Статистикалық динамикалық қатарлар. 2

Статистикалық динамикалық қатарлар

Динамикалық қатарлар        

     Уақытқа байланысты қоғамдық құбылыстар үнемі өзгеріп отырады. Осы процестерді зерттеу үшін динамикалық қатарларды құрады.           

Динамикалық қатарлар деп - уақытқа байланысты құбылыстардың өзгеруін сипаттайтын көрсеткіштердің уақыт бойынша орналасқан қатарын айтады.  
         Динамикалық қатарлар негізгі екі элементтен тұрады:  
 уақыт көрсеткіштері – t және қатарлардың деңгейі – У.  
Уақыт көрсеткіштері арқылы күн, ай, тоқсан, жыл сияқты уақыт мезгілдері көрсетіледі.  
Қатар деңгейі деп құбылыстың шамасын сипаттайтын көрсеткіштің белгілі бір уақыттағы сандық мәнін айтады.  
Уақыт көрсеткіштеріне байланысты динамикалық қатарлар мезеттік және интервалды болып бөлінеді. 
Мезеттік қатарда қатардың деңгейі құбылысты белгілі бір уақыт мезгіліне байланысты сипаттайды. Мысалы: оқу жылының басындағы студенттер саны, жыл аяғындағы жұмысшылар саны және т.б. 
Интервалды қатарда қатардың деңгейі құбылысты белгілі бір уақыт аралығына байланысты сипаттайды.  
Зерттелетін көрсеткіштерге байланысты динамикалық қатарлардың мынадай түрлері болады:

1. абсолютті шамалардың қатарлары;
2. қатысты шамалардың қатарлары;
3. орташа шамалардың қатарлары.

Динамикалық қатарларды зерттеу арқылы мынадай міндеттер  шешіледі:

1. зерттелетін құбылыстардың уақытқа байланысты өзгеруі сипатталады;
2. зерттелетін құбылыстардың динамикасына статистикалық көрсеткіштер жүйесі арқылы талдау жүргізіледі;
3. динамиканың негізгі даму бағыты (тренд) айқындалады;
4. маусымдық ауытқулар зерттеледі;
5. болжам (интерполяция және экстраполяция) жасалады.

Динамиканың аналитикалық көрсеткіштері      

     Динамикалық қатарлардың деңгейлерін салыстыру нәтижесінде аналитикалық туынды көрсеткіштер есептеледі.Олар тізбектік және базалық тәсілдермен анықталады. Тізбектік тәсілді қолданғанда, ағымдағы қатардың әрбір деңгейі оның алдыңғы уақыттағы деңгейімен салыстырылады. Ал базалық тәсілде әрбір қатардың деңгейі белгілі бір тұрақты базалық уақыттың деңгейімен салыстырылады.  
Статистикада динамикалық қатарларды есептегенде мынадай аналитикалық туынды көрсеткіштер қолданылады: 
1. Абсолютті өсім– салыстырылып отырған көрсеткіш деңгейлерінің айырмасы. Абсолютті өсімнің мәні оң немесе теріс шамаға немесе нөлге тең болуы мүмкін. : 
а) базалық абсолютті өсім – әр уақыттағы қатардың деңгейінен Yi белгілі бір тұрақты базалық уақыттың деңгейін Y0 шегеру арқылы есептеледі: 
                                                                         

б) тізбектік  абсолютті өсім  – салыстырылатын уақыттың деңгейінен  алдында тұрған уақыттың деңгейін  шегереді:       

 мұнда  – ағымдағы мерзімдегі көрсеткіш мәні; 
            – базалық мерзімдегі көрсеткіш мәні; 
           – ағымдағы мерзімнің алдында тұрған мерзімнің көрсеткіш мәні.

