Сигналы и их основные характеристики

1. СИГНАЛЫ И ИХ  ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 

1.1. Классификация  сигналов 

    Информация – это совокупность сведений об объектах или процессах, происходящих в природе, обществе или технических системах. Для передачи и хранения информации используют различные знаки, позволяющие представить ее в некоторой форме (слова, жесты, рисунки, математические знаки, алгоритмические языки и т.п.). Совокупность знаков, содержащих ту или иную информацию, называют сообщением.

    Передача  сообщений на расстояние осуществляется с помощью какого-либо материального носителя (бумаги, магнитной ленты и т.п.) или физического процесса (звуковых или электромагнитных колебаний, электрического тока и т.п.). Физический процесс, несущий передаваемое сообщение, называют сигналом.

    В качестве сигнала может быть использован любой физический процесс, изменяющийся в соответствии с передаваемым сообщением. В системах управления и телекоммуникационных системах чаще всего используют электрические сигналы. Сигнал называют электрическим, если его носителем является любая электрическая величина. Сообщения могут быть или не быть функциями времени. Сигнал всегда является функцией времени, даже если сообщение таковым не является.

    Чтобы сигналы могли быть объектами  теоретического изучения и расчетов, их следует описать математически, или, другими словами, следует создать математическую модель сигнала. Математическая модель позволяет абстрагироваться от физической природы носителя сигнала.

    Сигналы, мгновенные значения которых можно  точно предсказать в любой момент времени, называют детерминированными. Если мгновенные значения сигналов заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы, то такие сигналы называют случайными. Строго говоря, детерминированные сигналы сигналами не являются, поскольку не несут в себе никакой информации. Для таких сигналов лучше использовать термин “колебание”. Детерминированные сигналы используют при испытаниях различных устройств.

    При передаче сигналов приходится иметь  дело не только с полезными случайными колебаниями – сигналами, но и с мешающими случайными колебаниями, которые накладываются на полезные сигналы и искажают их. Такие мешающие случайные колебания называют помехами или шумами.

    Все сигналы можно поделить на четыре группы:

    1. аналоговые (непрерывные, континуальные) сигналы (рис.1а), являющиеся непрерывной функцией времени, повторяющей закон изменения соответствующей физической величины;

    2. дискретные сигналы (рис.1б) - сигналы непрерывные по уровню и дискретные по времени. Совокупность моментов времени t₁, t₂, t₃… образует дискретное время. Интервал времени Δt между соседними моментами отсчета времени называют шагом дискретизации. Обычно Δt=const.

    3. квантованные сигналы (рис.1в)- сигналы дискретные по уровню и непрерывные по времени. Уровни s₁,s₂,…- уровни квантования. Поскольку число состояний в этом случае счетно, то их можно пронумеровать и представить в виде чисел. Разность соседних уровней квантования Δs называют шагом квантования. Изменение уровня сигнала возможно в произвольный момент времени;

    4. цифровые сигналы (рис.1г)– сигналы дискретные по времени и квантованные по уровню. Такие сигналы полностью описываются последовательностью чисел. 
 

1.2. Гармоническое колебание, его параметры 

    Функцию времени F(t) называют периодической, если ее значения повторяются через равные промежутки времени на всей оси изменений t

  .

    Наименьший  промежуток времени  , через который повторяются значения периодической функцией, называют периодом.

    Величину  обратную периоду, т.е. число периодов в единицу времени, называют частотой.

   ,

    Единицей  измерения частоты служит герц (Гц). Частота равна 1 Гц, если период колебаний равен 1с. Простейшими периодическими функциями являются синусоидальная и косинусоидальная функции:

;

.

    Синусоиду можно рассматривать как косинусоиду, отстающую на угол p/2. Поскольку синусоидальное и косинусоидальное колебания полностью совпадают по форме и отличаются лишь сдвигом по оси времени, то для них используют обобщающее понятие гармоническое колебание.

    Гармоническое колебание характеризуется тремя параметрами:

• амплитудой ;
• угловой частотой ω;
• начальной фазой a.

