Симплекс-метод

 

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ

«МАТИ» —  РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО

 
 
 
 
 

Кафедра «Моделирование систем и информационные технологии»

 «СИМПЛЕКС-МЕТОД» 
 
 
 
 
 

Преподаватель:          Смирнов Н. Я.    

Студент:                            Асосков А.В.  

Группа:                  14АСУ-3ДС-025 

Вариант:                 3                                   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2010 г.

Часть 1. Введение

 

     В последние годы в прикладной математике большое внимание уделяется новому классу задач оптимизации, заключающихся  в нахождении в заданной области  точек наибольшего или наименьшего  значения некоторой функции, зависящей  от большого числа переменных. Это  так называемые задачи математического  программирования, возникающие в  самых разнообразных областях человеческой деятельности и прежде всего в  экономических исследованиях, в  практике планирования и организации  производства. Изучение этого круга  задач и методов их решения  привело к созданию новой научной  дисциплины, получившей позднее название линейного программирования. В конце 40-х годов американским математиком  Дж. Данцигом был разработан эффективный  метод решения данного класса задач – симплекс-метод. К задачам, решаемых этим методом в рамках математического  программирования относятся такие  типичные экономические задачи как  «Определение наилучшего состава смеси», «Задача об оптимальном плане  выпуска продукции», «Оптимизация межотраслевых  потоков», « Задача о выборе производственной программы», «Транспортная задача», «Задача размещения», «Модель Неймана  расширяющейся экономики» и другие. Решение таких задач дает большие  выгоды как народному хозяйству  в целом, так и отдельным его  отраслям.

     Решение задач математического программирования при помощи симплекс-метода традиционными  способами требует затрат большого количества времени. В связи с  бурным развитием компьютерной техники  в последние десятилетия естественно  было ожидать, что вычислительная мощность современных ЭВМ будет применена  для решения указанного круга  задач.

      Симплекс  метод – является универсальным методам, которым можно решить любую задачу линейного программирования. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Часть 2. Основная

Математическое  описание метода.

      Допустим, имеется система уравнений ограничений:

 

     Допустим, требуется вывести из числа свободных  переменных какую – либо переменную, например, х₂ и перевести ее в базисную, а в замен ее ввести в число свободных какую то базисную, например у₃, т. е. х₂ ↔ у₃. Если проводить этот процесс математическим способом то, необходимо было бы переразрешать каждое уравнение в системе ограничений относительно новой свободной переменной, т. е. новое получившееся уравнение, в котором была произведена замена необходимо подставить во все остальные уравнения, а так же целевую функцию. Данная процедура является громоздкой, поэтому проще задачу решить с помощью определенного алгоритма и записывать все промежуточные результаты в таблицу. Чтобы этот алгоритм был проще и лучше запоминался необходимо произвести следующие преобразования:

       

  

     Избавляемся от отрицательных коэффициентов, для этого принимаем

 

 

     Данная  форма записи уравнений называется стандартной. 

      При пересечении разрешающей строки у₃ и разрешающего столбца х₂ получаем разрешающий элемент а_32.

      Необходимо  найти коэффициенты, которые получатся  в разрешающей строке после обмена х₂ ↔ у_3.

      

 

 

Алгоритм  преобразования коэффициентов  стандартной таблицы. 

1. Разрешающий элемент заменяется на обратную ему  величину.
2. Все остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент.
3. Все элементы разрешающего столбца, кроме самого разрешающего элемента делятся на разрешающий элемент и меняют знак.
4. Каждый из остальных элементов подвергается следующему преобразованию: к нему прибавляется произведение элементов, стоявшего в прежней разрешающей строке на том же месте по порядку (т. е. в том же столбце), на элемент стоящий в новом разрешающем столбце на соответствующем месте (т. е. в той же строке, что и рассчитываемый элемент).

      При всей легкости данных вычислений более  удобно все промежуточные расчеты  писать в той же таблице. 

      Алгоритм  преобразования x_j ↔ y_i стандартной таблицы сводится к следующим операциям: 

1. Выделить  в таблице разрешающий элемент. Вычислить ее обратную величину и записать в нижней части этой же ячейки, например в правом нижнем углу.
2. Все элементы разрешающей строки, кроме самого разрешающего элемента умножить на , результат записать в нижней части той же ячейки.
3. Все элементы разрешающего столбца, кроме всего разрешающего элемента умножить на – a, записать в нижней части той же ячейки.
4. Подчеркнуть в разрешающей строке все верхние числа (прежние элементы) за исключением самого разрешающего элемента. А в разрешающем столбце все новые элементы, кроме самого разрешающего элемента.
5. Для каждого из элементов не принадлежащих ни к разрешающей строке, ни к разрешающему столбцу в нижней часть ячейки записать произведение выделенных чисел, стоящих в той же строке и в том же столбце, что и данный элемент.
6. Переписать таблицу, заменив:
• x_j на  y_i;
• элемент разрешающей строки и столбца, числами, стоящими в нижней части тех же ячеек;
• каждый из остальных элементов суммой чисел стоящей в верхней и нижней части той же ячейки.

