Роль математики в естествознании

                                            Реферат на тему:

                       «Роль математики в естествознании»

                                                  Казань 2014

Содержание

Введение

1. Предмет и специфика математики

2. Математика – источник представлений  и концепций в Естествознании

3. Математика – язык точного  естествознания

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Вряд ли вызывает сомнение утверждение: математика нужна всем вне зависимости  от рода занятий и профессии. Однако для разных людей необходима и  различная математика: для продавца может быть достаточно знаний простейших арифметических операций, а для истинного  естествоиспытателя обязательно требуются  глубокие знания современной математики, поскольку только на их основе возможно открытие законов природы и познание ее гармонического развития. Иногда к  познанию математики влекут и субъективные побуждения. Об одном из них Луций Анней Сенека ( 4 до н.э. – 65 н.э.), римский писатель и философ, писал: «Александр, царь Македонский, принялся изучать геометрию – несчастный! – только с тем, чтобы узнать, как мала земля, чью ничтожную часть он захватил. Несчастным я называю его потому, что он должен был понять ложность своего прозвища, ибо можно ли быть великим на ничтожном пространстве».

Возникает вопрос: может ли серьезный  естествоиспытатель обойтись без глубокого  познания премудростей математики? Ответ  несколько неожиданный: да, может. Однако к нему следует добавить: только в исключительном случае. И вот  подтверждающий пример. Чарлз Дарвин, обобщая результаты собственных  наблюдений и достижения современной  ему биологии, вскрыл основные факторы  эволюции органического мира. Причем он сделал это, не опираясь на хорошо разработанный  к тому времени математический аппарат, хотя и высоко ценил математику: «… в последние годы я глубоко  сожалел, что не успел ознакомиться с математикой, по крайней мере настолько, чтобы понимать в ее великих руководящих началах; так усвоившие их производят впечатление людей, обладающих одним органом чувств более, чем простые смертные».

Кто знает – может быть, обладание  математическим чувством позволило  бы Дарвину внести еще больший  вклад в познание гармонии природы.

Известно, что еще в древние  времена математике придавалось  большое значение. Девиз первой академии – платоновской академии – «Не  знающие математики сюда не входят» - ярко свидетельствует о том, насколько  высоко ценили математику на заре науки, хотя в те времена основным предметом науки была философия.

Простейшие в современном понимании  математические начала, включающие элементарный арифметический счет и простейшие геометрические измерения, служат отправной точкой естествознания.

«Тот, кто хочет решить вопросы  естественных наук без помощи математики, ставит неразрешимую задачу. Следует  измерять то, что измеримо, и делать измеримым то, что таковым не является», - утверждал выдающийся итальянский  физик и астроном, один из основоположников естествознания Галилео Галилей (1564-1642).

            1. Предмет и специфика математики

Математика имеет для  естествознания непреходящее значение, а потому прежде чем обратиться непосредственно  к анализу ее роли, целесообразно  рассмотреть вопрос о ее достоинствах.

Самое лаконичное и притом довольно удачное определение математики дает Николай Бурбаки ( коллективное имя группы французских математиков). Он определяет современную математику как науку о структурах, «единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры». В данном случае под структурой имеется в виду определенным образом упорядоченное многообразие математических элементов (чисел, функций и т.п.).

В основаниях любой математической дисциплины непременно обнаруживаются некоторые математические элементы и постулируемые различия между ними. При этом для построения математической системы используются, как правило, два метода: аксиоматический и конструктивистский.

При аксиоматическом методе исходят из аксиом ( исходных положений теории) и правил вывода ( дедукции) из них других положений. Широко используются символьные записи, а не громоздкие словесные выражения. Замена естественного языка математическими символами называется формализацией. Если формализация состоялась, то аксиоматическая система является формальной, а положения системы приобретают характер формул. Получаемые в результате вывода доказательства формулы называются теоремами. Таково описанное вкратце содержание аксиоматического метода.

В случае конструктивистского  метода исходят из принимаемых интуитивно очевидными математических конструктов, на их основе строят более сложные, чем они, элементы ( а не выводят формулы), в процессе конструирования этих элементов используют подходящую для построения последовательность шагов.

