Расширение понятия числа в школьном курсе математике

  МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

  ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

  НАБЕРЕЖНОЧЕЛНИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСЕИЙ ИНСТИТУТ 
 
 
 
 

  Расширение  понятия числа в школьном курсе математике 
 
 

                                      Выполнили: студентки

                             IV курса 721 группы

                             факультета математики

                             и информатики

                                      Сахипярова Регина        Мирзагитовна,

                                      Слепцова Юлия         Михайловна 

                                      Научный руководитель:          Галлямова Э.Х 
 

  Набережные  Челны,2011 

     История развития понятия  числа. Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами.            

 Существует  большое количество определений понятия числа.           

 Первое  научное определение числа дал  Эвклид в своих «Началах», которое  он, очевидно, унаследовал от своего  соотечественника Эвдокса Книдского  (около 408 – около 355 гг. до н.  э.): «Единица есть то, в соответствий, с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.).           

 Еще  раньше Эвклида Аристотель дал  такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору.           

 В  своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик,  механик, астроном и математик  Исаак Ньютон пишет: «Под числом  мы подразумеваем не столько  множество единиц, сколько абстрактное  отношение какой-нибудь величины  к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое  число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей».           

Мариупольский математик С.Ф.Клюйков также внес свой вклад в определение понятия числа: «Числа – это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания».

      Число - важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие числа изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним расширения круга вопросов, требовавшего количественного описания и исследования. На первых ступенях развития понятие числа определялось потребностями счёта и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем числа становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия числа определяется потребностями этой науки, что доказывает актуальность данной работы.

      Целью работы является изучение развития понятия числа и исследование соответствующий историко-генетический подход в общеобразовательной школе.

      Задачи:

1. Провести исторический анализ развития понятия числа;
2. Выполнить анализ учебников и учебных пособии по математике по теме исследования;
3. Рассмотреть сущность историко-гененического подхода;
4. Сделать вывод о соответствие последовательности изучения чисел в общеобразовательных школах историко-генетического подхода.

     Зарождение  и развитие понятия  числа.

     В основе математики лежит понятие  числа, одно из самых ранних и самых  абстрактных. Оно возникло как обобщение  счета отдельных предметов. Счет присущ не только человеку, но и, в некоторой  форме, и животным, например кошке, которая чувствует наличие при себе всех своих котят.

     Наиболее  ранняя форма счета носит конкретно-чувственный  характер. Такой счет можно обнаружить у первобытных людей и у  животных. Однако нельзя с уверенностью сказать, что только человек способен к абстрактному счету. Есть данные о способности приматов к символизации счета «Приматы способны распознавать и обобщать признак «число элементов», устанавливать соответствие между этим отвлеченным признаком и ранее нейтральными для них стимулами — арабскими цифрами. Оперируя цифрами как символами, они способны ранжировать множества и упорядочивать их по признаку «число», а также совершать число действий, соответствующее цифре. Наконец, они способны к выполнению операций, изоморфных сложению, но этот вопрос требует более точных исследований.» [4]. Переход от «чувственного счета» к абстрактному осуществляется при помощи взаимооднозначного соответствия между двумя множествами, одно из которых позже принимается как бы за эталон. Взаимооднозначное соответствие по началу носит также конкретно-чувственный характер (например, расположение элементов друг напротив друга). Таким способом пользуются даже современные люди, когда считают что-либо загибая пальцы. Считается, что именно счет на пальцах лежит в основе десятичной системы исчисления, принятой у европейских народов [8, стр. 11]. На этом этапе обобщения появляется знаковое обозначение числа. Первоначально это были зарубки на дереве, костях, узелки на веревках, количество которых совпадало со значением числа. Конкретно-чувственное происхождение чисел находит свое отражение в языке. «Вначале счет производился с помощью подручных средств:пальцев камней, еловых шишек и т.д. Следы этого сохранились в названии математических счислений: calculus, которое имеет латинское происхождение и означает: счет камешками» [9, стр. 17]. С развитием культуры и общества появляется потребность в использовании более больших чисел, так появляются разнообразные числовые системы. Современная десятичная система появилась в результате развития древних систем счисления. К системам счисления предшествующим десятичной относятся:

     • Иероглифические непозиционные  системы. К ней относится Римская  система. В ней числа формируется  из набора узловых чисел обозначенных иероглифами. Число образуется из этого набора путем дописывания справа или слева узлового числа других узловых чисел. Значения числа вычисляется по аддитивному или субстрактивному принципу.

