Равновесие тел. Применение рычага

Статика 
Равновесие невращающихся тел 
Равновесие тел, имеющих ось вращения 
Общее условие равновесия тела 
Виды равновесия 
Равновесие тела на опоре

 

Статика. Основным признаком взаимодействия тел в динамике является возникновение ускорений. Однако часто бывает нужно знать, при каких условиях тело, на которое действует несколько различных сил, не движется с ускорением. Подвесим шар на нити. На шар действует сила тяжести, но не вызывает ускоренного движения к Земле. Этому препятствует действие равной по модулю и направленной в противоположную сторону силы упругости. Сила тяжести и сила упругости уравновешивают друг друга, их равнодействующая равна нулю, поэтому равно нулю и ускорение шара (рис. 1).

Точку, через которую проходит равнодействующая сил тяжести при  любом расположении тела, называют центром тяжести (рис. 2).

Раздел механики, изучающий  условия равновесия сил, называется статикой.

Равновесие невращающихся тел. Равномерное прямолинейное поступательное движение тела или его покой возможны только при равенстве нулю геометрической суммы всех сил, приложенных к телу.

Невращающееся тело находится в равновесии, если геометрическая сумма сил, приложенных к телу, равна нулю.

Равновесие тел, имеющих ось вращения. В повседневной жизни и технике часто встречаются тела, которые не могут двигаться поступательно, но могут вращаться вокруг оси. Примерами таких тел могут служить двери и окна, колеса автомобиля, качели и т. д. Если вектор силы лежит на прямой, пересекающей ось вращения, то эта сила уравновешивается силой упругости со стороны оси вращения (рис. 42).

Если же прямая, на которой лежит вектор силы , не пересекает ось вращения, то эта сила не может быть уравновешена силой упругости со стороны оси вращения, и тело поворачивается вокруг оси (рис. 43).

Вращение тела вокруг оси  под действием одной силы может быть остановлено действием второй силы . Опыт показывает, что если две силы и по отдельности вызывают вращение тела в противоположных направлениях, то при их одновременном действии тело находится в равновесии, если выполняется условие:

,

где и — кратчайшие расстояния от прямых, на которых лежат векторы сил и (линии действия сил), до оси вращения (рис. 44). Расстояние называется плечом силы, а произведение модуля силы на плечо называется моментом силы :

. (14.1)

Если моментам сил, вызывающим вращение тела вокруг оси по часовой  стрелке, приписать положительный  знак, а моментам сил, вызывающим вращение против часовой стрелки,— отрицательный  знак, то условие равновесия тела, имеющего ось вращения, можно сформулировать в виде правила моментов: тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

(14.2)

За единицу вращающего момента в СИ принимается момент силы в 1 Н, линия действия которой  находится на расстоянии 1 м от оси  вращения. Эту единицу называют ньютон-метром ( ).

Общее условие  равновесия тела. Объединяя два вывода, можно сформулировать общее условие равновесия тела: тело находится в равновесии, если равны нулю геометрическая сумма векторов всех приложенных к нему сил и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно оси вращения.

При выполнении общего условия  равновесия тело необязательно находится  в покое. Согласно второму закону Ньютона при равенстве нулю равнодействующей всех сил ускорение тела равно  нулю и оно может находиться в  покое или двигаться равномерно и прямолинейно.

Равенство нулю алгебраической суммы моментов сил не означает также, что при этом тело обязательно  находится в покое. На протяжении нескольких миллиардов лет с постоянным периодом продолжается вращение Земли  вокруг оси именно потому, что алгебраическая сумма моментов сил, действующих  на Землю со стороны других тел, очень  мала. По той же причине продолжает вращение с постоянной частотой раскрученное велосипедное колесо, и только внешние  силы останавливают это вращение.

Виды равновесия. В практике большую роль играет не только выполнение условия равновесия тел, но и качественная характеристика равновесия, называемая устойчивостью. Различают три вида равновесия тел: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Равновесие называется устойчивым, если после небольших внешних воздействий тело возвращается в исходное состояние равновесия. Это происходит, если при небольшом смещении тела в любом направлении от первоначального положения равнодействующая сил, действующих на тело, становится отличной от нуля и направлена к положению равновесия. В устойчивом равновесии находится, например, шар на дне углубления (рис. 45).

