Решение уравнений и неравенств графическим способом

Введение.

Если учащийся не переживает радости

поиска и находок, не ощущает  живого

процесса становления  идей, то ему редко

удается достичь ясного понимания  всех

обстоятельств, которые позволили  избрать

именно этот, а не какой-нибудь другой путь.

А. Эйнштейн

 

Даже самый превосходный торт вряд ли доставит вам удовольствие, если кто-то его предварительно пожует. Так же и самое интересное математическое задание можно испортить, преждевременно показав его решение. Правда, и  в том, что «видит око, да зуб неймёт», мало радости: от задания, решение которого вы никогда не узнаете, немного проку.

В своей учебно-практической работе я самостоятельно исследовал основные методы решения линейных, квадратичных, показательных, логарифмических, тригонометрических неравенств. Материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть курса математики. Одним из сложных разделов алгебры, являются неравенства с модулем, так как на уроках им уделяют достаточно мало внимания. Выше изложенное обусловило проблему исследования: научиться решению неравенств, используя при этом графический метод решения неравенств различных видов.

Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности  была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными  работами военного характера, а также  с развитием астрономии и самой  математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет  до н.э. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом  дошли вавилоняне до этого правила.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые  изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком  Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.

Но общее правило решения  квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М. Штифелем.

В 1591 году Франсуа Виет ввел формулы для решения квадратных уравнений.

В древнем Вавилоне могли  решить некоторые виды квадратных уравнений.

Диофант Александрийский и Евклид, Аль-Хорезми и Омар Хайям решали уравнения геометрическими и графическими способами.

В 7 классе мы изучали функции у = С, у = kx, у = kx+m, у = x², у = – x², в 8 классе – у = √x, у =|x|, у = ax²+bx+c, у = k /x. В учебнике алгебры 9 класса я увидела ещё не известные мне функции: у = x³, у = x⁴, у = x²ⁿ, у = x^-2n, у = ³√x, (x – a)² + (у – b)² = r² и другие. Существуют правила построения графиков данных функций. Мне стало интересно, есть ли ещё функции, подчиняющиеся этим правилам.

 

Говорят, нужны особые способности, чтобы быть хорошим математиком  или физиком. По этому поводу мне  хочется заметить, что талант, способности  в какой-либо области деятельности — это прежде всего способность  много, упорно работать и иметь глубокий интерес к делу. Тогда и работать будет легко, тогда и придет успех! Ведь редко бывает, что человек не достигает успеха в науке, если он действительно серьезно ею интересуется. (Академик И. Г. Петровский).

 

Математика уже давно  стала основным аппаратом физики и техники. В последние годы все  настойчивее проникают математические методы исследований в такие науки, как химия, биология, геология, экономика, лингвистика, педагогика, медицина, археология. Поэтому не удивительно, что на многих (даже гуманитарных!) факультетах университетов и институтов поступающие сдают экзамен по математике. Математику нельзя выучить за одну ночь. Только регулярные систематические занятия могут принести успех, только глубокое знание школьных учебников сделает вопросы на экзамене простыми и легкими.

 

 

 

 

Теоретические сведения о числовых неравенствах

 

Неравенства вида , где и – числа (числовые выражения), называются числовыми.

Неравенства вида , где – линейные функции, называются неравенствами с одной переменной.

Неравенства, содержащие знаки  или называют строгими, а содержащие знаки или - нестрогими.

Решением неравенства  с одной переменной называется такое  значение переменной, при подстановке  которого неравенство обращается в  верное числовое неравенство.

Решить неравенство –  значит найти все его решения  или доказать, что их нет.

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадает. В частности, равносильны все  неравенства, не имеющие решений.

Свойства числовых неравенств:

1. .
3. - к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
4. - можно переносить слагаемые из одной части в другую, меняя их знак на противоположный.
5. и - два неравенства с одинаковым знаком можно почленно складывать.
6. Умножая (деля) обе части неравенства на положительное число, знак неравенства сохраняют.
7. Умножая (деля) обе части неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняют на противоположный.
8. и - два неравенства с одинаковым знаком, образованные неотрицательными числами, можно почленно умножать.
9. .
10. и .

Теоремы о равносильности неравенств с переменными

2. если имеет смысл в области определения неравенства
3. если для всех значений из области определения
4. если для всех значений из области определения .
5. .

5*. где принимает только положительные значения (следствие).

6. где

6*. (следствие).

 

 

Линейные неравенства  с одной переменной

 

Линейное неравенство – это неравенство вида ax + b > 0 (или ax + b < 0), где а и b – любые числа, причем а ≠ 0.

