Содержание. 

 

Введение.

     Симлекс-метод - это характерный  пример итерационных вычислений. используемых при решении большинства оптимизационных задач.

             В вычислительной схеме симплекс-метода реализуется упорядоченный процесс, при котором, начиная с некоторой исходной допустимой угловой точки ( обычно начало координат ), осуществляются последовательные переходы от одной допустимой экстремальной точки к другой до тех пор, пока не будет найдена точка, соответствующая оптимальному решению.  

.   
 

 

1. Общая характеристика  симплекс метода.

     Симплекс  метод - универсальный метод для  решения линейной системы уравнений  или неравенств и линейного функционала.

   Общая идея симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) для решения ЗЛП (задачи линейного программирования) состоит

• умение находить начальный опорный план;
• наличие признака оптимальности опорного плана;
• умение переходить к нехудшему опорному плану.

 

   Пусть ЗЛП представлена системой ограничений  в каноническом виде:

    .

   Говорят, что ограничение ЗЛП имеет  предпочтительный вид, если при неотрицательной  правой части  левая часть ограничений содержит переменную, входящую с коэффициентом, равным единице, а в остальные ограничения равенства - с коэффициентом, равным нулю.

   Пусть система ограничений имеет вид

   

   Сведем  задачу к каноническому виду. Для  этого прибавим к левым частям неравенств дополнительные переменные     . Получим систему, эквивалентную исходной:

    ,

     которая имеет предпочтительный  вид 

    .

   В целевую функцию дополнительные переменные вводятся с коэффициентами, равными нулю .

   Пусть далее система ограничений имеет  вид

   

   Сведём  её к эквивалентной вычитанием дополнительных переменных     из левых частей неравенств системы. Получим систему

   

   Однако  теперь система ограничений не имеет  предпочтительного вида, так как  дополнительные переменные входят в левую часть (при ) с коэффициентами, равными –1. Поэтому, вообще говоря, базисный план не является допустимым. В этом случае вводится так называемый искусственный базис. К левым частям ограничений-равенств, не имеющих предпочтительного вида, добавляют искусственные переменные . В целевую функцию переменные , вводят с коэффициентом М в случае решения задачи на минимум и с коэффициентом -М для задачи на максимум, где М - большое положительное число. Полученная задача называется М-задачей, соответствующей исходной. Она всегда имеет предпочтительный вид.

   Пусть исходная ЗЛП имеет вид

                 (1)

             (2)

                          (3)

   причём  ни одно из ограничений не имеет  предпочтительной переменной. М-задача запишется так:

               (4)

                          (5)

        , ,                  (6)

   Задача (4)-(6) имеет предпочтительный план. Её начальный опорный план имеет  вид

   

   Если  некоторые из уравнений (2) имеют  предпочтительный вид, то в них не следует вводить искусственные переменные. 

   Теорема. Если в оптимальном плане 

                      (7) 

   М-задачи (4)-(6) все искусственные переменные   , то план является оптимальным планом исходной задачи (1)-(3).

   Для того чтобы решить задачу с ограничениями, не имеющими предпочтительного вида, вводят искусственный базис и  решают расширенную М-задачу, которая  имеет начальный опорный план

   Решение исходной задачи симплексным методом путем введения искусственных переменных называется симплексным методом с искусственным базисом.

   Если  в результате применения симплексного метода к расширенной задаче получен  оптимальный план, в котором все искусственные переменные , то его первые n компоненты дают оптимальный план исходной задачи. 

   Теорема. Если в оптимальном плане М-задачи хотя бы одна из искусственных переменных отлична от нуля, то исходная задача не имеет допустимых планов, т. е. ее условия несовместны. 

   Признаки  оптимальности.

   Теорема. Пусть исходная задача решается на максимум. Если для некоторого опорного плана все оценки неотрицательны, то такой план оптимален.

   Теорема. Если исходная задача решается на минимум и для некоторого опорного плана все оценки неположительны, то такой план оптимален.

     Для привидения системы ограничений  неравенств к каноническому виду, необходимо в системе ограничений выделить единичный базис.

1. Ограничения вида  «0»- ресурсные ограничения. Справа находится то что мы используем на производстве, слева - то что получаем. При таких ограничения вводят дополнительные переменные с коэффициентом «+1», образующие единичный базис. В целевую функцию эти переменные войдут с коэффициентом «0».
2. Ограничения вида «=». Часто бывает, что несмотря на то что ограничения имеют вид равенства, единичный базис не выделяется или трудно выделяется. В этом случае вводятся искусственные переменные для создания единичного базиса - Yi. В систему ограничений они входят с коэффициентом «1». а в целевую функцию с коэффициентом «M», стремящимся к бесконечности (при Fmin - «+M», при Fmax - «-M»).
3. Ограничения вида «0» - Плановые ограничения. Дополнительные переменные (X), несущие определенный экономический смысл - перерасход ресурсов или перевыполнение плана, перепроизводство, добавляются с коэффициентом «-1», в целевую функцию - с коэффициентом «0». А искусственные переменные (Y) как в предыдущем случае.