    Амплитудой  гармонической функции называют ее наибольшее значение . Амплитуда всегда положительна.

    Угловая частота ω характеризует скорость изменения аргумента (угла ωt) и связана с периодом T и частотой соотношениями:

,   .        Размерность .

    Аргумент  гармонической функции  , записанной в косинусоидальной форме, называют фазой колебания. Значение фазы в нулевой момент времени называют начальной фазой колебания.

    Если начальные фазы двух синхронных колебаний сдвинуты на угол p/2, то говорят, что такие колебания находятся в квадратуре. 
 

1.3. Представление гармонических функций с помощью комплексных величин 

    Рассмотрим  комплексную функцию:

.

     Геометрически эта функция может быть представлена на комплексной плоскости в виде вектора, вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью , причем проекция этого вектора на действительную ось представляет собой гармоническую функцию

.

Построим  вектор в нулевой момент времени. При вектор образует с действительной осью угол , равный начальной фазе гармонического колебания.

    Значение  вектора  в момент времени называют комплексной амплитудой гармонического колебания:

.

    Вектор  , имеющий единичную длину и вращающийся против часовой стрелки с угловой скоростью , называют оператором вращения. Если неподвижный вектор умножить на , то он становится вращающимся. Комплексную величину называют мгновенным или текущим комплексом гармонической функции.

    Другой  способ представления гармонической функции с помощью комплексных величин основан на применении формул Эйлера:

,

.

    В соответствии с этими формулами:

;

.

     Отсюда следует, что функция  равна геометрической сумме двух комплексно-сопряженных векторов, имеющих модуль и вращающихся в противоположных направлениях с угловой скоростью . Аналогично, функция равна геометрической разности тех же двух вращающихся векторов, деленной на .

     Пусть даны два гармонических колебания: , . Поскольку изображающие векторы вращаются с одинаковой скоростью , то угол между ними остается неизменным. Говорят, что опережает по фазе , или что отстает по фазе от . Разность начальных фаз называют фазовым сдвигом или углом сдвига относительно . Совокупность векторов, построенных с соблюдением их взаимной ориентации по фазе, называют векторной диаграммой. 
 

1.4. Импульсные сигналы и их параметры 

    Под электрическим импульсом будем понимать кратковременное отклонение напряжения или тока от некоторого начального уровня. Импульсы постоянного тока или напряжения называют видеоимпульсами, в отличие от радиоимпульсов, которые представляют собой отрезок гармонического колебания, амплитуда которого изменяется по некоторому закону. На практике используются прямоугольные, трапецеидальные, треугольные, экспоненциальные, колоколообразные импульсы, а также импульсы с экспоненциальным нарастанием и спадом.

    У прямоугольных и трапецеидальных импульсов различают следующие участки (рис.1):

• фронт импульса (АВ) – участок быстрого отклонения напряжения или тока от исходного уровня;
• вершина импульса (ВС);
• срез импульса (CD) – участок быстрого возврата напряжения или тока к исходному уровню;
• основание импульса (AD).

     Полярность  импульса определяется знаком отклонения напряжения или тока от исходного уровня. Используются также понятия положительный и отрицательный перепад (фронт) импульса, под которым понимают фронт или срез соответствующей полярности. 

      

    Импульсы  прямоугольной формы характеризуются  длительностью импульса t_и, начальным уровнем U₀ и амплитудой U_m.

     Импульсы  трапецеидальной формы характеризуются длительностью фронта t_ф, длительностью среза t_с, длительностью импульса по основанию t_ио, длительностью импульса по вершине t_ив, длительностью импульса по некоторому заданному уровню t_и, начальным уровнем U₀ и амплитудой U_m, а также крутизной фронта v_ф = U_m / t_ф и крутизной среза v_с = U_m / t_с.

    Реальные  импульсы имеют форму, отличающуюся от рассмотренных идеализированных импульсов, и характеризуются следующими параметрами:

     Длительность  импульса по уровню 0,5U_m называют активной.