 
2. Өсу қарқыны (Ө) – екі  уақыт көрсеткіштерінің қатынасы. Өсу қарқыны коэффициентпен немесе процентпен өлшенеді: 
а) базалық өсу қарқыны (Ө) – әр уақыттағы қатардың деңгейін Yi белгілі бір тұрақты базалық уақыттың деңгейіне Y0  
арқылы есептеледі:                                          

б) тізбектік өсу қарқыны  – салыстырылатын уақыттың деңгейін () алдында тұрған уақыттың деңгейіне () бөледі.     Ө              (68) 
Өсу қарқыны салыстырылатын деңгей базалық деңгейден неше есе артық екенін немесе салыстырылатын деңгейі базалық деңгейдің неше процентін құрайтынын көрсетеді.  
Базалық және тізбектік тәсілмен есептелінген өсу қарқындарының арасында мынадай байланыс болады: 
 
m- өсім қарқыны 
n-   элемент саны

3. Өсім қарқыны (Ө) – абсолютті өсімнің салыстырылатын деңгейге қатынасы. Ол абсолютті өсімді қатысты шамалармен сипаттайды:  
а) базалық өсім қарқыны   - базалық абсолютті өсімнің  базалық деңгейге қатынасымен есептеледі (): 
                                                                        (69)

б)  тізбектік өсім қарқыны ()– тізбекті абсолютті өсімнің  алдында тұрған уақыттың деңгейіне ()қатынасымен есептеледі: 
                                                                             (70 ) 
Өсу қарқыны мен өсім қарқыны көрсеткіштерінің арасында мынадай байланыс болады: өсім қарқыны әрқашан өсу қарқынынан, егер коэффициентпен берілсе бір бірлікке, ал процентпен берілсе 100 % - ға аз болады:  
              ;           (71 )     
              ;            (72 ) 
              .    (73)

4. Үдемелі даму: 
а) абсолютті  – тізбектелген тәсілмен есептелген ағымдағы кезеңдегі абсолютті өсімнің мәнінен базалық кезеңдегі абсолютті өсімнің мәнін шегереді:  
                                         ,             (71 ) 
Көрсеткіш теріс мән қабылдаса, онда дамудың баяулағанын білдіреді. Дамудың мәні нөлге тең болса, түзу сызықты тенденцияны сипаттайды. Тұрақты даму параболалық тенденцияны сипаттайды. 

б) қатысты – тізбектелген тәсілмен есептелген ағымдағы кезеңдегі өсім қарқынының мәнін базалық кезеңдегі өсім қарқынының мәніне бөледі: 
                                        ,                (72 ) 
5. Үдеу қарқыны (Үқ) – тізбектік абсолюттік өсімдердің базалық мерзімдегі көрсеткіштің мәніне қатынасымен есептеледі: 
                                      Үқі    ,                                    (73 )

6. Бір проценттік өсімнің абсолюттік мәні (К1%) – тізбектелген тәсілмен есептелген абсолюттік өсім мәнінің процентпен берілген өсім қарқынының мәніне қатынасымен есептеледі. Бұл көрсеткішті басқа тәсілмен де есептеуге болады. Ол үшін алдыңғы қатардың дәрежесінің мәнін 100-ге бөледі:  
                                                         К1%.           (74 ) 
Бір проценттік өсімнің абсолюттік мәні өсімнің әрбір процентінің абсолютті мәні қалай және қаншаға өзгергенін көрсетеді. 
Динамиканың негізгі аналитикалық көрсеткіштері 28 - кестеде берілген.

28 – кесте.  Динамиканың аналитикалық көрсеткіштері

Динамиканың тізбектелген және базалық көрсеткіштерінің арасында мынадай байланыс болады:  
– белгілі бір уақыт кезеңдеріндегі тізбектелген абсолютті өсімдердің сомасы осы кезеңдегі  базалық абсолютті өсімге тең болады:  
                       ,           (75 )    

- белгілі бір  уақыт кезеңдеріндегі коэффициентпен берілген  тізбектелген  өсу қарқындарының көбейтіндісі осы кезеңдегі  базалық өсу қарқынына тең болады:                         

   (76 ) 
Динамикалық қатардың көрсеткіштеріне 29 - кестенің мәліметтерін қолданып талдау жүргізейік. 

