Равновесие в конкурентных моделях рынка. Существование равновесия

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Дальневосточный  федеральный университет»

 

 

Школа экономики  и менеджмента

 

Кафедра бизнес-информатики и моделирования

 

 

РЕФЕРАТ

 

по дисциплине  «Математическое методы в экономике»

 

по теме «Равновесие в конкурентных моделях рынка.

Существование равновесия»

 

 

Оглавление

 

Введение 3

Равновесие  на рынке 4

Паутинообразная модель 5

Общая модель Вальраса 7

Модель  Эрроу-Дебре 11

Модель  «затраты-выпуск» (модель В. Леонтьева) 12

Существование равновесия 17

Заключение 19

Список  литературы 20

 

 

 

Введение

 

Понятие равновесия является базовым не только в микроэкономике и макроэкономике, но и во всех разделах экономической науки. Именно наличие  равновесия позволяет говорить о  стабильных и эффективных точках. А отсутствие равновесия может сказать  о невыполнении какого либо из условии существования. К примеру, стороны не смогли договориться, потому что одна чувствовала себя ущемленной - это отсутствие эффективности в обмене. Поэтому равновесие и условия его существования является очень важным вопросом в экономике.

Равновесная цена - цена, при которой величина спроса одновременно равна величине предложения.

Равновесный объем - это то количество товара, которое покупатели хотят и могут купить, одновременно соответствует количеству товара, которое продавцы хотят и могут продать на рынке.

Спрос – это платежеспособная потребность, или потребность покупателя, имеющего денежные средства для приобретения товаров и услуг.

Предложение – это совокупность товаров, которые есть на рынке, или могут быть представлены на рынок по определенным ценам, которые готовы продать производители.

 

Равновесие на рынке

 

Равновесием на рынке называется ситуация, когда продавцы предлагают к продаже ровно такое количество блага, которое покупатели решают приобрести (объем спроса равен объему предложения).

Собственно равновесием  мы назовем точку равновесного объема и цены (р₀,х₀).

 

 

Линии спроса и предложения  пересекаются в точке, где цена, по которой покупатели согласны купить определенное количество товара, равна  цене, по которой производители готовы продать это же количество товара. Точка пересечения линий предложения (S) и спроса (D) - точка Е, называется точкой равновесия. Когда рынок находится в этой точке, установившаяся цена устраивает как покупателей, так и продавцов и у них нет причин требовать ее изменения. Такое состояние рынка называется рыночным равновесием.

 

Паутинообразная модель

 

Паутинообразная модель рынка  — это динамическая модель рынка, показывающая способность рынка  к самостоятельному установлению равновесия в результате взаимодействия спроса и предложения.

В данной модели предложение  реагирует на изменение спроса не сразу, а с запозданием, что приводит к возникновению ценовых колебаний. В экономической теории различают  затухающие, усиливающиеся и равномерные  колебания цены.

 

Паутинообразная модель рынка  с затухающими колебаниями цен.

 

На данном графике представлена паутинообразная модель рынка с затухающими колебаниями цен. Эти колебания происходят когда кривая предложения более крутая, чем кривая спроса. В результате этих затухающих колебаний на рынке восстанавливается равновесие. Первоначально на рынке сложилась ситуация когда продавцы предлагают свой товар по цене Р₀ и в объеме Q₀, т.е. на уровне ниже равновесного состояния рынка. При данной цене на рынке возникает дефицит товара, из-за которого цена начинает повышаться до уровня P₁ и у производителей возникнет желание увеличить производство товара до уровня Q₁. Естественно, что рано или поздно при повышенной цене спрос неминуемо сократится и окажется меньше предложения. На рынке возникнет избыток товара, что подтолкнет продавца снизить цену до уровня P₂ и снизить предложение товара до уровня Q₂. В результате дальнейших подобных колебаний рынок рано или поздно найдет тот равновесный уровень, который будет отвечать требованиям продавца и покупателя.

На следующем графике представлена противоположная первой паутинообразная модель рынка с усиливающимися колебаниями цен, которые свойственны в случае когда кривая спроса имеет более крутой наклон, чем кривая предложения. В этом случае цена будет все дальше отдаляться от равновесного уровня. Теоретически при таких колебаниях и все большего отдаления от равновесного уровня рынок может разрушиться.

 

Паутинообразная модель рынка  с усиливающимся колебаниями цен

 

На третьем графике  представлена паутинообразная модель рынка с равномерными колебаниями  цен. Еще одна возможная ситуация на рынке, которая может возникнуть в случае когда кривая спроса и  предложения имеет одинаковый наклон.