    Импульсы  пилообразной (треугольной) формы не имеют вершины и характеризуются начальным уровнем U₀, амплитудой U_m, временем нарастания t_н, временем спада t_сп, а также скоростью нарастания v_н = U_m / t_н и скоростью спада v_сп = U_m / t_сп. Важнейшим параметром таких импульсов является коэффициент нелинейности пилообразного напряжения К_н, который характеризует изменение скорости нарастания или спада пилообразного напряжения в начале и конце соответствующего временного интервала:

.

     Периодическая последовательность импульсов характеризуется  длительностью импульса t_и, длительностью паузы t_п, периодом повторения Т, частотой повторения F = 1/T, скважностью импульсов Q = T/t_и, коэффициентом заполнения К_з = t_и / T = 1/Q. Периодическую последовательность прямоугольных импульсов, у которой длительность импульсов t_и равна длительности паузы t_п (Q = 2), называют меандром. 
 

1.5. Среднее, средневыпрямленное и действующее значение периодического колебания 

    Рассмотрим  два периодических тока различной  формы и попробуем ответить на вопрос: какой из этих токов больше? Очевидно, что для ответа на поставленный вопрос необходимо использовать параметры колебаний, средние в некотором смысле. Таковыми параметрами являются среднее, средневыпрямленное и действующее значения периодического колебания. Чтобы физический смысл указанных параметров был более понятен, дальнейшее изложение будем вести применительно к току.

    Среднее значение периодического колебания равно среднеарифметическому значению за период колебания:

,

где - заряд, переносимый током за период.

    Таким образом, среднее значение периодического тока равно такому значению постоянного тока, который за время переносит такой же заряд, что и заданное периодическое колебание.

    Если  отрицательный полупериод повторяет по форме положительный полупериод, то . Примером такого колебания является гармоническое колебание. Для характеристики таких колебаний используют средневыпрямленное значение:

,

которое равно  среднему полупериодному значению:

.

    Действующее значение периодического колебания  равно среднему квадратическому значению за период колебания:

.

    Поскольку мощность пропорциональна квадрату тока, то, очевидно, что действующее значение периодического тока равно постоянному току, который эквивалентен по выделяемой мощности. Номинальные токи и напряжения электротехнических устройств определяются , как правило, действующими значениями.

    Для характеристики формы периодических колебаний используют такие понятия как коэффициент нормы

и коэффициент амплитуды

.

    Эти коэффициенты чаще всего используют в электроизмерительной технике для пересчета показаний приборов. 
 

1.6. Спектральное представление периодических сигналов 

    Рассмотрим  спектральное представление периодических  негармонических сигналов. Как известно из курса математики, любая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (т.е. кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке ), может быть представлена рядом Фурье.

    Пусть периодический сигнал S(t) с периодом T отвечает условиям Дирихле. Тогда он может быть представлен рядом Фурье

.

    Частоту называют основной частотой.

    Итак, в общем случае периодический  сигнал, содержит постоянную составляющую и бесконечный ряд гармонических колебаний (гармоник), частота которых кратна основной частоте.

    Каждую  гармонику можно описать ее амплитудой и фазой :

,

где ;  .

    С учетом этих соотношений ряд Фурье  можно представить в следующем  виде

.

    Совокупность амплитуд , отложенных в функции частоты, образует амплитудную спектральную диаграмму сигнала S(t). Совокупность начальных фаз , отложенных в функции частоты, образует фазовую спектральную диаграмму сигнала S(t).

    Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала являются линейчатыми или дискретными. В зависимости от формы сигнала S(t) амплитуды некоторых гармоник могут быть равны нулю.

    Представим  ряд Фурье в комплексной форме  записи:

.

    Окончательно,

.

    Получим формулу для вычисления коэффициентов комплексного ряда Фурье:

.

    Окончательно,

.

    Амплитудный спектр, соответствующий комплексному ряду Фурье, симметричен относительно нулевой частоты. 
 

