Теория вероятности. 7

Министерство образования  Республики Башкортостан

ГАОУ СПО Уфимский топливно-энергетический колледж

 

 

 

 

 

 

 

Специальность 080114

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат

на тему: «Теория вероятности»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                Выполнила: студентка

                                                                          группы 2Б Нутфуллина Р.Ф.

                                                                       Проверила: преподаватель

по математики Шарифуллина М.А.

 

 

 

 

2012 г.

Содержание

Введение

1.Понятие события………………………………………………………………………..….2

2.Операции над событиями…………………………………………………………………3

3.Основные теоремы теории  вероятности………………………………………………….5

Заключение

Список использованных источников

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Теория вероятностей - математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с  первыми.

Утверждение о том, что какое-либо событие наступает с вероятностью, равной, например, ½, ещё не представляет само по себе окончательной ценности, так как мы стремимся к достоверному знанию. Окончательную познавательную ценность имеют те результаты теории вероятностей, которые позволяют утверждать, что вероятность наступления какого-либо события А весьма близка к единице или (что то же самое) вероятность не наступления события А весьма мала. В соответствии с принципом "пренебрежения достаточно малыми вероятностями" такое событие справедливо считают практически достоверным. Ниже (в разделе Предельные теоремы) показано, что имеющие научный и практический интерес выводы такого рода обычно основаны на допущении, что наступление или не наступление события А зависит от большого числа случайных, мало связанных друг с другом факторов. Поэтому можно также сказать, что теория вероятностей есть математическая наука, выясняющая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Понятие события

 

Любой исход эксперимента мы будем называть элементарным событием.

Все эти исходы равновозможные и взаимоисключающие друг друга. Например, в опыте, состоящем в  подбрасывании кубика  всего 6 элементарных событий.

События принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,… Определение:

Два события А и В называются несовместными, если в условиях эксперимента эти события не могут происходить одновременно, т.е. происходит только одно из них.

Определение:

Событие называется случайным, если в результате эксперимента оно  может произойти, либо не произойти.

Так, например, при бросании игральной  кости выпадение четного числа  очков, т.е. появление либо грани  с двумя очками, либо с четырьмя, либо с шестью, является случайным  событием.

Определение:

События А и В называются совместными, если в условиях эксперимента появление одного события не исключает  появление другого.

Например, подбрасываем игральный  кубик. Пусть

А - выпадение очков, кратных  двум,

В - выпадение числа, кратных 3.

Эти события совместны, т.к. на грани может выпасть 6.

Определение:

Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате эксперимента обязательно должно произойти  одно из этих событий. И эти события  равновозможны, взаимоисключающие единственно возможные исходы.

Например, стреляем по мишени.

А - либо попали

В - либо не попали

Это полная группа событий.

Определение:

Событие называется достоверным, если в ходе эксперимента оно происходит всегда (т.е. оно является единственным возможным исходом данного события).

Например, идет экзамен. Оценка в любом случае будет получена, либо положительная, либо отрицательная, т.е. всегда.

Определение:

Событие называется невозможным, если в ходе эксперимента оно некогда  не наступает.

Например, в урне только синие шары. Вытащить желтый шар  из этой урны просто невозможно.

Конкретный результат испытания  называется элементарным событием. В  результате испытания происходят только элементарные события. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов  испытаний называется пространством  элементарных событий. Например: Испытание - подбрасывание шестигранного кубика. Элементарное событие - выпадение грани  с “1” или “2”. Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий.  Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному.Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные. Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером “1”. Сложное событие - выпадение нечетной грани. Введем следующие обозначения:        А - событие;           w - элементы пространства W;        W - пространство элементарных событий;      U - пространство элементарных событий как достоверное событие;  V - невозможное событие.         Иногда для удобства элементарные события будем обозначать E_i, Q_i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Операции над событиями.

1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех  элементарных событий, входящих  как в A, так и в B. При этом  если элементарное событие входит  и в A, и в B, то в C оно  входит один раз. В результате  испытания событие C происходит  тогда, когда произошло событие,  которое входит или в A или  в B. Сумма произвольного количества  событий   состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i=1, ..., m.    

C=C₁ C₂ … C_n C₁+C₂+…+C_n         

2. Событие B называется произведением событий A₁,А₂,…, А_n, если оно состоит из всех этих элементарных событий. Произведением произвольного числа событий   называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai, i=1, ..., m.          

B = A₁ A₂ ··· A_n A₁· A₂ ·····A_n      

3. Разностью событий A-B называется  событие C, состоящее из всех  элементарных событий, входящих  в A, но не входящих в B.     D=A-B            4. Событие   называется противоположным событию A, если оно удовлетворяет двум свойствам.          Достоверное: А_d= ={w_i} (состоит из всех элементарных событий).  Невозможное: ┐А_d=Ø (пустое событие, т.е. противоположное к достоверному).             5. События A₁, A₂,…, A_n называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания (не имеют общих элементарных событий).          