 

 

В этом случае цена колеблется в определенном диапазоне не приближаясь к равновесному уровню, а рынок находится либо в состоянии дефицита, либо в состоянии избытка товара.

Подводя итог, можно сказать, что паутинообразная модель рынка  показывает, что:

• колебания цен возникают в результате запоздалой реакции продавца на изменение спроса;
• не во всех случаях равновесие на рынке достигается самостоятельно.

Примером паутинообразной  модели может служить валютный рынок: спрос на валюту определяется на бирже  в зависимости от ее текущего курса, а предложение реагирует на цену с некоторым опозданием. Поэтому  динамика текущих валютных курсов позволяет  прогнозировать цену валюты через некоторый  промежуток времени.

 

Общая модель Вальраса

 

Швейцарский экономист-математик  Леон Вальрас (1834— 1910) стремился ответить на вопрос: как рынки и секторы  экономики функционируют в наиболее общем (чистом) виде? На основе каких принципов устанавливается взаимодействие 'цен, издержек, объемов спроса и предложения на различных рынках? Принимает ли это взаимодействие формы «равновесности» или рыночный механизм, действует в обратном направлении? Является ли это равновесие (если оно достижимо) устойчивым?

Вальрас исходил из того, что решение проблемы может быть достигнуто с помощью использования  математического аппарата. Весь экономический  мир он разделил на две большие  группы: фирмы и домохозяйства. Фирмы  выступают на рынке факторов как  покупатели и на рынке потребительских  товаров как продавцы. Домашние хозяйства  — владельцы факторов производства — выступают в роли их продавцов  и в то же время как покупатели потребительских товаров. Роли продавцов  и покупателей постоянно меняются. В процессе обмена расходы производителей товаров превращаются в доходы домохозяйств, а все расходы домохозяйств —  в доходы производителей (фирм).

Цены экономических факторов зависят от размеров производства, спроса, а значит, от цен на производимые товары. В свою очередь, цены на выпускаемые  в обществе товары зависят от цен  на факторы производства. Последние  должны соответствовать издержкам  фирм. В то же время доходы фирм должны сочетаться с расходами домохозяйств.

Построив довольно сложную  систему взаимосвязанных уравнений, Вальрас доказывает, что система  равновесности может быть достижима  как некий «идеал», к которому стремится конкурентный рынок. Положение, получившее название закона Вальраса, гласит: в состоянии равновесия рыночная цена равна предельным издержкам. Таким  образом, стоимость общественного  продукта равна рыночной стоимости  использованных на его выпуск производственных факторов; совокупный спрос равен  совокупному предложению; цена и  объем производства не увеличиваются  и не уменьшаются.

При данном подходе рассматриваются  прямые функции спроса (предложения):

Q_d = Q_d(P); Q_s = Q_s(P)

Это означает исследование динамики объемов спроса и объемов  предложения при заданных ценах.

Пусть реальная рыночная цена P₁ будет выше цены равновесия P_e, как это представлено на рисунке.

При этой цене объем спроса составит Q_d1, а объем предложения Q_s1.

Q_s1 > Q_d1

Возникает избыток предложения, и на рынке возникает тенденция  к понижению цены.

 

 Напротив, если рыночная цена (P₂) установится ниже цены равновесия, возникает дефицит товаров, и цена будет иметь тенденцию к повышению.

 

Таким образом, условие равновесия по Вальрасу, это равенство величины спроса величине предложения.

Q_d(P) = Q_s(P)

Построенная на основе этой теоретической концепции модель Вальраса есть модель общего экономического равновесия, своего рода одномоментный  снимок национального хозяйства  в «чистом» виде. Что касается состояния  равновесия, то оно, по Вальрасу, предполагает наличие трех условий:

• во-первых, спрос и предложение  факторов производства равны; на них  устанавливается постоянная и устойчивая цена;

• во-вторых, спрос и предложение  товаров (и услуг) также равны  и реализуются на основе постоянных, устойчивых цен;

• в-третьих, цены товаров  соответствуют издержкам производства.

Равновесие является устойчивым, ибо на рынке действуют силы (прежде всего, цены на факторы производства и на товары), выравнивающие отклонения и восстанавливающие «равновесность». Предполагается, что «неверные» цены постепенно исключаются, так как  этому способствует полная свобода  конкуренции.

Пример. Функции полезности потребителей имеют вид 

 

 

Индивиды имеют следующие  исходные запасы благ: первый - Q_A0 = 30; второй - Q_B0 = 40; третий - Q_H0 = 50. В этих условиях индивидуальные функции спроса имеют вид:

 

 

Условие равновесия на рынках благ:

 

 

Примем Р_А = 1 и из решения двух (любых) уравнений системы найдем P_B = 0,374; P_H = 0,313.