     • Алфавитные системы счисления. Здесь  числа записываются при помощи букв. Чтобы отличить буквы от чисел, каждой букве приписывается отличительный признак. Буквы используемые для записи чисел берутся в группы по 9 штук. Для записи единиц десятков и сотен используются разные группы букв, что существенно осложняет ее использование.

     • Позиционные недесятичные системы счисления.

     Почти одновременно со счетом зарождаются  математические операции сложения и  вычитания (когда уменьшаемое больше вычитаемого). Позже появляется умножение, как повторное сложение. Деление  появляется значительно позже, чем  умножение, хотя представления о простых дробях  ( ) появляется сравнительно рано. Понятие о натуральных числах, как о бесконечном наборе чисел, возникло не сразу. Представления о неисчислимо больших числах сохранились в языке, например в русском словами «тьма», «много».

       Наиболее отчетливое представление о безграничном продолжении ряда натуральных чисел обнаружено у греческих математиков. В XII-VII веках до н.э. (времена Гомера) самым большим числом было мириада (1000), которое позже стала обозначать 10000. В III в до н.э. Архимед в своем труде «Исчиление песчинок» опроверг возможность построить сколь угодно большое число.

     Однако  даже в математике Древней Греции не было единого представления о  том, что такое число. Так в  школе Пифагора и Платона считали единицу не числом, а «эмбрионом числа». Стоит отметить, что мифологическое сознание древнегреческого общества еще не до конца воспринимало математические и философские абстракции. «Наименее доступны пониманию широких кругов были именно числа, эти наиболее абстрактные элементы науки того времени» [10, стр. 83]. По этим и другим причинам математика, ее методы и результаты выглядели мистически. Наиболее развитым и философски обоснованным мистическим взглядом на числа были пифагорейство и неопифагорейство. Упрощая, можно сказать, что пифагореизм в основе гармонии мира видел число, для пифагореизма все числа имели мистический смысл. Подобные взгляды можно встретить и сегодня. Однако следует признать, что проникновение в философию понятий математики чаще всего было плодотворным. В качестве примера можно привести категорию «Количество» в философии Канта и в диалектической логике, а также парадоксы теории множеств.

     Хотя  аксиоматически сначала строится множество  натуральных чисел, потом целые  числа, а потом уже рациональные, исторически рациональные числа появились раньше отрицательных чисел и нуля.

     Первоначально понятие нуля возникло в качестве обозначения нулевого разряда в  записи чисел. Первое достоверное использование  нуля обнаружено в Индии и относится  к IX веку. Однако точное происхождение цифры ноль в позиционных системах не известно. «Одни исследователи (Г. Фреуденталь) предполагают, что нуль был заимствован у греков...Другие (Дж. Нидэм), наоборот, считают, что нуль пришел в Индию с востока» [8, стр. 183]. В Индии наиболее ясно и полно исследовали вопрос о применимости к 0 арифметических операций, математиком Бхаскара даже исследовался вопрос о делении на на 0.

     Также в индийской математике было наиболее отчетливое представление об отрицательных  числах. «Индийские математики, начиная с Брахмагунты (VII в.н.э.), систематически пользовались отрицательными числами и трактовали положительное число как имущество, а отрицательное как долг» [8, стр. 190], хотя мы не можем утверждать, что отрицательные числа впервые появились в Индии. Было установлено, что квадрат отрицательного числа — число положительное, также ставились вопросы о наличии квадратного корня из отрицательного числа. Действиям с отрицательными числами посвящена целая глава в произведении Бхаскары «Виджаганита».

     Менее ясные представления об отрицательных  числах были и у китайцев. Их появление  было связано с задачами, которые  сегодня называются системы линейных уравнений. «Так как все вычисления, в том числе и преобразования матрицы, производились на счетной доске, то для обозначения отрицательных чисел применялись счетные палочки другого цвета или формы, а в случае записи применялись иероглифы разных цветов» [11, стр.84]. Юшкевич высказывает предположение о том, что представление об отрицательных числах имел Диофант [8, стр. 145].

     Хотя  идея ввести обозначение для «ничего» возникла в математике достаточно давно, но как число нуль долгое время  не воспринимался. Тем более полноправными  числами не воспринимались отрицательные  числа, мысль о том, что есть что-то меньше чем «ничто» многим казалась абсурдной. «...еще Кардано называет отрицательные числа «фиктивными» [8, стр. 315].