 

A_i ·A_j=Ø, i,j =

C=A×B=V             Тут V - пустое множество.         Частость наступления события.        Пусть пространство элементарных событий конечно и состоит из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных исходов испытаний рассматривают 2^m событий - множество всех подмножеств пространства элементарных событий W и невозможное событие V.    Пример:              

 W=(w₁, w₂, w₃)                                                      A₁=V                     A₂=(w₁)                    A₃=(w₂)                    A₄=(w₃)                     A₅=(w₁, w₂)                    A₆=(w₂, w₃)                                                 A₇=(w₁, w₃)                                                A₈=(w₁, w₂, w₃)            Обозначим систему этих событий через F. Берем произвольное событие AÎF. Проводим серию испытаний в количестве n.  n - это количество испытаний, в каждом из которых произошло событие A.      

Пусть в результате некоторого испытания  произошло событие A. По определению  сумы это означает, что в этом испытании произошло некоторое  событие A_i. Так как все события попарно несовместны, то это означает, что никакое другое событие A_j (i¹j) в этом испытании произойти не может. Следовательно:           n_A=n_A1+n_A2+...+n_Ak          Теория вероятности используется при описании только таких испытаний, для которых выполняется следующее предположение: Для любого события A частость наступления этого события в любой бесконечной серии испытаний имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события A.   Следовательно, если рассматривается вероятность наступления произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это частость наступления события в бесконечной  (достаточно длинной) серии испытаний. К сожалению, попытка определить вероятность как предел частости, при числе испытаний, стремящихся к бесконечности, закончилась неудачно. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности, базирующуюся на этом определении, но ее не признали из-за большого количества внутренних логических несоответствий. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основные  теоремы теории вероятности

1. Теоремы сложения вероятности

Пусть А, В – случайные  события.

Определение:

Под суммой двух событий (А+В) понимается такое событие, которое имеет  место <=>   произошло хотя бы одно из событий А или В (либо происходит А, либо происходит В, либо они происходят одновременно). 

Пример 1 (суммы двух событий).

       Стреляем  по мишени из двух орудий.

Пусть А – попали в  мишень при стрельбе из 1^го орудия.

           В – попали в мишень из 2^го орудия.

       Тогда  А+В – либо мы попали из 1^го орудия, либо попали из 2^го орудия, либо попали одновременно.           Замечание. Если А и В – это несовместные события, то А+В – либо произошло А, либо произошло В. Не попадание – это будет противоположное событие к сумме.

Теорема 1 (теорема сложения вероятностей для несовместных событий)   Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

                           Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

   Пусть n – общее число всех возможных исходов, m – число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению события А, k – число исходов, благоприятствующих наступлению события В. Тогда m+k – число исходов, благоприятствующих наступлению А+В. Используя определение классической вероятности, получаем:

     Р(А+В) = = + = Р(А)+Р(В) }

   Следствие. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий     А₁, А₂, …А_n

P =

Пример 2.  В урне находятся три белых шара, пять красных, два синих. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из урны, не белый?

       Обозначим:

 А – шар не белый

       В –  шар, извлеченный из урны, красный 

       С –  шар, извлеченный из урны, синий 

Число всех исходов n=10, т.к. шаров всего 10.

Число благоприятствующих исходов  для В равно 5.

Число благоприятствующих исходов  для С равно 2, т.е.

P(B)= = ;  P(C)= =

     Событие А=В+С,  т.к. В и С – несовместны,  следовательно, применим теорему  1.

Р(А) =Р(В)+Р(С)= + =   }

 Определение:

Произведением двух случайных  событий А и В называется (А·В) событие, состоящее в том, что  события А и В наступают  одновременно.

 Пример 3.  А – деталь стандартная.

                           В – деталь окрашенная.

                           А·В – деталь стандартная и  окрашенная.

Теорема 2  (теорема сложения для двух совместных событий)

       Если  события А и В совместные, то  вероятность суммы этих двух  событий равна сумме вероятностей  этих событий без вероятности  наступления произведения этих  событий.

                            Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)

      Рассмотрим  все исходы, в которых появляются  события А и В.

       Возможны  следующие события:

1. А·В (А наступило, В – не произошло)
2. Ā·В (В – происходит, А – не произошло)
3. А·В  

       Все  эти три события уже несовместны,  т.е. одновременно наступить не  могут. Тогда

       А+В=А·В+Ā·В+А·В    

Так как события несовместны, то по теореме 1

       Р(А+В)=Р(А·В)+Р(Ā·В)+Р(А·В)       (*)

Так как  Ā·В и А·В  – несовместны, то событие В наступит, если имеет место либо Ā·В, либо А·В, поэтому  В=Ā·В+А·В. 

По теореме 1,   Р(В)=Р(Ā·В)+Р(А·В), отсюда Р(Ā·В)=Р(В)-Р(А·В).

Аналогично, т.к. А·В и  А·В – несовместны и А=А·В+А·В  и по теореме 1   Р(А)=Р(А·В)+Р(А·В), значит

Р(А·В)=Р(А)-Р(А·В).

Подставим получившееся равенство  в (*).

       Р(А+В)=Р(А)-Р(А·В)+Р(В)-Р(А·В)+Р(А·В), т.е.