Равновесие называется неустойчивым, если при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил отлична  от нуля и направлена от положения  равновесия (рис. 46).

Если при небольших  смещениях тела из первоначального  положения равнодействующая приложенных  к телу сил остается равной нулю, то тело находится в состоянии  безразличного равновесия. В безразличном равновесии находится шар на горизонтальной поверхности (рис. 47).

Тело, имеющее неподвижную  ось вращения, находится в устойчивом равновесии, если его центр тяжести  расположен ниже оси вращения и находится  на вертикальной прямой, проходящей через  ось вращения (рис. 48, а).

При небольшом отклонении от этого положения равновесия алгебраическая сумма моментов сил, действующих  на тело, становится отличной от нуля и возникающий момент сил поворачивает тело к первоначальному положению равновесия (рис. 48, б).

Если же центр тяжести  находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения, но расположен выше оси вращения, то равновесие неустойчивое (рис. 49, а, б).

Тело находится в безразличном равновесии, когда ось вращения тела проходит через его центр тяжести (рис. 50).

Равновесие тела на опоре. Если вертикальная линия, проведенная через центр тяжести С тела, пересекает площадь опоры, то тело находится в равновесии (рис. 51). Если же вертикальная линия, проведенная через центр тяжести, не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается (рис. 52).

 

 

 

 

 

 

Сила человека ограничена. Поэтому он часто применяет устройства (или приспособления), позволяющие преобразовать его силу в силу, существенно большую. Примером подобного приспособления является рычаг.

Рычаг представляет собой твердое тело, способное вращаться вокруг неподвижной опоры. В качестве рычага могут быть использованы лом, доска и тому подобные предметы.

Различают два вида рычагов. У рычага 1-го рода неподвижная точка опоры О располагается между линиями действия приложенных сил (рис. 47), а у рычага 2-го рода она располагается по одну сторону от них (рис. 48). 

Рисунок 47, 48. Виды рычагов.

Использование рычага позволяет получить выигрыш в силе. Так, например, рабочий, изображенный на рисунке 47, прикладывая к рычагу силу 400 Н, сможет приподнять груз весом 800 Н. Разделив 800 Н на 400 Н, мы получим выигрыш в силе, равный 2.

Для расчета выигрыша в силе, получаемого с помощью  рычага, следует знать правило, открытое Архимедом еще в III в. до н. э. Для установления этого правила проделаем опыт. Укрепим на штативе рычаг и по обе стороны от оси вращения прикрепим к нему грузы (рис. 49). Действующие на рычаг силы F₁ и F₂ будут равны весам этих грузов. Из опыта, изображенного на рисунке 49, видно, что если плечо одной силы (т. е. расстояние ОA) в 2 раза превышает плечо другой силы (расстояние ОВ), то силой 2 Н можно уравновесить в 2 раза большую силу - 4 Н. 

Рисунок 49. Опыт для установления правила  Архимеда.

Итак, для того чтобы уравновесить меньшей силой большую силу, необходимо, чтобы ее плечо превышало плечо большей силы. Выигрыш в силе, получаемый с помощью рычага, определяется отношением плеч приложенных сил. В этом состоит правило рычага.

Обозначим плечи  сил через l₁ иl₂ (рис. 50).  

Рисунок 50. Правило рычага.

Тогда правило рычага можно представить в виде следующей  формулы: 

Эта формула показывает, что рычаг находится в равновесии, если приложенные к нему силы обратно пропорциональны их плечам.

Рычаг начал применяться  людьми в глубокой древности. С его  помощью удавалось поднимать  тяжелые каменные плиты при постройке  пирамид в Древнем Египте (рис. 51). Без рычага это было бы невозможно. Ведь, например, для возведения пирамиды Хеопса, имеющей высоту 147 м, было использовано более двух миллионов каменных глыб, самая меньшая из которых имела массу 2,5 т! 

Рисунок 51. Строительство пирамид  в Древнем Египте.

В наше время рычаги находят широкое применение как  на производстве (например, подъемные  краны), так и в быту (ножницы, кусачки, весы и т.д.). 
 
Вопросы.

1. Что представляет собой рычаг? 