     Интерпретация отрицательного числа как «долга»  у индусов переняли арабы, использование  отрицательных чисел встречается  в работах арабского математика Абу-л-Вафы. Считается, что термин долг был заимствован математиком Средневековья Леонардо Пизанским (ок. 1170-после 1250, известен как Фибоначчи) у арабов. Кроме «долга» существовал термин «меньше, чем ничто». Зачатки геометрической интерпретации отрицательных чисел появляется в работе М. Штифеля «Полная арифметика», но только после работ Ферма и Декарта отношение к отрицательным числам кардинально изменилось. Применение отрицательных чисел и нуля сыграло важную роль в математике, позволило обобщить многие задачи, упростить некоторые вычисления и формализовать многие алгоритмы.

     Как было отмечено ранее, дроби появились  намного раньше чем целые числа ( ) и даже раньше чем операция деления. Они возникли из потребности делить целое на части, а также выражать величину через ее части. Дроби вида называемые долями известны человечеству со времен зарождения математического знания. Так египтяне имели обозначения для дробей вида (единичные), а также для , однако если им встречались дроби другого вида, они раскладывали их на сумму единичных дробей. Единичные дроби использовались на ранних этапах греками и шумерами. Дроби общего вида появляются в Греции, хотя изначально не принимаются как числа. Греки впервые построили, по нашим понятиям группу положительных рациональных чисел. «Только в Греции начали оперировать с дробями вида , причем умели производить с ними все действия арифметики с тем ограничением, что вычитать можно было из большего меньшее» [8, стр. 71].

     Дроби также были издавна известны в  Индии, упоминания о таких дробях как  относятся к середине II тысячелетия до н.э. Причем индийцы записывали их способом, напоминающий современный: числитель над знаменателем, но без разделительной черты. Также указывались правила обращения с такими объектами, аналогичные современным правилам обращения с дробями.

     Несколько слов стоит сказать о происхождении  десятичных дробей. Прообразом для десятичных дробей послужили шестидесятиричные дроби, используемые вавилонянами. Она напоминала современный способ записи дробей тем, что позволяла записывать целю и дробную часть однотипно, что значительно упрощало вычисления. Постепенно, возникают догадки,что это удобство не связано с какими-то особенными свойствами число 60. «Зреет мысль о том, что в основу системы таких дробей может быть положено и другое число...Понимание этой мысли можно видеть уже в учебнике арифметики середины XII в., приписываемом Иоанну Севильскому. Иордан Немораррий (XIII в.) дает даже специальное название таким систематическим дробям, аналогичным шестидесятеричным» [7, стр. 240]. Идея десятичных дробей использовалась некоторыми математиками, но до XIV века строгого их построения не было. В середине XIV в. французский математик Бонфис сделал попытку развить идею десятичного числа. Однако его работа носила эскизный характер и не была опубликована.

     В первой половине XV теорию десятичного  числа построил самаркандский математик Джемшид Гиясэддином ал-Каши. Он описал десятичную записи числа и описал правила обращения с десятичными дробями. Однако работы ал-Каши оставались неизвестными вплоть до середины XX века.

     В Европе десятичные дроби появились  благодаря инженеру Симону Стевину (1548-1620). Он объединил отдельные идеи и представления о десятичных дробях и пламенно их пропагандировал. Большой интерес матетиков вызвали периодические дроби. Они были впервые обнаружены арабским матетиком ал-Марадини в XV в. В Европе вопрос о периодических дробях был серьезно рассмотрен Валлисом в 1676 в трактате по алгебре. Вопросами периодических дробей занимались также Лейбниц, Ламберт, Эйлер, Бернулли, Гаусс и др.

  Анализ  последовательностир  расширения понятия числа в школьных учебниках. Понятие числа вводится в начальной школе, затем в курсе математики 5-6 классов и углубляется в старших классах.

      Понятие числа является стержневым, основным понятием математики и служит фундаментом, на котором строится изучение функций, тождественных преобразований, уравнений.

      Проводя в школьном курсе математики линию  развития понятия числа, учитель  придерживается принципа расширения множества  А до множества В, определенного  следующими условиями:

1. А должно быть подмножеством В.
2. Операции над элементами множества А те же, что и для элементов множества В, но смысл тех операций, которые были только во множестве А остается неизменным.

     Для того чтобы новые числа были равноправными, необходимо введение определений: понятие равенства, понятие «<», «>», т.е. установить критерии сравнения новых чисел между собой и с ранее известными понятиями суммы, понятиями произведения. Надо показать также, что новые числа подчиняются всем законам арифметических операций, установленных для изучаемых ранее чисел.