 

 

Алгоритм симплекс метода.

(первая  симплекс таблица) 

      Пусть система приведена к каноническому  виду.  

     X1+     q1,m+1 Xm+1 + …. + q1,m+n Xm+n = h1

     X2+   q1,m+1 Xm+1 + …. + q1,m+n Xm+n = h1

     X3+  q1,m+1 Xm+1 + …. + q1,m+n Xm+n = h1

     ……………………………………………………………….

     Xm+  qm,m+1 Xm+1 + …. + qm,m+n Xm+n =hm 

     В ней m базисных переменных, k свободных переменных. m+k=n - всего переменных.

Fmin= C1X1+ C2X2+ C3X3+....+ CnXn

     Все hi должны быть больше либо равны нулю, где i=1,2...m. На первом шаге в качестве допустимого решения принимаем все Xj=0 (j=m+1,m+2,...,m+k). При этом все базисные переменные Xi=Hi.

     Для дальнейших рассуждений вычислений будем пользоваться первой симплекс таблицей (таблица1).

     Таблица 1.

Симплекс таблица.

     Первый  столбец- коэффициенты в целевой функции при базисных переменных.

     Второй  столбец - базисные переменные.

     Третий  столбец - свободные члены (hi00).

     Самая верхняя строка - коэффициенты при целевой функции.

     Вторая  верхняя строка - сами переменные, входящие в целевую функцию и в систему ограничений.

      Основное  поле симплекс метода - система коэффициентов из уравнения.

      Последняя строка - служит для того, чтобы ответить на вопрос: «оптимален план или нет».

     Индексная строка позволяет нам судить об оптимальности плана:

1. При отыскании Fmin в индексной строке должны быть отрицательные и нулевые оценки.
2. При отыскании Fmax в индексной строке должны быть нулевые и положительные оценки.

 

Переход ко второй итерации:

      Для этого отыскиваем ключевой (главный) столбец и ключевую (главную) строку.

      Ключевым  столбцом является тот в котором находится наибольший положительный элемент индексной строки при отыскании Fmin или наименьший отрицательный элемент при отыскании Fmax.

     Ключевой  строкой называется та, в которой содержится наименьшее положительное частное от деления элементов столбца H на соответствующие элементы ключевого столбца.

     На  пересечении строки и столбца  находится разрешающий элемент.

     На  этом этапе осуществляется к переходу к последующим итерациям. 

     Переход к итерациям:

1. Выводится базис ключевой строки, уступая место переменной из ключевого столбца со своим коэффициентом.
2. Заполняется строка вновь введенного базиса путем деления соответствующих элементов выделенной строки предыдущей итерации на разрешающий элемент.
3. Если в главной строке содержится нулевой элемент, то столбец, в котором находиться этот элемент переноситься в последующую итерацию без изменения.
4. Если в главном столбце имеется нулевой элемент, то строка, в которой он находиться переноситься без изменения в последующую итерацию.
5. Остальные элементы переносятся по формуле:

 
 

 

2. Решение различных  задач симплекс  методом.

    Алгоритмы симплекса-метода позволяют также  установить, является ли задача линейного программирования разрешимой.

    Запишем ограничения задачи ЛП в таком виде:

    A1x1 + A2x2 + . + Anxn +An+1xn+1 +.+ An+mxn+m = A0.

    Пусть A1,.,Am-множество линейно независимых  векторов.

    Тогда уравнение

    A1x1*+ A2x2* + . + Anxn* +An+1xn+1* +.+ An+mxn+m* = A0,       (2...2.1)

    определяет  базисное решение   x1*, x2*,.,xm*,

    Предположим, что это решение допустимо, то есть x1*³0, x2*³0,.,xm*³0. Базис {A1,.,Am}образует m-мерное пространство, а потому каждый из векторов Am+1,.,Am+n  единственным образом выражается через этот базис. Если Ar не входит в базис, то

    A1x1r + A2x2r + . + Amxmr = Ar,                      (2...2.2)

    где xir- соответствующие коэффициенты (i = 1, 2, ..., m).

    Предположим, что хотя бы одна из величин xir больше нуля.