1.7. Спектральное  представление непериодических сигналов 

    Пусть периодический сигнал s(t) представляет собой одиночный импульс прямоугольной формы, заданный на отрезке , за пределами которого s(t)=0. Чтобы непериодическую функцию s(t) можно было представить рядом Фурье, доопределим ее так, чтобы она стала периодической. Полученную периодическую функцию можно представить рядом Фурье:

,

коэффициенты  которого .

    Умножим и разделим некоторый член ряда Фурье  на . Тогда ряд Фурье можно записать в виде:

.

    По  определению основная частота  . Тогда .

    Выражение в квадратичных скобках представляет собой частотный интервал между составляющими ряда Фурье, равный частоте повторения .

.

    С учетом сказанного ряд Фурье можно  переписать в следующем виде:

.

    Представим  выражение для  :

.

    Но  исходная функция s(t) равнялась нулю всюду, за исключением интервала времени , а функция отлична от нуля не только на интервале . Чтобы вернуться к исходной непериодической функции s(t), устремим период функции к бесконечности. При :

• ;
• модули комплексных амплитуд уменьшаются, стремясь к нулю: ;
• частотный интервал между линиями спектра уменьшается, стремясь к нулю, , т.е. дискретный спектр превращается в сплошной;
• .

    Функцию

     .      

называют спектральной плотностью, спектральной характеристикой или просто спектром непериодической функции  s(t);

• операция суммирования превращается в операцию интегрирования.

    Итак, при  получим:

      .     

    Преобразование, выраженное формулой (*), называют прямым двусторонним преобразованием Фурье. Прямое преобразование позволяет перейти от представления сигнала во временной области s(t) к его представлению в частотной области .

    Преобразование, выраженное формулой (**), называют обратным преобразованием Фурье. Оно позволяет перейти от представления сигнала в частотной области к его представлению во временной области s(t). Оба представления сигнала (временное и спектральное) несут полную информацию о сигнале и являются эквивалентными.

    Согласно  обратному преобразованию Фурье  непериодический сигнал S(t) представляет совокупность бесконечной суммы гармоник с бесконечно малыми амплитудами во всем диапазоне частот от – ¥ до +¥.

    Рассмотрим  соотношение между спектрами  одиночного импульса и периодической последовательности импульсов такой же формы, для чего сравним выражение для спектральной плотности одиночного импульса с выражением для комплексной амплитуды n-ой гармоники соответствующего периодического колебания:

;  .

    В точке 

.

    Из  сопоставления S и следует, что , т.е. модуль спектральной плоскости одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра периодической последовательности импульсов той же формы, совпадают по форме и отличаются только масштабом (множитель 2/Т). 
 

1.8. Единичные функции и их свойства 

    Рассмотрим  сигнал, описывающий линейный переход  из нулевого состояния в единичное за время . Математическая модель такого сигнала задается следующими выражениями:

;

;

.

    Если  параметр устремить к нулю, то в пределе переход от нулевого состояния в единичное будет происходить мгновенно. Такой предельный сигнал называют единичным скачком, функцией включения или функцией Хевисайда.

    Математическая  модель функции включения имеет  вид:

;

.

    В общем случае функция включения  может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину . В аналитическом виде смещенную функцию включения можно записать следующим образом:

; 
.

    Функцию включения удобно использовать для  аналитического представления различных воздействий, значение которых изменяется скачком в момент коммутации:

;

.

    Например, включение источника постоянного  напряжения с э.д.с. E можно описать следующим образом: .

    Другой  пример. Включение источника гармонического напряжения:

.

    Воздействие в виде прямоугольного импульса может  быть представлено как разность двух одинаковых скачков, сдвинутых во времени на длительность импульса .

.

    Рассмотрим  прямоугольный импульс с единичной  площадью. Устремим длительность импульса к нулю, при этом амплитуда импульса будет стремиться к бесконечности. Предельную функцию, имеющую малую длительность, бесконечно большую амплитуду и единичную площадь называют единичным импульсом,  - функцией или функцией Дирака.