29 – кесте.  Динамикалық қатардың көрсеткіштерін талдау

Осы берілген кестеден динамикалық қатар көрсеткіштерінің деңгейлері әр кезеңде әр түрлі өзгергенін көруге болады

7.3  Динамикалық қатарлардың орташа көрсеткіштері

Зерттелетін құбылыстардың  динамикасын жалпы түрде сипаттау үшін динамиканың орташа көрсеткіштері есептеледі. 
1. Қатардың орташа деңгейі - абсолютті деңгейлердің типтік шамасын сипаттайды. Қатардың орташа деңгейін есептеу қатардың түріне байланысты болады: 
а) толық интервалды қатарда – жай арифмерикалық орташа формуласымен есептеледі:   ,           (77 ) 
мұндағы Yі – і интервалындағы көрсеткіштің мәні; 
                n – интервалдардың саны.  
29 - кестенің мәліметтері бойынша қатардың орташа деңгейі былай есептеледі:  
       177,1 бірлік; 
б) толық мезеттік қатарда – хронологиялық орташа формуласымен есептеледі: 
 немесе           (78 ) 
Бұл екеуі де хронологиялық орташа шаманың формуласы болып табылады, есептелінген орташа мәндерінің нәтижесі бірдей болады.  
в) орта мезеттік қатарда – салмақталған арифметикалық орташа формуласымен есептеледі:  
             ,               (79 ) 
Мұндағы t – қатардағы уақыт аралықтарының ұзақтығы; 
                 – әрбір і аралығындағы белгінің орташа мәні, жай арифметикалық орташа формуласымен есептеледі:  
         ,            (80 ) 
Мұндағы Yi, Yi+1 – интервалдың басындағы және аяғындағы белгінің мәні. 
Мысалы. Екі қала бойынша тұрғын үйлердің бағасы туралы мәліметтер берілген (30-кесте).

30 – кесте. Екі қаладағы тұрғын үйлердің бағасы

 Әрбір қаладағы тұрғын үйдің орташа жылдық бағасын  есептеу керек. 
А қаласы бойынша берілген мәліметтердің уақыт аралықтары бірдей емес. Сондықтан, орташа жылдық бағаны есептеу үшін салмақталған арифметикалық орташаның формуласын қолданамыз:

млн. теңге 
Б қаласы бойынша берілген мәліметтердің уақыт аралықтары бірдей.  
Сондықтан, орташа жылдық бағаны есептеу үшін хронологиялық орташаның формуласын қолданамыз:  
млн. теңге 
Сонымен, А қаласындағы тұрғын үйдің орташа жылдық бағасы 11,1 млн.теңгені, ал Б қаласында –– 12,7 млн. теңгені құраған. 
2. Орташа абсолютті өсім –– екі тәсілмен есептеледі: 
а) тізбектелген тәсілмен есептелген абсолютті өсімдердің сомасын  абсолютті өсімдердің санына  бөлу арқылы есептеледі: 
         ,    (81) 
в) қатардың соңғы уақыттағы деңгейінен қатардың бастапқы уақыттағы деңгейінің  айырмасын өсім санына (m) бөледі: 
       ,       (82 ) 
Мұндағы m= n-1 
29-кестенің мәліметтері бойынша орташа абсолютті өсімді  есептейміз:  
бірлік        
3. Орташа өсу қарқыны –– динамикалық қатардың жеке өсу қарқындарын жалпылама сипаттайды және екі тәсілмен есептеледі: 
а) тізбектелген тәсілмен есептелген өсу қарқындарының мәндері белгілі болса, онда орташа өсу қарқыны геометриялық орташаның формуласымен есептеледі:  
       ,       (83 ) 
в) тізбектелген тәсілмен есептелген өсу қарқындарының көбейтіндісі базалық тәсілмен есептелген өсу көрсеткіштеріне тең 
 қағидасы бойынша , мұндағы  
орташа өсу қарқыны мына формуламен есептеледі: 
 ,     (84 ) 
Yn – динамикалық қатардың соңғы уақыттағы деңгейі; 
Y0 – динамикалық қатардың бастапқы уақыттағы деңгейі; 
 m – зерттелетін кезеңдегі уақыт бірліктерінің есептік саны. 
29 - кестенің мәліметтері бойынша орташа өсу қарқынын есептейміз:

 
4. Орташа өсім қарқыны – өсу және өсім қарқындары арасындағы өзара байланыстың негізінде анықталады. Орташа өсу қарқынынан, мәліметтер коэффициент түрінде берілсе 1 (бірді), процентпен берілсе 100 (жүзді)  шегереді. 
 немесе    (85 ) 
29 - кестенің мәліметтері бойынша орташа өсім қарқынын есептейміз: 
 
Сонымен, әр кезеңдегі қатардың деңгейі орта есеппен 3,9%-ға артып отырған.

7.4 Дамудың негізгі тенденциясын зерттеу

Динамикалық процестердің заңдылықтарын зерттеу барысында  дамудың жалпы тенденциясын (трендті) талдау ерекше қызығушылық тудырады. Себебі, ол көрсеткіштер мен құбылыстар туралы толық мағлұмат алуға мүмкіндік береді.  
Динамиканың даму бағытын анықтаудың төрт әдісі бар:  
1. Интервалды үлкейту әдісі – динамикалық қатардың деңгейінде ауытқулар болғанда және дамудың негізгі тенденциясын бірден анықтау мүмкін болмағанда қолданылады. Бұл жағдайда динамикалық қатардың бастапқы уақыт көрсеткіші ұзақ мерзімді көрсеткішпен алмастырылады (айлық кезеңдер – тоқсанмен, тоқсан – жылдықпен және т.б.).  
Есептеу мысалы 31-кестеде көрсетілген.

31 – кесте.  Тауар айналымын интервалды үлкейту әдісі арқылы тегістеу

2. Жылжымалы орташа әдісі – динамикалық қатардың абсолютті көрсеткіштері орташа шамалармен алмастырылады. Динамикалық қатарлардың сандық мәндері уақыт аралықтарына қарай бірдей мөлшерде болады және көбінесе тақ сандық мүшелері (үш, бес т.с.) бойынша есептеледі. Орташа шаманы есептеу жылжымалы әдіс бойынша жүргізіледі.Есептеу интервалындағы бірінші деңгей алынып тасталады да, оның орнына қатардың келесі деңгейін  қосып отырады. Осыдан шыққан қосындыны сол мүшенің санына бөлу арқылы жылжымалы орташаның тегістелген мәні анықталады және қатардың ортасына жазылады. Осылайша орташа шамалардан есептелген қатарды тегістелген қатар деп атайды. 
 Есептеу мысалы 32-кестеде көрсетілген.

32 – кесте. Тауар айналымын жылжымалы орташа әдісі арқылы тегістеу

3. Динамикалық қатарларды бір негізге келтіру әдісі –– бір -бірімен байланысты құбылыстардың даму тенденциясын салыстырмалы түрге келтіріп, талдау үшін қолданылады.  
Мұндай жағдайда динамикалық қатарлардың өсу қарқынын базалық әдіспен есептейді. Базалық салыстырмалы кезең үшін көрсеткіш 100 пайыз есебімен алынады. 
 Есептеу мысалы 33 - кестеде көрсетілген.

33 – кесте.  Динамикалық қатарларды бір негізге келтіру

Кестедегі есептелінген көрсеткіштерге (3-4 жол) қарап, мынадай қорытынды жасауға болады: орташа айлық өнімнің өсу қарқыны  орташа айлық жалақыға қарағанда жоғары.

4.Аналитикалық тегістеу әдісі –– трендті өлшеу міндетін шешеді. Аналитикалық тегістеу жасағанда қатардың деңгейлері уақыт функциясы ретінде беріледі:  
                                          ,     (86) 
Динамикалық қатар көрсеткіштерін тегістеу ең кіші квадраттар тәсілі арқылы жүргізіледі:  
                                     ,  (87) 
 Егер динамикалық қатардың деңгейлері бірқалыпты өзгеретін болса, онда қатарды тегістеу үшін түзу сызықты теңдеу қолданылады. Түзудің теңдеуі: 
                                         ,   (88) 
Мұндағы Yt –динамикалық қатардың теориялық деңгейі; 
                  t – уақыт мерзімінің рет нөмірі; 
                 а0, а1– теңдеудің параметрлері. 
  а0 және а1 параметрлерін анықтау үшін қалыпты теңдеулер жүйесін шешу керек:  
                                (89) 
Егер уақыт мерзімінің қосындысын  нөлге теңестіретін болсақ, онда теңдеулер жүйесін ықшамдалған тәсілмен есептеуге болады:  
                         ,                     (90) 
                          
                         .                      (91) 
Параметрлердің мағынасы: a0– қатардың орташа деңгейін көрсетеді; 
a1– орташа абсолютті өсімді көрсетеді.

 
Бұл жағдайда:

1. егер динамикалық қатарлардың деңгейлері тақ санмен берілген болса, онда қатардың ортадағы мәнін нөлге теңестіріп, нөлден жоғары тұрғандарды – минус, нөлден төмен тұрғандарды – плюс таңбаларымен белгілейміз;
2. егер динамикалық қатарлардың деңгейлері жұп санмен берілген болса, онда қатардың тең ортасынан жоғары уақыттың мәндерін минус, ал төменгі мәндерін – плюс таңбаларымен белгілейміз.

