Распределение случайных величин и их числовые характеристики

 

ФГОУ  ВПО  Государственный  аграрный университет Северного  Зауралья

                              Институт экономики и финансов

                               Кафедра математических наук 

 

 

                                              РЕФЕРАТ

                                               по теме :

«Распределение случайных  величин и их числовые характеристики»

 

 

 

                       Выполнила: студентка 2 курса

                       группы Б-ЭБ24  Глухова Н.Д

    Проверила:  доцент кафедры математики

                                              Мальчукова Н.Н

 

 

                                           Тюмень 2013

                                         СОДЕРЖАНИЕ 

 

Нумерация	Наименование глав	Страницы
	Введение	3
1.	Случайные величины	4
2.	Классификация случайных  величин	5
3.	Закон распределения случайной  величины	6
4.	Функция распределения случайной  величины и ее свойства	7
5.	Числовые характеристики непрерывных случайных величин	9
5.1	Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный           смысл и свойства	9
5.2	Дисперсия случайной величины и ее свойства	13
5.3	Среднеквадратическое отклонение	16
	Заключение	17
	Список литературы	18
	Приложение	19

 

 

 

 

 

                                              Введение

         Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения, особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники.

           Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий, мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                              1.Случайные величины

         Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайная величина является числовой характеристикой результата эксперимента, которая принимает свои значения в зависимости от элементарного события. Примером случайной величины могут быть: число очков, выпадающих при одном бросании игральной кости, число граждан, которые имеют высшее образование среди взятых наугад n человек, число бракованных изделий в партии из N штук, время безотказной работы прибора и т.д.

         Случайная величина обычно обозначается прописной латинской буквой , ее конкретные значения – строчными буквами .Случайной величиной называется функция , определенная на множестве элементарных событий , .

 

 

 

 

 

 

 

 

                       2.Классификация случайных величин

          Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Величина называется дискретной, если она может принимать определенные, фиксированные значения.

          Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга. Пусть дискретная случайная величина может принимать значений: . Для полной характеристики этой случайной величины должны быть заданы еще и вероятности появления указанных значений .

 

         

                 3.Закон распределения случайной величины

         Соответствие между всеми возможными значениями дискретной  случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.

          Законом распределения случайной дискретной величины называется совокупность пар чисел ( ), где – возможные значения случайной величины, а – вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем .

Таблицу значений дискретной случайной величины , если это целесообразно, формально всегда можно пополнить конечным набором любых чисел, считая их значениями с вероятностями, равными нулю.

          Случайные величины и называются независимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой и не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина. В противном случае эти величины называются зависимыми. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если возможные значения и законы распределения любой из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.

 

    

 

 

 

 

 

 

 

      4. Функция распределения случайной величины и ее свойства

           Как для дискретной величины, так и для непрерывной вводится понятие функции распределения.

           Пусть – случайная величина, определенная на множестве элементарных событий , , а – произвольное действительное число. В общем случае функция должна быть такова, чтобы для любых событие , состоящее в том, что случайная величина попадает в интервал , принадлежала полю событий и, таким образом, для любого такого события была определена вероятность .

           Тогда вероятность того, что примет значение, меньшее, чем , равна значению функции распределения вероятностей данной случайной величины , соответствующее значению аргумента , т.е. функция распределения вероятностей данной случайной величины представляет собой вероятность события , где – задаваемые непрерывно изменяющиеся значения, т.е. .

           Рассмотрим функцию распределения случайной дискретной величины , принимающей значения .

           Если , то , так как в этом случае событие является невозможным.

           Если , то событие наступит тогда и только тогда, когда наступит событие , поэтому .

         Если , то событие равно сумме событий , и .

         Аналогично, если , то .

          Таким образом, функция распределения случайной дискретной величины равна , где , и суммирование производится по тем , для которых .

          Если дискретные значения случайной величины расположены в порядке возрастания, то каждому значению этих величин ставится в соответствие сумма вероятностей всех предыдущих значений и вероятности , это указано в таблице (см.Приложение1)

            В точках функция распределения имеет скачки, равные вероятности того, что случайная величина примет соответствующее значение.

                                  Свойства функции распределения:

  Функция распределения принимает значения из промежутка : .

  Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности : .

  Функция распределения – неубывающая функция, т.е. при .

 

.

Если  , то .

Если  , то .

 

 

 

 

        5. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

5.1 Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный                         смысл и свойства

 В некоторых случаях закон распределения случайной величины неизвестен, или просто целесообразно использовать не таблицу или функцию распределения для представления случайной величины, а так называемые числовые характеристики ее распределения, в частности математическое ожидание.

           Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма парных произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности:

 

,где  .

Очевидно, математическое ожидание случайной величины не изменится, если таблицу значений этой случайной величины пополнить конечным числом любых чисел, считая, что вероятности этих чисел равны нулю. Математическое ожидание случайной величины есть величина постоянная и поэтому представляет числовую характеристику случайной величины .Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического  ожидания можно сформулировать в  виде теорем.

          1. Теорема. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине.

Доказательство. Постоянную величину можно рассматривать как случайную дискретную величину, принимающую лишь одно возможное значение с вероятностью . Поэтому .

