Теорема Тихонова. Применение теоремы Тихонова
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное
бюджетное образовательное
«Уфимский государственный нефтяной технический университет»
Кафедра «Технологические машины и оборудование»
Реферат
на тему: «Теорема Тихонова. Применение теоремы Тихонова»
по дисциплине «Методы
подобия и размерности в
Выполнила ст. гр. ММО31-13
Проверил преподаватель
Уфа
2013
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………
Тихонова теорема……………………………………
Произведение топологических пространств ………………………..9
ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………….....18
ВВЕДЕНИЕ
Цель данной работы: изучить основы теоремы Тихонова о бикомпактности произведения, применение данной теоремы.
В соответствии с целью были выдвинуты следующие задачи:
- изучить основы топологии как раздела математики,
- дать определение теореме Тихонова и доказать,
- изучить аспекты произведений топологический пространств.
Топология – это раздел математики, изучающий топологические свойства фигур и тел, т.е. свойства, которые не изменяются при любых непрерывных деформациях. Топология является одним из наиболее абстрактных разделов математики, поэтому трудно популярно объяснить суть теоремы, доказанной А.Н.Тихоновым в дипломной работе и утверждающей, что произведение любого числа бикомпактных пространств бикомпактно. Можно сослаться лишь на то, что теорема Тихонова занимает первое место по числу ссылок на нее в мировой математической литературе. Деятельность А.Н.Тихонова в области топологии закреплена в таких определениях как "тихоновское произведение", "тихоновский куб", "тихоновское пространство". Чтобы подчеркнуть роль А.Н.Тихонова в формировании топологии, приведем цитату из широко известного в мировой литературе учебника общей топологии американского математика Дж.Л.Келли: "Классическая теорема А.Н.Тихонова о произведении бикомпактных пространств, несомненно, является самой полезной теоремой о бикомпактности. Весьма правдоподобно, что это вообще самая важная теорема общей топологии".
Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.
1. Тихонова теорема
Тихонова теорема о бикомпактности
произведения: топологическое произведение любого множества бикомпактных
пространств бикомпактно. Это одна из основных
теорем общей топологии; установлена А.
Н. Тихоновым в 1929. Она играет весьма существенную
и часто ключевую роль в построении практически
всех разделов общей топологии и во многих
ее применениях. В частности, Т. т. имеет
основное значение для построения бикомпактных
расширений вполне регулярных Т 1 -пространств
(т. <е. тихоновских пространств). С ее
помощью строится расширение Стоуна - Чеха произвольного
тихоновского пространства. Т. т. позволяет
указать стандартные бикомпактные пространства
- обобщенные канторовы дисконтинуумы
являющиеся произведениями дискретных
двоеточий в количестве
и тихоновские кубы
- произведения
экземпляров обычного отрезка I числовой
прямой. В качестве
здесь может фигурировать любой кардинал.
Значение обобщенных канторовых дисконтинуумов
и тихоновских кубов
связано прежде всего с тем, что они являются
универсальными объектами: каждый нульмерный бикомпакт гомеоморф
Теорема Тихонова применяется при доказательстве нспустоты предела обратного спектра из бикомпактных пространств, при построении теории абсолютов, в теории бикомпактных групп. Если же иметь в виду опосредованные ее применения, то почти вся общая топология попадает в сферу действия этой теоремы Тихонова. Так же трудно перечислить прямые и опосредованные применения теоремы Тихонова в других областях математики. Практически они встречаются всюду, где важную роль играет понятие компактности, - в частности в функциональном анализе (банаховы пространства в слабой топологии, меры на топологич. пространствах), в общей теории оптимального управления и т. д.
БИКОМПАКТНОЕ ПРОСТРАНСТВО
- топологическое пространство, в каждом
открытом покрытии к-рого содержится конечное
подпокрытие того же пространства.
Следующие утверждения
Тихоновским произведением топологических пространств называется топологическое пространство , в котором базу топологии образуют множества , где открыто в для любого и для всех индексов кроме конечного их числа.
