Ряды Фурье

Содержание:

1.            Введение.

2.            Понятие ряда Фурье.   

2.1. Определение коэффициентов  ряда Фурье.   

2.2. Интегралы от периодических  функций.

3.            Признаки сходимости рядов Фурье.

3.1.        Примеры разложения функций в ряды Фурье.

4.            Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье

5.            Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

6.            Ряды Фурье для функций с периодом 2 l.

7.            Разложение в ряд Фурье непериодической функции. 

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

Введение.

Жан Батист Жозеф Фурье - французский математик, член Парижской  Академии Наук (1817).

Первые труды Фурье  относятся к алгебре. Уже в  лекциях 1796 он изложил теорему о  числе действительных корней алгебраического  уравнения, лежащих между данными  границами (опубл. 1820), названную его именем; полное решение о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 Ж.Ш.Ф. Штурмом. В 1818 Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 французским математиком Ж.Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ определённых уравнений», изданный посмертно в 1831.

Основной областью занятий  Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по теории распространении  тепла в твёрдом теле, а в 1822 опубликовал известную работу «Аналитическая теория теплоты», сыгравшую большую  роль в последующей истории математики. Это – математическая теория теплопроводности. В силу общности метода эта книга  стала источником всех современных  методов математической физики. В  этой работе  Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (метод Фурье), который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье.

Ряды Фурье теперь стали  хорошо разработанным средством  в теории уравнений в частных  производных при решении граничных  задач.

 

1. Понятие ряда  Фурье.     

 Ряды Фурье играют  большую роль в математической физике, теории упругости, электротехнике и особенно их частный случай – тригонометрические ряды Фурье.

Тригонометрическим рядом  называют ряд вида

или, символической записи:

                                  ( 1 )

где ω, a₀, a₁, …, a_n, …, b₀, b₁, …,b_n, …-  постоянные числа (ω>0) .      

 К изучению таких  рядов исторически привели некоторые  задачи физики, например   задача о колебаниях  струны (XVIII в.), задача о закономерностях в явлениях теплопроводности и др. В приложениях рассмотрение тригонометрических рядов, прежде всего связано  с задачей представления данного движения, описанного уравнением  у = ƒ(χ), в виде  суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно большом числе, т. е. в качестве суммы ряда  вида (1).

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для данной функции ƒ(x) на заданном промежутке такой ряд (1),который  сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на этом промежутке функция  ƒ(x)  разлагается в тригонометрический ряд.

Ряд (1) сходится в некоторой  точке х₀, в силу периодичности функций   (n=1,2,..), он окажется сходящимся и во всех точках вида  (m- любое целое число), и тем самым его сумма  S(x) будет (в области сходимости ряда) периодической функцией: если S_n(x) – n-я частичная сумма этого ряда, то имеем          

   

а потому и  , т. е. S(x₀+T)=S(x₀). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции ƒ(x) в ряд вида (1), будем предполагать ƒ(x) периодической функцией.

 

2. Определение  коэффициентов ряда по формулам  Фурье.

Пусть периодическая  функция ƒ(х) с периодом 2π такая, что она представляется тригонометрическим рядом,  сходящимся к данной функции в интервале (-π, π), т. е. является суммой этого ряда:          

 ƒ(x)= .                           (2)

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части  этого равенства, равняется сумме  интегралов от членов этого ряда. Это  будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов  данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т. е.. сходится положительный числовой ряд

        (3)

Ряд (1) мажорируем и его можно почленно интегрировать в промежутке (-π, π). Проинтегрируем обе части равенства (2):

.

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части:            

  ,           

  ,

.

Таким образом, , откуда

.       (4)

Пространство  функций со скалярным произведением.

Функция ƒ(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, может быть, конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода. Такие точки можно складывать и умножать на действительные числа и получать как результат снова кусочно-непрерывные на отрезке [a, b] функции.

Скалярным произведением двух кусочно-непрерывных на [a, b] (a < b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

                          (5)

Очевидно для любых  кусочно-непрерывных на [a, b] функций  ƒ , φ , ψ  выполняются свойства:

1)                                  (ƒ , φ ) =( φ, ƒ  );

2)                                  (ƒ , ƒ ) и из равенства (ƒ , ƒ ) = 0 следует, что ƒ(x) =0 на  [a, b], исключая, быть может, конечное число точек x;

3)                                  (α ƒ + β φ , ψ) = α  (ƒ , ψ) + β ( φ , ψ),

где α, β – произвольные действительные числа.

