Производная по направлению

 Производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления. 

Геометрический смысл производной.  Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Рассмотрим  график функции y = f ( x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:  xf(x0+ x)−f(x0)=tg , где  - угол наклона секущей AB.  
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей.  
Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то  x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС.  
Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точкеA. 
Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Физический смысл производной.

Пусть функция f ((t)) - закон движения (изменения координат) материальной точки,  t

– время. Тогда 

                            мгновенная скорость движения  материальной точки в момент  времени t

Соответственно, вторая производная функции – скорость изменения

скорости, т.е. ускорение. 

Направляющие  косинусы вектора  – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.

Чтобы найти направляющие косинусы вектора 

a= {a_x; a_y; a_z} необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора:

Н. к. связаны  соотношением

cos²a + cos²b + cos²g = 1. 
 

Градие́нт — вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины  , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля).

Направление градиента  есть направление наибыстрейшего возрастания функции. Г. ф. в данной точке перпендикулярен поверхности уровня, проходящей через эту точку. 

Связь с производной  по направлению

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции   по направлению   равняется скалярному произведению градиента   на единичный вектор  :

Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.