Математик непременно оперирует  конструктами, часть из которых принимается  интуитивно, выражаясь точнее, на основе обобщения доступного ему математического  опыта, а другие либо дедуцируются из аксиом, либо конструируются, чаще всего  в форме последовательно осуществляемых символьных записей. Для математика важно задать отличие метематических конструктов друг от друга. В естествознании чувства, мысли, слова и предложения несут информацию об изучаемых природных явлениях, они обращены в сторону природы. В математике дело обстоит принципиально по –другому, здесь математические конструкты « не смотрят по сторонам », они соотносятся исключительно друг с другом.

Характер математического  знания таков, что его приверженцы, оправдывая свой статус, вынуждены, разумеется, это делается в силу их свободного волеизъявления, как можно более  детально устанавливать характер упорядоченности  тех совокупностей элементов, которые  они изобретают и изучают. Именно в этой связи доказательство новой  теоремы или построение ранее  неизвестного конструкта расценивается  как математический успех. Интерес  математика заключен в изобретении  многообразий упорядоченных математических конструктов.

Если многообразие математических конструктов не упорядочено, то есть невозможно их сопоставление друг с  другом, то работа математика теряет всякий смысл. Дабы этого не случилось, математик  внимательно следит за тем, чтобы  математическая теория была непротиворечивой. Математическая теория называется непротиворечивой, если в ней не наличествуют два или больше взаимно исключающих предположения. Наличие противоречий «разваливает» математическую теорию. Простой пример: если бы согласно таблице умножения 3 × 3 = 9 и 3 × 3 = 8, то ее невозможно было бы продуктивно использовать.

Многовековое развитие математики показывает, что непротиворечивость – это ее основополагающий научный  критерий. 

2. Математика - источник  представлений и концепций в  естествознании

Назначение математики состоит  в том, она вырабатывает для остальной  науки, прежде всего для естествознания, структуры мысли, формулы, на основе которых можно решать проблемы специальных  наук.                                                                                                                                                                              

Это обусловлено особенностью математики описывать не свойства вещей, а свойства свойств, выделяя отношения, независимые от каких-либо конкретных свойств, то есть отношения отношений. Но поскольку и отношения, выводимые математикой, особые (будучи отношениями отношений), то ей удается проникать в самые глубокие характеристики мира и разговаривать на языке не просто отношений, а структур, определяемых как инварианты систем.

Эти глубинные проникновения  в природу и позволяют математике исполнять роль методологии, выступая носителем плодотворных идей. Относительно сказанного современный американский исследователь Ф. Дайсон пишет: "Математика для физики - это не только инструмент, с помощью которого она может  количественно описать явление, но и главный источник представлений  и принципов, на основе которых зарождаются  новые теории". Близкие мысли  высказывает известный математик, академик Б. Гнеденко, также подчеркивая, что роль математики не ограничивается функцией аппарата вычисления, подчеркивал, что математика - определенная концепция  природы.

Поскольку привилегия математики - выделять чистые, безотносительные к  какому-либо физическому (химическому  или социально насыщенному содержанию), она тем самым вырабатывает модели возможных еще неизвестных науке состояний. Естествоиспытатель может выбирать из них и примеривать к своей области исследования. Это стимулирует научный поиск, пробуждая и будоража ученую мысль. В силу указанной особенности математику характеризуют как склад готовых костюмов, пошитых на все живые существа, мыслимые и немыслимые (Р. Фейнман), вообще на все возможные природные ситуации. То есть это своеобразный портной для разнообразных вещественных образований, которые могут быть вписаны в эти готовые одежды.

Методологическое значение математики для других наук проявляется  еще в одном аспекте. Поскольку  ее абстракции отвлечены от конкретных свойств, она способна проводить  аналогии между качественно различными объектами, переходить от одной области  реальности к другой. Д. Пойа назвал это свойство математики умением "наводить мосты над пропастью". Там, где  конкретная наука останавливается (кончается ее компетенция), математика в силу ее количественного подхода  к явлениям, свободно переносит свои структуры на соседние, близкие и  далекие, регионы природы.

Таковы некоторые методологические уроки, внушаемые математикой. Однако, сколь ни эффективна математическая наука, и на нее брошены некоторые  тени, а лучше сказать: эти тени - есть продолжение ее достоинств (при  неадекватном использовании последних).

Описывая объект, процесс, математика выявляет какую-то лишь одну (существенную) характеристику и, прослеживая  ее вариации, выводит закономерность. Все остальные характеристики уходят в тень, иначе они будут мешать исследованию. Конечно, эти другие также  могут оказаться предметом изучения, но будучи взяты по тому же математическому  сценарию: каждый раз только один единственный параметр, одно выделенное свойство в  отвлечении от остального разнообразия.

