Прошлое и настоящее комплексных чисел

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное образовательное  учреждение

среднего  профессионального образования

Бугурусланский  нефтяной колледж 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Прошлое и настоящее комплексных  чисел

Реферат по математике 
 
 
 

                                               Работу выполнила

                                         Гнеушева О.В.

                                             студентка II курса

                                                                 специальности «Экономика и

                                                                     бухгалтерский учёт» 

                                       Руководитель

                                      Громова В.А.

                                                             Преподаватель математики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Бугуруслан 2011 
 
 
 
 

Содержание 

1. Введение.
2. Прошлое комплексных чисел.
3. Комплексные числа. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.
4. Операция сопряжения и ее свойства.
5. Извлечение корней.
6. Геометрический смысл алгебраических операций.
7. Формула Кердано.
8. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.
9. Заключение.
10. Литература.

1. Введение.

    Слово «математика» возникло в Древней  Греции примерно в V веке до нашей эры. «Матема» - «учение»; «знания, полученные через размышления».

    Число - одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета  или измерения.

     Итальянский алгебраист Дж. Кардано  в 1545 г. предложил ввести числа новой  природы.

     Он показал, что система уравнений                         не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида                                  ________,________ , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что                          __________.

    Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины.

    В 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой  были установлены первые правила  арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

    Решение многих задач физики и техники  приводит к квадратным уравнениям с  отрицательным дискриминантом. Эти  уравнения не имеют решения в  области действительных чисел. Но решение  многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

    Цель  настоящего реферата знакомство с историей появления комплексных чисел, с  действиями с комплексными числами, решение уравнений с комплексным переменным.

2.  Прошлое комплексных чисел

    В связи с развитием алгебры, математикам  потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных  чисел, числа нового рода. Комплексные числа.

    Итальянский математик Кардано в середине 16-ого века для решения кубических уравнений ввел квадратные корни из отрицательных чисел. Квадратные корни из отрицательных чисел он назвал софистическими, т.е. мудреными.

    Решения уравнений третьей степени по формулам Кардано исследовал итальянский  математик Бомбелли. Он обнаружил некоторые свойства комплексных чисел.

    Французкий  математик Декарт в 30-х годах 17-ого  века ввел наименование мнимые числа, которое применяется по сей день.

    В противоположность мнимым числам прежде известные числа (положительные  и отрицательные, в том числе иррациональные) стали называть действительными или вещественными.

    Сумма действительного и мнимого чисел  и называется комплексным числом. Это термин впервые ввел немецкий математик и астроном Гаусс в 1831-ом году.

    В 18-ом веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но само существование комплексных чисел многим казалось сомнительным.

    В 1707-ом году Муавр открыл формулу  Муавра для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных  чисел, заданных в тригонометрической форме.

    Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в середине 18-ого  века русский академик Эйлер.

    На  рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831г., когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом, он стал всеобщим достоянием. 

3. Комплексные числа.  Геометрическое изображение  комплексных чисел.  Тригонометрическая  и показательная  формы. 

    Комплексными  числами называются числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, а число i, определяемое равенством i² = -1, называется мнимой единицей, если для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом:

1. два комплексных числа a₁ + b₁i и a₂ + b₂i называются равными, если  a₁ = a₂ и b₁ = b₂;
2. суммой двух комплексных чисел a₁ + b₁i и a₂ + b₂i называется комплексное число (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂);
3. произведением двух комплексных чисел a₁ + b₁i и a₂ + b₂i называется комплексное число (a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i.

     Модулем комплексного числа a + bi называется неотрицательное число, равное √a² + b² и обозначается |z| = |a + bi|. 

    Два комплексных числа  a + bi и a - bi  называются сопряженными. Комплексные числа вида a + bi и -a - bi  называются противоположными.

    Замечание. Понятия «больше» или «меньше» для  комплексных чисел           лишено смысла (не принято никакого соглашения).

