Решение текстовых задач по математике единым алгоритмом
МБОУ «Пужмезьская основная общеобразовательная школа»
Кезский район, Удмуртская Республика.
Реферат по математике на тему
«Решение текстовых задач по математике единым алгоритмом»
Выполнили:
ученицы 8 класса
Белослудцева Маргарита и
Никитина Наталья.
Учитель: Монастырская А.П.
д. Пужмезь 2012 г.
Решение текстовых задач по математике единым алгоритмом.
План:
- Цель работы.
- Исследование способов решения различных видов текстовых задач.
- Выбор оптимального способа – создание алгоритма.
- Приложение с практическим применением результата исследования.
- Вывод.
В 5 классе наш учитель математики спросила нас: «Хотите знать рецепт, как научиться решать задачи?». Мы, разумеется, очень захотели узнать этот рецепт. И тогда учитель ответила: «Решать как можно больше текстовых задач». Уже в пятом классе мы поняли, что задачи проще решать алгебраическим способом, то есть с помощью уравнений. А в этом году, учась в 8 классе и готовясь к ГИА по учебнику «Подготовка к ГИА – 2012» при изучении соответствующих тем программы 8 класса, мы задумались над тем, а нельзя ли как-то систематизировать предложенный объем текстовых задач и выработать единый алгоритм их решения.
Еще с начальной школы мы знаем, что лучше решать задачи, видя текст перед собой в виде краткой записи условия. Взяв за основу краткую запись, мы подошли к тому, что удобно делать ее в виде таблицы.
Проанализировав текстовые задачи к экзаменам, мы выделили следующие типы задач:
- Задачи на движение.
- Задачи на работу.
- Задачи на проценты.
- Задачи на покупки
- Задачи с геометрическим содержанием.
На первый взгляд задачи на движение кажутся более простыми. Видимо, это связано с тем, что задачи на движение легко интерпретировать с помощью рисунка. Но прорешав задачи 1, 2 и 4-ого типов, мы увидели, что они решаются по одной и той же схеме.
Движение:
V (скорость) ∙ t (время) = S (расстояние)
Работа:
р (производительность) ∙ t (время) = А (работа)
Покупка:
Цена ∙ Количество = Стоимость
То есть действия с выражениями аналогичные.
А теперь можно перейти к непосредственным примерам решения задач по алгоритму: 1. Прочитать весь текст задачи;
2. Определить ее тип, исходя из условия;
3. Составить таблицу;
4. Заполнить таблицу, читая каждое предложение условия задачи;
5. Найти в таблице место вопросу задачи.
№ 431(ГИА – 2012 под редакцией Ф.Ф.Лысенко) – задача первого типа.
Автобус ехал из пункта А до пункта В со скоростью 80 км/ч. Выехав обратно, он 30 км ехал со скоростью, вдвое меньшей первоначальной. Затем он увеличил скорость на 50 км/ч и доехал до пункта А, не меняя скорости. Найдите расстояние от пункта А до В, если на обратный путь водитель затратил на часа меньше.
Теперь рассмотрим задачу на работу – задачу второго типа.
№ 476. Две машинистки должны были напечатать по 60 страниц каждая. Вторая машинистка печатала за 1 час на 2 страницы меньше, поэтому закончила работу на 1 час позже. Сколько страниц в час печатала первая машинистка?
Следующая задача на покупку – задача четвертого типа.
№ 497. За килограмм одного продукта и 10 кг другого заплачено 200 рублей. Если при сезонном изменении цен первый продукт подорожает на 15%, а второй подешевеет на 25%, то за такое же количество этих продуктов будет заплачено 182 рубля. Сколько стоит килограмм каждого продукта?
Перейдем к задачам на проценты – задачи третьего типа.
№ 502. Имеется 300 г. 20% раствора серной кислоты. Сколько граммов воды нужно добавить к этому раствору, чтобы получить 16% раствор серной кислоты?
Как можно таким стандартным способом с помощью таблицы решить нестандартную (олимпиадную) задачу?
Задача: в огурцах 99 % воды. Через некоторое время часть воды испарилась и ее стало 98%. На сколько процентов уменьшилась масса огурцов?
И еще одна задача на совместную работу, довольно часто встречающаяся в сборнике под редакцией Ф.Ф. Лысенко.
Вариант 8 задача № 20
Грузчики Петр и Владимир вместе могут перенести 22 ящика с гвоздями со склада в торговый зал за 40 минут, Михаил и Петр могут перенести 30 таких же ящиков за 50 минут, а Владимир и Михаил – 41 ящик за час. За сколько минут Петр, Владимир и Михаил перенесут 22 ящика, работая втроем?
