Прочность при циклических нагрузках

9. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ

9.1. Основные характеристики цикла и предел усталости

      Многие  детали машин и механизмов, а также  конструкции сооружений в процессе эксплуатации подвергаются циклически изменяющимся во времени воздействиям. Если уровень напряжений, вызванный этими воздействиями, превышает определенный предел, то в материале формируются необратимые процессы накопления повреждений, которые в конечном итоге приводят к разрушению системы.

      Процесс постепенного накопления повреждений  в материале под действием переменных напряжений, приводящих к разрушению, называется усталостью. Свойство материала противостоять усталости называется выносливостью.

      Для раскрытия физической природы процесса усталостного разрушения в качестве примера рассмотрим ось вагона, вращающуюся вместе с колесами (рис. 9.1, а), испытывающую циклически изменяющиеся напряжения, хотя внешние силы и являются постоянными величинами. Происходит это в результате того, что части вращающейся оси оказываются попеременно то в растянутой, то в сжатой зонах.

Рис. 9.1

      В точке А (рис. 9.1, б) поперечного сечения оси вагона имеем:

где y = (D/2)×sin j, j = wt, а w - круговая частота вращения колеса. Тогда:

      Таким образом, нормальное напряжение s в сечениях оси меняется по синусоиде с амплитудой:

      Опыт  показывает, что при переменных напряжениях  после некоторого числа циклов может наступить разрушение детали (усталостное разрушение ), в то время, как при том же неизменном во времени напряжении разрушения не происходит.

      Число циклов до момента разрушения зависит  от величины s_а, и меняется в широких пределах. При больших напряжениях для разрушения бывает достаточно 5¸10 циклов, а при меньших напряжениях разрушение может наступить при гораздо большем числе циклов или вообще не наступить.

      Пусть напряжения изменяются по закону, представленному  на рис. 9.2. Величина

    (9.1)

называется  коэффициентом асимметрии цикла. В тех случаях, когда s_max = -s_min, R = -1 и цикл называется симметричным. Если s_min = 0 или s_max = 0, то R = 0 и цикл называется нулевым или пульсационным. При простом растяжении или сжатии (когда s_max = s_min) R = +1. Циклы, имеющие одинаковый коэффициент асимметрии называются подобными.

      Введем  две следующие величины:

где s_m - средние напряжения цикла, s_а - амплитуда цикла.

      Тогда, в общем случае, цикл может быть представлен как сумма s_m и напряжения, меняющегося по симметричному циклу с амплитудой s_а , т.е. s = s_m + s_а sin wt .

Рис. 9.2

      Следует отметить, что не при всех периодически изменяющихся напряжениях происходит разрушение материала. Для этого напряжения должны превзойти некий предел - предел усталости или выносливости. Предел усталости - наибольшее значение максимального напряжения подобных циклов s_max (или s_min, если ½s_max½ < ½s_min½), которое не вызывает усталостного разрушения материала при неограниченном количестве циклов нагружения.

      Из  определения следует, что предел усталости зависит от коэффициента асимметрии цикла и обозначается s_R , где R - коэффициент асимметрии цикла. Экспериментально доказано, что наименьшее значение предел усталости принимает при симметричном цикле.

      Для цветных металлов и для закаленных до высокой твердости сталей, так как они разрушаются при любом значении напряжений, вводится понятие условного предела усталости. За условный предел усталости принимается напряжение, при котором образец способен выдержать 10⁸ циклов.

      Обычно, для сталей, предел усталости при изгибе составляет  
s_-1 » (0,4 ¸ 0,5) s_ВР . Для высокопрочных сталей s_-1 » (400 +  
+ 0,167 s_ВР) МПа. Для цветных металлов s_-1 » (0,25 ¸ 0,5) s_ВР . При кручении для обычных сталей имеем t_-1 » 0,56 s_-1 . Для хрупких металлов t_-1 » 0,8 s_-1 .

      Естественно, что определить экспериментальным путем предел усталости для каждого из возможных значений коэффициента асимметрии цикла R невозможно. На практике поступают следующим образом: для нескольких характерных значений R находят предел усталости s_R и строят диаграмму усталостной прочности материала (рис. 9.3), где по оси абсцисс откладываются значения среднего напряжения s_m , а по оси ординат - амплитудного напряжения s_а , предельных циклов.

Рис. 9.3

      Каждая  пара значений s_m  и s_а , характеризующая предельный цикл изображается точкой на этой диаграмме. Совокупность таких точек образует кривую АВ (рис. 9.3), отделяющую безопасную область (содержащую начало координат) от области циклических разрушений. На рис. 9.3 точка А диаграммы соответствует пределу прочности при статическом нагружении, а т. В - при симметричном цикле нагружения. Любой из возможных циклов может быть изображен на этой диаграмме рабочей точкой (P.T.) с координатами (s_m , s_а ) и в зависимости от того, в какую из областей попала точка можно судить о безопасности данного цикла.   

9.2. Влияние концентраций напряжений, состояния  
поверхности и размеров детали на усталостную

прочность 

      На  величину предела усталости влияют многие факторы. Рассмотрим некоторые из них.