Произведение счетного числа
метризуемых пространств
Доказательство. Пусть - метризуемые топологические пространства. По лемме на каждом множестве существует ограниченная метрика соответственно.
Рассмотрим
.
Покажем:
1. является метрикой на и .
2. топология, порожденная метрикой , совпадает с топологией произведения пространств .
1. Проверим выполнимость аксиом метрики.
1) (так как - метрика по условию).
2) , .
Так как ( -метрика по условию), то , тогда .
3) Докажем, что .
, , . Но так как выполняется неравенство , то будет выполняться неравенство:
, тогда .
Теперь докажем, что .
, где геометрическая прогрессия, а , тогда .
2. 1) Покажем, что каждое множество , открытое в топологии, индуцированной метрикой , открыто и в топологии произведения.
Рассмотрим произвольную точку . Существует такое , что . Далее достаточно найти положительное число и открытые множества , такие, что .
Пусть - положительное целое число, удовлетворяющее условию:
.
Для положим и для .
Для каждой точки . Рассмотрим полученные суммы. Так как , где , то . Так как для любых , то . Тогда , т.е. . Таким образом . Следовательно, множество открыто в тихоновской топологии произведения.
2) Пусть множество открыто в топологии произведения. Докажем, что оно открыто в топологии, порожденной метрикой .
Требуется доказать, что для любой точки найдется такое , что .
Так как множество открыто в топологии произведении, то для некоторого множества , где - открыто в и для любого и для всех индексов кроме конечного их числа. Поскольку и открыто в , то для конечного числа индексов, для которых . Пусть - наименьший из этих значений . Докажем, что . Возьмем произвольное . Тогда . Отсюда для любого . Это означает, что для любого . Получили . Следовательно, множество открыто в топологии, индуцируемой метрикой . Теорема доказана.
2. Произведения топологических пространств
1. Пусть {Xα : α ∈ A}— декартово произведение некоторого множества множеств, т. е. множество всех таких отображений x: A → α∈A Xα, что x(α) ∈ Xα.
Если B ⊆ A, то определена естественная проекция pB :{Xα : α ∈ A} →{Xα : α ∈ B}, ставящая в соответствие точке произведения x (отображению x: A → α∈A Xα) её ограничение на множество B. Эту проекцию будем иногда обозначать такжечерез pA B. Если множество B состоит из одного элемента α, то отображение pB будем обозначать через pα.
Если x ∈ {Xα : α ∈ A}, то x(α) будем называть α-й координатой точки x и обозначать её иногда через xα.
2. Пусть теперь сомножители Xα произведения X = {Xα : α ∈ A} являются топологическими пространствами. Тогда на множестве X можно рассмотреть наименьшую топологию, относительно которой все проекции pα : X → Xα непрерывны (см. 1.6). Множество X с этой топологией и называется топологическим, или тихоновским, или просто произведением пространств Xα.
Согласно 1.6 предбазу пространства X образуют всевозможные множества вида p−1 α U, где U открыто в пространстве Xα, а базу, следовательно, — всевозможные конечные их пересечения p−1 α1U1 ∩...∩p−1 αsUs.
3. Предложение. Пусть X — топологическое произведение пространств Xα, α ∈ A, и пусть f : Y → X — такое отображение, что все композиции pα ◦ f : Y → Xα непрерывны. Тогда отображение f также непрерывно.
4. Понятие категории. Пусть C = {O,M}— класс элементов двух сортов. Элементы из O называются объектами, а элементы из M—морфизмами.
Для каждого морфизма f определена единственная упорядоченная пара (X, Y ) объектов, и f называется морфизмом из X в Y . В этой ситуации X иногда обозначают через domf, а Y — через rngf. Семейство всех морфизмов из X в Y обозначается через [X, Y ].