      В любой задаче ОЗЛП существует так  же линейная функция L, которая в общем случае выглядит следующим образом:

      

      Для решения ее табличным способом ее так же можно привести к стандартному виду.

      

      Таким образом, в стандартной таблице  появляется еще одна строка L. С ней производятся только такие же вычисления как со всеми остальными ячейками таблицы, строка L никогда не может быть разрешающей строкой. С помощью табличного алгоритма обмена переменных в управлениях ОЗЛП можно решить любую задачу линейного программирования или убедиться, что она не имеет решения.

      Нахождение  решения каждой задачи распадается  на два этапа:

1. нахождение опорного плана;
2. отыскание оптимального решения.

      В процессе первого этапа выясняется, имеет ли данная задача допустимые не отрицательные решения, если да, то находиться опорное решение, для  которого все остальные переменные равны 0, а все базисные не отрицательные.

      В процессе второго этапа выясняется, ограничена ли снизу функция L, которая стремиться к минимуму, если нет, то оптимального решения не существует. Если да, то оно отыскивается после замены x на y.

       

Двойственные  задачи ОЗЛП.

      В процессе расчета задачи ОЗЛП может  получиться один или несколько отрицательных  свободных членов, это означает, что полученное решение не является опорным, соответственно не может быть оптимальным. Рассмотрим случай, когда среди свободных членов есть отрицательный. Для того, чтобы избавиться от них необходимо пересчитать таблицу обмена базисных и свободных переменных пока не придем к опорному решению или не убедимся в том, что решение не существует. Необходимо так обменивать базисные и свободные переменные, чтобы эта процедура приближала к области допустимых решений, чтобы число отрицательных свободных членов убывало или по крайне мере убывали их абсолютные величины.

      Допустим, имеется одно из уравнений с отрицательным  свободным членом:

        

 

      Ищем  в данной строке (y₂) отрицательный элемент a_ij, если такого элемента нет, то данная система уравнений не совместна. При отсутствии отрицательных элементов в строке вся правая часть соответствующего уравнения может быть только отрицательной, а это противоречит условиям не отрицательных переменных.

      Если  такой элемент есть, то выбираем столбец, в котором он находиться в качестве разрешающего. Далее необходимо найти сам разрешающий элемент. Для рассмотрения берем в данном столбце только те элементы, которые  имеют одинаковый знак со свободным  членом. Находим отношения свободного члена и элемента в той же строке и среди полученных отношений  берем min по модулю, таким образом находиться разрешающая строка. 

Блок –  схема алгоритма.

 
 

Нет

Да

Да

Нет

Начало                                                          
 
 
 
 
 
 
 
 

Ввод  количества ограничений, количества элементов, коэффициентов при Х, целевой  функции.

Ввести  дополнительные переменные и перевести  их в основные переменные.

Базисное  р-ие допустимо? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Целевую функцию нельзя больше увеличить  или уменьшить.

Вывести на экран: кол-во итераций, зн-ие целевой  ф-ции и зн-ия получившихся Х-сов.

Конецwц

Рассмотреть коэффициенты при Х, найти номер  уравнения где он находится и  перевести в основные.

Найти новую  каноническую форму и изменить базис.

Занести промежуточные результаты в массив.

Найти max отриц. коэффициент и номер ур-ия, где он находится и перевести в основные переменные.

Найти новую  каноническую форму и изменить базис.

Промежуточные результаты сохранить в массиве.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Пример  решения задачи с использованием симплекс-метода.

 

      Даны  данные: из которых составляется система  уравнений вида: 

         

      Целевая функция этой системы уравнений  стремится в максимум, и имеет  вид: 

        

      Базисное  решение является допустимым, так  как в правой части неравенств не содержатся отрицательные значения.

      В данной системе 3 – уравнения с 3 – неизвестными, принимают за основные X₄, X_5, X₆ – переменных.

      После этого выражают основные переменные (добавочные) через неосновные, и  находят базисное решение соответствующее.

      Вводим  добавочные неотрицательные переменные (которые еще называют «неосновные»), и сводим систему неравенств к  эквивалентной системе уравнений. 

            

      Так как в полученной системе уравнений  нет отрицательных свободных  членов, то базисное решение является допустимым (0; 0; 0; 60; 100; 36).

      Выразим целевую функцию через неосновные переменные: для этого находят  абсолютные величины отношений свободных  членов уравнений, к коэффициентам  при переменной, переводимой в  основные, причем только из тех уравнений, в которых эти коэффициенты положительны.

      Х₂: {60/1; 100/1; 36/1} переводим Х₂ в основные переменные: из третьего уравнения, так как 36/1=36 наименьший коэффициент. 