2. В чем заключается правило  рычага? Кто его открыл?

3. Чем отличается рычаг 1-го  рода от рычага 2-го рода?

4. Приведите примеры применения  рычагов. 

5. Рассмотрите рисунки 52, а и  52, б. В каком случае груз  нести легче? Почему? 

Рисунок 52. Задание: в каком случае нести груз легче?

 

 

Статикой называется раздел механики, изучающий условия равновесия тел.

Из второго закона Ньютона следует, что если геометрическая сумма всех внешних сил, приложенных к телу, равна нулю, то тело находится в  состоянии покоя или совершает  равномерное прямолинейное движение. В этом случае принято говорить, что силы, приложенные к телу, уравновешивают друг друга. При вычислении равнодействующей все силы, действующие на тело, можно прикладывать к центру масс.

Чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, приложенных к телу, была равна нулю.

Рисунок 1.14.1. Равновесие твердого тела под действием  трех сил. При вычислении равнодействующей все силы приведены к одной  точке C.

На рис. 1.14.1 дан пример равновесия твердого тела под действием трех сил. Точка пересечения O линий действия сил и не совпадает с точкой приложения силы тяжести (центр масс C), но при равновесии эти точки обязательно находятся на одной вертикали. При вычислении равнодействующей все силы приводятся к одной точке.

Если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия недостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил.

Вращающее действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния между линией действия силы и осью вращения.

Длина перпендикуляра, проведенного от оси вращения до линии действия силы, называется плечом силы.

Произведение модуля силы на плечо d называется моментом силы M. Положительными считаются моменты тех сил, которые стремятся повернуть тело против часовой стрелки (рис. 1.14.2).

Правило моментов: тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

M1 + M2 + ... = 0.

В Международной системе единиц (СИ) моменты сил измеряются в ньютон-метрах (Н∙м).

Рисунок 1.14.2. Силы, действующие на рычаг, и их моменты. M1 = F1 · d1 > 0; M2 = – F2 · d2 < 0. При равновесии M1 + M2 = 0.

В общем случае, когда тело может  двигаться поступательно и вращаться, для равновесия необходимо выполнение обоих условий: равенство нулю равнодействующей силы и равенство нулю суммы всех моментов.

Модель. Равновесие брусков.

Оба эти условия не являются достаточными для покоя.

Рисунок 1.14.3. Качение колеса по горизонтальной поверхности. Равнодействующая сила и момент сил равны нулю.

Катящееся по горизонтальной поверхности  колесо – пример безразличного равновесия (рис. 1.14.3). Если колесо остановить в любой точке, оно окажется в равновесном состоянии. Наряду с безразличным равновесием в механике различают устойчивые и неустойчивые состояния равновесия.

Состояние равновесия называется устойчивым, если при малых отклонениях тела от этого состояния возникают  силы или моменты сил, стремящиеся  возвратить тело в равновесное состояние.

При малом отклонении тела из состояния  неустойчивого равновесия возникают  силы или моменты сил, стремящиеся  удалить тело от положения равновесия.

Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в безразличном состоянии равновесия. Шар, находящийся  в верхней точке сферического выступа, – пример неустойчивого  равновесия. Наконец, шар на дне сферического углубления находится в состоянии  устойчивого равновесия (рис. 1.14.4).

Рисунок 1.14.4. Различные типы равновесия шара на опоре. (1) – безразличное равновесие, (2) –  неустойчивое равновесие, (3) – устойчивое равновесие.

Для тела, имеющего неподвижную ось  вращения, возможны все три вида равновесия. Безразличное равновесие возникает, когда ось вращения проходит через центр масс. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр  масс находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При этом, если центр масс находится ниже оси вращения, состояние равновесия оказывается устойчивым. Если же центр масс расположен выше оси – состояние равновесия неустойчиво (рис. 1.14.5).

Рисунок 1.14.5. Устойчивое (1) и неустойчивое (2) равновесие однородного круглого диска, закрепленного  на оси O; точка C – центр массы диска; – сила тяжести; – упругая сила оси; d – плечо.