Для определения уровня цен  примем, что в обращении находится 50 ден. ед, каждая из которых совершает 2 оборота: V = 2. Тогда уровень цен будет равен 2·50/(1·30 + 0,374·40 + 0,313·50) = 1,65, а вектор денежных цен: PА = 1,65 PB = 0,617; PH = 0,516

При таких ценах на всех рынках устанавливается равновесие (табл. 1).

 

Таблица 1. Общее экономическое  равновесие

Рынок	Спрос				Предложение
	1-го	2-го	3-го	всего
Блага А	14,81	6,91	8,28	30	30
Блага B	24,41	8,21	7,38	40	40
Блага H	19,35	15,9	14,75	50	50

 

Спрос на деньги (M^D) тоже равен их предложению (M^S):

M^D = 1,65·30 + 0,617·40 + 0,516·50 = 100;  M^S = 2·50 = 100.

 

 

Модель Эрроу-Дебре

 

Предполагается, что в  экономике производится n товаров (выпусков) и используется m факторов производства. Сохраняется совершенная конкуренция, то есть цены задаются рынком. Каждая фирма  является покупателем на рынке факторов производства и продавцом на рынке  товаров и услуг, стремясь максимизировать  прибыль.

Модель общего равновесий Эрроу-Дебре иллюстрирует важный экономический  факт: при произвольных, неравновесных  ценах те решения, который принимают  различные участники экономических процессов, будут несогласованными, т.е. экономически неэффективными. Это означает, что некоторые виды товаров будут производиться в избытке, в то время как спрос на другие превысит предложение, цены на некоторые товары будут повышаться или понижаться какое-то время. Этого не происходит, если экономическая система находится в состоянии равновесия.

Равновесие в модели Эрроу-Дебре  – это совокупность таких цен  товаров и факторов производстве, объемов выпуска товаров и  покупаемый факторов производства в  условиях выполнения бюджетных ограничений (при соблюдении технологических  ограничений), что совокупный спрос  по каждому виду товаров (фактору  производства) равен их совокупному  предложению.

Равновесие по Эрроу-Дебре  обладает многими оптимальными свойствами, в частности оно оптимально по Парето. Это означает, что всякая попытка улучшить состояние (увеличить  прибыль или полезность) любого участника  экономического процесса по сравнению  с равновесным, даже при игнорировании имеющихся ограничений неизбежно приводит к ухудшению состояния какого-либо другого участника. То есть  паретооптимальным (оптимальным по Парето) называется такое равновесие, когда при неизменной локальности ресурсов и неизменном уровне дохода нельзя увеличить благосостояние одних субъектов экономики, не ухудшив благосостояние других.

 

Модель «затраты-выпуск» (модель В. Леонтьева)

 

Модель получила наибольшее применение как инструмент решения задач планирования, прогнозирования и управления национальной экономикой.

Экономический план или прогноз  можно представить как численное  решение конкретной системы уравнений  общего равновесия. Неизвестным является выпуск товаров и услуг в каждой из множества отраслей экономики. Множество  конкурирующих друг с другом технологий позволяет  создать их с  различным  уровнем затрат. Составляется матрица  затрат и выпуска продукции. Это  позволяет планировать размещение ресурсов и ожидаемый объем производства валовой продукции по отраслям.

Таблица «затраты-выпуск» - это модель межотраслевого баланса (МОБ). МОБ относят к балансовым моделям. Под балансовой моделью понимается система уравнений, каждое из которых выражает требование  баланса между произведённым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции.

Схема МОБ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выделяются четыре части, имеющие различное экономическое  содержание, они называются квадрантами  баланса и на схеме обозначены римскими цифрами.

Первый квадрант МОБ –  это шахматная таблица межотраслевых  материальных связей. Показатели, помещённые на пересечениях строк и столбцов, представляют собой величины межотраслевых  потоков продукции и в общем  виде обозначаются хij, где i и j -  соответственно номера отраслей производящих и потребляющих. Так величина х23 понимается как стоимость средств производства, произведённых в отрасли с номером 2 и потреблённых в качестве материальных затрат в отрасли с номером 3. таким образом первый квадрант по форме представляет собой квадратную матрицу порядка n, сумма всех элементов которой равняется годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере.