Используя математические методы исследования, вовлекая их в познавательный поиск, науки должны учитывать возможности  математики, считаясь с границами  ее применимости. Имеется в виду то, что сама по себе математическая обработка содержания, его перевод на язык количественных описаний не дает прироста информации.

Таким образом можно подчеркнуть  важную роль  этой математики как языка, арсенала особых методов исследования, источника представлений и концепций в естествознании . 

3. Математика –  язык точного естествознания

" ... Все законы выводятся  из опыта. Но для выражения  их нужен специальный язык. Обиходный  язык слишком беден, кроме того, он слишком неопределен для выражения столь богатых содержанием точных и тонких соотношений. Таково первое основание, по которому физик не может обойтись без математики; она дает ему единственный язык, на котором он в состоянии изъясняться". Математика - наука о количественных отношениях действительности. "Подлинно реалистическая математика, подобно физике, представляет собой фрагмент теоретической конструкции одного и того же реального мира."(Г.Вейль) Она является междисциплинарной наукой. Результаты ее используются в естествознании и общественных науках.   Роль  математики  в современном  естествознании  проявляется в том, что новая теоретическая интерпретация какого-либо явления считается полноценной, если удается создать математический аппарат, отражающий основные закономерности этого явления. Во многих случаях математика  играет роль  универсального языка естествознания, специально предназначенного для лаконичной точной записи различных утверждений. Точность есть выражение однозначности, исключающее вариантность, разброс значений, неопределенность. Этим и отличаются математические знаки - символы, обозначающие объекты и операции математики. Здесь символы жестко привязаны к значениям, не допуская разночтений, интерпретаций и объяснений, что имеет место относительно знаков других наук.

Огромные успехи точных математических наук привели к появлению среди  ученых, особенно среди физиков, веры в то, что все реально наблюдаемое  в их опытах подчиняется законам математики вплоть до мельчайших деталей. Установление математических законов, которым подчиняется физическая реальность, было одним из самых поразительных чудесных открытий, сделанных человечеством. Ведь математика не основана на эксперименте, а порождена человеческим разумом.  
 Говоря о важности применения математики в естествознании, мы не должны абсолютизировать ее роль. Математические формулы сами по себе абстрактны и лишены конкретного содержания. Математика является лишь орудием, или средством, физического исследования. Только согласованные с научным наблюдением и экспериментом физические исследования наполняют математические формулы конкретным содержанием.

Но так компактно и  изящно закон выглядит лишь в формуле, а реально тяготеющие массы, например планеты Солнечной системы, движутся при наблюдении за ними сложно, с  теми или иными отклонениями от той  траектории, которая предписывается формулой.         

 Существует раздел  математики, посвященный анализу  конфликтных ситуаций, где под  компромиссом понимается коллективное  решение, не нарушающее интересы  всех сторон (устойчивой системы). Всякий компромисс достигается  определенной последовательностью  шагов и действий. Например, для  разрешения экологических проблем  необходимо учесть все ограничения,  нарушения которых означало бы  нарушение гомеостатического состояния.  Это позволило составить формальную  систему запретов или минимум  условий, необходимых для обеспечения  гомеостазиса. В 1944 г. в США  опубликована книга Д. Неймана  и О. Моргенштерна "Теория игр  и экономическое поведение", в  которой рассматривались вопросы  математического описания способов  принятия решений, типичных для  конкурентной экономики. В последствии теория игр превратилась в общую математическую теорию конфликтов, описывающую военные, экономические и правовые коллизии, столкновения, связанные с биологической борьбой за существование, различные игровые стратегии. В случае игр с противоположными интересами (антагонистическая игра) оптимальной считается стратегия, направленная на достижение максимального выигрыша. Конкуренция здесь является разновидностью конфликта.  
         Математический аппарат теории катастроф позволяет свести огромное многообразие сложных процессов к небольшому числу точно изученных схем. Для одной-двух переменных, характеризующих состояние системы, и не более пяти управляющих параметров существует семь типов элементарных катастроф. Теория катастроф широко используется в гидро- и аэродинамике, оптике, метеорологии, квантовой динамике для описания нелинейных систем, далеких от равновесия, подводя стандартную и эффективную базу под описание их качественных изменений.  