А так же такая задача на проценты – задача третьего вида.
№ 520. Кондитерская производит два вида шоколада с содержанием какао-бобов 25% (молочный) и 70% (горький). В каком отношении надо смешать молочный и горький шоколад, чтобы получился шоколад, содержащий 45% какао-бобов?
Шоколад % = дробь какао
I х(кг) 25% = 0,25 0,252 ∙ х (кг)
II у(кг) 70% = 0,7 0,7 у (кг)
(х + у) кг 45% = 0,45 0,45 (х + у) кг
Уравнение: 0,25х + 0,7у = 0,45 (х + у)
Так как с 2012 года итоговая аттестация по математике претерпела изменения в том плане, что в контрольно- измерительные материалы введен0 пять заданий из 23 по геометрии, необходимость текстовых задач по алгебре с геометрическим содержанием отпала. Поэтому задачи пятого вида мы из исследовательской работы исключили. Геометрические задания по ГИА мы решили исследовать в будущем учебном году, так как в сборнике ГИА этого года мы увидели, что много задач на тему «Площади», а это программный материал 9 класса.
Поработав с задачами третьего типа из сборника « Подготовка к ГИА – 2012» , мы подумали, а не сможем ли мы таким алгоритмом справиться с задачами из сборника «Подготовка к ЕГЭ», с помощью учителя нашли вот такую задачу из пробного экзамена по математике в 11 классе и довольно легко решили ее.
Задача (11кл.) Смешали 42кг и 6кг кислотных растворов разного процентного содержания, получили 40% раствор. Если же смешать равные массы растворов, то получится 50%раствор, Найти массу вещества в первом растворе.
Решение:
Раствор % = дробь Вещество
1 42кг. х% = 0,01х 0,42х (кг)
2. 6кг у% = 0,01у 0,06у (кг)
+ 48кг 40% = 0,4 19,2 кг
Итак, получили уравнение 0,42х + 0,06у = 19,2
Раствор % = дробь Вещество
1. 1кг 0.01х 0,01х (кг)
2. 1кг 0,
+ 2кг 50%=0,5
Получаем второе уравнение 0,01х + 0,01у = 1
Решив систему двух уравнений
(в нашем случае достаточно найти только х)
отвечаем 0,42х =15,4(кг).
Ответ: 15,4кг
Поставив себе цель – найти универсальный способ решения задач с помощью нами созданного алгоритма, мы попробовали порешать различные задачи и составили ниже выложенное ПРИЛОЖЕНИЕ к работе.
Задача: Четыре класса должны покрасить забор вокруг школы. Классы Б.В.Г могут выполнить эту работу за 3часа. Классы А, В, Г могут выполнить эту работу за 2часа. Если же будут работать классы А и Б, то работа будет выполнена за 5часов. За какое время могут покрасить забор все четыре класса?
Решение: p (производительность) t (время) А (работа)
Б + В + Г р(б) + р(в) + р(г) = 1/3 3ч. 1
А + В + Г р(а) + р(в) + р(г) = 1/2 2ч. 1
А + Б р(а) + р(б) = 1/5 5ч. 1
А + Б + В + Г
Прибавим все р, получим:
2р(а) + 2р(б) + 2р(в) + 2р(г) =
2(р(а) + р(б) + р(в) + р(г)) =
(р(а) + р(б) + р(в) + р(г) =
Тогда время t =
Ответ:
Задача: За месяц до экзаменов 75% выпускников уже определились, какие экзамены по выбору они будут сдавать. При этом 60% из них решили сдавать геометрию. Сколько процентов из неопределившихся должны выбрать геометрию, чтобы по крайней мере половина учащихся сдавала этот экзамен?
Всего
100%
х(уч)
Определились
75% 0,75х(уч)
Геометрия
60% 0,6.0,75х = 0,45х(уч)
Не определились 25%
0,25х(уч)
Из них геометрия у%
0,01у ∙ 0,25х = 0,0025ху(уч)
Уравнение: 0,45х + 0,0025ху = 0,5х
0,0025ху = 0,05х
у =
у = 0,20 = 20%
Ответ: 20%.
Задача: В лаборатории имеется 2кг раствора, содержащего 28% некоторой кислоты, и 4кг раствора, содержащего 36% этой же кислоты. Найдите наибольшее количество 30%-го раствора кислоты, который можно получить из этих растворов.