      Формирование  натурального числа начинается в начальной школе и основывается на наглядности. В 5 классе проводится систематизация и расширение сведений о натуральном числе. Изучение натуральных чисел здесь связано с формированием понятий «координатного луча», «уравнения» и «неравенства». При этом учащиеся должны твердо усвоить, что любое натуральное число может быть изображено точкой на координатном луче, но не каждой точке луча соответствует натуральное число. Выясняется такое свойство натуральных чисел как бесконечность. Особое внимание уделяется действиям над однозначными числами, многозначными числами, трудным случаям умножения и деления, действиям с 0 и 1 и в частности «закону поглощения 0».

      Знакомство  с отрицательными числами является следующим расширением понятия  числа. Их изучение очень сложно для учащихся. Впервые Рене Декарт рассматривал их самостоятельными, расположенными на оси X слева от начала координат. Он называл их сложными.

      Наибольшую  трудность в изучении отрицательных  чисел представляют обоснования  действий над ними. В учебной и методической литературе существуют два пути введения отрицательных чисел:

1. Формально логический. Он связан с внутренними потребностями математики – выполнение действия вычитания во всех случаях.
2. Реально конкретный. Он исходит из их непосредственных связей с действительностью.

      Для нового понятия отрицательного числа  надо не только дать определение, но и  сделать это новое число равноправным с ранее известными положит числами.

      В 8 классе в теме «рациональные числа» продолжается изучение положительных и отрицательных чисел, вводится понятие рационального числа, как числа, которое можно записать в виде дроби.

        А теперь рассмотрим какая последовательность изучения чисел дающиеся в учебниках математики в средних общеобразовательных школах?

      Для того, чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим наиболее  известные, используемые, в школах учебники. Как мы уже заметим, подробное изучение чисел начинается с 5 класса, поэтому рассмитрим учебники математики для 5 класса

      В учебнике «Математика, 5класс» Н.Я. Виленкин изучение чисел начинается с натуральных. В этом учебнике с самого начала курса 5 класса дается определение понятия натурального числа: «Натуральные числа – это числа, применяющиеся для счета преметов» [1]. Также отмечается, что число ноль не входит в натуральный ряд чисел, т.е. не считается натуральным числом.

      А, например, в учебнике «Математика, 5 класс» под редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф.Шарыгина изучение чиселначинается с краткой истории появления чисел, что способствует развитию интереса у учащихся. После чего вводится понятие натурального числа, которое анологично, по своему содержанию, к определении, дающему в учебнике  Н.Я.Виленкина. Нужно отметить, что в учебнике «Математика, 5 класс» Г.В.Дорофеева о сравнении чисел говориться в том же пункте, где и о понятии числа.

      Учебник «Математика, 5 класс» И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович. Введение понятия натурального числа  вводится следующим образом: «В начальной  школе вы познакомились с записью  чисел с помощью цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. эти цифры называются арабскими. Числа, которые могут быть получены в результате счета предметов - 1, 2, 3, 4, 5 и т.д., называют натуральными» [5]. Дается определение десятичной системы счисления.

      Рассмотрим  учебник «Математика, 6 класса» Н.Я.Виленкина. В данном учебнике изучение нового числа начинается с рассмотрения координатного луча, понятия координатной точки, понятия противоположных чисел. После изучения этих понятий вводится определение целого числа: «Натуральные числа, противоположные им числа и ноль называются целыми числами» [2]. И только после изучения положительных и отрицательных чисел, оперций, выполняемых над этими числами вводится понятие рационального числа: «число, которое можно записать в виде отношения , где – целое число, а – натуральное число, называют рациональным числом»[2].

      Учебник «Математика, 6 класс» И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович.  Остановимся на основных отличиях этого учебника от остальных учебников, которые используются в школе. Традиционно в учебниках 6-го класса темы «Положительные и отрицательные числа» и «Обыкновенные дроби» представлены в отдельных главах. Здесь в главу «Положительные и отрицательные числа» включается задания и с обыкновенными дробями, так как алгоритмы действия с обыкновенными дробями рассматриваются в 5-м классе учебника А.Г.Мордковича. После рассмотрения координатной прямой, определения противоположных чисел вводятся новые понятия чисел. «Натуральные числа, числа, им противоположные, и число 0 называют целыми числами. Все целые целые числа и все дроби (положительные и торцательные) называют рациональными числами. Говорят также, что все вместе они образуют множество рациональных чисел»[6].