          2. Теорема. Математическое ожидание суммы двух (или нескольких) случайных величин и равно разности их математических ожиданий

 

         Доказательство:

1) Пусть случайная величина  принимает значения с вероятностями ( ), а случайная величина принимает значения с вероятностями ( ). Тогда возможными значениями случайной величины будут суммы , вероятности которых равны:

  .

Как уже отмечалось ранее, все комбинации ( ) ( , ) можно считать допустимыми, причем, если сумма невозможна, то полагаем, чт .

 

 

         Сумма представляет собой вероятность события, состоящего в том, что случайная величина принимает значения при условии, что случайная величина примет одно из своих возможных значений (что достоверно); это сложное событие, очевидно, эквивалентно тому, что принимает значение и поэтому

  Аналогично

   Тогда    

               

   Для нескольких случайных величин, например для трех , и , имеем:

 

  , и т.д.

 Следствие. Если – постоянная величина, то:

 

         3. Теорема. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин и равно произведению их математических ожиданий:

  .

        Доказательство. Пусть случайная величина принимает значения ( , ) ( ) и ( , ) ( ) – законы распределения случайных величин и . Так как и – независимы, то полный набор значений случайной величины состоит из всех произведений ( , ), причем вероятности этих значений по теореме умножения для независимых событий равны

               

         Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. . Если – постоянная величина и – любая случайная величина, то, учитывая, что и – независимы, получим:

.

 

 

        Следствие. Математическое ожидание разности двух случайных величин и равно разности их математических ожиданий:

 

        Доказательство.

           

.

 

           

 

          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          5.2 Дисперсия случайной величины и ее свойства

    На практике часто требуется оценить рассеяние случайной величины вокруг ее среднего значения. Использовать в качестве такой характеристики отклонение случайной величины от ее математического ожидания не представляется возможным.

             Теорема. Для любой случайной величины математическое ожидание ее отклонения равно нулю, т.е.

.

             Доказательство. Действительно, учитывая, что – постоянная величина, имеем:

Такой характеристикой степени  рассеяния случайной величины является дисперсия.

    Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

. Очевидно, что дисперсия случайной величины постоянна, т.е. является числовой характеристикой этой величины.

Если случайная величина имеет закон распределения  , то .

     Так же как и для математического ожидания, свойства дисперсии можно сформулировать в виде теорем.

    Теорема. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Доказательство. Если – постоянная величина, то и, следовательно, . Этот результат очевиден, поскольку постоянная величина изображается точкой на числовой оси и не имеет рассеяния.

            Теорема. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат .

Доказательство. Если – постоянный множитель, а – случайная величина, то – тоже случайная величина, математическое ожидание которой . Применяя к случайной величине определение дисперсии, получаем:

.

            Теорема. Дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания ее квадрата и квадрата математического ожидания самой величины: .

             Доказательство. Используя основные теоремы о математическом ожидании можно записать:

  Теорема. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

           Доказательство. Поскольку , следовательно:

,

где – так называемый корреляционный момент величин и . Если случайные величины и независимы, то        случайные величины и , очевидно, также независимы, поэтому:

Следствие 1. Дисперсия суммы  нескольких взаимно независимых  случайных величин равна сумме  дисперсий этих величин.

Следствие 2. Если – постоянная величина, то .

Следствие 3. Дисперсия разности двух независимых случайных величин  равна сумме дисперсий этих величин, т.е. если случайные величины и независимы, то .

          Доказательство.

. 

           Математическое ожидание и дисперсия случайной величины являются ее основными числовыми характеристиками.

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         

 

 

 

            5.3 Среднеквадратическое отклонение

 Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг его среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратичное отклонение.

 Средним квадратичным отклонением (или стандартом) случайной величины называется корень квадратный из дисперсии этой величины: .

           Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность совпадает с размерностью . Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратичное отклонение, а не дисперсию.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                      

 

 

 

 

 

                                         Заключение

В заключение хотелось бы еще  раз вспомнить о том, что подавляющее  большинство природных явлений, а также явлений повседневной жизни содержат в себе элементы случайности. Окружающий нас мир насыщен случайными событиями: результаты спортивных состязаний, номера выигравших билетов в лотереях,  количество солнечных дней в течение  года и так далее.

Знание закономерностей, которым подчиняются случайные  явления, позволяет предвидеть, как  эти явления будут протекать. Теория вероятностей не ставит перед  собой задачу предсказать, произойдет или не произойдет некоторое событие. Установлением этих закономерностей  и занимается теория вероятностей.

Итак, в теории вероятностей изучаются реально существующие независимо от нашего сознания законы случайных явлений. Теория вероятностей предлагает математический аппарат  для описания этих законов.

 

 

 

 

 

 

 

 

                                 

 

  Список литературы

1. Е.С. Вентцель, Л.А.Овчаров. Теория вероятностей. М., «Наука», 2004г.
2. В.Е.Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. «Высшая школа», 2005г.
3. Б.В.Гнеденко. Курс теории вероятностей. М., 2006г.
4. Б.В.Гнеденко, А.Н.Колиогоров. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М., 2008г.
5. Ю.А.Розанов. Стационарные случайные процессы. М., «Наука», 2005г.

Интернет-источники

1. http://toehelp.ru/theory/ter_ver/1_1/
2. http://www.matburo.ru/tv_spr_sub.php?p=1
3. http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/veroyatnost-sobytiya.html
4. http://www.bibliotekar.ru/riskovye-situacii-2/41.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                        

 

                                      Приложение 1

Таблица1