 

      Подставим в целевую функцию =>Х₂:

     Рассмотрим  полученную систему уравнений и  целевую функцию: 

      Если  отыскивается максимум линейной формы, и в ступени выражений нет  основных переменных с положительным  знаком, то критерий оптимальности  выполнен и полученное базисное решение  служит оптимальным (задача решена), но в примере еще есть две переменные с положительным знаком.

      Переходим к новому базисному решению {0; 5; 0; 0; 20; 50}. Из не основных переменных, входящих в линейную форму (уравнения) с положительным  коэффициентом выбираем ту, которой  соответствует наибольший коэффициент  и переводит ступени в основные.

      Рассмотрим  переменную Х₁ {10; 10; 17}. Выразим из первого уравнения переменную Х₁: 

      

        

      Рассмотрим  полученную систему уравнений и  целевую функцию: 

        

      Если  отыскивается максимум линейной формы, и в ступени выражений нет  основных переменных с положительным  знаком, то критерий оптимальности  выполнен и полученное базисное решение  служит оптимальным (задача решена), но в примере еще есть одна переменная с положительным знаком (Х₃).

      Переходим к новому базисному решению {10; 0; 0; 0; 40; 20}. Из не основных переменных, входящих в линейную форму с положительным  коэффициентом выбираем Х₃, которой соответствует наибольший коэффициент (5) и переводит ступени в основные.

      Рассмотрим  переменную Х₃ {0; 8; 20}. Выразим из второго уравнения переменную Х₃: 

 
 
 

      Рассмотрим  полученную систему уравнений и  целевую функцию: 

        

      Отыскивается  максимум линейной формы, так как  в ступени выражений нет основных переменных с положительным знаком – критерий оптимальности выполнен и полученное базисное решение служит оптимальным (задача решена).

      То  есть при Х₁=10; Х₂=0; X₃=8 максимальное значение функции равно 80 (Lmax=80). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Листинг программы.

 

Program Simplex_Metod;

Uses crt; 

label

  POVZNAC, NACH; 

var

  Fo, FunctPr, B, H, Hnew, C, Cnew, CPr, Cprnew, FX: array[1..30]       of real;

  X, Xnew: array[1..30,1..30] of real;

  BS, Bvsp,ZNAC: array[1..30]       of string[3];

  MIN, I1, I, J, Kx, Ky, Kit, NachKell, NachY, K_st: integer;

  PriznacY, KLstr, KLst, ErrCode, Dop_X: integer;

  P, P1, Mo, F0, Epsilon, Z, CHLEN: real;

  VSP, S, PrOper: string;

  F: text;

  DPx, DPy, MinMax, Kell, SNom: integer; 

Function MakeIndex (V:integer; S:char): string;

var

  M,Z: string;

begin

  STR(V,M);

  Z:=S+M;

  MakeIndex:=Z;

end; 

Procedure enter;

var

  BUF  :string;

  NEXT :boolean;

begin

  clrscr;

  repeat

    write ('Введите количество уравнений:    ');

    readln (SNom);

    if (SNom > 10) or (SNom <=0) then

    begin

      writeln ('Введите число 1 до 10: ');

      readln;

    end

    else NEXT:=True;

  until NEXT;

  repeat

    NEXT:=False;

    write ('Количество элементов:              ');

    readln (Kell);

    if (Kell > 10) or (Kell <=0) then

    begin

      writeln (Введите число от 1 до 10: ');

      readln;

    end

    else NEXT:=True;

  until NEXT;

  NachKell:=Kell;

  DPx:=Kell+1;

  DPy:=1;

  Epsilon:=0.00001;

  for I:=1 to SNom do

  begin

    for J:=1 to Kell do

    begin

      write  ('Введите ',J,'-й элемент ',I,'-го уравнения:    ');

      readln (Xnew [I,J]);

    end;

    repeat

      write  ('Введите знак:     ');

      readln (ZNAC [I]);

      if (ZNAC [I] <> '>=') and (ZNAC [I] <> '=') and (ZNAC [I] <> '<=') then

      begin

        write ('Неправильно задан знак!');

        readln;

      end;

      if (ZNAC [I] = '=') or (ZNAC [I] = '>=') then PriznacY:=1;

    until (ZNAC [I] = '>=') or (ZNAC [I] = '=') or (ZNAC [I] = '<=');

   write ('Введите свободный член:   ');

    read (B[I]);

  end;

  write ('Введите свободный член целевой функции:    ');

  readln (CHLEN);

  for J:=1 to Kell do

  begin

    write ('Введите ',J,'-й коэффициент целевой функции:  ');

    read (FX[J]);

  end;

  readln;

  write ('Целевая функция стремится к максимуму (Д/Н):   ');

  readln (BUF);

  if (BUF='Д') or (PrOper='Д') then MinMax:=1

                               else MinMax:=2;

  write ('Целочисленное решение (Д/Н):   ');

  readln (PrOper);

  if (PrOper='Д') or (PrOper='Д') then PrOper:='Д'

                                 else PrOper:='Н';

end; 

procedure DOP_PER;

begin

  if ZNAC[I1]='=' then

  begin

    Kell:=Kell+1;