Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Содержание

1) Основное понятие неравенства

2) Основные свойства числовых  неравенств. Неравенства содержащие  переменную.

3) Графическое решение  неравенств второй степени

4) Системы неравенств. Неравенства  и системы неравенств с двумя  переменными.

5) Решение рациональных  неравенств методом интервалов

6) Решение неравенств, содержащих  переменную под знаком модуля

1. Основное понятие  неравенства

Неравенство [inequality] -- соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого. Над этими выражениями можно по определенным правилам производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление (причем при умножении или делении Н. на отрицательное число смысл его меняется на противоположный). Одно из основных понятий линейного программирования -- линейные неравенства вида

a1x1+ a2x2 +... + anxn * b,

где a1,..., an, b -- постоянные и знак * -- один из знаков неравенства, напр. ?, <, ?.

В матричной алгебре знак ? означает что все элементы матрицы, расположенной слева, не меньше (а хотя бы часть из них больше) соответствующих элементов матрицы, расположенной справа. В отличие от этого знак ? означает, что все элементы левой матрицы не меньше соответствующих элементов правой матрицы; в частности, все соответствующие элементы могут быть попарно равны. (Иногда применяются и другие обозначения.)

Классификация неравенств

Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на:[1]

· алгебраические

· трансцендентные

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Пример:

Неравенство - алгебраическое, второй степени.

Неравенство - трансцендентное.

2. Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную

1) Если a>b , b<a;

2) Если a>b b>c a>c;

3) Если a>b a+c>b+c;

4) Если a+b>c a> c-b;

5) Если обе части верного  неравенства умножить на одно  и то же положительное число, то получится верное неравенство;

6) Если обе части верного  неравенства умножить на одно  и то же число и изменить  знак на противоположный, то получится  верное неравенство;

7) Множество всех х, при  которых имеют смысл выражения f(x) и g(x), называется областью определения  неравенства f(x) >g(x);

8) Два неравенства, содержащие  одну и ту же переменную, называются  равносильными, если они имеют  общее множество решений (множество  решений этих неравенств совпадают);

9) Если к обеим частям  неравенства прибавить(или вычесть) любую функцию J(x). область определения  которой содержит область определения  неравенств, то получится новое  неравенств, равносильное данному;

10) Если обе части неравенства f(x) >g(x) умножить (или разделить) на  любую функцию J(x), определенную для  всех значений переменной х  из области определения данного  неравенства, сохраняющую постоянный  знак и отличную от нуля, то  при J(x)>0 получится неравенство, равносильное  данном, а при J(x)<0 равносильным  данному является неравенство  противоположного знака.

Неравенства с одной переменной. Пусть дано неравенство f(x) >g(x). Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с одной переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства с одной переменной. Решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.

3. Графическое  решение неравенств второй степени

1) Графиком квадратичной  функции y = ах2 +bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0 (иногда говорят, что парабола направлена выпуклостью вниз, если а > 0 и выпуклостью вверх, если а < 0). При этом возможны три случая:

2) Парабола пересекает  ось 0х (т. е. уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня). То есть, если а<0 то решением неравенства является множество [x1;x2].

y = ах2 +bх + с a>0 D>0 y = ах2 +bх + с a<0 D>0,

Парабола имеет вершину на оси 0х (т. е. уравнение ах2 + х + с = 0 имеет один корень, так называемый двукратный корень) То есть, если d=0, то при a>0 решением неравенства служит вся числовая прямая, а при a<0 единственная точка х1, являющаяся единственным корнем квадратного трехчлена ах2 + х + с

y = ах2 +bх + с a>0 D=0 y = ах2 +bх + с a<0 D=0,

3) Если d<0 то график квадратного  трехчлена f(x) = ах2 +bх + с не пересекает  ось Ох и лежит выше этой  оси при a>0 и ниже ее при a<0 В первом случае множество  решений неравенства есть вся  числовая прямая, а во втором  оно является пустым.

4)

y = ах2 +bх + с a>0 D<0 y = ах2 +bх + с a<0 D<0,

4) Решить неравенство  графическим способом

1) 3х2 -4х ;

3х2-4х.

1. Пусть f(x) = 3х2 -4х - 7 тогда  найдем такие х при которых f(x) ;

2. Найдем нули функции.

3х2-4х-7=0,

D=100,

Х=-1 Х=7\3.

f(x) при х .