Решение: Сначала найдем,
в каком отношении надо взять
данные растворы по алгоритму, ранее
используемому при решении
1. х(кг) 28% = 0,28 0,28х(кг)
2. у(кг) 36% = 0,36 0,36у(кг)
(х + у)кг 30% = 0,3 0,3(х + у)кг
Получаем уравнение:
0,28х + 0,36у = 0,3х + 0,3у
0,36у – 0,3у = 0,3х – 0,28х
0,06у = 0,02х
6у = 2х
3у = х
х/у =3/1 , то есть данные растворы надо взять в отношении 3 к 1.
Теперь ответим на вопрос задачи.
1 2кг 3 части
2. zкг 1часть
2 : z = 3 : 1
3z = 2
z = 2/3(кг)
2кг + 2/3 кг = кг и это ответ на вопрос.
Задача: Вода из горячего крана заполняет ванну за 23 минуты из холодного за 17 минут. Вначале открыли горячую воду. Через сколько минут надо открыть холодную воду, чтобы при полном заполнении ванны в ней горячей воды оказалось в полтора раза больше?
Решение: р t А
Горячая вода 23мин. 1
холодная вода 17мин. 1
Пусть х(мин) работает кран горячей воды,
у(мин) работает кран холодной
Уравнение:
Из второго условия
Решив систему уравнений, получим
х = 13,8(мин); у = 6,8(мин)
х – у = 13,8 - 6,8 = 7(мин)
Ответ: 7 минут.
Задача: Семья Ивановых ежемесячно платит за коммунальные услуги, телефон и электричество. Если бы коммунальные услуги подорожали на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 35%. Если бы электричество подорожало на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 10%. Какой процент от общей суммы платежа приходится на коммунальные услуги, телефон и электричество?
Решение:
Комм. усл. х% 150% = 1,5 1,5х
Телефон у%
Электр. z%
(x + у + z)% 135% = 1,35 1,35 (х + у + z)
х%
у%
z% 150%=1,5 1,5z
(х + у + z) 110% = 1,1 1,1(х + у + z)
Решаем систему уравнений:
х + у + z = 100
1,5х + у + z = 1,35(х + у + z)
х + у + 1,5z = 1,1(х + у + z)
После элементарных преобразований уравнений находим
х = 70% ; у = 10% ; z = 20% и это ответ на вопрос задачи.
Задача: В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных - 20%.
На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке?
Решение:
Свежие х (кг) 100 – 80 = 20(%) = 0,2 0,2х (кг)
Сушен. у (кг) 100 – 20 = 80(%) = 0,8 0,8у (кг)
Уравнение:
0,2х = 0,8у
у : х =0 ,2 : 0,8
у : х = 0,25
у : х = 25 : 100
у = 25%; х = 100%
100 – 25 = 75(%)
Ответ: на 75%
Задача: Цену первого товара подняли на 30%, потом еще на 5%.
Цену второго товара повысили на 25%. После этого цены сравнялись. На сколько процентов отличались первоначальные цены?
Первонач. цена % = дробь Новая цена
1. х(р.) 130% = 1,3 1,3 х (р.)
1,3х(р.) 105% = 1,05 1,05 ∙ 1,3х(р)
2. у(р.) 125% = 1,25 1,25 у(р.)
Уравнение 1,05 ∙ 1,3х = 1,25 у
1,365х = 1,25у
у : х = 1,365 :1,25
у : х = 1,092 = 109,2 : 100
у=109,2%; х = 100%
109,2 – 100 = 9,2.
Ответ: на 9,2%.
Задача: Электричка проходит мимо столба за 8секунд.
За какое время (в секундах) пройдут мимо друг друга пассажирский поезд и электричка, если скорость пассажирского поезда равна скорости электрички, а длина пассажирского поезда в полтора раза больше длины электрички?
v
t
s
Э.п (м/с) 8с х(м)
П.п.
(м/с)
s = х +1,5х = 2,5х(м) ; v =
t =
и это ответ.
Задача: Хлебопекарня увеличила выпуск продукции на 50%. На сколько процентов увеличится прибыль пекарни, если отпускная цена ее продукции возросла на 10%, а ее себестоимость для пекарни, которая до этого составляла 3/4 отпускной цены, увеличилась на 20%?
Решение:
Было % = дробь Стало
Продукция х(кг) 150% = 1,5 1,5х (кг)
Отпуск. цена у(р) 110% = 1,1 1,1у (р)
Выручка ху(р)
Себест.1кг 3/4у(р) 120%=1,2 0,9у (р)
Себест. 3/4ху(р)
Прибыль ху – 3/4ху=1/4ху 1,65ху – 1,35ху = 0,3ху (р)
Найдем отношение новой прибыли к старой.
120% – 100% = 20%.