       Р(А+В)=Р(А)-Р(А·В)+Р(В)

Теорема доказана.  }

       Пример 4. Найти вероятность того, что при подбрасывании игральной кости выпадает четное или кратное 3 число очков.

    Обозначим

       А –  выпадение четного числа очков

       В –  число очков, кратных 3

     Всего исходов  6. Наступлению событию А благоприятствует  три исхода (выпадение 2, 4 либо 6). Наступлению событию В благоприятствует  два исхода (выпадение 3 или 6).

       Т.к.  события А и В – являются  совместными, то 

                          Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)

       Вычислим  Р(А),  Р(В),  Р(А·В)

Р(А) = =

Р(B) = =

Р(А·В ) = = , поэтому

Р(А+В ) = + - = = }

  Теорема 3.   Вероятность суммы полной системы событий равна 1.

    Пусть А₁, А₂, …А_n – полная группа событий, тогда событие А₁+ А₂+…+ А_n - является достоверным событием.

        По  свойству вероятности имеем

              Р(А₁+ А₂+…+ А_n)=1, поскольку

              А₁, А₂, …А_n полная группа событий, то

              Р(А₁+ А₂+…+ А_n)= Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n), поэтому

              Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n)=1  }

 

2. Теорема умножения вероятностей

Определение: 

Событие А называется независимым  от события В, если вероятность события  А не изменится от того, произошло  событие В или нет. В противном  случае, событие А называется зависимым  от события В.

Определение: 

Вероятность события А, вычисленная  в предположении, что событие  В произошло, называют условной вероятностью события А и обозначают Р(А\В), либо Р_В(А).

       Пример 5. Бросают две игральные кости. Сумма выпавших очков равна 6. Вычислить вероятность того, что одна из цифр этих очков равна 2.

   Будем обозначать через  (а, в) возможные исходы из  числа всех исходов, а –  количество очков, выпавших на  первой игральной кости, в –  количество очков, выпавших на  второй игральной кости.

     Тогда возможные  исходы:

       (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)

А – сумма цифр, равная 6

В – выпала цифра 2

Р_А(В)=     (2 благоприятствующих исхода из возможных 5 исходов)}

Теорема 4 (Теорема умножения вероятности).

       Вероятность совместного появления  двух событий (А·В) равна произведению  одного из этих событий на  условную вероятность другого  события.

              Р(А·В)=Р(А)·Р_А(В)=Р(В)·Р_В(А).

        Пусть n – общее число исходов, k – число исходов, благоприятствующих наступлению событий А, и из этих k-событий, m – благоприятствует наступлению события В, тогда наступлению А·В благоприятствует m - исходов, следовательно (по классическому определению вероятности)

Р(А·В) = = =Р_А(В)·Р(А) }

      Следствие: Если события А и В независимые, то вероятность совместного наступления этих событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е.

                Р(А·В)=Р(А)·Р(В).

       Пример 6. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.

         Обозначим  А – первый, вынутый шар, белый.

                             В – второй, вынутый шар, белый.

                             С – оба шара – белые,  тогда

                             С=А·В.

       По теореме  умножения вероятностей для случая  зависимых событий имеем:

                 Р(С)=Р(А·В)=Р(А)·Р(В\А)=Р(А)·Р_А(В)

     Вычислим Р(А), Р_А(В)    

 Р(А) = = = (вероятность появления первого белого шара);

РА(В) = = (вероятность появления второго белого шара в предположении, что первый белый шар уже вынут).

        Следовательно,   Р(А·В) = = }

 

3. Формула полной  вероятности

       Пусть  событие А может произойти  совместно с одним и только  одним событием Н₁, Н₂, …Н_n , которые образуют полную группу событий. События Н_i – принято называть гипотезами.

Теорема 5. Вероятность события А равна сумме попарных произведений вероятностей всех гипотез на соответствующие условные вероятности события А.

Р(А)= - формула полной вероятности, где

 Так как Н₁;Н₂;…;Н_n – несовместные, то Н₁А;Н₂А;…;Н_nА – несовместные, очевидно   А=Н₁А+Н₂А+…+Н_nА

       По теореме  о сложении несовместных событий,  имеем

                                                          (теорема 5)

       Р(А)=Р(Н₁А)+Р(Н₂А)+…+Р(Н_nА)=

                                     =Р(Н₁)Р_Н1(А)+Р(Н₂)Р_Н2(А)+…+Р(Н_n)Р_Hn(А)    }

A

=

Р_n = n’

C

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Теория вероятности изучает  случайные события.

Вероятность – это количественная мера возможности появления события.      

Основные формулы:

 

ОSP (A) ≤ 1

P (A) =

C=A+В

С=А·В

С =

P(A+B)=P(A) +P(B)

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)

P(A·B)=P(A)·P(B)

P(A·B)=P(A)·P(B/A)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы. 

1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. – М.: Владос, 2002           2. Воронов М.В., Мещерякова Г.П. Математика для студентов гуманитарных факультетов. – Ростов н/Д: Феникс, 2002. с 280                   3. Грес П.В. Математика для гуманитариев. – М.: ЮРАЙТ, 2000             4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 1998                                 5. Кремер Н.Ш. и др. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: «Юнити», 1999