Во втором квадранте представлена конечная продукция всех отраслей материального  производства, при этом под конечной понимается продукция, выходящая из серы производства в область конечного  использования ( на потребление и  накопление).. в табл. 1 этот раздел дан укрупнено в виде одного  столбца величины Yi; в развёрнутой схеме баланса конечный продукт каждой отрасли показано дифференцировано по направлениям использования на личное потребление населения, общественное потребление, на накопление, возмещение потерь, экспорт и др. итак, второй квадрант характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода на фонд потребления и фонд накопления, структуру накопления и потребления по отраслям производства и потребителям.

Третий квадрант МОБ также  характеризует национальный доход, но со стороны его стоимостного состава  как сумму чистой продукции и  амортизации; чистая продукция понимается при этом как сумма оплаты труда  и чистого дохода отраслей.  Сумму  амортизации (cij) и чистой продукции (vj  + mj) некоторой j-той отрасли  называют условно чистой продукцией этой отрасли ( в дальнейшем в курсовой работе обозначим её как Zj).

Четвёртый квадрант баланса  находиться на пересечении второго  квадранта (конечной продукции) и строк  третьего квадранта (условно чистой продукции). Этим определяется  содержание квадранта: он отражает конечное распределение  и использование национального  дохода. В результате  перераспределения  первоначально созданного национального  дохода образуются конечные доходы населения, предприятий , государства. Данные четвёртого квадранта важны для отражения в межотраслевой модели баланса доходов и расходов населения, источников финансирования капиталовложений, текущих затрат непроизводственной сферы, для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей. Важным является то, что итог четвертого квадранта, так же как второго и третьего, должен быть равен созданному за год национальному доходу.

Таким, образом, в целом  межотраслевой баланс в рамках единой модели объединяет балансы отраслей материального производства, баланс совокупного общественного продукта, балансы национальных доходов и  расходов населения. Следует отметить, что хотя валовая продукция не входит в рассмотренные выше четыре квадранта, она представлена на схеме баланса в виде столбца, расположенного справа от второго квадранта, и в виде строки ниже третьего квадранта. Эти столбец и строка валовой продукции замыкают схему МОБ и играют важную роль как для проверки правильности заполнения квадрантов  (т.е. для проверки самого баланса), так и для разработки экономико-математической модели межотраслевого баланса.

При этом выделяют два важнейших  соотношения, отражающих сущность МОБ  и являющиеся основой его экономико-математической модели:

Во-первых, рассматривая схему  баланса по столбцам, делают вывод, что итог материальных затрат любой  потребляющей отрасли и её условно  чистой продукции равен валовой  продукции этой отрасли:

Хi = ∑хij +Zj;  j=1,..n.  (1.1)

Данное соотношение (1.1) отражает стоимостной состав продукции всех отраслей материальной сферы.

Во-вторых, рассматривая схему  по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая  продукция той или иной отрасли  равна сумме материальных затрат потребляющих её продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

Xi = ∑xij + Yj; i=1,..n. (1.2)

Формула (1.2) описывает систему  из n уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции  отраслей материального производства по направлениям использования.

Просуммировав по отраслям уравнения (1.1), в результате получим:

∑Xj = ∑∑xij + ∑Zj

При этом аналогичное суммирование уравнений (1.2) даст следующее:

∑Xi = ∑∑xij + ∑Yi

Заметим, что левые части  равенств равны, так как представляют собой весь валовый общественный продукт. Первые слагаемые правых частей этих равенств также равны, их величина равна итогу первого квадранта. Следовательно, должно соблюдаться  соотношение:

∑Zj = ∑Yi (1.3)  

Левая часть уравнения (3) есть сумма третьего квадранта, а  правая  часть – итог второго  квадранта. В целом же это уравнение  показывает, что в межотраслевом  балансе соблюдается важнейший  принцип единства материального  и стоимостного состава национального  дохода.

Система уравнений общего равновесия, использующая таблицы «затраты-выпуск», позволяет определить, какими должны быть выпуск и затраты в каждой отрасли. Для того, чтобы обеспечить производство предполагаемого конечного продукта заданного объема и структуры, следуя при этом требованию равенства между суммарным спросом на каждый продукт и суммарным объемом его выпуска, можно квалифицированно исследовать результаты нарушений общего равновесия экономики, сделать выбор между альтернативными вариантами экономического развития результатом компетентного и продуманного решения в экономической политике.