Множество всех кусочно-непрерывных  функций, определенных на отрезке [a, b], для которых введено скалярное произведение по формуле  (5), мы будем обозначать,  и называть пространством

Замечание 1.

В  математике называют пространством = (a, b) совокупность функций ƒ(x), интегрируемых в лебеговом смысле на [a, b] вместе со своими квадратами, для которых введено скалярное произведение по формуле (5). Рассматриваемое пространство  есть часть . Пространство  обладает многими свойствами пространства , но не всеми.

Из свойств 1),  2), 3) следует важное неравенство Буняковского  | (ƒ , φ ) | ≤ (ƒ , ƒ )^½ (φ , φ ) ^½, которое на языке интегралов выглядит так:

Величина

называется нормой функции f.

Норма обладает следующими свойствами:

1)                 || f || ≥ 0, при этом равенство может быть только для нулевой функции f = 0, т. е. функции, равной нулю, за исключением, быть может, конечного числа точек;

2)                 || ƒ + φ ||  ≤ || ƒ(x) ||  || φ ||;

3)                 || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

где α – действительное число.

Второе свойство на языке  интегралов выглядит так:

и называется неравенством Минковского.

Говорят, что последовательность функций { f_n }, принадлежит к ,сходится к функции  принадлежит   в смысле среднего квадратического на [a, b] (или ещё по норме ), если

Отметим, что если последовательность функций ƒ_n (x)  сходится равномерно к функции ƒ(x) на отрезке [a, b], то для достаточно больших n разность ƒ(x) -  ƒ_n (x)  по абсолютной величине должна быть  мала для всех х из отрезка [a, b].

В случае же, если ƒ_n (x) стремится к ƒ(x)в смысле среднего квадратического на отрезке [a, b], то указанная разность может и не быть малой для больших n всюду на [a, b]. В отдельных местах отрезка [a, b] эта разность может быть и велика, но важно только, чтобы интеграл от её квадрата по отрезку [a, b] был мал для больших n. 

 

2.1. Интегралы от  периодических функций.

Пусть ƒ(x) – периодическая  функция, с периодом Т, интегрируемая на любом сегменте вида [х₀, х₀+Т]. Тогда величина интеграла остаётся при любом х₀ одной и той же: для любых х₀, х₀'

. 

 

2.2. Интегралы от  некоторых тригонометрических  функций.

Укажем значения некоторых  интегралов: 

       (k = 1,2,…),                      (7)

  (k =1,2,..; m =1,2,…),                        (8)

                              (9)

(k =1,2,…; m =1,2,…; k ≠ m),

    (k =1,2,…)                          (10)

Теперь можем вычислить  коэффициенты Фурье a_k и b_k ряда (2). Для разыскания коэффициента a_n при каком-либо определенном значении n≠0 умножим обе части равенства (2) на cosnx и произведя математические операции в пределах от –π до π, получим:

                                            (11)

                                              (12)

  Коэффициенты, определенные по формулам (4), (11), (12) называются коэффициентами Фурье функции ƒ(x), а составленный тригонометрический ряд (12) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции ƒ(x).

В некоторых случаях, для  более узких классов функций, формулы (11), (12) были известны ещё Эйлеру. Таким образом, эти формулы ещё называют формулами Эйлера-Фурье.

Обратим внимание, что постоянная  в (2) пишется в таком виде,  чтобы придать единообразие формулам  (11) и (12).

Вышеприведенные соображения  показывают, что поиски тригонометрического  разложения данной функции целесообразно  начать с изучения её ряда Фурье, откладывая на потом строгое изучение вопроса  о том, для каких функций ряд  сходится, и притом именно к данной функции. Пока же этого не сделано, функции  ƒ(x) сопоставляют её формальный ряд  Фурье, что обычно записывают в виде:

ƒ(x) ~ ,                      (13)

про который известно, что  его коэффициенты вычислены по функции  ƒ(x) по формулам Эйлера – Фурье (4), (11) и (12), но ничего не утверждается о его сходимости и тем более – о его сходимости к данной функции.

Из определения ряда Фурье  не следует, что функция должна в  него разлагаться. Из сказанного выше следует только, что некоторая  функция допускает разложение в  равномерно сходящийся ряд вида (13), то этот ряд будет её рядом Фурье. 

 

 

3. Признаки сходимости  рядов Фурье.

Зададим вопрос: какими свойствами должна обладать функция, чтобы построенный, для неё ряд Фурье сходился и чтобы сумма построенного ряда Фурье равнялась значениям данной функции в соответствующих точках?  

Сформулируем теорему, которая  даст достаточные условия представимости функции ƒ(x) рядом Фурье.

Определение. Функция ƒ(x) называется кусочно- монотонной на отрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек х₁, х₂, …,х_n-1  на интервалы (а, х₁), (х₁, х₂),…, (х_n-1, b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т. е. либо не возрастающая, либо неубывающая.

Теорема.

Если периодическая функция  ƒ(x) с периодом 2π – кусочно  монотонная и ограниченная на отрезке [-π, π], то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда s(x) равна значению функции ƒ(x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции ƒ(x) сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции ƒ(x) справа и слева, т. е. если х = с – точка разрыва функции ƒ(x), то

 .

Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому  ряды Фурье нашли широкое применение в различных отделах математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются  в математической физике и её приложениях  к конкретным задачам механики и  физики.

Этот вопрос можно решить с помощью теоремы Дирихле.

При выводе формул  (4), (11), (12) мы заранее предполагали, что функция ƒ(x) разлагается в правильно сходящийся тригонометрический ряд (1). Если же такого предположения не делать, а допустить, что для функции ƒ(x) существуют все интервалы, стоящие в правых частях формул (4), (11), (12), то по этим формулам можно вычислить коэффициенты a_0, a_k и b_k и составить тригонометрический ряд (1), который представляет собой ряд Фурье, соответствующий данной функции.

Является ли построенный  таким образом ряд Фурье сходящимся и если он сходится, то имеем ли мы право утверждать, что он сходится именно к функции ƒ(x), с помощью которой вычислялись коэффициенты ряда?

Оказывается, что сходимость ряда Фурье к заданной функции  имеет место для довольно широкого класса функций. Достаточные условия  сходимости ряда Фурье, и, следовательно, возможность разложения функций  в ряд Фурье даются теоремой Дирихле. Прежде чем формулировать эту  теорему, введем два определения.

Функция ƒ(x) называется кусочно-монотонной на сегменте [a, b], если этот сегмент можно разделить на конечное число сегментов, внутри каждого, из которых функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.

Основное определение.  Функция ƒ(x) называется удовлетворяющей условиям Дирихле на сегменте [a, b], если:                       

1)функция непрерывна  на сегменте [a, b] или же имеет                                        

       на нем конечное число точек разрыва 1 рода;                 

2) функция кусочно-монотонна на сегменте [a, b].

 

3.1. Пример разложения  функции в ряд Фурье.

Периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π определяется следующим  образом: ƒ(x) = х , -π < x ≤ π.

Эта функция – кусочно  монотонная и ограниченная. Следовательно, её можно разложить в ряд Фурье.

 

По формуле (4) находим:

Применяя формулам (11), (12) и интегрируя по частям, получим:

.

Таким образом, получаем ряд:

.

Это равенство имеет место  во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма  ряда равна среднему арифметическому  ее пределов справа и слева, т. е. нулю.

4. Замечание о разложении  периодической функции в ряд  Фурье.

Отметим следующее свойство периодической функции ψ(x) с периодом 2π:

, каково бы ни было число  λ.

Действительно, так как  ψ(ξ - 2π) = ψ (ξ) , то, полагая x = ξ - π, можем  написать при любых c и d:

.

В частности, принимая с = - π, d = λ, получим:

поэтому

Указанное свойство означает, что интеграл от периодической функции ψ(x) по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и тоже значение.

Из доказанного свойства вытекает, что при вычислении коэффициентов  Фурье мы можем заменить промежуток интегрирования  (-π,  π) промежутком интегрирования (λ, λ +2π), т. е. можем положить

             (14)

где λ – любое число.

Это следует из того, что  функция ƒ(x) является, по условию, периодической  с периодом 2π; следовательно и  функция ƒ(x)·cоsnx, и ƒ(x)·sinnx являются периодическими функциями с периодом 2π. В некоторых случаях доказанное свойство упрощает процесс нахождения коэффициентов.

Пример.

Пусть требуется разложить  в ряд Фурье функцию ƒ(x) с  периодом 2π, которая на отрезке 0 < x ≤ 2π задана равенством ƒ(x)= х.

Эта функция на отрезке [-π, π] задается двумя формулами:

ƒ(x) = х + 2π на отрезке [-π, 0]

ƒ(x) = х на отрезке [0, π].

В то же время  на отрезке [0, 2π] гораздо проще она задается одной формулой ƒ(x) = х. Поэтому для разложения этой функции в ряд Фурье выгоднее воспользоваться формулами (14), приравняв λ=0.

Следовательно,

 

5. Ряды Фурье  для чётных и нечётных функций.

Из определения четной и нечетной функции следует, что  если ψ(x) – четная функция, то

.

Действительно,

так как по определению  четной функции ψ(- x) = ψ(x).

Аналогично можно доказать, что если ψ(x) – нечетная функция, то

Если в ряд Фурье  разлагается нечетная функция ƒ(x), то произведение ƒ(x) ·coskx есть функция также нечетная, а ƒ(x) · sinkx – четная; следовательно,

                  (15)

т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».

Если в ряд Фурье  разлагается четная функция, то произведение ƒ(x) · sinkx есть функция нечетная, а ƒ(x) · coskx – четная, то:

              (16)

т. е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы».

Полученные формулы позволяют  упрощать вычисления при разыскании коэффициентов Фурье в тех  случаях, когда заданная функция  является четной или нечетной. Очевидно, что не всякая периодическая функция  является четной или нечетной.

 

 

6. Ряд Фурье  для функции с периодом 2l.

Пусть функция ƒ(x) есть периодическая  функция с периодом 2 l, вообще говоря, отличным от 2π. Разложим её в ряд Фурье.

Сделаем замену переменной по формуле

х = lt / π.

Тогда функция ƒ(lt / π) будет периодичной функцией от t с периодом 2π. Её можно разложить в ряд Фурье на отрезке  –π ≤ x ≤ π:

   (17)                             

 

Возвратимся к старой переменной x:

     

Тогда будем иметь:

             (18)

Формула  (19) получит вид

,         (19)

где коэффициенты a_0, a_k,  b_k вычисляются по формулам (19). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 2 l.

Заметим, что все теоремы, которые имели место для рядов  Фурье от периодических функций  с периодом 2π, сохраняются и для  рядов Фурье от периодических  функций с каким-либо другим периодом 2 l.

Пример.

Разложить в ряд Фурье  функцию ƒ(x) с периодом 2 l, которая на отрезке  [-l , l] задается равенством ƒ(x) = | x |.

 

Решение. Так как рассматриваемая  функция – четная, то

Следовательно, разложение имеет вид

 

7. Разложение в  ряд Фурье непериодической функции.

Пусть на некотором отрезке [a, b] задана кусочно монотонная функция  ƒ(x). Покажем, что данную функцию  ƒ(x) в точках её непрерывности можно  представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно монотонную функцию ƒ₁(x) с периодом 2μ ≥ a - b, совпадающую с функцией ƒ(x) на отрезке [a, b]. Таким образом, дополнили определение функции ƒ(x).

Разложим функцию ƒ₁(x) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией ƒ(x), т. е. мы разложили функцию ƒ(x) в ряд Фурье на отрезке  [a, b].

Рассмотрим следующий  важный случай. Пусть функция ƒ(x) задана на отрезке [0, l]. Дополняя определение этой функции произвольным образом на отрезке [ l, 0 ] , мы можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мы дополним  определение данной функции так, чтобы при  - l ≤ х < 0 было  ƒ(x) = ƒ(-x). В результате получится четная функция. В этом случае говорят, что функция ƒ(x) «продолжена четным образом». Эту функцию разлагают в ряд Фурье, которая содержит только косинусы. Таким образом, заданную на отрезке [0, l] функцию ƒ(x) мы разложили по косинусам.

Если  мы продолжим определение функции ƒ(x) при  - l ≤ х <0 так: ƒ(x) = -ƒ(-x), то получим нечетную функцию, которая разлагается по синусам. Таким образом, если на отрезке [0, l] задана некоторая кусочно монотонная функция ƒ(x), то её можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, таки по синусам. 

Комплексная форма  ряда Фурье для функций с периодом 2π.

Пусть ƒ(x) – функция, удовлетворяющая  условиям определения:

Пусть функция ƒ(x) с периодом 2π, имеющая на сегменте [-π, π] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте (т. е. она интегрируема на любом сегменте).

Тогда пусть ряд (2) является рядом Фурье функции ƒ(x). Преобразуем  общий член этого ряда с помощью  формул Эйлера, выражающих косинус  и синус через показательную  функцию. Имеем:

 

,

где .

Полагая ещё   получим для частичных сумм ряда Фурье выражение

Для новых коэффициентов  c_n получаем формулу (учитывая формулы a_n и b_n).

Непосредственно видно, что  эта формула верна для n = 0 и  для n < 0 (последнее видно, например, из того, что   где   обозначает число, сопряженное с).

По доказанному имеем в точках дифферуемциемоcти:

Итак, в точках дифференцируемости

                (20)

где

Правая часть формулы (20) представляет собой комплексную форму ряда Фурье для  функции с периодом 2π.

Комплексная форма  ряда Фурье для функции с любым  периодом. 

Пусть ƒ(x) – функция с  периодом 2l, удовлетворяющая условиям , указанным в пункте 6. Тогда подстановка x= lt/ π приводит нас к функции ƒ(lt/ π)  с периодом 2π. В силу предыдущего пункта в точках дифференцируемости имеем:

Переходя как в ряде, так и формулах для коэффициентов  к старому переменному х и  замечая, что t = π x / l, dt=(π / l)dx, получим в точках дифференцируемости:

                         (21)

где

   (22)

Правая часть формулы (21), где коэффициенты определяются равенствами (22), называется комплексной формой ряда Фурье для функции с периодом 2l.

Основные типы уравнений математической физики.

Основными уравнениями математической физики называют (для случая функций  двух независимых переменных) следующие  дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка.

1.                        Волновое уравнение:

   (23)

К исследованию этого уравнения  приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний  стержня, электрических колебаний  в проводе, крутильных колебаний  вала, колебаний газа и т. д. Это  уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа.

2.                        Уравнение теплопроводности или уравнение Фурье:

    (24)

К исследованию этого уравнения  приводит рассмотрение процессов распространения  тепла, фильтрации жидкости и газа в  пористой среде (например, фильтрации нефти и газа с подземных песчаниках), некоторые вопросы теории вероятностей и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа.

3.                        Уравнение Лапласа:

    (25)

К исследованию этого уравнения  приводит рассмотрение задач об электрических  и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики, диффузии и т. д. Это уравнение  является простейшим уравнением эллиптического типа.

В уравнениях (23), (24) и  (25) искомая функция u  зависит от двух переменных. Рассматриваются также соответствующие уравнения и для функций с большим числом переменных. Так, волновое  уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид:

   (26)

уравнение теплопроводности с тремя независимыми переменными  имеет вид:

     (27)

уравнение Лапласа с тремя  неизвестными переменными имеет  вид:

    (28)

Решение уравнения  колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье).

Метод разделения переменных (или метод Фурье) является типичным для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти  решение  уравнения

   (29)

удовлетворяющее краевым условиям:

u (0, t) = 0,                                                   (30)

u (ℓ, t) = 0,                                                   (31)

u (x, 0) = ƒ(x),                                              (32)

                           (33)

Будем искать (не равное тождественно нулю) частное решения уравнения (39), удовлетворяющее граничным условиям (30) и (31), в виде произведения двух функций X(x) и T(t),  из которых первая зависит только от х, вторая только от t: 

u (x, t) = X (x) T (t).                                   (34)

Подставляя в уравнение (29), получаем:

X (x) T′′(t) = a² X′′(x) T(t).                                

Разделив члены равенства  на a² XT

         (35)

В левой части этого  равенства стоит функция, которая  не зависит от х, слева – функция, не зависящая от t. Равенство (35) возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от х, ни от t, т. е. равны постоянному числу. Обозначим его через – λ, где λ > 0 ( позднее будет рассмотрен случай λ < 0). Итак,

Из этих равенств получаем два уравнения:

X′′ + λX = 0,                                            (36)

T′′ + a² λT = 0.                                         (37)

Общие решения этих уравнений  будут:

                                                                                     (38)

(39)

где A, B, C, D – произвольные постоянные.

Подставляя выражения X(x) и T(t) в равенство (34), получим:

Подберем теперь постоянные А и В так, чтобы удовлетворялись условия (30) и (31). Так как T (t) тождественно неравна нулю (в противном случае u (x, t) ≡ 0,  что противоречит поставленному условию),то функция X (x) должна удовлетворять условиям (30)

и (31), т. е. должно быть Х (0) =0, Х (ℓ) = 0. Подставляя значения х=0 и х = ℓ в равенство (38), на основании (30) и (31) получаем:

0 = А · 1 + В · 0,

Из первого уравнения  находим А = 0. Из второго следует:

В ≠ 0, так как в противном  случае было бы Х ≡ 0 и u ≡ 0, что противоречит условию. Следовательно, должно быть

откуда

  (40)

(мы не берем значение n = 0, так как в этом случае  было бы Х ≡ 0 и u ≡ 0). Итак, мы получили:

     (41)

Найденные значения λ называются собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции Х (х) называются собственными функциями.

Замечание. Если бы мы знали вместо – λ выражение + λ = k², то уравнение (36) приняло бы вид

Х′′- k²Х = 0.

Общее решение этого уравнения:

Х = Аe^kx + Be ^-kx .

Отличное от нуля решение  в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (30) и (31).

Зная λ^1/2, мы пользуясь равенством (39) , можем написать:

        (42)

Для каждого значения n, следовательно, для каждого λ, выражения (41) и (42)  подставляем в равенство (34)и получаем решение уравнения (29), удовлетворяющее граничным условиям (30) и (31). Это решение обозначим u_n (x, t):

        (43)

Для каждого значения n мы можем брать свои постоянные C и D и потому пишем C_n и D_n (постоянная В включена в C_n и D_n). Так как уравнение (30) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция, представленная рядом

или

        (44 )также будет решением дифференциального уравнения (29), которое будет удовлетворять граничным условиям (30) и (31). Очевидно, ряд (44) будет решением уравнения (29) только в том случае, если коэффициенты C_n и D_n таковы, что этот ряд сходится в ряды получающиеся после двукратного почленного дифференцирования по х и по t.

Решение (44) должно еще удовлетворять начальным условиям (31) и (32). Этого  мы будем добиваться путем подбора постоянных C_n и D_n.  Подставляя в равенство (44)  t = 0, получим :

      (45)

Если функция ƒ(x) такова, что в интервале (0, ℓ) ее можно  разложить в ряд Фурье, то условие (45) будет выполняться, если положить

          (46)

Далее, дифференцируем члены равенства (44) по t и подставляем t = 0. Из условия (33) получается равенство

Определяем коэффициенты Фурье этого ряда:

 

или

    (47)

Итак, мы доказали, что ряд (44), где коэффициенты C_n и D_n определены по формулам (46) и (47), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u (x, t),  которая является решением уравнения (29) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (30) – (33).

Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (44) представляет собой решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция ƒ(x) должна быть дважды дифференцируемой, а функция φ(x) – один раз дифференцируемой.

Распространение тепла в пространстве.

Рассмотрим процесс распространения  тепла в трехмерном пространстве. Пусть u(x, y, z, t) – температура в  точке с координатами (x, y, z) с момент времени t. Опытным путем установлено, что скорость прохождения тепла  через площадку ∆s, т. е. количество тепла, протекающего за единицу времени, определяется формулой