    Если  на плоскости введена декартова  система координат 0xy, то всякому  комплексному числу z=x+iy может быть поставлена в соответствие некоторая  точка М(х,у) с абсциссой «х»  и ординатой «у», а также радиус – вектор 0М. При этом говорят, что точка М(х,у) (или радиус – вектор 0М) изображает комплексное число z=x+iy.

    Плоскость, на которой изображаются комплексные  числа называется комплексной плоскостью, ось 0у – мнимой осью.

       Число r=√x2+y2, равное длине вектора, изображающего комплексное число, т.е. расстоянию от начала координат до изображающей это число точки, называется модулем комплексного числа z=x+iy и обозначается символом |z|.

       Угол  φ=(0М,ˆ0х) между положительным направлением оси 0х и вектором 0М, изображающим комплексное число z=x+iy ≠0, называется его аргументом. 
 

                                              Рис. 1

    Из  определения видно, что каждое комплексное  число (≠0), имеет бесконечное множество  аргументов. Все они отличаются друг от друга на целые кратные 2π и обозначаются единым символом Argz (для числа z=0 аргумент не определяется, не имеет смысла).

    Каждое  значение аргумента совпадает с  величиной φ некоторого угла, на который следует повернуть действительную ось (ось 0ч) до совпадения ее направления с направлением радиус-вектора точки М, изображающей число z (при этом φ > 0, если поворот совершается против часовой стрелки и φ <0 в противном случае). Таким образом, аргумент комплексного числа z=x+iy ≠0 есть всякое решение φ системы уравнений cosφ=x/√x2+y2; sinφ=y/√x2+y2.

    Значение Argz при условии 0≤Argz<2π называется главным значением аргумента  и обозначается символом argz. В некоторых  случаях главным значением аргумента  считают наименьшее по абсолютной величине его значения, т.е. значение, выделяемое неравенством -π<φ≤π.

    Между алгебраическими х, у и геометрическими r, φ характеристиками комплексного числа существует связь, выражаемая формулами x=rcosφ, y=rsinφ, следовательно, z=x+iy=r(cosφ+isinφ). Последнее выражение, т.е. z= r(cosφ+isinφ)     (6)   называется тригонометрической формой комплексного числа. Любое число z≠0 может быть представлено в тригонометрической форме.

    Для практики число вида (cosφ+isinφ) удобнее  записывать короче, с помощью символа eiφ=cosφ+isinφ       (7). Доказанное для любых чисел φ (действительных или комплексных) это равенство  называется формулой Эйлера. С ее помощью  всякое комплексное число может  быть записано в показательной форме z=reiφ     (8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    4. Операция сопряжения и ее свойства. 

    Для данного комплексного числа z=x+iy число x-iy (отличающееся от z лишь знаком при  мнимой части) называется сопряженным  и обозначается символом z. Переход от числа z к числу z называется сопряжением, а сами эти числа сопряженными (друг к другу), т.к. (z)=z. Из определения следует, что только действительное число сопряжено самому себе. Геометрически сопряженные числа изображаются точками, симметричными относительно действительной оси (рис.2).

    y 
 
 

          z₁ = x + iy

     0 x 
 

          Z₂ = x - iy

рис.2

    Отсюда  следует, что |z₁|=|z₂|, argz=-argz. Кроме того,

          z+z=2x=2Rez; 

         z-z=2iy=2iImz; 

         zz=x2+y2=|z|2,

      а также: z1+z2=z1+z2; z1z2=z1z2; (z1/z2)=z1/z2; P(z)=P(z), где Р (z) – любой многочлен с действительными коэффициентами; (P(z)/Q(z))=(P(z)/Q(z)), где P и Q – многочлены с действительными коэффициентами.

    5. Извлечение корней. 

