки применить теорию игр  в биологии и понять, как сама эволюция строит оптимальные стратегии. Здесь, в сущности, тот же метод, который  помогает нам объяснить человеческое поведение. Ведь теория игр не говорит, что люди всегда действуют осознанно, стратегически, рационально. Скорее речь идет об эволюции определенных правил, которые дают более полезный результат, если их придерживаться. То есть люди зачастую не просчитывают свою стратегию, она  постепенно формируется сама по мере накопления опыта. Эта идея воспринята теперь и в биологии.

В компьютерных технологиях

Еще больше востребованы исследования в сфере компьютерных технологий, например анализ аукционов, которые  проводятся компьютерами в автоматическом режиме. Кроме того, теория игр сегодня  позволяет еще раз задуматься над тем, как работают компьютеры, каким образом строится кооперация между ними. Скажем, серверы в сети можно рассматривать как игроков, которые пытаются скоординировать свои действия.

В играх (шахматы)

Шахматы — это предельный случай теории игр, поскольку все, что вы делаете, направлено исключительно  на вашу победу и вам не нужно  заботиться о том, как на это отреагирует партнер. Достаточно убедиться, что он не сможет отреагировать эффективно. То есть это игра с нулевой суммой. И конечно, в других играх культура может иметь определенное значение.

Примеры из другой области

Теория игр используется при  поиске подходящей пары донора и реципиента почки. Один человек хочет отдать почку другому, но оказывается, что  их группы крови несовместимы. И  что следует сделать в этом случае? Прежде всего – расширить  список доноров и реципиентов, а  потом применить методы подбора, которые дает теория игр. Это очень  похоже на брак по расчету. Вернее, на брак это совсем не похоже, но математическая модель этих ситуаций одинакова, применяются  те же методы и расчеты. Сейчас на идеях таких теоретиков, как Дэвид Гейл, Ллойд Шапли и другие, выросла настоящая индустрия – практические применения теории в кооперативных играх.

3.4 Почему теорию игр не применяют еще шире

И в политике, и в экономике, и  в военном деле специалисты-практики натолкнулись на принципиальные ограничения  фундамента современной теории игр  – Нэшевской рациональности.

Во-первых, человек не настолько  совершенен, чтобы все время мыслить  стратегически. Для преодоления  этого ограничения теоретики  начали исследовать эволюционные формулировки равновесия, для которых свойственны  более слабые допущения по уровню рациональности.

В-вторых, исходные предпосылки теории игр по информированности игроков  о структуре игры и платежах в  реальной жизни соблюдаются не так  часто, как хотелось бы. Теория игр  весьма болезненно реагирует на малейшие (с точки зрения обывателя) изменения  в правилах игры резкими сдвигами в предсказываемых равновесиях.

Как следствие этих проблем, современная  теория игр находится в "плодотворном тупике". Лебедь, рак и щука предлагаемых решений тянут теорию игр в  разные стороны. По каждому направлению  пишутся десятки работ... однако "воз  и ныне там".

Примеры задач

Определения, необходимые  для решения задач

1. Ситуация называется конфликтной,  если в ней участвуют стороны,  интересы которых полностью или  частично противоположны.

2. Игра - это действительный или  формальный конфликт, в котором  имеется по крайней мере два участника (игрока), каждый из которых стремиться к достижению собственных целей.

3. Допустимые действия каждого  из игроков, направленные на  достижение некоторой цели, называются  правилами игры.

4. Количественная оценка результатов  игры называется платежом.

5. Игра называется парной, если  в ней участвуют только две  стороны (два лица).

6. Парная игра называется игрой  с нулевой суммой, если сумма  платежей равна нулю, т.е. если  проигрыш одного игрока равен  выигрышу другого.

7. Однозначное описание выбора  игрока в каждой из возможных  ситуаций, при которой он должен  сделать личный ход, называется  стратегией игрока.

8. Стратегия игрока называется  оптимальной, если при многократном  повторении игры она обеспечивает  игроку максимально возможный  выигрыш (или, что то же самое, минимально возможный средний проигрыш).

Пусть имеются два игрока, один из которых может выбрать i-ю стратегию из m возможных стратегий (i=1,m), а второй, не зная выбора первого, выбирает j-ю стратегию из n возможных стратегий (j=1,n) В результате первый игрок выигрывает величину aij, а второй проигрывает эту величину.

Из чисел aij составим матрицу

Строки матрицы A соответствуют  стратегиям первого игрока, а столбцы - стратегиям второго. Эти стратегии  называются чистыми.

9. Матрица A называется платежной  (или матрицей игры).

10. Игру, определяемую матрицей A, имеющей  m строк и n столбцов, называют конечной игрой размерности m x n.

11. Число  называется нижней ценой игры или максимином, а соответствующая ему стратегия (строка) - максиминной.

12. Число  называется верхней ценой игры или минимаксом, а соответствующая ему стратегия (столбец) - минимаксной.

13. Если α=β=v, то число v называется ценой игры.

14. Игра, для которой α=β, называется  игрой с седловой точкой.

Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе максиминной и минимаксной стратегией, которые являются оптимальными.

Если игра, заданная матрицей, не имеет  седловой точки, то для нахождения ее решения используют смешанные стратегии.

Задачи

1.Орлянка. Это игра с нулевой  суммой. Принцип состоит в том,  что, когда игроки выбирают  одинаковые стратегии, то первый  выигрывает один рубль, а когда  разные – проигрывает один  рубль.

Если рассчитывать стратегии по принципу maxmin и minmax, то можно увидеть, что нельзя высчитать оптимальную стратегию, в этой игре вероятности проигрыша и выигрыша равны.