Заключение       

 «Книга природы  написана на языке математики», - утверждал Г. Галилей.   

  «В каждом знании столько истины, сколько есть математики», - вторил ему И. Кант.

Николай Бурбаки  определяет современную математику как науку о структурах, «единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры». В данном случае под структурой имеется  в виду определенным образом упорядоченное  многообразие математических элементов (чисел, функций и т.п.).   

 Логическая стройность, строго дедуктивный характер  построений, общеобязательность выводов  математики создали ей славу  образца научного знания. «Выгоды»   естествознания   от   использования   математики    многообразны. Во многих случаях математика  играет роль  универсального языка естествознания, специально предназначенного для лаконичной точной записи различных утверждений. Точность есть выражение однозначности, исключающее вариантность, разброс значений, неопределенность. Этим и отличаются математические знаки - символы, обозначающие объекты и операции математики.

Огромные успехи точных математических наук привели к появлению среди  ученых, особенно среди физиков, веры в то, что все реально наблюдаемое  в их опытах подчиняется законам  математики вплоть до мельчайших деталей. Установление математических законов, которым подчиняется физическая реальность, было одним из самых  поразительных чудесных открытий, сделанных  человечеством. Ведь математика не основана на эксперименте, а порождена человеческим разумом.    
         Совершенно очевидно, что наши геометрические и логические возможности простираются далеко за пределы окружающего мира. А это означает, что реальный мир подчиняется математическим законам в значительно большей степени, чем нам известно сейчас. В эволюционной теории познания фактически неизбежно возникает предположение о том, что математические способности вида "хомо сапиенс" принципиально ограниченны, так как имеют биологическую основу и, следовательно, не могут полностью содержать все структуры, существующие в действительности. Иными словами, должны существовать пределы для математического описания природы.

Назначение математики состоит  в том, она вырабатывает для остальной  науки, прежде всего для естествознания, структуры мысли, формулы, на основе которых можно решать проблемы специальных  наук.                                                                                                                                                                          

Это обусловлено особенностью математики описывать не свойства вещей, а свойства свойств, выделяя отношения, независимые от каких-либо конкретных свойств, то есть отношения отношений.

Эти глубинные проникновения  в природу и позволяют математике исполнять роль методологии, выступая носителем плодотворных идей. Поскольку  привилегия математики - выделять чистые, безотносительные к какому-либо физическому (химическому или социально насыщенному  содержанию), она тем самым вырабатывает модели возможных еще неизвестных  науке состояний. Естествоиспытатель может выбирать из них и примеривать  к своей области исследования. Это стимулирует научный поиск, пробуждая и будоража ученую мысль.

В свое время И. Кант метко  определил: "Математика - наука, брошенная  человеком на исследование мира в  его возможных вариантах".                                                            

Если физику или вообще естествоиспытателю позволено видеть мир таким, каков он есть, то математику дано видеть мир во всех его логических вариантах.

Методологическое значение математики для других наук проявляется  еще в одном аспекте. Поскольку  ее абстракции отвлечены от конкретных свойств, она способна проводить  аналогии между качественно различными объектами, переходить от одной области  реальности к другой.

Используя математические методы исследования, вовлекая их в познавательный поиск, науки должны учитывать возможности  математики, считаясь с границами  ее применимости. Имеется в виду то, что сама по себе математическая обработка содержания, его перевод  на язык количественных описаний не дает прироста информации.

Список использованной литературы:

1. Буслова М.К., Горалевич Т.А., Готт В.С. и др. Современное естествознание в системе науки и практики/ под ред. Сачкова Ю.В., Горолевич Т.А. – Мн.: Навука i тэхнiка, 1990.
2. Канке В.А. Концепции современного естествознания: Учебник для вузов. – М.: Логос, 2002.
3. Карпенков С.Х. Концепции современного естествознания. Краткий курс: Учебник. М.: Высш. шк., 2003.
4. Мотылева Л.С., Скоробогатов В.А., Судариков А.М. Концепции современного естествознания: Учебник для вузов/ под ред. Скоробогатова В.А. – Спб.: Союз, 2002.
5. Соломантин В.А. История и концепций современного естествознания: Учебник для вузов. – М.: ПЕР СЭ, 2002.
6. www.domino.novsu.ac.ru.
7. www. ou.tsu.ru.
8. www. milogiya.narod.ru.