Мысал. 34-кестедегі  мәліметтерге түзу сызықты теңдеу бойынша  аналитикалық тегістеу жүргізейік.    

34 – кесте. Түзу сызықты теңдеу бойынша аналитикалық тегістеу

Тренд теңдеуінің параметрлерін анықтаймыз:  
                      ;     
                                     
Осылайша, тренд теңдеуі мынадай түрде болады: 
                                 
Yt мәнінің дұрыс есептелгенін тексеру үшін  формуласы қолданылады.  
Біздің мысалымызда , яғни Yt мәні дұрыс есептелген.

7.5 Маусымдық ауытқуды зерттеу

Динамикалық қатарларды талдау кезінде маусымдық ауытқуды анықтаудың маңызы өте зор. Динамикалық  қатарлардың деңгейі жыл ішінде қайталанып отыратын өзгерістерге байланысты артып немесе кеміп отырады. Бұл өзгерістер жыл мезгілінің ауысуы, ауа райының өзгеруі сияқты табиғи факторларға байланысты болады. Мұны маусымдық ауытқу деп атайды. Бір жылдың мәліметтері бойынша дамудың негізгі бағытын айқындау қиын. Сондықтан маусымдық ауытқуларды бірнеше жылдың мәліметтері бойынша есептейді, әдетте 3 жылдың мәліметтері алынады.Маусымдық ауытқуды зерттеу үшін маусымдық индексті есептейді. Маусымдық индекс әр түрлі әдіспен есептеледі; ол бәрінен бұрын динамикалық қатардың жалпы тенденциясының сипатына байланысты болады.  
Егер жыл ішінде динамикалық қатар деңгейінің даму бағыты тұрақты түрде өзгермейтін болса, онда маусымдық индексті  жай арифметикалық орташа әдісімен есептейді: 
                                                                                 ,   (92) 
Мұндағы - әр айдағы қатардың орташа деңгейі; 
                  - қатардың жалпы орташа деңгейі. 
Маусымдық индексті есептеу үшін алдымен қарастырып отырған кезеңнің әр айының орташа шамасын анықтайды: 
                                                                              ,    (93) 
Содан кейін есептелген орташа айлық деңгейлер бойынша қатардың жалпы орташа деңгейін есептейді:  
                                                                              ,    (94)  
Мысалы, 35 - кестеде 2005-2007жж. айлары бойынша дүкендерде сатылған сүт өнімдері  туралы мәліметтер берілген.                  

35 – кесте.  2005 – 2007 жж. Айлары бойынша дүкендерде сатылған сүт өнімдері, т.

Жыл ішіндегі динамикалық  қатар деңгейлерінің жалпы тенденциясын сипаттау үшін алдымен әр жылдағы  айлардың мәліметтерін қосып жылдық дәрежесін анықтаймыз және өсу қарқынын есептейміз. 

36 кесте – Сүт өнімдерінің жылдық дәрежесі және өсу қарқыны

Жылдық дәрежелерге  қарап, дамудың жалпы бағытында  онша өзгеріс жоқ екенін көруге болады. Сондықтан маусымдық индексті жай  арифметикалық орташа әдісімен есептейміз: 
мәнін есептеу үшін үш жылдың әрбір айының орташа деңгейін есептейміз: 
қаңтар              ;

ақпан                ;    

желтоқсан        .  

– орта мәндері есептелетін айлардағы календарлық күндер саны

Қаңтар          ;

Ақпан           ;    және т.б. 
Қалған айлардың орташа деңгейлері  осыған ұқсас есептеледі. 
Есептелген  әр айдағы қатардың орташа деңгейі бойынша  қатардың жалпы орташа деңгейін анықтаймыз (): 
. 
Енді әр айдағы маусымдық индекстерді есептейміз: 
Қаңтар , немесе 103,2%; 
Ақпан  , немесе 118,2%   және т.с.с.

 
Маусымдық индекстерді жай арифметикалық  әдіспен есептеу жолы  
37-кестеде көрсетілген. 
37 – кесте.  Маусымдық индекстер