      Одним из основных факторов, оказывающих существенное влияние на усталостную прочность, является концентрация напряжений. Основным показателем местных напряжений является коэффициент концентрации напряжений:

                               ,   (9.2)

где s_max - наибольшее местное напряжение, s_НОМ - номинальное напряжение. Например, для полосы с отверстием (рис. 9.4) от действия продольной силы Р в кольцевых сечениях, имеем:

Рис. 9.4

      Определенный  по (9.2) коэффициент концентрации напряжений не учитывает многих реальных свойств материала (его неоднородность, пластичность и т. д.), в связи с чем, вводится понятие эффективного коэффициента концентрации К_-1.:

где   - предел усталости при симметричном цикле на гладких образцах,  - предел усталости при симметричном цикле на образцах с наличием концентрации напряжений.

      Между К_T  и К_-1 существует следующая зависимость:

       ,        (9.3)

где q - коэффициент чувствительности материала к местным напряжениям, q » 1 - для высокопрочных сталей; q = 0,6 ¸ 0,8 - для конструкционных сталей.

      При расчетах на усталостную прочность, особенности, связанные с качеством обработки поверхности  детали, учитываются коэффициентом качества поверхности, получаемом при симметричных циклах нагружения: 

,     (9.4)

где s_-1 - предел усталостной прочности, полученный на испытаниях образцов, имеющих стандартную обработку поверхности, s_-1n - предел выносливости рассматриваемой детали.

      На  рис. 9.5 приведены значения b в зависимости от качества обработки поверхности стального изделия и прочности материала s_BP .

      Прямая 1 относится к шлифованным образцам, 2 - к образцам с полированной поверхностью, 3 - к образцам, имеющим поверхность обработанную резцом, и наконец, 4 - к образцам поверхность которых обработана после проката.  
 

      Для учета масштабного фактора вводятся соответствующий коэффициент:

                   .   (9.5)

Рис. 9.5

где s_-1D, t_-1D - предел усталостной прочности рассматриваемой детали на растяжение и сдвиг, соответственно; s_-1,t_-1 -предел усталостной прочности образца с диаметром d =(8 ¸  12) × ×10^-3 м.

      Графики e_s, e_t изображены на рис. 9.6, где кривая 1 относится к углеродистой стали, 2 - к полированной стали, 3 - к полированной стали с наличием концентрации напряжений, 4 - к сталям, имеющим высокую степень концентраций напряжений.

Рис. 9.6

9.3. Запас усталостной прочности и его определение

      Сначала построим диаграмму усталостной  прочности (часто, для простоты рассуждений предельную линию представляют в виде прямой) и покажем на ней рабочую точку М цикла (с координатами s_m и s_а ) в случае, если рассматриваемый элемент испытывает только простое растяжение и сжатие (рис. 9.7).

      Рассмотрим  все те циклы, рабочие точки которых  лежат на одной прямой (рис. 9.7) и для которых справедливо выражение s_а = = s_m tga. С учетом (9.1) и после несложных преобразований можно получить, что:

.

где R - коэффициент асимметрии цикла.

      Значит, можно сделать вывод о том, что все подобные циклы лежат  на одной прямой. Тогда, под запасом  усталостной прочности будем  понимать отношение отрезка ON к отрезку OM (рис. 9.7):

,    (9.6)

где точка M соответствует действующему циклу, а точка N получается вследствие пересечения предельной прямой и продолжения отрезка OM (рис. 9.7).

      Это отношение характеризует степень  близости рабочих условий к предельным для данного материала. В частном случае при постоянных статических нагрузках s_а = 0, данное определение запаса прочности совпадает с обычным.

Рис. 9.7

Для определения  (т.е. в ситуации когда действуют лишь нормальные напряжения) в инженерной практике применяется как графический, так и аналитический способ. При графическом способе строго по масштабу строится диаграмма предельных напряжений в системе координат s_а и s_m . Далее, на этой диаграмме наносится рабочая точка и определяется отношение величин отрезка ON и OM. Для определения расчетных зависимостей для воспользуемся условием подобия треугольников OND и OMK и получим:

.  (9.7)

      Полученный  коэффициент запаса соответствует  идеальному образцу. Реальная же его величина зависит, как отмечалось выше, от геометрии, размеров и состояния поверхности образца, учитываемых коэффициентами К_-1, e_s и b, соответственно. Для этого необходимо предел усталости при симметричном нагружении уменьшить в раз, или, что тоже самое, амплитудное напряжение цикла увеличить в раз. И тогда (9.7) принимает вид:

,   (9.8)

где

.     (9.9)

      Аналогичным образом могут быть получены соотношения  усталостной прочности и при чистом сдвиге. Эксперименты показывают, что диаграмма усталостной прочности для сдвига заметно отличается от прямой линии, свойственной простому растяжению-сжатию, и имеет вид кривой. В первом приближении эту кривую в координатных осях t_a , t_m  можно представить в виде двух наклонных, как это изображено на рис. 9.8. Причем, если одна из них (ближняя к оси ординат) соответствует разрушению образца вследствие усталостных явлений, то другая - по причине наступления пластического состояния.