      Из  выше сказанного можно сделать вывод  о том, что в многих учебниках математики для общеобразовательных школ дается следующая последовательность изучения чисел: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, иррациональные числа, действительные числа.

  Историко-генетический подход. В философии под генетическим методом (греч. genesis  -  происхождение, развитие) понимают способ иследования природных и социальных явлений, а также явлений познания, основанный на анализе их развития. Исторический этот метод возник в утверждения в науке (начиная с XVII века) идеи развития – закономерного и и направленного качественного изменения материальных и идеальных объектов, а его основная цель – выявление связей изучаемых явлений ао времени: начальных условий, главных этапов и тенденций их развития.

  В работах  педагогов, математиков, методистов можно встретить близкие по звучанию и по смыслу термины: «генетический подход(или принцип) в преподавание», генетический метод обучения», «генетическое обучение» , «генетическое изложение предмета (учебного материала)».

  Генетический  подход в преподавание заключается в том, что методика обучения предмету должна опираться, по мере возможности, на естественные пути и методы познания, присуще соответствующей науке, т.е. обучение должно следовать происхождения знания. При этом ученику отводится роль не пассивного слушателя и потребителя готовых знаний, а их активного добытчика.

  Пройденный  человеком за всю историю его  существонания путь указывает направление  для обучения и развитие отдельного человека, только учение преодолевает его с помощью учителя всего за несколько лет. При этом не следует вести его к цели «с закрытыми глазами»: он должен сам открыть истину, а не не воспринимать ее как готовый результат. Задача учителя состоит в том, что бы руковадить этой экспедицией открытий, а не быть простым зрителем. Как справедливо заметил А.Дистерверг, плохой учитель преподносит истину в готовом виде, а хороший учит ее находить.

  Так, например, излагая какой-нибудь раздел науки (или теорию), мы должны дать возможность  ребенку проследить важнейшие ступени умственной эволюции человечества. Конечно, при этом не  следует позволять ему повторять ту тысячу ошибок, которые были сделаны человечеством в прошлом.

     Новые воззрения в математическом анализе  не приживались гладко. Жестко критиковал учение Вейерштрасса, например, Кронекер. Критику Кантора можно уверенно сравнить с травлей. Но время доказало правильность выбранного курса. Привычный нам вид математического здания во многом был построен благодаря таким ученным как Вейерштрасс, Кантор и Дедекинд.

     Таким образом, число - важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие числа изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности.

     Основываясь на историко-генетическом подходе, развитие понятия числа целесообразно рассматривать следующей последовательности:

1. Натуральные числа;
2. Целые числа;
3. Рациональные числа;
4. Иррациональные числа;
5. Действительные числа.

     Анализируя  учебники и учебные пособия по метиматике можно сказать, что последовательность изучения чисел в общеобразовательных школах соответствует историко генетическому подходу.

Заключение.

1. Провели исторический анализ развития понятия числа;
2. Выполнили анализ учебников и учебных пособии по математике по теме исследования;
3. Рассмотренна сущность историко-гененического подхода;
4. Сделан вывод о соответствие последовательности изучения чисел в общеобразовательных школах историко-генетического подхода.

  Список  используемой литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений.- 8-е изд. – М.: Мнемозина, 2000.
2. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений.- 9-е изд. – М.: Мнемозина, 2001.
3. Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф. и др. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений.- 6-е изд. – М.: Просвещение: Дрофа, 2003.
4. З.А. Зорина, И.И. Полетаева. Элементарное мышление.
5. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений. – 9-е изд. – М.: Мнемозина, 2009.
6. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений. – 8-е изд. – М.: Мнемозина, 2009.
7. И.Я. Депман. История арифметики. M.:Просвещение, 1965.
8. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, под ред. А.П. Юшкевича. М.:Наука, 1970.
9. К.А. Рыбников. История математики. Т.1. изд. МГУ, 1960.
10. Э.Кольман. История математики в древности. М.: Физматгиз, 1961.

Приложение 1

  Расширение  понятия числа  в школьном курсе  математике.

  Сахипярова  Р.М., Слепцова Ю.М.

  Научный руководитель – ст. преподаватель Галлямова Э.Х.

  Г.Набережные Челны.

  В основе математики лежит понятие числа, одно из самых ранних и самых абстрактных.

     Число является одним из основных понятий  математики. Понятие числа развивалось  в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами.