Теория вероятностей. История возникновения и развития до аксиоматики А.Н.Колмогорова включительно

Тывинский государственный университет

Физико-математический факультет

Кафедра Математического анализа и МПМ 
 
 
 
 

Реферат по истории математики:

Теория  вероятностей. История  возникновения и  развития до аксиоматики  А.Н.Колмогорова включительно. 

Выполнила:

Научный Руководитель:  
 
 
 
 
 
 

Кызыл 2009г.

    Содержание:

1. Теория вероятностей………………………………………………….3
2. Историческая справка………………………………………………...3
3. Предмет теории вероятностей……………………………………...10
4. История аксиоматизации теории вероятностей…………………...12
5. Колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей….12
6. Колмогоровская эмпирическая дедукция аксиом…………………14
7. Аксиома непрерывности и бесконечные вероятностные пространства…………………………………………………………14
8. Бесконечные вероятностные пространства и «идеальные события»……………………………………………………………...16
9. Критика термина «аксиоматика теории вероятностей»…………..17
10. Список литературы………………………………………………….18

Теория  вероятностей.

    Теория  вероятностей - математическая наука, позволяющая по вероятностям одних  случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.

    Утверждение о том, что какое-либо событие наступает с вероятностью, равной, например, ½, ещё не представляет само по себе окончательной ценности, так как мы стремимся к достоверному знанию. Окончательную познавательную ценность имеют те результаты теории вероятностей, которые позволяют утверждать, что вероятность наступления какого-либо события А весьма близка к единице или (что то же самое) вероятность не наступления события А весьма мала. В соответствии с принципом "пренебрежения достаточно малыми вероятностями" такое событие справедливо считают практически достоверным. Теория вероятностей есть математическая наука, выясняющая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов. 

    Историческая  справка.

    Теория  вероятностей возникла в середине 17 в. Первые работы по теории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма и голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в  связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли, установившего закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (опубликовано в 1713).

    Следующий (второй) период истории теории вероятностей (18 в. и начало 19 в.) связан с именами А. Муавра (Англия), П. Лапласа (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Это - период, когда теория вероятностей уже находит ряд весьма актуальных применений в естествознании и технике (главным образом в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы). К этому периоду относится доказательство первых предельных теорем, носящих теперь названия теорем Лапласа (1812) и Пуассона (1837); А. Лежандром (Франция, 1806) и Гауссом (1808) в это же время был разработан способ наименьших квадратов.

    Третий  период истории теории вероятностей. (2-я половина 19 в.) связан в основном с именами русских математиков  П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего). Теория вероятностей развивалась в России и раньше (в 18 в. ряд трудов по В. т. был написан работавшими в России Л. Эйлером, Н. Бернулли и Д. Бернулли; во второй период развития теории вероятностей следует отметить работы М. В. Остроградского по вопросам теории вероятностей, связанным с математической статистикой, и В. Я. Буняковского по применениям теории вероятностей к страховому делу, статистике и демографии). Со 2-й половины 19 в. исследования по теории вероятностей в России занимают ведущее место в мире. Чебышев и его ученики Ляпунов н Марков поставили и решили ряд общих задач в теории вероятностей, обобщающих теоремы Бернулли и Лапласа. Чебышев чрезвычайно просто доказал (1867) закон больших чисел при весьма общих предположениях. Он же впервые сформулировал (1887) центральную предельную теорему для сумм независимых случайных величин и указал один из методов её доказательства. Другим методом Ляпунов получил (1901) близкое к окончательному решение этого вопроса. Марков впервые рассмотрел (1907) один случай зависимых испытаний, который впоследствии получил название цепей Маркова.