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Например, х + 5 < 17. Подставив вместо х значение 1, получим 1+ 5 < 17, 6 < 17 – верное числовое неравенство. Значит, х = 1 – решение данного неравенства.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Решая линейное неравенство  вида , получим: . Возможны три случая: 1) тогда ;

2) тогда и если при этом то решений нет, а если ,то .

 

 

 

 

 

 

 

Линейное уравнение

Линейным уравнением называется уравнение вида

 и любое другое уравнение приводимое к такому виду (например,  ).

 

•  — коэффициент при неизвестной,
•  — свободный член.

Решить уравнение значит найти такое число (корень уравнения), что при подстановке его вместо переменной  , получается верное равенство.

Примеры линейных уравнений:

. Корень(решение) этого уравнения 

. Корень этого уравнения 

Графическое решение  системы уравнений с двумя  переменными сводится к отыскиванию  координат общих точек графиков уравнений.

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы  уравнений является точка (если  уравнения являются линейными)  пересечения графиков.

Графическое решение  системы 

 

 

 

Линейная функция

Линейной функцией называется функция y = kx + b, где k и b - некоторые числа.

Прямопропорциональная зависимость между переменными x и y приводит к простейшей линейной функции y = kx.

Свойства линейной функции y = kx при k ≠ 0

• Область определения функции - множество R всех действительных чисел.
• Корни - единственный корень x = 0.
• Промежутки постоянного знака зависят от знака параметра k:

k > 0, то y > 0 при x > 0 ; y < 0 при x < 0;  
k < 0, то y > 0 при x < 0 ; y < 0 при x > 0.

• Экстремумов нет.
• Монотонность функции:

если k > 0, то y возрастает на всей числовой оси;  
если k < 0, то y убывает на всей числовой оси.

• Наибольшего и наименьшего значений нет.
• Область значений - множество R.
• Четность - функция y = kx нечетная.

Графиком линейной функции является прямая линия.

 

 

 

Алгоритм построения графика

1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции  , удобно взять    и  , тогда ординаты эти точек будут равны   и  .Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график  функции  :

2. В уравнении функции   коэффициент   отвечает за наклон графика функции:

• если  , то график наклонен вправо
• если   , то график наклонен влево

Коэффициент   отвечает за сдвиг графика вдоль оси  :

• если  , то график функции   получается из графика  функции  сдвигом на   единиц вверх вдоль оси 
• если   , то график функции   получается из графика функции   сдвигом на   единиц   вниз вдоль оси 

На рисунке ниже изображены графики  функций  ;  ;   

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент   больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение  , тем круче идет прямая.

Во всех функциях   – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь рассмотрим графики функций  ;  ;   

На этот раз  во всех  функциях коэффициент   меньше нуля, и все графики функций наклонены влево. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Рассмотрим графики функций   ;  ; 

Теперь  во всех уравнениях функций коэффициенты   равны. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти  графики пересекают ось OY  в различных точках:

График функции   (b=3) пересекает ось OY  в точке (0;3)

График функции   (b=0) пересекает ось OY  в точке (0;0) -  начале координат.

График функции   (b=-2) пересекает ось OY  в точке (0;-2)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции  .

Если  k<0 и b>0, то график функции   имеет вид:

Если  k>0 и b>0, то график функции   имеет вид:

Если  k>0 и b<0, то график функции   имеет вид:

Если  k<0 и b<0, то график функции   имеет вид:

Если  k=0 , то  функция   превращается в функцию     и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика  функции   равны 

Если b=0, то график функции   проходит через начало координат:

3. Отдельно отмечу график уравнения  . График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси   все точки которой имеют абсциссу  .

Например, график уравнения   выглядит так:

Внимание! Уравнение   не является функцией, так различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

4. Условие параллельности двух прямых:

График функции   параллелен графику функции  , если 

5. Условие перепендикулярности двух прямых:

График функции   перепендикулярен графику функции  , если   или 

6. Точки пересечения графика функции   с осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда  . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты ( ;0):

 

Примеры решения.

1. Постройте график функции  , если известно, что он проходит через точку А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.

В уравнении функции    два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи должны быть два условия, характеризующих график функции.

а) Из того, что график функции   параллелен прямой y=-4x, следует, что k=-4. То есть уравнение функции имеет вид 

б) Нам осталось найти b. Известно, что график функции   проходит через точку А(-3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение функции, мы получим верное равенство:

  отсюда b=-10

Таким образом, нам надо построить  график функции 

Точка А(-3;2) нам известна, возьмем  точку B(0;-10)

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим их прямой:

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1); B(2;4).