Ответ: на 20%
Задача: Один турист вышел в 6ч. из пункта А в пункт В, а второй из пункта В в пункт А в 7ч. Они встретились в 9ч. и, не останавливаясь, продолжили путь. Во сколько раз скорость первого туриста больше скорости второго туриста, если первый пришел в пункт В на 5ч. раньше, чем второй в пункт А?
РЕШЕНИЕ:
v(км/ч) t(ч) s(км)
1. х(км/ч) 3ч. 3х(км)
2. у(км/ч) 2ч.
______________________________
1. х(км/ч)
2. у(км/ч) 3х/у(ч) 3х(км)
УРАВНЕНИЕ:
Обозначим
3z2 – 5z – 2 = 0
Д = 49
z = ; z = 2.
Ответ: скорость первого туриста в 2 раза больше скорости второго туриста.
Задача: В куске сплава меди и цинка количество меди увеличили на 40%, а количество цинка уменьшили на 40%. В результате общая масса куска сплава увеличилась на 20%. Определите процентное содержание меди и цинка в первоначальном куске сплава.
РЕШЕНИЕ:
Cu x(кг) 140% = 1,4 1,4х(кг)
Zn у(кг) 60% = 0,6 0,6у(кг)
______________________________
+ (х + у)кг 120% = 1,2 1,2(х + у)кг
Уравнение: 1,4х + 0,6у = 1,2(х + у)
1,4х + 0,6у = 1,2 х +1,2у
1,4х – 1,2х = 1,2у – 0,6у
0,2х = 0,6у
х = 3у
х : у = 3 :1 = 75% : 25%
Ответ: Cu – 75% ; Zn – 25%
Продолжаем готовиться к ГИА, решая текстовые задачи.
Коротенькое условие
задачи, может возникнуть вопрос:
" Не маловато ли данных?"
Однако задача решается
Пароход плывет от А до В по реке 5 суток, от В до А - 7 суток. Определите, сколько суток плывут плоты от А до В, если известно, что собственная скорость теплохода постоянна в течение всего пути.
v(км/сутки) t(сут.) S(км)
По теч. (х + у) 5 5(х + у)
Прот. теч. (х - у) 7 7(х - у)
Плоты у ?
Уравнение: 5(х + у) = 7(х – у)
5у + 7у = 7х – 5у
12у = 2х
6у = х
Тогда S = 5 (6у + у) = 35 у
Отвечаем
на поставленный вопрос t =
= 35(сут.)
Ответ: 35 суток.
Задача: Грузовик едет сначала 3 минуты с горы, а затем 7 минут в гору. На обратный путь он тратит 22 минуты. Во сколько раз скорость грузовика при движении с горы больше, чем его скорость при движении в гору?
v(км/ч) t(ч) s(км)
С горы х
В гору у s
Уравнение:
С горы х
В гору у
Уравнение:
Решим систему двух уравнений.
Решив это уравнение, получим корни его и 7
Условию задачи удовлетворяет корень 7.
Ответ: скорость с горы в 7 раз больше, чем в гору.
Задача: Велосипедист движется по пути АВ, состоящем из ровных участков, спусков и подъемов. На ровной дороге скорость велосипедиста равна 10 км/ч, на подъемах 8 км/ч, на спусках 16 км/ч. На дорогу из А в В велосипедист тратит 6ч., а на обратный путь из В в А 5 ч 30 мин.. Известно, что ровная часть пути равна 20 км. Найдите общую длину подъемов и спусков на пути из А в В.
Чтобы получить
ответ задачи, достаточно решить уравнение
Ответ: 40 км.
Вывод.
Поставив целью исследовательской работы – создать единый алгоритм решения текстовых задач, мы поняли, что можно решить практически любую задачу, не будучи вундеркиндом. Мы это доказали, решив ряд олимпиадных задач, задач из сборника ГИА и из пробного экзамена по ЕГЭ будучи только восьмиклассницами. Не надо бояться ошибиться, а надо пробовать решать любые текстовые задачи – это интересно.
Использованная литература: «Подготовка к ГИА – 2011»
- Решение транспортной задачи методом Фогеля
- Решение транспортных задач с помощью MS Excel
- Решение управленческих задач с помощью методов матпрограммирования
- Решение уравнений и неравенств графическим способом
- Решение уравнений и неравенств с параметрами
- Решение уравнений с комплексными переменными
- Решение фасадов и интерьеров известных театров
- Решение ПТЗ. Цель, задачи и организация занятий по ПТЗ на местности
- Решение систем линейных алгебраических уравнений прямыми методами
- Решение Слау методом Гаусса
- Решение спорных вопросов. Этика решения спорных вопросов, конфликтных ситуаций
- Решение сфероидических треугольников
- Решение текстовых задач
- Решение текстовых задач