    В Западной Европе во 2-й половине 19 в. получили большое развитие работы по математической статистике (в Бельгии - А. Кетле, в Англии - Ф. Гальтон) и статистической физике (в Австрии - Л. Больцман), которые наряду с основными теоретическими работами Чебышева, Ляпунова и Маркова создали основу для существенного расширения проблематики теории вероятностей в четвёртом (современном) периоде её развития. Этот период истории теории вероятностей характеризуется чрезвычайным расширением круга её применений, созданием нескольких систем безукоризненно строгого математического обоснования теории вероятностей, новых мощных методов, требующих иногда применения (помимо классического анализа) средств теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа. В этот период при очень большом усилении работы по теории вероятностей за рубежом (во Франции - Э. Борель, П. Леви, М. Фреше, в Германии - Р. Мизес, в США - Н. Винер, В. Феллер, Дж. Дуб, в Швеции - Г. Крамер) советская наука продолжает занимать значительное, а в ряде направлений и ведущее положение. В нашей стране новый период развития теории вероятностей открывается деятельностью С. Н. Бернштейна, значительно обобщившего классические предельные теоремы Чебышева, Ляпунова и Маркова и впервые в России широко поставившего работу по применениям теории вероятностей к естествознанию. В Москве А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогоров начали с применения к вопросам теории вероятностей методов теории функций действительного переменного. Позднее (в 30-х гг.) они (и Е. Е. Слуцкий) заложили основы теории случайных процессов. В. И. Романовский (Ташкент) и Н. В. Смирнов (Москва) поставили на большую высоту работу по применениям теории вероятностей к математической статистике. Кроме обширной московской группы специалистов по теории вероятностей, в настоящее время в России разработкой проблем В. т. занимаются в Ст-Петербурге и в Киеве.

    Возникновение первых представлений о шансах, случайности и вероятности, первых элементов статистического анализа традиционно ассоциируют с тремя факторами: распространением азартных игр, развитием астрономических исследований и появлением страхования. Правда, первый точно датированный контракт по страхованию жизни был подписан в Генуе в 1347 г; что же касается азартных игр, то они были широко распространены ещё в Древнем Египте (ок. 3500 г. до н.э.), не говоря уже о Древней Греции и Древнем Риме. Однако первые попытки математического анализа шансов игроков появились лишь в XVI в. и принадлежали Л. Пачоли, Н. Тарталье и Дж. Кардано; так возникла комбинаторика. Её последующее развитие связано с именами Б. Паскаля (“Трактат об арифметическом треугольнике”, 1654 г.), Г.В. Лейбница (“Рассуждение о комбинаторном искусстве”, 1666) и особенно Я. Бернулли (“Искусство предположений”, изд. в 1713 г.). Именно в последней работе автором был доказан фундаментальный закон больших чисел и тем самым впервые произведён переход к ситуации с бесконечным числом исходов события, т.е. впервые в теории вероятностей доказана предельная теорема. На использовании комбинаторных методов был основан принцип работы суммирующего механизма Б. Паскаля, созданного им в 1641 г., а также более совершенной машины, сконструированной примерно через 40 лет после этого Лейбницем. Среди возможностей последней выделим извлечение квадратного и кубического корней.

    В 1654 г. между Паскалем и П. Ферма  завязалась знаменитая переписка с  обсуждением задачи о справедливом разделении ставки между игроками при незаконченном розыгрыше, которая была впервые рассмотрена ещё Л. Пачоли в 1494 г. Два игрока участвуют в серии игр с равными шансами на победу в каждой игре. Победителем считается игрок, первым выигравший 6 партий; по правилам ему достаётся весь приз. Однако предположим, что игра вынужденно была прервана в момент, когда у участников набралось 5 и 3 победы соответственно. Как в таком случае справедливо разделить приз? Пачоли предлагал ответ 5:3, Н. Тарталья остановился на версии 2:1. Паскаль и Ферма (по всей видимости, независимо) получили правильный ответ 7:1. Узнав о факте переписки между двумя французскими математиками, великий голландец Х. Гюйгенс, которого интересовали в то время похожие задачи, приехал в Париж с целью обсудить с коллегами полученные результаты, но не преуспел в этом: Ферма проживал далеко от столицы, а Паскаль не имел привычки принимать гостей. Если кто-то и проиграл от того, что эти встречи не состоялись, то это был, вероятно, не Гюйгенс: всего через 3 года, в 1657 г., он опубликовал выдающуюся работу “О расчётах в азартной игре”, явившуюся первым руководством по теории вероятностей, тем самым реализовав старую идею Паскаля раньше его самого. Книга содержала решения ряда известных задач (в том числе о разделении ставки) и определение понятия математического ожидания. Своё развитие идеи Гюйгенса получили в упоминавшемся выше “Искусстве предположений” Я. Бернулли.

