Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Теория множеств. 2

(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

ФАКУЛЬТЕТ №

Кафедра №

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

РЕФЕРАТ

ЗАДАНИЕ ДМ-02-2015

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Студент: ____________

Преподаватель:

___________

Москва2015

ЗАДАНИЕ ДМ-02-01-2015

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.............................................................................................................................................2

История теории множеств..............................................................................................................3

Подмножество...................................................................................................................................4

Пустое и универсальное множество..............................................................................................4

Логические операции над множествами......................................................................................5

Заключение........................................................................................................................................5

Список использованных источников...........................................................................................5

Введение

Теория множеств – раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств – совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине 19 века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце 19 – начале 20 века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов, поэтому изначальная форма теории известна как наивная теория множеств.

Теория множеств стала основой многих разделов математики – общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики. В первой половине 20 века теоретико-множественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики, в связи с чем стал широко использоваться в преподавании математики, в том числе в школах.[1]

Множества обычно обозначают большими латинскими буквами: A ,B , C , N , ..., а элементы этих множеств ? аналогичными маленькими буквами: a, b , c , n , ... Существуют стандартные обозначения для некоторых множеств. Например,

N - множество всех натуральных чисел;

Z - множество всех целых чисел;

Q - множество всех рациональных чисел;

R - множество всех действительных чисел;

C - множество всех комплексных чисел;

Z0 - множество всех неотрицательных целых чисел.

Часто множество записывают в виде A = {a, b, c, ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества А.

Если элемент a принадлежит множеству A , то пишут: a А если же данный элемент a не принадлежит множеству А, то пишут а Ï?А.

В различных приложениях дискретной математики чаще всего встречаются конечные множества. Интуитивный смысл этого термина ясен: такие множества содержат конечное число элементов. Число элементов конечного множества A называют мощностью этого множества и обозначают символом Card A или |A|. Наряду с конечными множествами в математике рассматривают и бесконечные множества, то есть такие, которые содержат бесконечно много элементов. Так, например, бесконечно множество натуральных чисел N, множество рациональных чисел Q, множество действительных чисел R.

История теории множеств

Рис. 1. Георг Кантор.[2]

Основным создателем теории множеств в наивном её варианте является немецкий математик Георг Кантор, к созданию абстракции точечного множества подтолкнули работы 1870 - 1872 годов по развитию теории тригонометрических рядов (продолжавшие труды Римана), в которых вводит понятие предельной точки, близкое к современному и пытается с его помощью классифицировать «исключительные множества» (множества точек расходимости ряда, возможно бесконечные). Заинтересовавшись вопросами равномощности множеств, в 1873 году Кантор обнаруживает счетность множества рациональных чисел и решает отрицательно вопрос о равномощности множеств целых и вещественных числе (последний результат публикует в 1874 году по настоянию Вейерштрасса.

В 1877 году Кантор доказывает взаимно-однозначное соответствие между R и R» (для любого n > 0). Первыми результатами Кантор делится в переписке с Дедекиндом и Вейерштрассом, которые отвечают благосклонной критикой и замечаниями к доказательствам, и начиная с 1879 года вплоть до 1884 года публикует шесть статей в Mathematische Annalen с результатами исследований бесконечных точечных множеств.

В 1880 году Кантор формулирует две ключевых идеи теории множеств - понятие о пустом множестве и метод трансфенитной индукции. Начиная с 1881 года методами Кантора начинают пользоваться другие математики: Вольтерра, Дюбуа-Реймон, Бендиксон, Гарнак, в основном в связи с вопросами об интегрируемости функций. В работе 1883 году Кантор даёт исторически первое формальное определение континуума, используя введённые им понятия совершенного множества и плотности множества (отличающиеся от современных, используемых в общей топологии, но принципиально сходных с ними), а также стоит классический пример нигде не плотного совершенного множества (известный как канторово множество), а также в явном виде формулирует континуум-гипотезу (предположение об отсутствии промежуточных мощностей между счётным множеством и континуумом, её недоказуемость в рамках ZFC показана Коэном в 1963 году).