    Извлечение  корня из комплексного числа есть действие, обратное возведению в степень. С его помощью по данной степени (подкоренное число) и данному показателю степени (показатель корня) находят основание (корень). Иначе говоря, это действие равносильно решению уравнения zn=a для нахождения z. В множестве комплексных чисел действие извлечения корня всегда выполнимо, хотя причем и неоднозначно: в результате получается столько значений, каков показатель корня. В частности, квадратный корень имеет ровно два значения, которые можно найти по формуле: 

    √a=√α+iβ=±((√|a|+α)/2 ± i(√|a|-α)/2)), где знак «+» в скобках берется при β>0,  «-» - при β<0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    6.  Геометрический смысл  алгебраических операций. 

    Пусть даны два комплексных числа z1 и z2. В результате сложения этих чисел  получается число z3, изображаемое вектором 0С диагонали параллелограмма 0АСВ (по правилу параллелограмма сложения векторов): z1+z2=0A+0B=0C=z3.

    Разность (z1-z2) данных чисел, соответствующая  их вычитанию, можно рассматривать  как сумму вектора 0А, изображающего  число z1 и вектора 0D=--0В, противоположного вектору 0В (симметричного ему относительно начала координат): z1-z2=z1+(-z2)=0A+0D=0E=BA. Таким образом, разности (z1-z2) данных чисел соответствует вектор ВА другой диагонали параллелограмма 0АСВ.

    Для иллюстрации остальных алгебраических действий над комплексными числами более удобна тригонометрическая форма.

    Умножение. Пусть даны два комплексных числа z1=r1(cosφ1+isinφ1) и z2=r2(cosφ2+isinφ2). Перемножая их получим z1z2=r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)). Следовательно, при умножении комплексных чисел  их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило верно и для любого числа сомножителей.

    Деление. Если требуется разделить z1 на z2, то выполняем следующие преобразования: z1/z2=(z1z2)/(z2z2)=(r1(cosφ1+isinφ1)r2(cosφ2-isinφ2))/ (r2(cosφ2+isinφ2)r2(cosφ2-isinφ2))=(r1/r2)(cos(φ1-φ2)+isin(φ1-φ2)), т.е. при делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

    Возведение  в степень. Умножая число z=r(cosφ+isinφ) само на себя «n» раз, получаем согласно правилу умножения zn=rn(cosφ+isinφ)n=rn(cosnφ+isinnφ). Таким образом, при возведении комплексного числа в степень «n» в ту же степень возводимся его модуль, а аргумент умножается на «n» (на показатель степени). В частном случае, если r=1, то предыдущее равенство принимаем вид (cosφ+isinφ)n= cosnφ+isinnφ (9). Полученная формула называется формулой Муавра (1667-1754).

    Извлечение  корня. Пусть а=reiφ, z=ρeiσ. Решаем уравнение zn=a для вычисления n√a: ρneinσ=reiφ. Отсюда с учетом того, что аргументы чисел  отличаются на целое кратное числу 2π, получаем: ρn=r, nσ-φ=2πK, или ρ=n√r; σK+1=(φ+2πK)/n (причем К=0,1,2…n-1). Таким образом, zk=n√r(cosφ+isinφ)=n√r((cosφ+2Kπ)/n+isin(φ+2Kπ)/n))         (10), где n√r , - арифметический корень, а К=0,1,2,…,n-1; т.е. корень степени n в множестве комплексных чисел имеет “n” различных значений zk (исключение представляет z=0. В этом случае все значения корня равны между собой и равны нулю).

    Заметим также, что разность между аргументами  соседних чисел zk+1 и zk постоянна и  равна 2π/n: σk+1-σk=(φ+2π(K+1))/n-(φ+2πK)/n=2π/n. Отсюда следует, что все значения n√a располагаются на комплексной плоскости в вершинах некоторого правильного n-угольника с центром в начале координат. 
 
 
 
 
 
 
 

    7. Формула Кардано. 

    Рассмотрим  приведенное алгебраическое уравнение 3-ей степени: x3+ax2+bx+c=0     (11).