Пример:

Для трёхотраслевой экономической  системы заданы матрица коэффициентов  прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:

 

 

А=  Y=

 

1. определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц

- находим матрицу (E-A):

(E-A)= - =

-вычисляем определитель  этой матрицы:

|E-A|= = 0.196

- транспонируем матрицу  (E-A) :

|E-A|=

находим алгебраическое дополнение для элементов матрицы  (E-A)`:

A11= = 0.4

 

A13= = 0.2

 

A22= = 0.44

 

A31= = 0.17

 

A33= = 0.33

 

A12= (-1)   = 0.12

 

A21= (-1) = 0.16

 

A23= (-1) = 0.08

 

A32= (-1) = 0.1

 

Таким образом, присоединённая к матрице (E-A) матрица имеет вид:

 

(E-A) =

 

Чтобы найти матрицу коэффициентов  полных  материальных затрат, воспользуемся  формулой:

B= (E-A)  =  (E-A)\ |E-A| 

Получим: При этом проблема создания рациональной и высокоэффективной  межотраслевой экономики чрезвычайно  важна  для всех стран.

B=(E-A)  =

 

2. найдём величины валовой продукции трёх отраслей (вектор Х), используя формулу  2.6  (рассмотренную во второй главе):

 

X= BY = * =

 

3. итак, теперь определим квадранты материального межотраслевого баланса. Для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину Х2 = 775.3; элементы второго столбца матрицы А умножить на Х2= 510.1; элементы третьего столбца матрицы А умножить на Х3=729.6.

Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся  как разность между объёмами валовой  продукции и суммами элементов  соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Наконец, четвертый квадрант в данном примере  состоит из одного показателя и служит также для  контроля правильности расчёта: сумма  элементов второго квадранта  должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов  третьего квадранта. Результаты расчёта представлены в табл.:

 

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли
	1	2	3	Конечная продукция	Валовая продукция
1 2 3	232.6 155.1 232.6	51.0 255.0 51.0	291.8 0.0 145.9	200.0 100.0 300.0	77.3 510.1 729.6
Условно чистая продукция	155.0	153.1	291.9	600.0
Валовая продукция	775.3	510.1	729.6		2015.0

 

 

Существование равновесия

 

В связи с моделью общего равновесия возникают три основные проблемы: его существования, единственности и стабильности.

Далее на рисунках левая  часть – кривые спроса и предложения, правая – соответствующие им кривые избыточного спроса.

На совершенно конкурентном рынке, равновесие существует, если при  некоторой положительной цене (Р > 0) объем спроса равен объему предложения (Q_d = Q_s). В этом случае отсутствует какой-либо (положительный или отрицательный) избыток спроса, а само равновесие можно определить как отсутствие избытка спроса при определенной цене.

 

Рис. 1. Единственное стабильное равновесие. Наклон ED<0.

 

Равновесие стабильно, если кривая спроса пересекает кривую предложения  сверху. В этом случае избыток спроса действует в сторону снижения цены, а избыток предложения, или  отрицательного спроса, в сторону  ее снижения. Соответственно кривая избыточного  спроса имеет отрицательный наклон и в равновесии, при Q_d = Q_s, ED(P*) = 0 (рис. 1,б).

Равновесие нестабильно, если кривая спроса пересекает кривую предложения снизу. В этом случае избыток спроса действует в сторону  снижения цены, а избыток предложения - в сторону ее повышения. Соответственно кривая избыточного спроса имеет положительный наклон в точке пересечения с осью цены (рис. 2, б).

 

Рис. 2. Единственное нестабильное решение. Наклон ED>0.

 

На рис. 3, б показан случай множественного равновесия. Очевидно, что при P*₁ равновесие нестабильно, а при P*₂ стабильно. (По существу это комбинация первых двух случаев). Соответственно кривая избыточного спроса неоднократно пересекает ось цены.

 

Рис.3. Множественность равновесий.

 

На рис. 4, б представлен случай не существования равновесия при любой положительной цене. Кривая избыточного спроса не пересекает оси цены при любом уровне последней.

 

 

Рис. 4. Отсутствие равновесия.

 

Таким образом, в общем  случае существование равновесия зависит  от того, обеспечивает ли поведение  субъектов рынка пересечение  кривых спроса и предложения при  положительной цене, его стабильность зависит от соотношения наклонов кривых спроса и предложения, а его  единственность связана с наклоном кривой избыточного спроса, характеризующей  разность между объемами спроса и  предложения или любой положительной  цене. Из рис. 1-4 видно, что и решение всех трех проблем общего равновесия может быть исследовано на основе использования кривых избыточного спроса.

 

Заключение

 

Из выше сказанного следует, что при характеристике рынка  как экономической категории  следует учитывать конкретные формы  рыночных отношений, проявляющиеся  в количественных и качественных соотношениях элементов рынка –  спроса, предложения, цены. Эти главные  элементы характеризуют конкретные формы взаимосвязи и количественные пропорции между производством  и потреблением.