С 1885 - 1895 годы работы по созданию наивной теории множеств получили развитие прежде всего в трудах Дедекинда (Кантор в течение этих 10 лет публикует лишь одну небольшую работу из-за болезни). Так, в книге «Что такое числа и для чего они служат?» (где также впервые построена аксиоматизация арифметики, известная как арифметика Пеано) систематически изложены полученные к тому времени результаты теории множеств в наибольшей общности - для множеств произвольной природы (не обязательно числовых), бесконечное множество определено как взаимнооднозначное с частью себя, впервые сформулирована теорема Кантора-Берштейна, изложена алгебра множеств и установлены свойства теоретико-множественных операций. Шредер в 1895 году обращает внимание на совпадение алгебры множеств и исчисления высказываний, тем самым устанавливая глубокую связь между математической логикой и теорией множеств.

В 1895 - 1897 годы Кантор публикует цикл из двух работ, в целом завершающий создание наивной теории множеств.

С начала 1880-х годов, прежде всего, после публикации идей о трансфинитной индукции, теоретико-множественный подход встретил острое неприятие многими крупными математиками того времени, основными оппонентами в то время были Герман Шварц и, в наибольшей степени, Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее - дело рук человеческих»). Серьёзная дискуссия развернулась и в среде теологов и философов относительно теории множеств, в основном критически относившихся к идеям об актуальной бесконечности и количественных различиях в этом понятии. Тем не менее, к концу 1890-х годов теория множеств стала общепризнанной, во многом этому способствовали доклады Адамара и Гурвица на Первом международном конгрессе математиков в Цюрихе (1897), в которых были показаны примеры успешного использования теории множеств в анализе, а также широкое применение теоретико-множественного инструментария уже имевшим значительное влияние в математическом сообществе Гильбертом.

Подмножество

Если любой элемент множества A является элементом другого множества B , то говорят, что A есть подмножество множества B , и пишут: A Ì B. Например, множество всех натуральных чисел N является подмножеством всех действительных чисел R: N Ì R. Из определения непосредственно следует, что A Ì A , то есть всякое множество является подмножеством самого себя.

Если A Ì B , а B Ì A , то пишут A = B и говорят, что множества A и B равны.

Пустое и универсальное множество

В теории множеств отдельно вводится множество, которое не содержит ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается символом Æ. Если A есть пустое множество, то пишут: A = Æ. Зачем же его вообще вводят? Стоит отметить, что когда множество задано своим характеристическим свойством, то не всегда заранее известно, существует ли хоть один элемент с таким свойством. Например, пусть множество А состоит из всех четырехугольников таких, что все их углы прямые, диагонали имеют различную длину.

Логические операции над множествами

Дизъюнкция V: высказывание P V Q (читается: «P или Q») истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний P и Q.
Конъюнкция : высказывание P Q (читается: «P Q») истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания P и Q.
Отрицание : высказывание P (читается: «не P») истинно тогда и только тогда, когда P ложно.
Импликация : высказывание P Q (читается: “если P, то Q “или” P влечет Q”) истинно тогда и только тогда, когда истинно высказывание или оба высказывания ложны.
Эквивалентность (или равносильность) : высказывание P Q (читается: «P, если и только если Q») истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания P и Q либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. Любые два высказывания P и Q, такие, что истинно P Q, называют логически эквивалентными или равносильными.

Заключение

В процессе работы мы узнали о самых основных положениях теории множеств таких как определение множества, конечные и бесконечные множества, обозначения множеств, способы их задания, подмножество. Наглядные примеры помогли нам лучше усвоить эти понятия. В настоящее время теория множеств является одной из основ таких областей математики как функциональный анализ, топология, общая алгебра и т.д. Ведутся глубокие исследования и в самой теории множеств. Эти исследования связаны с самыми основами математики.

Элементами теории множеств могут быть самые разнообразные предметы: буквы, атомы, числа, функции, точки, углы и т.д. Отсюда с самого начала ясна чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к очень многим областям знания (математике, механике, физике). Сегодня мы знаем, что, логически говоря, возможно вывести почти всю современную математику из единого источника-теории множеств.[4][5]

Список использованных источников

Справка о теории множеств в Википедии.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E8%FF_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2#mediaviewer/File:Georg_Cantor3.jpg - Георг Кантор.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E8%FF_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2#mediaviewer/File:3D_Cantor_set.jpg
Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. - М.: Наука, 1969.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1974.

ЗАДАНИЕ ДМ-02-02-2015

(презентация)

ЗАДАНИЕ ДМ-02-03-2015

СОДЕРЖАНИЕ

Операции с множествами.............................................................................................................11

Список использованных источников.........................................................................................12

Операции с множествами

Множества: A, B, C

Универсальное множество (множество всех рассматриваемых элементов): I

Дополнение: A

Собственное подмножество: A ⊂ B

Пустое множество: ∅

Объединение множеств: A ∪ B

Пересечение множеств: A ∩ B

Разность множеств: A \ B

A ⊂ I
A ⊂ A
A = B, если A ⊂ B и B ⊂ A
Пустое множество  ∅ ⊂ A
Объединение множеств  C = A ∪ B = {x | x ∈ A или x ∈ B}

Коммутативность операции объединения  A ∪ B = B ∪ A
Ассоциативность операции объединения  A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
Пересечение множеств  C = A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B}

Коммутативность операции пересечения  A ∩ B = B ∩ A
Ассоциативность операции пересечения  A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Дистрибутивность  A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)  A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Идемпотентность  A ∩ A = A  A ∪ A = A
Пересечение любого множества с пустым множеством  A ∩ ∅ = ∅
Объединение любого множества с универсальным множеством  A ∪ I = I
Объединение любого множества с пустым множеством  A ∪ ∅ = A
Пересечение любого множества с универсальным множеством  A ∩ I = A
Дополнение (дополнительное множество)  A = {x ∈ I | x ∉ A}
Свойства дополнения  A ∪ A = I  A ∩ A = ∅
Законы де Моргана  (A ∪ B) = A ∩ B  (A ∩ B) = A ∪ B
Разность множеств  C = B \ A = {x | x ∈ B и x ∉ A}

B \ A = B \ (A ∩ B)
B \ A = B ∩ A
Вычитание множества из самого себя  A \ A = ∅
A \ B = A если A ∩ B = ∅
(A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C)
A = I \ A
Прямое (декартово) произведение  C = A × B = {(x,y) | x ∈ A и y ∈ B}.[1]

Список использованных источников

http://www.math24.ru/set-identities.html - сайт операций с множествами.

ЗАДАНИЕ ДМ-02-04-2015

ФОРМИРОВАНИЕ ВЕКТОРОВ И МНОЖЕСТВ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Векторы и множества должны быть полностью сформированы до момента начала поиска решений. Смешение непрерывных и целочисленных множеств в операторах не допускается. В языке NP реализованы основные операции над множествами:

Сами множества и векторы могут быть определены не только как поля, но и другими способами:

Для формирования множеств можно использовать диапазоны, а для векторов обязательно использование пары ключ-значение. Также можно использовать одно множество или вектор можно использовать для построения другого:

Можно работать с отдельными элементами множеств и векторов:

Множества могут быть сравнены:

ЗАДАНИЕ ДМ-02-05-2015

СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ НУМЕРАЦИИ

СОДЕРЖАНИЕ

Системы уличной нумерации домов..........................................................................................15

Системы нумерации автомобилей..............................................................................................17

Системы нумерации авиарейсов.................................................................................................19

Международная система обозночения околоземных космических обьектов.....................20

Индексы ГРАУ................................................................................................................................23

Список использованных источников.........................................................................................25

Системы уличной нумерации домов

Нумерация домов – способ присвоения домам номеров.

Номер дома – идентификатор здания, уникальный в некоторой окрестности (на улице, в квартале, районе), являющийся частью адреса.

Как правило, номер дома является числом, к которому иногда добавляется литера (буквенный индекс), номер корпуса, строения или номер через дробь.

Самым распространенным способом нумерации является нумерация вдоль улицы. При этом дома нумеруют либо по порядку, либо по расстоянию от начала улицы.

Различные системы нумерации домов в мире:

Самая распространённая схема нумерации домов в мире относится к европейской схеме, когда нечётные номера находятся на одной стороне улицы, а чётные на противоположной, а нумерация возрастает от центра. Эта схема впервые была применена в 1805 году во Франции. Начиная с середины XIX века, вследствие своего удобства распространилась по всем странам Европы и их бывшим колониям. В настоящее время постепенно вытесняет архаичные не связанные между с собой нумерации домов на одной улице. Например, новые улицы в Южной Корее нумеруются по европейской схеме. Власти Объединенных Арабских Эмиратов приняли решение пронумеровать дома в соответствии с европейской схемой.

Нумерация домов в России и стран бывшего СССР:

В России нумерация домов существует с XIX века, и с XX века сильно не отличается от европейских стандартов: почти всегда по одной стороне улицы расположены чётные номера, по другой - нечётные; номера возрастают от точки выбора начала.

Ранний вариант нумерации - «правонечётная»: нечётные номера находятся справа, чётные - слева от точки начала улицы. Например, большинство улиц Санкт-Петербурга имеют изначально именно «правонечётную» нумерацию. Более поздний вариант - «левонечётная» нумерация: чётные номера - справа, нечётные - слева. Города в целом имеют преимущественно один из этих вариантов нумерации, но часто встречаются исключения. Например, правонечётный Симферополь имеет левонечётную улицу Вишнёвую, а левонечётная Одесса имеет правонечётные Преображенскую, Черняховского, Картамышевский, Банный, Ломаный переулки. В исключительных случаях целый район может полностью или частично иметь иной вариант нумерации, чем принято в целом в городе. Так, западная часть посёлка Котовского в Одессе - левонечётная, а восточная - правонечётная; условной границей служит проспект Космонавта Георгия Добровольского. Улицы, пересекающие проспект Добровольского, имеют соответствующий тип нумерации в западной и в восточной от проспекта части; то есть номера от проспекта возрастают в обе стороны: начинаются в западную сторону, и позже продолжаются от проспекта в восточную. Аналогичная ситуация наблюдается и в Кемерово, улицы, расположенные на правом берегу реки Томь, имеют левонечётную нумерацию, на левом - правонечётную.

Изначально для удобства почтовых служб зданиям, находящимся на перекрёстках, было принято присваивать номера всех тех топонимических единиц, на которые это здание попадало. Таким образом в некоторых городах, рано получивших нумерацию домов, дома на углу улиц имеют дробный (двойной) номер, и знак дроби разделяет числовые значения номеров данного строения по каждой из улиц (см. фото).

Здания, находящиеся на площадях на стыке двух улиц, имели тройную нумерацию, записываемую через две дроби. Позже от этой практики было решено отказаться, а вопрос присвоения номера спорному зданию в каждом случае решать отдельно.

При постройке новых зданий им присваивают номер одного из ближайших домов с пометкой о номере корпуса. Также возможно присвоение номера дома с буквой, например 1а.

В СССР в послевоенные годы, в период начала массового строительства многоквартирных высотных домов была принята рекомендация, по которой собственный номер дома даётся только зданию, выходящему на улицу, а находящиеся внутри квартала здания должны иметь дробный номер, дополнительный номер корпуса или номер с буквой. Далеко не везде её придерживались. Например, на улице Космонавтов в Одессе нечётная сторона пронумерована с применением этого принципа, а чётная - без применения.