Рис. 9.8

В данном случае расчетная формула для  записывается в виде

,   (9.10)

где - эмпирическая величина, определенная на основе обработки экспериментальных данных.

      При сложном напряженном состоянии, т.е. если в рабочей точке при действии внешних нагрузок одновременно возникают как нормальные, так и касательные напряжения, для вычисления n_R применяется следующая приближенная формула:

,   (9.11)

где n_R - искомый коэффициент запаса усталостной прочности; - коэффициент запаса усталостной прочности в предположении, что касательные напряжения в рабочей точке отсутствуют; - коэффициент запаса прочности по усталости при предположении, что в рабочей точке нормальные напряжения отсутствуют.

      Резюмируя заметим, как это было показано в  настоящем разделе книги, в настоящее время в связи с тем, что физические основы теории твердого деформируемого тела недостаточно развиты, многие предпосылки современной теории усталостной прочности базируются на эмпирической основе. Отсутствие твердых предпосылок в теории выносливости, в современном виде лишает ее нужной строгости. Так как полученные эмпирические зависимости не являются универсальными, сами результаты расчетов являются достаточно приближенными. Однако указанные приближения оказываются допустимыми для решения инженерных задач.

9.4. Пример расчета (задача № 18)

      Для цилиндрической клапанной пружины (рис. 9.9) двигателя внутреннего сгорания определить коэффициент запаса прочности аналитически и проверить его графически по диаграмме предельных амплитуд, построенной строго в масштабе.

      Диаметр пружины D = 0,04 м, диаметр проволоки пружины d = = 0,004 м. Сила, сжимающая пружину в момент открытия клапана, Р_max = 0,240 кН, в момент закрытия клапана - Р_min = 0,096 кН. Материал проволоки пружины - хромованадиевая сталь с механическими характеристиками, предел текучести t_T = 900 МПа, предел выносливости при симметричном цикле t_-1 = 480 МПа, предел выносливости при нулевом (пульсирующем) цикле t₀ = 720 МПа. Для проволоки пружины эффективный коэффициент концентрации напряжений k_t = 1,05, коэффициент влияния качества обработки поверхности b = 0,84, коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения e_t = 0,96.

Рис. 9.9

      Решение

1. Определение максимального t_max и минимального t_min напряжений в проволоке пружины и вычисление коэффициента асимметрии цикла R. Для вычисления напряжений используем формулу:

где k - коэфф., учитывающий поперечную силу и неравномерность распределения напряжений от ее воздействия, а также влияние деформации изгиба вследствие кривизны витков пружины.

      Этот  коэффициент можно определить по приближенной формуле:

где  - характеристика геометрии пружины. В данном примере , тогда .

      Определим величины напряжений:

435,4×10³ кН/м²,

174,210³ кН/м².

      Коэффициент асимметрии цикла:

      2. Нахождение среднего t_m и амплитудного t_a напряжений цикла. Найдем величину среднего и амплитудного напряжений цикла в зависимости от t_max и t_min:

 кН/м²,

 кН/м².

      3. Определение коэффициента запаса прочности. Деталь (пружина) может перейти в предельное состояние по усталости и по причине развития пластических деформаций. Коэффициент запаса прочности по усталости определяются по формулам (9.10):

где t_-1 - предел выносливости при симметричном цикле; величины К_P и y определяются по зависимостям, приведенным в п.9.3:

      Коэффициент запаса усталостной прочности:

      Коэффициент запаса по пределу текучести можно получить аналогичными рассуждениями, как и коэффициент запаса усталостной прочности, учитывая, что предельная прямая по текучести проходит под углом 45° к горизонту (рис. 9.8). В итоге:

      Так как, 1,77 < 2,07, то коэффициент запаса прочности для пружины определяется усталостью и равен 1,77.

      Для анализа рассмотрим ситуацию, когда  в момент закрытия клапана на него действует сжимающая сила Р_min = 0,18 кН. Тогда имеем:

минимальное значение напряжения:

среднее напряжение

амплитудное напряжение

коэффициент запаса прочности по усталости

коэффициент запаса прочности по пределу текучести

      Так как 2,07 < 2,43, то коэффициент запаса выбирается по пределу текучести и принимается равным 2,07.

Вопросы для самопроверки 

1. Какие процессы называются усталостью?
2. Поясните свойство материалов называемое выносливостью.
3. Поясните суть коэффициента асимметрии цикла.
4. Какие нагрузки называются циклическими?
5. Перечислите основные факторы оказывающие влияние на усталостную прочность образцов.
6. Дайте определение коэффициента запаса усталостной прочности.
7. Зависит ли диаграмма усталостной прочности от вида напряженного состояния изделия?
8. Что вы понимаете под термином «коэффициент концентрации напряжений»?
9. Что вы понимаете под термином «коэффициент качества обработки поверхности изделия»?

Что Вы понимаете  под термином «коэффициент масштабного фактора