    Решение уравнения

    A1x1 + A2x2 + . + Amxm + Arxr = A0                (2...2.3)

    обозначим как  

    Тогда ,очевидно:

      .              (2.2.4)

    Умножив уравнение (2.2.2) на xr и вычтя полученное уравнение из уравнения (2.2.1), получим

    A1(x1*-xrx1r) + A2(x2*-xrx2r) +.+Am(xm*-xrxmr)=A0-xrAr.   (2.2.5)

    Сравнив уравнения (2.2.5) и (2.2.4), находим связь  нового решения  1,., m , xr со старым базисным решением x*1,.,x*m:

     1=x1*-xrx1r, 2=x2*-xrx2r,., m=xm*-xrxmr   , xr.                  (2.2.6)

    Решение (2.2.6), во-первых, не будет базисным, так  как содержит

    m + 1 переменную, а во-вторых,  будет допустимым не для всех значений xr.

    Чтобы новое решение оставалось допустимым, нужно выбрать значение xr таким, чтобы ни одна из величин  i = xi* - xrxir (i=1, 2, ..., m) не стала меньше нуля. Следовательно, максимальное значение переменной xr определяется соотношением

    xr max =  ,                              (2.2.7)

    где xir > 0.

    Чтобы сделать новое допустимое решение  базисным, нужно одну переменную xi вывести  из базисного решения, а соответствующий  вектор из базиса. В этом случае новый базис будет содержать также m векторов.

    Для этого выбираем значения в соответствии с (2.2.7). Тогда новое базисное решение  имеет вид

    x1* - xr maxx1r;

    x2* - xr maxx2r;

    xj (опущен)

    xr max,

    а новый базис - (A1, A2, ., Aj-1, Aj+1, ., Am, Ar).

    Такой переход от одного базиса к другому  позволяет находить решения почти  всех задач ЛП. Определив все крайние  точки, можно вычислить значения целевой функции и найти оптимальное  решение. Однако для больших значений m и n это практически невозможно. Поэтому для перехода от текущего решения к новому допустимому  базисному  решению, которому отвечает большее значение целевой функции, используют соответствующий критерий (симплекс-разность).

    Новому  ДБР       { x1* - xrx1r, x2* - xrx2r, ., xm* - xrxmr, xr}

    соответствует следующее значение целевой функции

    z1 = с1(x1*-xrx1r) + с2(x2*-xrx2r) +.+сrxr =

    = (с1x1*+с2x2*+.+сmxm*)+xr(сr-с1x1r-.-сmxmr)=

    =z0+xr(сr-с1x1r-.-сmxmr),                                           (2.2.8)

    где z0 - значение целевой функции  для начального ДБР;

    сr-с1x1r -с2x2r - . - сmxmr - симплекс-разность для  переменной хr.

    Симплекс-разность вычисляют для каждой переменной, не входящей в базисное решение, и  выбирают такую небазисную переменную хr, для которой симплекс-разность положительна и максимальна.

    Таким образом, алгоритм симплекса-метода состоит  из следующих этапов:

    1) находят начальный базис и  связанное с ним допустимое  базисное решение;

    2) вычисляют симплекс-разность для  каждой переменной, не входящей  в базисное решение;

    3) вводят в базис наиболее 'выгодную' переменную с максимальной положительной симплексом-разностью; ее значение xrmax определяют из соотношения

    

    для всех xir > 0,

    4) выводят из базисного решения  переменную xj, соответствующую

    

    а из базиса - вектор A j;

    5) переходят к этапу 2 новой итерации.

    Этапы 2) - 4) повторяют до тех пор, пока симплекс-разности для всех переменных, не входящих в  базис, не станут отрицательными.

    Это и есть признак оптимальности  текущего базисного решения.

    Пример  2.2. Решить симплексом-методом такую задачу:                                              

      максимизировать (2x1+5x2)

    при ограничениях

    x1£400, x2£300, x1+x2£500 .

    Расширенная форма задачи имеет вид

    

    Ограничения задачи запишем в виде табл. 2.1.

    Первая  итерация. 1. Выбрав в качестве начального базиса векторы { A3, A4, A5}, находим первое допустимое базисное решение:

    A3x3*+A4x4*+A5x5*=A0,

    откуда x3*=400, x4*=300, x5*=500,

    2. Записываем каждый из небазисных  векторов A1, A2 в виде линейной  комбинации базисных {A3, A4, A5}

    A3x31+A4x41+A5x51=A1;

    A3x32+A4x42+A5x52=A2.