Номер корпуса присваивается зданиям, если некоторые из них не имеют прямого выхода на улицу, то есть находятся во дворе. Зданию, имеющему выход на улицу, присваивается корпус 1, а остальным тот же номер дома и следующие номера корпусов.
Буква после номера ставится, если строится здание между двумя, имеющими последовательные номера (например, 27, 29). Новому присваивается номер ближайшего с буквой (27а). Также буквы присваивают мелким зданиям - флигелям, сторожкам и тому подобное.
Номер строения - присваивается зданиям, представляющим единый комплекс и имеющим общий въезд с улицы.
Номер через дробь ставят в нескольких случаях. У домов, пронумерованных по двум пересекающимся улицам, эти номера ставятся через дробь. При этом порядок чисел зависит от варианта обозначения адреса: дом, обозначенный номерами 2 по ул. Боженко и 42-по ул. Ивана Франко, обозначают либо «ул. Боженко, 2/42», либо «ул. Ивана Франко, 42/2». Такая система используется, например, в Москве. Если здание построено на месте нескольких снесённых (например, с номерами 7, 9, 11), то иногда такому дому дают номер по первому и последнему снесённым через дробь (7/11) - так принято, к примеру, в Саратове, либо через тире (7-11), как, например, в Москве. Номер через дробь также может обозначать номер корпуса, например, «ул. Широтная, 104/3», как в Тюмени.

Рис. 1. Пример двойной нумерации дома.[1]

Другим способом является нумерация по кварталам. При этом часто используется сквозная нумерация, где каждый квартал имеет свой собственный номер, который также является сотнями номера дома. Таким образом, например, дом номер 1507 означает, что это седьмой дом в пятнадцатом квартале. Например, в городе Тихвине Ленинградской областикаждый микрорайон, отделённый четырьмя улицами, имеет собственное название и собственную нумерацию домов. Аналогичная нумерация (по корпусам - номер микрорайона в адрес не входит), за некоторым исключением, принята в московском Зеленограде (Зеленоградском административном округе).

В Калиненграде принято нумеровать не здания, а подьезды, таким образом, первая квартира первого подъезда в начале улицы в документах будет иметь вид: д. 1 кв. 1, первая квартира же второго подъезда - д. 3 кв. 1 (деление на чётную и нечётную сторону улицы в Калининграде общепринятое).

На «лицевой» стороне многоподъездного здания (не на фасаде, а на той стороне, которая обращена к проезжей части улицы, это может быть и торец здания) - табличка, например: Ленинский проспект, 52-58 (по чётному/нечётному номеру на каждый подъезд). Непосредственно номер дома пишется над подъездом - 52, 54, 56, 58. Для многоподъездных зданий, особенно если они расположены перпендикулярно самой улице, торцом к её проезжей части, возможна такая нумерация домов: первый подъезд - дом 74а, второй подъезд - дом 74б и так далее. А табличка на самом здании - ул. Киевская, 74а-74е (шестиподъездное здание).[2]

Системы нумерации автомобилей

Госномер автомобиля является обязательным элементом, и должен быть закреплен на предусмотренном для этого месте. Автомобиль не имеет права перемещаться без номерного знака, либо со знаком, установленным не там, где ему положено быть. Номерной знак - это своего рода идентификатор, наличие одинаковых знаков исключено. С недавних пор в России весьма ужесточили наказание за данное нарушение. И думается мне, что связано сие прежде всего с видеофиксацией, которая стоит сейчас практически на каждом перекрестке.

Государственные номера обзавелись тремя буквами и тремя цифрами, а над флагом России, в верхнем правом углу, появились дополнительные цифры, те самые коды, которые и говорили о том, в каком регионе РФ зарегистрировано то или иное транспортное средство.

