Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Тригонометрические функции. 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра математики и математических методов в экономике

Р Е Ф Е Р А Т

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

Выполнила:

студентка группы ПМИ, II курса ФМОИиП,

очной формы обучения

Горбатенко Елена Сергеевна

Мурманск

2013

Оглавление

Тригонометри́ческие фу́нкции 3

Способы определения 3

Геометрическое определение 3

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений 5

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений 5

Определение тригонометрических функций через ряды 5

Значения тригонометрических функций для некоторых углов 6

Значения тригонометрических функций нестандартных углов 7

Свойства тригонометрических функций 7

Простейшие тождества 7

Непрерывность 8

Чётность 8

Периодичность 8

Формулы 8

Формулы приведения 8

Формулы сложения 9

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов: 9

Аналогичные формулы для суммы трёх углов: 9

Формулы для кратных углов 9

Формулы двойного угла: 9

Формулы тройного угла: 9

Прочие формулы для кратных углов: 9

Формулы половинного угла: 10

Произведения 11

Формулы для произведений функций двух углов: 11

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов: 11

Степени 11

Суммы 12

Однопараметрическое представление 12

Производные и интегралы 12

Тригонометрические функции комплексного аргумента 13

Комплексные синус и косинус 14

Литература 15

Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям относятся:

прямые тригонометрические функции

синус (sin x)

косинус (cos x)

производные тригонометрические функции

тангенс (tg x)
котангенс (ctg x)

другие тригонометрические функции

секанс (sec x)
косеканс (cosec x)

В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс часто обозначаются tan x, cot x, csc x.

Кроме этих шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т.д.), а также обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т. д.), рассматриваемые в отдельных статьях.

Синус и косинус вещественного аргумента являются периодическими непрерывными и неограниченно дифференцируемыми вещественнозначными функциями. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные, периодические и неограниченно дифференцируемые на области определения, но не непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках , а котангенс и косеканс — в точках .

Способы определения

Геометрическое определение

Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Измерим углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки B обозначим , ординату обозначим .

Синусом называется отношение.
Косинусом называется отношение
Тангенс определяется как.
Котангенс определяется как.
Секанс определяется как.
Косеканс определяется как.

Численные значения тригонометрических функций угла в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице. Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате, а косинус — абсциссе.

Если — вещественное число, то синусом в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна , аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Тригонометрические функции острого угла

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом . Тогда:

Синусом угла называется отношение (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
Косинусом угла называется отношение (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
Тангенсом угла называется отношение(отношение противолежащего катета к прилежащему).
Котангенсом угла называется отношение (отношение прилежащего катета к противолежащему).
Секансом угла называется отношение (отношение гипотенузы к прилежащему катету).
Косекансом угла называется отношение (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

с начальными условиями, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и gсоответственно) системы функциональных уравнений:

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

где

— числа Бернулли,

— числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («∞» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

0°(0 рад)

30° (

)

45° (

)

60° (

)

90° (

)

180° (

)

270° (

)

360° (2

)

sin

-1

cos

-1

ctg

sec

-1

cosec

-1

Значения косинуса и синуса на окружности.

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

sin

cos

-1

ctg

-1

sin

cos

ctg

Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу , то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Непрерывность

Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют точки разрыва котангенс и косеканс —

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность

Функции y = sin x, y = cos x, y = sec x, y = cosec x — периодические с периодом 2, функции y = tg x и y = ctg x — c периодом .

Формулы

Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый, например:

Некоторые формулы приведения:

Формулы сложения

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

Аналогичные формулы для суммы трёх углов:

Формулы для кратных углов

Формулы двойного угла:

Формулы тройного угла:

Прочие формулы для кратных углов:

следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для Гамма-функции.

Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:

где — целая часть числа , — биномиальный коэффициент.

Формулы половинного угла:

Произведения

Формулы для произведений функций двух углов:

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

Степени

Суммы

Для функций от аргумента x существует представление:

где угол находится из соотношений:

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

Тригонометрические функции комплексного аргумента

Формула Эйлера:

позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:

где

Соответственно, для вещественного x,

Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:

Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства:

комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.

Литература

Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
Г. Б. Двайт Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.