    Таблица 2.1

    Решая эти уравнения, получим

    х31=1; x41=0; х51=1; x32=0; х42=1; х52=1.

    3. Находим симплекс-разности для  небазисных переменных x1 и x2:

    с1-с3х31-с4х41- с 5х51= с 1=2;

    с 2- с 3х32- с 4х42- с 5х52= с 2=5.

    Поскольку с 2> с 1, вводим в базис вектор x2.

    4. Определяем, какая переменная выводится из базиса. Для этого находим

    х3= х3* - х2х32=х3*;

    х4= х4* - х2х42=300-1х2;

    х5= х5* - х2х52=500-1х2;

    

    Итак  переменная х2 вводится в базис со значением x2*= 300, переменная x4 выводится из базисного решения, а вектор A4- из базиса.

    Вторая  итерация. 1. Раскладываем каждый из небазисных векторов через базисные {A2,A3,A5}. Базисное решение

    x2*=300, х3*=400, х5*=500-300*1=200

    Представим  каждый из векторов A1, A4 ,не вошедших в базис, в виде линейной комбинации A2,A3,A5 .Так как вектор A4 был выведен из базиса, рассмотрим только вектор A1.

    Уравнение будет иметь вид 

    A2х21+A3х31+A5х51=A1,

    откуда  х21=0; х31=1; х51=1.

    2. Находим симплекс-разность для  переменной x1:

    с 1- с 2х21- с 3х31- с 5х51= с 1-0-0-0= с 1=2>0.

    Итак, переменную х1 можно ввести в базис.

    3. Определяем, какую переменную (вектор) следует вывести из базиса. Для  этого вычисляем

    х2= х2* - х1х21=300-0х1;

    х3= х3* - х1х31=400-1х1;

    х5= х5* - х1х51=200-1х1;

    

    Следовательно, из базиса выводится вектор х5 , из базисного  решения - A5.

    4. Вычисляем новый ДБР.

    Переходим к третьей итерации. Следующие  итерации проводятся аналогично.

    x1*=200; x2*=300.

    Метод полного исключения

    Рассмотренный выше алгоритм симплекс-метода неудобен для программирования и решения  задач на ЭВМ. Потребовалась его  рационализация как по форме представления  информации, так и  в способе организации вычислений, чтобы сделать его пригодным для реализации на ЭВМ. С этой целью был разработан табличный вариант симплекс-метода. В его основе лежит метод полного исключения Жордана - Гаусса.

    Пусть задана система линейных алгебраических уравнений

      j=1, 2, ., m.

    В матричной форме данная система  имеет следующий вид:

    Ax=A0.

    Матрица Ap=[A, A0] называется расширенной матрицей. Метод полного исключения Жордана - Гаусса состоит из конечного числа однотипных итераций и заключается в сведении матрицы к единичному виду. Метод основывается на двух операциях:

    1) одну из строк расширенной  матрицы умножают на множитель,  отличный от нуля;

    2) из каждой строки расширенной  матрицы вычитают одну строку, умноженную на некоторое число.

    Каждое  из таких элементарных преобразований ( называемых преобразованием Гаусса) приводит к новой системе линейных уравнений, которая эквивалентна начальной  системе.

    Первая  итерация метода полного исключения.

    1. Среди элементов A выбирают произвольный  элемент, отличный от нуля. Его  называют направляющим элементом  итерации. Строку и столбец, содержащие  направляющий элемент, называют  направляющими.

    2. Все элементы направляющей строки  расширенной матрицы делят на направляющий элемент. В результате получают направляющую строку с направляющим элементом, равным единице. Далее из элементов каждой строки матрицы A вычитают элементы новой направляющей строки, умноженные на элементы, которые расположены на пересечении данной строки и направляющего столбца.

    Матрицу, в которую преобразовалась расширенная  матрица Ap после первой итерации, обозначим Ap(1). В ней все элементы направляющего  столбца, кроме направляющего элемента ( равного 1), стали нулями. Совокупность элементов первых n столбцов матрицы Ap, лежащих вне направляющей строки и столбца предыдущей (предыдущих) итерации называют главной частью матрицы Ap(1).

    Вторая  и дальнейшие итерации метода проводятся аналогично первой, причем до тех пор, пока имеется возможность выбора направляющего элемента.

    Если  после k-й итерации главная часть  матрицы Ap(k) не содержит ни одного элемента или содержит только нули, то процесс заканчивается.

    Пусть процесс оборвался после итерации 1. Предположим вначале, что среди  строк матрицы A(l) есть такие, которые  не были направляющими ни в одной  из предыдущих итераций, например, строка с номером i. Тогда очевидно,