Если прямая проходит через точки  с заданными координатами, следовательно, координаты точек удовлетворяют  уравнению прямой   . То есть если мы координаты точек подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки  в уравнение    и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения  системы первое, и получим  . Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b=-2.

Итак, уравнение прямой  .

3. Постройте график уравнения 

Чтобы найти,  при каких значениях неизвестного произведение нескольких множителей равно нулю, нужно каждый множитель приравнять к нулю и учестьОДЗ каждого множителя. 

Это уравнение не имеет ограничений  на ОДЗ. Разложим на множители вторую скобку и приравняем каждый множитель  к нулю. Получим совокупность уравнений:

Построим графики всех  уравнений совокупности в одной коорднатной плоскости. Это и есть график уравнения   :

4. Постройте график функции  , если он перпендикулярен прямой   и проходит через точку М(-1;2)

Мы не будем строить график, только найдем уравнение прямой.

а) Так как график функции  , если он перпендикулярен прямой  , следовательно  , отсюда  . То есть уравнение функции имеет вид 

б) Мы знаем, что  график функции   проходит через точку М(-1;2). Подставим ее координаты в уравнение функции. Получим:

, отсюда  .

Следовательно, наша функция имеет  вид:  .

 

 

 

 

 

 

Квадратное неравенство

Неравенство вида

где x - переменная, a, b, c - числа,  , называется квадратным.

При решении квадратного  неравенства необходимо найти корни  соответствующего квадратного уравнения  . Для этого необходимо найти дискриминант данного квадратного уравнения. Можно получить 3 случая: 1) D=0, квадратное уравнение имеет один корень; 2)D>0 квадратное уравнение имеет два корня; 3) D<0 квадратное уравнение не имеет корней.

В зависимости от полученных корней и знака коэффициента a возможно одно из шести расположений графика функции 

Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен  больше нуля, то это числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ.

Если требуется найти  числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен  меньше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток, если строгое - не входят.

Такой метод решения квадратного  неравенства называется графическим.

 

 

 

Примеры решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Квадратичная  функция

Квадратичная функция y = ax² + bx + c где а, b, с – некоторые числа и а ¹ 0. Графиком этой функции является парабола.

Уравнение у ²(a – x) = x²(a+ x). Графиком этого уравнения будет кривая, называемая строфоидой.

Уравнение (x² + y²)² = a (x² – y²). График этого уравнения называется лемнискатой Бернулли.

Уравнение .                     График этого уравнения называется астроидой.

Кривая (x² y² – 2 a x)² =4 a² (x² + y²). Эта кривая называется кардиоидой.

Функции: у = x³ – кубическая парабола, у = x⁴_, у = 1/x².

 

 Алгоритм построения  графика функции

 

Зная график функции у = f(x), можно построить графики функций у = f (x+m), у = f(x)+l и у = f (x+ m)+ l. Все эти графики получаются из графика функции у = f(x) с помощью преобразования параллельного переноса: на │m│ единиц масштаба вправо или влево вдоль оси x и на │l│ единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси y.

 

Графическое решение  квадратного уравнения

 

На примере квадратичной функции мы рассмотрим графическое  решение квадратного уравнения. Графиком квадратичной функции является парабола.

Что знали о параболе древние  греки?

Современная математическая символика возникла в 16 веке.

У древнегреческих же математиков  ни координатного метода, ни понятия  функции не было. Тем не менее, свойства параболы были изучены ими подробно. Изобретательность античных математиков  просто поражает воображение, – ведь они могли использовать только чертежи  и словесные описания зависимостей.

Наиболее полно исследовал параболу, гиперболу и эллипс Аполоний Пергский, живший в 3 веке до н.э. Он же дал этим кривым названия и указал, каким условиям удовлетворяют точки, лежащие на той или иной кривой (ведь формул-то не было!).

Существует алгоритм построения параболы:

• Находим координаты вершины параболы А (х₀; у₀): х₀ =-b/2a;
• y₀=ах_о²+вх₀+с;
• Находим ось симметрии параболы (прямая х=х₀);
• Составляем таблицу значений для построения контрольных точек;
• Строим полученные точки и построим точки им симметричные относительно оси симметрии.

1. По алгоритму построим  параболу y = x² – 2x – 3. Абсциссы точек пересечения с осью x и есть корни квадратного уравнения x² – 2x – 3 = 0.

Существует пять способов графического решения этого уравнения.