Семейство C = {O,M} называется категорией, если выполнены следующие условия:
а) для каждой пары морфизмов f и g c rngf = domg определён единственный морфизм h с domh = domf и rngh = rng g, называемый композицией морфизмов f и g и обозначаемый через g ◦ f;
б) для каждого объекта X ∈ O существует единственный морфизм из X в X, обозначаемый через idX, такой что idY ◦f = f = idX ◦f для всякого морфизма f : X → Y ;
в) (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f) для всякой тройки морфизмов с rngf = domg и rng g = domh.
5. Примерами категорий
являются топологические
6. Пусть {Xα : α ∈ A}— некоторое множество объектов категории C. Объект X ∈ C и множество морфизмов pα : X → Xα, α ∈ A, категории C называется (категорным) произведением множества {Xα : α ∈ A}, если для всякого набора {Y,qα : Y → Xα} ⊆ C в категории C существует такой единственный морфизм h: Y → X, что pα ◦ h = qα для всех α ∈ A.
7. Из определения вытекает
единственность категорного
с точностью до изоморфизма, т. е. морфизма f : X → Y , для которого существует такой морфизм g: Y → X, что g ◦ f = idX и f ◦ g = idY .
В самом деле, предположив существование двух категорных произведений {X, pα} и {Y,qα}, получаем существование таких морфизмов g: X → Y и h: Y → X, что pα ◦ h = qα и qα ◦ g = pα. Рассмотрим композицию k = h ◦ g: X → X. Это такой морфизм, что pα ◦ k = pα ◦ (h ◦ g)=(pα ◦ h) ◦ g = qα ◦ g = pα. Но по определению произведения существует единственный морфизм k со свойством pα ◦k = pα. В то же время ясно, что таким морфизмом является idX. Значит, h◦ g = idX. Аналогично, g ◦h = idY , чем единственность произведения доказана.
В то же время произведение существует не во всякой категории. Одним из простейших примеров является категория, состоящая из двух пространств — «связного» и «слипшегося» двоеточий — и всех их непрерывных отображений.
8. Предложение. В категории
Top всех топологических
9. Предложение. Произведение подпространств Yα ⊆ Xα, α ∈ A, совпадает с подпространством α∈A (p−1 α Yα) произведения{Xα : α ∈ A}.
10. Пусть fα : Xα → Yα, α ∈ A, — отображения. Тогда отображение f : Xα → Yα, определяемое равенствами f(x)(α) = fαx(α), называется произведением отображений fα и обозначается через α∈A fα.
Произведение f непрерывных отображений fα непрерывно в силу 2.3, поскольку qα ◦ f = fα ◦ pα, где qβ : Yα → Yβ — проектирование произведения на сомножитель.
11. Пусть fα : X → Yα, α ∈ A, — отображения. Тогда отображение f : X → Yα, определяемое равенствами f(x)(α) = fαx, называется диагональным произведением отображений fα и обозначается через ∆ α∈A fα.
Диагональное произведение f непрерывных отображений fα непрерывно согласно 1.3, поскольку qα ◦ f = fα.
12. Первая теорема Тихонова.
Произведение любого числа
13. Предложение. Произведение хаусдорфовых (регулярных) пространств хаусдорфово (соответственно регулярно).
Из 12 и 13 вытекает следующее утверждение.
14. Следствие. Произведение бикомпактов есть бикомпакт.
15. Предложение. Произведение τ ω0 штук пространств Xα веса wXα τ имеет вес τ.
16. Бикомпакт Iτ, являющийся
произведением τ ω0
17. Топологическое пространство X называется Tρ-пространством, если для всякой точки x ∈ X и всякого не содержащего её непустого замкнутого множества F ⊆ X существует такая непрерывная функция ϕ: X → I, что ϕx = 0 и ϕF = 1.
18. Топологическое пространство, одновременно удовлетворяющее аксиомам T1 и Tρ, называется вполне регулярным, или тихоновским. Всякое вполне регулярное пространство регулярно, поскольку Tρ влечёт T3.
Из леммы Урысона вытекает следующее утверждение.
19. Предложение. Всякое
нормальное пространство
20. Вторая теорема Тихонова. Всякое тихоновское пространство X веса τ гомеоморфно подмножеству тихоновского куба Iτ. Следующее утверждение очевидно.
21. Предложение. Всякое подпространство тихоновского пространства является тихоновским.
Из второй теоремы Тихонова и предложений 1.30, 2.19 и 2.21 вытекает следующая теорема.
22. Теорема. Следующие
свойства топологического
1) X — тихоновское пространство веса τ,
2) X гомеоморфно подпространству тихоновского куба Iτ,
3) X гомеоморфно всюду
плотному подпространству
4) X гомеоморфно подпространству нормального пространства веса τ.
Из 9, 12, 20 и 21 вытекает следующее утверждение.
23. Предложение. Произведение
тихоновских пространств
24. Пространство Y , содержащее
пространство X в качестве всюду
плотного подпространства,
Далее под бикомпактным расширением тихоновского пространства понимаем хаусдорфово бикомпактное расширение.
Следующее утверждение достаточно очевидно.
25. Предложение. Пусть fi : X → Y , i = 1,2, — непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y . Тогда множество {x ∈ X: f1(x) = f2(x)} замкнуто в пространстве X.
Из предложения 25 вытекает следующее утверждение.
26. Предложение. Два непрерывных
отображения в хаусдорфово
27. Непрерывное отображение f : b1X → b2X между бикомпактными расширениями одного и того же (тихоновского) пространства X назовём натуральным, если f(x) = x для всякой точки x ∈ X. Всякое натуральное отображение сюръективно, поскольку бикомпакт f(b1X) замкнут в объемлющем его хаусдорфовом пространстве. Согласно предложению 2.26 может существовать не более одного натурального отображения f : b1X → b2X. Скажем, что расширение b1X следует за расширением b2X, и будем писать b2X b1X, если существует натуральное отображение f : b1X → b2X.
Предположим, что b2X b1X и b1X b2X, т. е. существуют натуральные отображения f1 : b1X → b2X и f2 : b2X → b1X. Т огда f2 ◦ f1 = idb1X и f1 ◦ f2 = idb2X согласно предложению 2.26. Поэтому отображения f1 и f2 — взаимно обратные гомеоморфизмы. Следовательно, расширения b1X и b2X топологически неразличимы: одно расширение связано с другим единственным отображением, которое является гомеоморфизмом. Такие расширения назовём эквивалентными и в дальнейшем не будем их различать, понимая под бикомпактным расширением весь класс эквивалентных бикомпактных расширений.
После этой оговорки введённое отношение превращается в отношение частичного порядка в семействе BX всех бикомпактных расширений данного тихоновского пространства X.
28. Стоун-чеховское расширение βX. Семейство BX оказывается множеством, в котором имеется наибольший элемент βX. А. Н. Т ихонов в своей работе 1929 г., где были доказаны его знаменитые теоремы, вложил вполне регулярное пространство X веса τ в тихоновский куб Iτ посредством диагонального произведения специально выбранного им семейства мощности τ непрерывных функций ϕ: X → [0,1].
Э. Чех в 1937 г. посредством диагонального произведения всех непрерывных функций ϕ: X → [0,1] = Iϕ вложил тихоновское пространство X в тихоновский куб ϕ - Iϕ. Замыкание пространства X в этом кубе и есть расширение βX.
В своей знаменитой работе того же года М. Стоун построил наибольшее бикомпактное расширение с применением булевых алгебр и колец непрерывных функций. Наибольшее бикомпактное расширение βX тихоновского пространства X называется его стоун-чеховским расширением (компактификацией).
Сказанное выше можно резюмировать следующим образом.
29. Теорема. Для произвольного бикомпактного расширения bX тихоновского пространства X равносильны следующие условия:
1) bX натурально гомеоморфно расширению βX,
2) всякая непрерывная функция ϕ: X → I может быть продолжена на bX,
3) всякое непрерывное отображение f : X → B в бикомпакт может быть продолжено на bX,
4) расширение bX обладает натуральным отображением на любое бикомпактное расширение пространства X.
30. Александровская
Верно и обратное: всякое небикомпактное локально бикомпактное хаусдорфово пространство X можно превратить в бикомпакт αX прибавлением одной «бесконечно удалённой» точки ξ, объявляя X открытым множеством в пространстве αX и считая окрестностями точки ξ множества вида {ξ} ∪ (X \ B), где B — бикомпактное подмножество пространства X. Пространство αX и называется александровской компактификацией локально бикомпактного пространства X. Ясно, что αX является наименьшим элементом в множестве BX и, следовательно, вес расширения αX совпадает с весом пространства X.
31. Определение. Замкнутое
отображение f : X → Y называется
совершенным, если оно
Следующие два утверждения достаточно очевидны.
32. Предложение. Пусть X × B — произведение пространства X на бикомпактное пространство B. Тогда проектирование pX : X × B → X является совершенным отображением.
33. Предложение. Пусть f : X → Y — совершенное отображение и Z ⊆ X — замкнутое множество. Тогда отображение f|Z также совершенно.
Из 32 и 33 вытекает следующее утверждение.
34. Предложение. Пусть Y ×B — произведение пространства Y на бикомпактное пространство B и X ⊆ Y ×B — замкнутое множество. Тогда отображение pY |X: X → Y совершенно.
Для отображений тихоновских пространств имеет место и обратное утверждение.
35. Предложение. Пусть f : X → Y — совершенное отображение тихоновского пространства X. Тогда существуют такой бикомпакт B и такое замкнутое вложение i: X → Y ×B, что f = pY ◦ i.
В качестве B можно взять, например, любое бикомпактное расширение пространства X. Тогда отображение i можно определить, например, следующим образом: i(x)=(y, x). Хаусдорфовость пространства B нужна для замкнутости множества i(X) ⊆ Y ×B.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Топология произведения на X — это наиболее грубая топология (то есть топология с наименьшим числом открытых множеств), для которой все проекции p_{\alpha} непрерывны.
Открытые множества этой топологии — множества вида \prod_{i\in I} U_i, где каждое Ui является открытым подмножеством Xi и Ui ≠ Xi только для конечного числа индексов. В частности, открытые множества произведения конечного числа пространств — это просто произведения открытых подмножеств исходных пространств.
Также топологию Тихонова
можно описать следующим
Отметим, что тихоновская топология является более слабой, чем т. н. «коробочная» топология, для которой базу топологии образуют всевозможные произведения открытых подмножеств перемножаемых пространств. Такая топология не обладает указанным выше универсальным свойством и для неё не верна теорема Тихонова.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болтянский В. Г. Пример двумерного компакта, топологический квадрат которого трёхмерен // ДАН СССР. — 1949. — Т. 67. — С. 597—599.
2. Ю. Г. Борисович, Н. М. Близняков, Т. М. Фоменко. Введение в топологию. 2-е изд., доп. — М.: Наука. Физматлит., 1995. ISBN 5-02-014118-6. С. 107.
3. О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. Эле-ментарная топология. — М.: МЦНМО, 2012. — ISBN. С. 158.
4. Мищенко А. С., Фоменко
А. Т. Дифференциальная
5. Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
- Теорема Ферма
- Теорема Хекшера-Олина и исключения из неё
- Теорема Хекшера-Олина и исключения из неё
- Теорема Эйлера
- Теорема эквивалентности Рикардо
- Теорема Эрроу о диктаторе (формулировка)
- Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя
- Теорема Пифагора и способы ее доказательства
- Теорема Піфагора. Способи доведення теореми Піфагора
- Теорема Піфагора та її невідомі способи доведення
- Теорема (принцип математической индукции)
- Теорема Рыбчинского
- Теорема Рыбчинского. «Голландская болезнь»
- Теорема существования и единственности решения