    Возникновение концепции геометрической вероятности  связано, в частности, с именем Ж. Бюффона, рассмотревшего в 1777 г. следующую задачу. На плоскость, расчерченную с шагом 1 параллельными прямыми, бросается игла длины l<1; найти вероятность того, что игла пересечёт какую-нибудь прямую. Бюффон получил правильный ответ и был автором идеи об использовании этого результата для оценки числа ; сегодня в связи с такого рода приёмами говорят о методе Монте-Карло. Аналогичные идеи высказывал в дальнейшем великий французский учёный П.С. Лаплас (“Аналитическая теория вероятностей”, 1812 г.), осознававший, правда, трудности, связанные с организацией серии из нескольких тысяч независимых испытаний (типа бросания иглы) для определения всего лишь нескольких первых знаков числа . Другим крупным результатом Лапласа было обобщение интегральной предельной теоремы А. де Муавра, который в своих работах “Доктрина случая” (1718 г.) и “Аналитические методы, или аналитическая смесь” (1730 г.) строго определил понятия нормального распределения, независимости событий и условной вероятности. Упомянутое обобщение, предложенное Лапласом, относится к 1811 г. (“центральная предельная теорема”).

    Наконец, нельзя не отметить крупнейший вклад  Лапласа в развитие теории ошибок, основы которой были заложены ещё  Г. Галилеем, указывавшим в своём  трактате “Диалог о двух главнейших системах мира, птолемеевой и коперниковой” (1632 г.) на неизбежное наличие погрешности при любом производимом на практике измерении. Изучением характера накапливания малых погрешностей при большом числе измерений занимался в том числе и Муавр, но именно Лапласу (а также К.Ф. Гауссу) принадлежит заслуга установления центральной роли нормального распределения в теории ошибок. Кстати, Муавру принадлежит в большей степени философская, чем математическая, интерпретация погрешности вычислений как результата вмешательства случайности и хаоса в единый “неслучайный” процесс, управляемый божественной волей.

    В стройную философскую теорию, задействующую  теоретико-вероятностные понятия, объединялись также идеи Лейбница. Очевидна аналогия между идеей о мире, состоящем  из простейших элементов - монад, и, используя современные термины, представлением о вероятностном пространстве, являющемся совокупностью элементарных событий.

    В завершение необходимо сказать несколько  слов о формировании математической статистики как отдельной дисциплины. Упоминавшиеся выше результаты Бюффона, Муавра и Лапласа представляют скорее “теоретическую” сторону этого процесса. Первыми практическими статистическими исследованиями следует признать, по-видимому, работы Дж. Граунта и У. Петти о характере естественного движения населения Лондона, относящиеся к середине XVII в. Интересно, что Э. Галлей (именем которого названа знаменитая комета), занимавшийся чуть позже похожими проблемами, уже прекрасно осознавал влияние внешних факторов на ценность результатов статистического исследования. Опубликовав в 1693 г. статью о таблицах смертности, он использовал данные, относящиеся не к Лондону, а к Бреслау (сейчас Вроцлав), где, как ему справедливо представлялось, погрешность, связанная с миграцией, была существенно меньше. Несмотря на то, что многие из первых авторов статистических методов не были профессиональными математиками (Галлей был прежде всего астрономом, а Бюффон – ботаником, директором Ботанического сада Парижа), их результаты уже в то время находили своё применение, в частности, в работах И. Ньютона и явились фундаментом всей современной математической статистики.

    До  недавнего времени теория вероятностей представляло собой еще не сложившуюся  математическую науку, в которой  основные понятия были недостаточно четко определены. Эта нечеткость приводила нередко к парадоксальным выводам (парадоксы Бертрана). Естественно, что приложения теории вероятностей к изучению явлений природы были слабо обоснованы и встречали порой резкую и обоснованную критику. Эти обстоятельства мало смущали естествоиспытателей и их наивный теоретиковероятностный подход в различных областях науки,  приводил к крупным успехам. Развитие естествознания в начале прошлого столетия предъявило к теории вероятностей повышенные требования. Возникла необходимость в систематическом изучении основных понятий теории вероятностей и выяснении тех условий, при которых возможно использование ее результатов. Вот почему особенно важно значение приобрело формально логическое обоснование теории вероятностей, ее аксиоматическое построение. И в этом основа теории вероятностей как математической науки должны быть положены некоторые предпосылки, являющимися обобщением многовекового человеческого опыта. Дальнейшее же ее развитие должно строится посредством дедукции из этих основных положений без обращения к наглядным представлениям, к выводам «согласно здравому смыслу». Иными словами, теория вероятностей, должна строится из аксиом так же, как любая сформировавшаяся математическая наука – геометрия, теоретическая математика, абстрактная теория групп и т.д.

    Впервые такая точка зрения была высказана  и развита в 1917г. советским математиком  С.Н.Бернштейном. При этом С.Н.Берштейн исходил из качественного сравнения  случайных событий по их большей  или меньшей вероятности. 

