Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений  бывают двух основных типов - линейные однородные и неоднородные. Решать системы дифференциальных уравнений  можно также двумя основными  способами решения:

1. Метод исключения, суть которого в том, что в процессе решения система дифуравнений сводится всего лишь к одному дифференциальному уравнению.
2. При помощи характеристического уравнения или метод Эйлера.

В основном системы  дифференциальных уравнений решаются первым способом.

Линейные однородные системы  дифференциальных уравнений

Простейшую однородную систему дифференциальных уравнений  можно представить в следующем  виде:

, где k, l, m, n – это обыкновенные числа, x(t) и y(t) – неизвестные функции. Переменная t играет роль независимой переменной (в обычном дифференциальном уравнении на ее месте обычно встречается х).

 и   – первые производные неизвестных функций x(t) и y(t) соответственно.

Решить систему  дифференциальных уравнений - означает определить такие функции x(t) и y(t), которые удовлетворяют обоим уравнениям системы. Как видно, все очень похоже на обычные системы линейных уравнений, разница лишь в том, что там корни уравнения - это числа, а здесь – функции.

Ответ запишем в  виде общего решения системы дифуравнений:

Можно записать систему  более компактно:

Самым распространенным является вариант решения с производными, расписанными в дифференциалах, где  приняты следующие обозначения:

 и   – производные 1-го порядка;

 и   – производные 2-го порядка.

Пример.

Требуется найти  решение задачи Коши для системы  дифуравнений   при начальных условиях x(0) = 3, y(0) = 0.

При решении будем  использовать метод исключения.

Возьмем второе уравнение  системы   и выразим из него х:

, знак * мы используем для быстрого  поиска этого уравнения, т.к.  оно нам понадобится в дальнейшем.

Продифференцируем обе части полученного уравнения  по t:

По-другому это  выглядит следующим образом:

Подставляем   и   в первое уравнение системы  :

Максимально упростим это уравнение:

Как видите, мы получили обыкновенное однородное уравнение  второго порядка с постоянными  коэффициентами. С производными оно  выглядит следующим образом:

.

Далее необходимо составить  и решить характеристическое уравнение:

 – мы получили различные действительные корни, поэтому:

.

Одна функция  найдена. Теперь приступим к поиску x(t).

Найдем производную  найденной функции  .

Дифференцируем  по t:

Теперь подставим   и   в уравнение (*):

Упростим полученное уравнение:

Итак, мы нашли обе  функции.

Общее решение системы  будет:

Теперь займемся поиском частного решения, соответствующего начальным условиям x(0) = 3 и y(0) = 0. Для этого почленно вычитаем из первого уравнения второе.

Подставим найденные  коэффициенты:

Это и будет частное  решение системы.

Остается провести проверку найденного результата:

Проверим выполнение начальных условий x(0) = 3 и y(0) = 0:

x(0) = 4 - 1 = 3

y(0) = 1 – 1 = 0

Проверка прошла успешно.

Проверим найденный  ответ на удовлетворение первому  уравнению системы 

Возьмем функцию   и найдем её производную:

Подставим  ,   в первое уравнение системы:

Равенство верно, следовательно проверка прошла успешно.

Проверим найденный  ответ на удовлетворение второму  уравнению системы  <="" p="" style="border: none;">

Возьмем функцию   и найдем её производную:

Подставим  ,   и   во второе уравнение системы:

Равенство верно, следовательно и эта проверка прошла успешно.

Итак, мы убедились, что выполнение начальные условия  выполняются и что найденное  частное решени

 удовлетворяет каждому уравнению  исходной системы  .