2. Разобьём уравнение  на две функции: y=x² и y= 2x + 3. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

3. Разобьём уравнение  на две функции: y=x² –3 и y =2x. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

4. Преобразуем уравнение x² – 2x – 3 = 0 при помощи выделения полного квадрата на функции: y= (x –1)² и y=4. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

5. Разделим почленно обе  части уравнения x² – 2x – 3 = 0 на x, получим x – 2 – 3/x = 0, разобьём данное уравнение на две функции: y = x – 2, y = 3/x. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы

 

Примеры решения.

Пример 1

Построить график функции  .

Сначала находим вершину  параболы. Для этого берём первую производную и приравниваем ее к  нулю:

Таким образом, вершина находится  в точке 

Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует  заметить, что функция   – не является чётной, но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял.

В каком порядке  находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:

Выполним чертеж:

 
Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак:

Для квадратичной функции   ( ) справедливо следующее:

Если  , то ветви параболы направлены вверх.

Если  , то ветви параболы направлены вниз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Показательные неравенства.

Неравенства вида a^x>b (a^x³b) или a^x<b (a^x£b), где a>0, a¹1, называются простейшими показательными неравенствами.

Решение показательных неравенств основано на строгой монотонности показательной  функции. Известно, что

• при основании, большем единицы, показательная функция возрастает,
• при положительном основании, меньшем единицы, показательная функция убывает.

·        Неравенство вида

в зависимости от основания  эквивалентно следующему:

• при a>1      f(x)>g(x);
• при 0<a<1    f(x)<g(x).

·        Неравенство вида

эквивалентно следующему неравенству:

• при a>1      f(x)<g(x);
• при 0<a<1    f(x)>g(x).

 

      Чтобы пользоваться свойством монотонности показательной функции следует  путем надлежащих преобразований добиться одинаковых оснований в левой  и правой частях неравенства.

Пример решения.

Пример. Решить неравенство 16^x > 0,125.

Решение. Заметим, что 16=2⁴, а 0,125=1/8=2^-3. Тогда, переходя в обеих частях неравенства к основанию 2, получим 2^4x > 2^–3. Так как основание 2 > 1, то 4х > –3, то естьx>-3/4.

Ответ: (-3/4;+¥). 

·        Более сложные показательные неравенства сводятся к простейшим методами, аналогичными методам, используемым при решении показательных уравнений.

Пример 1. Решить неравенство 25^х<6×5^x-5.

Решение. Так как 25=5², то 25^x=5^2x и данное неравенство примет вид:

.

Заменой t=5^x, t>0 сведем неравенство к квадратному:

,

решая которое методом  интервалов, получим:

Следовательно, 1<t<5, то есть 1<5^x<5, иначе 5⁰<5^x<5¹. Отсюда в силу свойства монотонности показательной функции получим, что 0<x<1.

Ответ: (0; 1).

 

 

 

 

 

Логарифмические неравенства.

Логарифмическим неравенством называется неравенство, в котором неизвестная величина стоит под знаком логарифма.

Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид:

 V  , где V – один из знаков неравенства: <,>, ≤ или ≥.

Если основание логарифма больше единицы ( ) , то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется, и неравенство

равносильно системе:

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы ( ), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный, и неравенство

равносильно системе:

 

Решения полученных неравенств надо пересечь с ОДЗ: 

 

 Пример решения

1. Решим  неравенство:

Так как основание логарифмов в  обеих частях неравенства меньше 1, при переходе к выражениям, стоящим  под знаком логарифма, знак неравенства  меняется на противоположный. Выражения, стоящие под знаком логарифма  должны быть строго больше нуля. Перейдем к системе:

Обратите внимание: мы указываем, что  больше нуля должно быть меньшее из выражений, которые стоят под  знаком логарифма. В этом случает  большее выражение автоматически  будет больше нуля.

Решим систему неравенств:

Корни квадратного трехчлена:  ,  

Отсюда:

Ответ: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тригонометрические  уравнения

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком  тригонометрических функций.

Простейшими тригонометрическими  уравнениями являются уравнения  вида 

,

,

, 

.

Рассмотрим, при каких  значениях   тригонометрические уравнения разрешимы и как правильно находить все решения таких уравнений.

Уравнение  .

Так как множество значений функции   - отрезок [-1;1], то данное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда 

.

Далее, из-за периодичности  функции  , каждому значению   соответствует бесконечное множество решений. Поэтому все решения описываются формулами:

или обобщенной формулой

.

На рисунке 1 члены первой последовательности отмечены кружками, а второй - квадратами.

Рис.1

Заметим, что  .

Особо отметим некоторые  частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного  уравнения:

а
0
1
-1