    Аксиометрическое  построение основ теории вероятностей отправляется от основных свойств вероятности, подмеченных на примерах классического  и статистического определений. Аксиоматическое определение вероятности, таким образом, как частный случай включает в себя и классическое и статистическое определения и преодолевает недостаточность каждого из них. На этой базе удалось построить логически совершенное здание современной теории вероятностей и в то же время удовлетворить повышенные требования к ней современного естествознания. 

    Предмет теории вероятностей.

    Для описания закономерной связи между  некоторыми условиями S и событием А, наступление или не наступление  которого при данных условиях может  быть точно установлено, естествознание использует обычно одну из следующих двух схем:

    а) при каждом осуществлении условий S наступает событие А. Такой вид, например, имеют все законы классической механики, которые утверждают, что  при заданных начальных условиях и силах, действующих на тело или  систему тел, движение будет происходить однозначно определённым образом.

    б) При условиях S событие А имеет  определённую вероятность P (A / S), равную р. Так, например, законы радиоактивного излучения утверждают, что для  каждого радиоактивного вещества существует определённая вероятность того, что из данного количества вещества за данный промежуток времени распадётся какое-либо число N атомов.

    Назовем частотой события А в данной серии  из n испытаний (то есть из n повторных  осуществлений условий S) отношение h = m/n числа m тех испытаний, в которых А наступило, к общему их числу n. Наличие у события А при условиях S определённой вероятности, равной р, проявляется в том, что почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частота события А приблизительно равна р.

    Статистические закономерности, то есть закономерности, описываемые схемой типа (б), были впервые обнаружены на примере азартных игр, подобных игре в кости. Очень давно известны также статистические закономерности рождения, смерти (например, вероятность новорождённому быть мальчиком равна 0,515). Конец 19 в. и 1-я половина 20 в. отмечены открытием большого числа статистических закономерностей в физике, химии, биологии и т.п.

    Возможность применения методов теории вероятностей к изучению статистических закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда удовлетворяют некоторым простым соотношениям, о которых будет сказано ниже (см. раздел Основные понятия теории вероятностей). Изучение свойств вероятностей событий на основе этих простых соотношений и составляет предмет теории вероятностей.

    Имеется иной подход, предложенный А.Н.Колмогоровым. Этот подход тесно связывает теории вероятностей с современной метрической  теорией функции, а также теорией множеств. 

Аксиоматика Колмогорова

    Аксиома́тика  Колмого́рова — общепринятый аксиоматический  подход к математическому описанию события и вероятности; предложен  Андреем Николаевичем Колмогоровым[1][2] в 1929, окончательно в 1933; придал теории вероятностей стиль, принятый в современной математике.

    История аксиоматизации теории вероятностей

    Проблема  аксиоматизации теории вероятностей включена Д. Гильбертом в формулировку его 6-й  проблемы «Математическое изложение основ физики»: « с исследованиями по основаниям геометрии близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика. Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений в математической физике, в частности, в кинетической теории газов. 

    До  Колмогорова попытки аксиоматизировать теорию вероятностей предпринимали Г. Больман (1908), С. Н. Бернштейн (1917), Р. Мизес (1919 и 1928), а также А. Ломницкий (1923) на базе идей Э. Бореля о связи понятий вероятности и меры. 

    А. Н. Колмогоров под влиянием идей теорий множеств, меры, интегрирования, функций сформулировал простую систему аксиом (вообще говоря, не являющуюся единственной), которая позволила описать уже существовавшие к тому времени классические разделы теории вероятностей, дать толчок развитию её новых разделов, например, теории случайных процессов, и стала общепринятой в современной теории вероятностей. 

    Колмогоровские  аксиомы элементарной теории вероятностей

    Элементарная  теория вероятностей — та часть  теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина, может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятий и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения на ней дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятии случайного события и его вероятности.

    Пусть Ω — множество элементов ω, которые называются элементарными  событиями, а  F— множество подмножеств Ω, называемых случайными событиями (или просто — событиями), а Ω — пространством элементарных событии.

    Аксиома I (алгебра событий). F является алгеброй событий.

    Аксиома II (существование вероятности событий). Каждому событию x из  F поставлено в соответствие неотрицательное действительное число P(x), которое называется вероятностью события x.

    АксиомаIII (нормировка вероятности).P(Ω) =1.

    Аксиома IV (аддитивность вероятности). Если события x и y не пересекаются, то

    P(x+y)=P(x)+P(y).