    С помощью замены x=y-a/3 это уравнение  примет вид y3+py+q=0     (11’), где p и q – новые коэффициенты, зависящие  от a,b,c. Пусть у0 – какой либо корень уравнения (11’). Представим его в  виде у0=α+β, где α и β – неизвестные  пока числа, и подставим в уравнение. Получим α3+β3+

    +(α+β)(3αβ+p)+q=0  (12). Выберем теперь α и β  так, чтобы 3αβ+р=0. Такой выбор  чисел α и β возможен, т.к.  они (вообще говоря комплексные)  удовлетворяют системе уравнений  

          α+β=у0;

         αβ=-р/3, а значит, существуют. 

    При этих условиях уравнение (12) примет вид  α3+β3+q=0, а т.к. еще           α3β3=-р3/27, то получаем систему 

        α3+β3=-q;

       α3β3=-р3/27,

из которой  по теореме Виета следует, что  α3 и β3 являются корнями уравнения t2+qt-p3/27=0. Отсюда находим: α3=-q/2+√q2/4+p3/27;                    β3=-q/2-√q2/4+p3/27, где √q2/4+p3/27 означает одно из возможных значений квадратного корня. Отсюда следует, что корни уравнения (11’) выражаются формулой D=(q/2)2+(p/3)3.

y1.2.3=n√-q/2+√q2/4+p3/27+3√-q/2-√q2/4+p3/27, причем для каждого из трех значение первого корня 3√α соответствующие значения второго корня 3√β нужно брать так, чтобы было выполнено условие αβ=-р/3. Полученная формула называется формулой Кардано (ее можно записать в более компактном виде у=3√α+3√β, где α=-q/2+√q2/4+p3/27; β=-q/2-√q2/4+p3/27. Подставив в нее вместо р и q их выражения через a,b,c и вычитая а/3, получим формулу для уравнения (11).

8. Метод Феррари  для уравнения  4-ой степени. 

    Рассмотрим  приведенное уравнение 4-ой степени x4+ax3+bx2+cx+d=0      (13). Сделав замену переменной х=у-а/4, получим уравнение у4+ру2+qy+r=0   (14) c коэффициентами p,q,r, зависящими от a,b,c,d. Преобразуем это уравнение к виду (y2+p/2)2+qy+(r-p2/4)=0, а затем, введя произвольное пока число α, представим его левую часть в равносильной форме                          

     (y2+p/2+α)2-[2α(y2+p/2)+α2-qy+p2/4-r]=0  (15).

    Выберем теперь число α так, чтобы выражение  в квадратных скобках       2αy2-qy+(αp+α2+p2/4-r)  стало полным (точным) квадратом относительно у. Для этого  нужно, чтобы его дискриминант был равен нулю, т.е. чтобы           q2-8α(αp+α2+p2/4-r)=0, или 8α3+8pα2+8α(p2/4-r)-q2=0. Таким образом, для нахождения α получается уравнение 3-ей степени, и задача сводится к предыдущей. Если в качестве «α» взять один из корней этого уравнения, то левая часть уравнения (15) будет разностью квадратов и поэтому может быть разложена в произведение двух многочленов 2-ой степени относительно «у». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

9. Заключение. 

    В настоящем реферате дано понятие  комплексных чисел, история  их возникновения. Рассмотрены различные формулы для вычисления комплексных чисел. В реферате также рассмотрена  геометрическая интерпретация комплексных чисел в виде векторов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

10. Литература. 

1.  Кураш  А.Г. «Алгебраические уравнения  произвольных степеней». М., «Наука», 1983.

2.  Маркушевич  А.И. «Комплексные числа и конформные  отображения». М., «Физматгиз», 1960.

3.  Стройк  Д.Я. «Краткий очерк истории  математики». М., «Наука», 1969.

4.  Яглом  И.И. « Комплексные числа и  их применение в геометрии». М., Физматгиз, 1963.

5.  Справочник  по элементарной математике (для  поступающих в ВУЗы) под редакцией  Фильчакова П.Ф. «Наукова Думка», Киев – 1972.

6. Н.В. Богомолов «Практические занятия по математике», М., «Высшая школа», 1999.