Рис. 3. Таблица кодов регионов на автомобильных номерах.[4]

Зачем знать код региона:

Согласитесь что это весьма удобно, как с точки зрения преступления и наказания (ведь код региона достаточно сильно сужает круг поиска), так и в быту. Теперь дело пяти минут узнать, откуда приехала к нам вон та машина. Или например, в дальней дороге, за тысячи километров от родного дома, увидев номерной знак, узнать земляка. Согласитесь, чертовски приятно.

Государственный стандарт России допускает использование 12 латинских букв, взяты лишь те литеры, которые имеют аналогичные по написанию в кириллическом алфавите.

Решение проблемы нехватки цифр в номерах:

Самые большие регионы России, с наибольшим количеством автомобилей, со временем были вынуждены увеличить количество цифр в коде региона. Если взять за пример столицу, то в 1994 году там начали выдавать номерные знаки с номерами региона 77. Уже в 1998 году данная серия исчерпалась, начали выдавать госномера с цифрами 99. В 2002 году ввели номер региона 97.

В 2005 к этим комбинациям добавили единицу в начало, и появились номера 177, а в 2007 и 199. А с конца лета 2013 года началась выдача номеров с кодом 777. Москва в этом плане далеко не единственный регион, где заканчиваются цифры, и на фоне этого, некоторые предрекают скорую отмену разделения на регионы, и возврат к общероссийской системе нумерации автомобилей. Правда говорят об этом уже довольно таки давно, а воз и ныне там.[5]

Системы нумерации авиарейсов

Новая система нумерации рейсов у Аэрофлота:

Двузначные номера (SU02-35): рейсы, в рамках программы «Шатл» между Москвой и Санкт-Петербургом.

Трехзначные номера (SU100-599): международные межконтинентальные рейсы и рейсы в регион Африки, Ближнего и Среднего Востока.

Четырехзначные номера (SU-1000-1799), (SU2000-2799), (SU1800-1999), (SU3000-4999): внутрироссийские рейсы международные рейсы в города Европы и СНГ, рейсы «Код-Шеринг», по которым Аэрофлот является маркетинговым партнером.

Чартерные рейсы: номера пятитысячной серии (SU5152-5403).

Для всех рейсов: четная нумерация – рейсы, вылетающие из Москвы а/п Шереметьево; нечетная нумерация – рейсы прибывающие в Москву а/п Шереметьево.[6]

Что обозначают номера авиарейсов:

Знать свой номер рейса полезно, если вы проверяете статус рейса в интернете или имеете привычку регулярно смотреть на табло прилета в аэропорте. Но кроме этих случаев разве кто-то обращает внимание на эти номера? Цифры в номере рейса могут показаться абсолютно случайными, но в современном мире высоких технологий все номера не берутся из ниоткуда. На самом деле по номеру можно многое узнать о рейсе.

По словам Патрика Смита, бывшего пилота и автора книги «CockpitConfidential», две буквы перед цифрами в названии рейса являются внутренним или внешним кодом компании-авиаперевозчика. Например, SU – Аэрофлот, UN – Трансаэро, AA – AmericanAirlines и т.д.

Обычно рейсам, идущим в восточном и северном направлении, присваиваются четные номера, а идущим в южном и западном направлении – нечетные (хотя из этого правила есть некоторые исключения). А обратные рейсы по определенному маршруты обычно имеют номера на один больше или меньше, чем изначальный рейс. Например, если вы летите на рейсе № 134 (восточное направление)Москва-Екатеринбург, то обратно, скорее всего, вернетесь на рейсе № 135 (западное направление).

В общем случае, чем меньше номер, тем более «престижен» этот рейс для данной конкретной авиакомпании. Однозначные и двухзначные номера обычно присваиваются самым популярным маршрутам на дальние расстояния. Такие рейсы являются основным источником дохода авиакомпаний.

Теория множеств. 2 📙 Реферат → 🆔 276995