    Совокупность  объектов (Ω,F,P), удовлетворяющую аксиомам I—IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей). 

    Система аксиом I—IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: Ω состоит из единственного элемента ω, F — из Ω и множества невозможных событий (пустого множества) , при этом положено P(Ω) =1, P(Ǿ)=0. Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства. 

    Колмогоровская  эмпирическая дедукция аксиом

    Обычно  можно предполагать, что система  F рассматриваемых событий x, y, z,…,  которым приписаны определённые вероятности, образует алгебру событий, содержащую в качестве элемента множество Ω (аксиома I, а также первая часть аксиомы II — существование вероятности). Можно практически быть уверенным, что если эксперимент повторен большое число n раз и если при этом через m обозначено число наступления события x, то отношение m/n будет мало отличаться от P(x). Далее ясно, что 0≤ m/n≤1, так что вторая часть аксиомы II оказывается вполне естественной. Для события Ω всегда m=n, благодаря чему естественно положить  P(Ω) =1 (аксиома III). Если, наконец, x и y несовместны между собой (то есть события x и y не пересекаются как подмножества Ω), то m= m1 + m2, где m, m1, m2 обозначают соответственно число экспериментов, исходами которых служат события x + y, x, y. Отсюда следует:

    Следовательно, является уместным положить P(x+y)=P(x)+P(y) (аксиома IV). 

Аксиома непрерывности и  бесконечные вероятностные  пространства

    В отличие от элементарной теории вероятностей, теоремы, которые выводятся в общей математической теории вероятностей, естественно применяются также и к вопросам, связанным с бесконечным числом случайных событии, однако при изучении этих последних применяются существенно новые принципы. В большей части современной теории вероятностей предполагается, что кроме аксиом элементарной теории вероятностей (I—IV) выполняется ещё следующая

    Аксиома V (аксиома непрерывности). Для убывающей последовательности

    x₁≥x₂≥…≥x_n≥

событий из  такой, что

имеет место равенство 
 

    Аксиома непрерывности — это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство (Ω,F,P), которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом I—IV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий F конечна, аксиома V следует из аксиом I—IV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом I—V является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I—IV.

    Так как новая аксиома существенна  лишь для бесконечных вероятностных  пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (I—IV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля — вероятностные пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений. Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях. 

    Бесконечные вероятностные пространства и «идеальные события»

Алгебра F событий пространства элементарных событий Ω называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы  
событий x_n из F принадлежат F. В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют σ-алгебрами событий (сигма-алгебрами). Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле (Ω,F₀,P). Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра F= σ(F₀), содержащая F₀. Более того, справедлива

Теорема (о продолжении). Определённую на (Ω,F₀) неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств P=P(●) всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из F и при этом единственным образом.

    Таким образом, каждое вероятностное пространство в расширенном смысле (Ω,F₀,P) может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства (Ω,F,P), которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством.

    Вместе  с тем множества из сигма-алгебры  F бесконечного вероятностного пространства можно рассматривать только как «идеальные события», которым ничего не соответствует в реальном мире. Если, однако, рассуждение, которое использует вероятности таких «идеальных событий» приводит к определению вероятностей «реального события» из F, то это определение, очевидно, автоматически будет непротиворечивым и с эмпирической точки зрения. 

    Критика термина «аксиоматика теории вероятностей»

    Существует  не общепринятое мнение по поводу аксиоматики Колмогорова:

    Вероятность — это понятие из реального  мира, и поэтому её невозможно аксиоматизировать, можно только построить математическую модель. Точно так же невозможно аксиоматизировать понятие «мост», но это не мешает рассчитывать мосты на прочность, строя математические модели.

    Утверждают, что аксиоматика Колмогорова  не вводит ни одного нового базового (неопределяемого, как точка или прямая) понятия. А значит, она является определением: «Вероятность — это такая мера, что P(Ω) =1». 

    При этом аксиоматику Колмогорова они  называют «моделью Колмогорова». Изредка  приводятся альтернативные модели теории вероятностей. 
 
 
 
 

Список  литературы:

    1. Гнеденко Б.В. Курс Теории вероятностей. М: Наука, 1988г.

    2. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: ГНТИ, 1936г.

    3. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. 2-е издание. М.: Наука, 1974.

    4. Бернштейн С. Н. Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей // Сообщ. Харьковск. Матем. Об-ва, 1917, Вып. 15, с.209-274.

    5. Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей, 3 изд., М. - Л., 1952;