Ответ f(x) при х .

2) х2 >-4x-5;

x2 +4x +5>0;

Пусть f(x)=х2 +4х +5 тогда Найдем такие х при которых f(x)>0,

X2+4x+5=0,

D=-4 Нет нулей.

Ответ .

4. Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств  с двумя переменными

1) Множество решений системы  неравенств есть пересечение  множеств решений входящих в нее неравенств.

2) Множество решений неравенства f(х;у)>0 можно графически изобразить  на координатной плоскости. Обычно  линия, заданная уравнением f(х;у)=0 ,разбивает  плоскость на 2 части, одна из которых  является решением неравенства. Чтобы определить, какая из частей, надо подставить координаты произвольной  точки М(х0;у0) , не лежащей на  линии f(х;у)=0, в неравенство. Если f(х0;у0) > 0 , то решением неравенства  является часть плоскости, содержащая  точку М0. если f(х0;у0)<0, то другая  часть плоскости.

3) Множество решений системы  неравенств есть пересечение  множеств решений входящих в  нее неравенств. Пусть, например, задана  система неравенств:

.

Для первого неравенства множество решений есть круг радиусом 2 и с центром в начале координат, а для второго- полуплоскость, расположенная над прямой 2х+3у=0. Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств, т.е. полукруг.

4) Пример. Решить систему  неравенств:

Решением 1-го неравенства служит множество , 2-го множество (2;7) и третьего - множество .

Пересечением указанных множеств является промежуток(2;3], который и есть множество решений системы неравенств.

5. Решение рациональных  неравенств методом интервалов

В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена (х-а): точка х=? делит числовую ось на две части -- справа от точки ? двучлен (х_?)>0, а слева от точки ? (х-?)<0.

Пусть требуется решить неравенство (x-?1)(x-?2)...(x-?n)>0, где ?1, ?2...?n-1, ?n -- фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что ?1 < ?2 <...< ?n-1 < ?n. Для решения неравенства (x-?1)(x-?2)...(x_?n)>0 методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа ?1, ?2...?n-1, ?n; в промежутке справа от наибольшего из них, т.е. числа ?n, ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем -- знак «плюс», затем знак «минус» и т.д. Тогда множество всех решений неравенства (x-?1)(x_?2)...(x-?n)>0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства (x-?1)(x-?2)...(x_?n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Решение рациональных  неравенств (т.е неравенств вида P(x) Q(x) где - многочлены) основано на  следующем свойстве непрерывной  функции: если непрерывная функция  обращается в нуль в точках  х1 и х2 (х1;х2) и между этими точками  не имеет других корней, то  в промежутках(х1;х2) функция сохраняет  свой знак.

Поэтому для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) на числовой прямой отмечают все точки, в которых функция f(x) обращается в нуль или терпит разрыв. Эти точки разбивают числовую прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, т.е. сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой либо точке рассматриваемого промежутка числовой прямой.

2) Для определения интервалов  знакопостоянства рациональной  функции, т.е. Для решения рационального  неравенства, отмечаем на числовой  прямой корни числителя и корни  знаменателя, которые как и являются  корнями и точками разрыва  рациональной функции.

Решение неравенств методом интервалов

3. < 20.

Решение. Область допустимых значений определяется системой неравенств:

.

Для функции f(x) = - 20. Находим f(x):

откуда x = 29 и x = 13.

f(30) = - 20 = 0,3 > 0,

f(5) = - 1 - 20 = - 10 < 0.

Ответ: [4; 29).

х2+х-2

Пусть f(x)=х2+х-2 тогда найдем такие х при которых f(x)<0.

Найдем нули х=1, х=-2.

х3-4х<0

x(x2-4)<0

x(x-2)(x+2)<0

x=0 x=2 x=-2

6. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком  модуля

Решение неравенства, содержащего выражение , приводит к рассмотрению двух случаев:

Можно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой |a| означает расстояние точки а координатной прямой от начала отсчета О, а |a-b| означает расстояние между точками а и b на координатной прямой.

Можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме. Если выражения f(x) и g(x) при любых х принимают только неотрицательные значения, то неравенства f(x)>g(x) и (f(x))2>(g(x))2 равносильны.

Можно использовать свойства неравенств, содержащих переменную под знаком модуля:

Решить неравенство:

.

Объединяя результаты получим .

РЕФЕРАТЫ © 2010