Особым случаем равновесия является равновесие тела на опоре. В этом случае упругая сила опоры приложена  не к одной точке, а распределена по основанию тела. Тело находится  в равновесии, если вертикальная линия, проведенная через центр масс тела, проходит через площадь опоры, т. е. внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры. Если же эта линия не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается. Интересным примером равновесия тела на опоре является падающая башня в итальянском городе Пиза (рис. 1.14.6), которую по преданию использовал Галилей при изучении законов свободного падения тел. Башня имеет форму цилиндра высотой 55 м и радиусом 7 м. Вершина башни отклонена от вертикали на 4,5 м.

Вертикальная линия, проведенная  через центр масс башни, пересекает основание приблизительно в 2,3 м от его центра. Таким образом, башня находится в состоянии равновесия. Равновесие нарушится и башня упадет, когда отклонение ее вершины от вертикали достигнет 14 м. По-видимому, это произойдет очень нескоро.

Рисунок 1.14.6. Падающая Пизанская башня. Точка C – центр масс, точка O – центр основания башни, CC' – вертикаль, проходящая через центр масс.

 

 

 

Если тело покоится, то говорят, что это тело находится в равновесии. Здания, мосты, балки вместе с опорами, части машин, книга на столе и многие другие тела покоятся, несмотря на то что к ним со стороны других тел приложены силы. Задача изучения условий равновесия тел имеет большое практическое значение для машиностроения, строительного дела, приборостроения и других областей техники. Все реальные тела под влиянием приложенных к ним сил изменяют свою форму и размеры, или, как говорят, деформируются. Величина деформации зависит от различных условий: материала тела, его формы, приложенных к нему сил. Деформации могут быть большими, и тогда их легко заметить, например растяжение резинового шнура, изгиб тонкой металлической линейки и т. д. Малые деформации можно обнаружить при помощи специальных приборов. 
   Если действия сил вызывают значительные деформации тела, то фактически после приложения сил мы будем иметь дело с телом, обладающим новыми геометрическими размерами и формой. И нужно будет определять условия равновесия этого нового деформированного тела. Такого рода задачи, связанные с расчетом деформаций тел, обычно весьма сложны. 
   Во многих случаях, которые встречаются на практике, деформации тел при их равновесии незначительны. В этих случаях деформациями можно пренебречь и вести расчет так, как если бы тела были недеформируемыми, т. е. абсолютно твердыми. Изучив условия равновесия абсолютно твердого тела, мы найдем условия равновесия реальных тел в тех случаях, когда их деформации можно не учитывать. 
   Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия абсолютно твердых тел, называется статикой. 
   В статике учитываются размеры и форма тел, а все рассматриваемые тела считаются абсолютно твердыми. Статика - частный случай динамики, так как покой тел, когда на них действуют силы, есть частный случай движения . 
   Деформации, происходящие в теле, учитываются в прикладных разделах механики (теория упругости, сопротивление материалов). В дальнейшем для краткости абсолютно твердое тело будем называть твердым телом, или просто телом. 
   Выясним вначале с помощью законов Ньютона, при каком условии любое тело будет находиться в равновесии. С этой целью разобьем мысленно все тело на большое число малых элементов, каждый из которых можно рассматривать как материальную точку. Некоторые элементы изображены на рисунке 7.1. Как обычно, назовем силы, действующие на тело со стороны других тел, внешними, а силы, с которыми взаимодействуют элементы самого тела, - внутренними. Так, сила  - это сила, действующая на элемент 1 со стороны элемента 2. Сила же действует на элемент 2 со стороны элемента 1. Это внутренние силы; к ним относятся также силы и , и .

  

 На каждый элемент  в общем случае может действовать  несколько внешних сил. Под и т. д. будем понимать геометрическую сумму всех внешних сил, приложенных соответственно к элементам 1, 2, 3, .... Точно так же через и т. д. обозначим геометрическую сумму внутренних сил, приложенных к элементам1, 2, 3, ... соответственно (эти силы не показаны на рисунке). 
   Если тело находится в покое, то ускорение каждого элемента равно нулю. Поэтому согласно второму закону Ньютона будет равна нулю и геометрическая сумма всех сил, действующих на любой элемент. Следовательно, можно записать:

  

 Итак, для равновесия  тела необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма всех  сил (внешних и внутренних), действующих  на каждый элемент этого тела, была равна нулю