Тригонометрические уравнения в школьном курсе алгебры

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ  ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 20»

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ  ПО  АЛГЕБРЕ  И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА

 

 

Тригонометрические уравнения 

в школьном курсе 

алгебры

 

 

Ф.И.О. учащегося   Клинцова Елизавета

 Класс   11А

Руководитель Козак Татьяна Ивановна,

учитель математики I категории

 

 

 

 

 

 

 

 

пгт. Прогресс

2007 год

Содержание 

 

	Введение	…..	3
1.	История тригонометрии	…..	4
	1.1 История тригонометрии  как науки	…..	4
	1.2 Тригонометрия как учебный предмет	…..	5
	1.3 Тригонометрия в  школе до 1966 года	…..	6
	1.4 Тригонометрия в  школе после 1966 года	…..	7
	1.5 тригонометрия в  современной школе	…..	7
2.	Тригонометрические уравнения  в школьном курсе алгебры	…..	9
	2.1 Простейшие тригонометрические уравнения	…..	9
	2.2 Тригонометрические  уравнения, сводящиеся к квадратным	…..	12
	2.3 Однородные уравнения	…..	14
	2.4 Уравнения, решаемые  разложением на множители	…..	16
	2.5 Задачи на повторение	…..	17
3.	Тригонометрические уравнения на экзаменах	…..	18
	3.1 Специфика выпускного  экзамена за курс средней полной  школы	…..	18
	3.2 Тригонометрические  уравнения на выпускном экзамене	…..	18
	3.2.1 Тригонометрические  уравнения на обязательном уровне  обучения	…..	18
	3.2.2 Тригонометрические уравнения из раздела 4	…..	20
	3.2.3 Тригонометрические  уравнения повышенной сложности	…..	21
	Заключение	…..	25
	Используемая литература	…..	26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, – что следуя этому методу, мы достигнем цели.

Лейбниц

Введение 

 

Тригонометрия, как и  любая научная дисциплина, возникла из потребностей практической деятельности человека. Тригонометрия изучает важный класс функций – так называемых тригонометрических, а также их применение в геометрии. Само название "тригонометрия" греческого происхождения, обозначающие "измерение треугольника": τρіγωνоν (тригонон) – треугольник, μετρειω (метрейн) – измерение, показывает что этот раздел математики связан с задачами решения треугольников, т. е. с задачами нахождения одних элементов треугольника по другим его известным элементам. Исторически тригонометрия и возникла из таких задач, но ими далеко не исчерпывается широкое применение тригонометрических функций в самых различных разделах математики, естествознания и техники.

В школьном курсе математики знакомство с тригонометрией начинается в 8 классе на уроках геометрии, когда  вводится понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника. Затем идёт расширение этого вопроса, и мы уже знакомимся с понятием синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла. Рассматриваются теоремы синуса и косинуса, позволяющие решать треугольники.

На уроках алгебры  в 9 классе помимо этих понятий мы рассматриваем ряд формул, позволяющих преобразовывать тригонометрические выражения; находить их значения; вычислять значения тригонометрических функций по заданному значению одной из функций и другие вопросы, связанные с тригонометрией.

В курсе алгебры и  начала анализа в 10 классе начинается изучение темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств». На уроках мы рассмотрели приёмы решения тригонометрических уравнений и неравенств, но их оказалось немного. Я задумалась над тем, а есть ли другие приёмы решения тригонометрических уравнений. И выбирая в 11 классе экзамен по выбору, я решила исследовать этот вопрос и попытаться выяснить: что же предлагает (по типам) школьный курс алгебры и начал анализа, выпускной экзамен за курс средней полной школы.

 

Итак, цель моей работы:

• систематизировать, обобщить, расширить знания и умения, связанные с решением тригонометрических уравнений.

Задачи:

• повторить решение простейших тригонометрических уравнений;
• провести классификацию тригонометрических уравнений, предлагаемых в школьном курсе алгебры и начал анализа;
• рассмотреть тригонометрические уравнения, предлагаемые на выпускном экзамене.

Используемы методы:

• научный (изучение литературы);
• исследовательский.

 

1. История тригонометрии

1.1 История тригонометрии как науки

     

Зарождение тригонометрии  относится к глубокой древности. Еще за долго до новой эры вавилонские  ученые умели предсказывать солнечные  и лунные затмения. Это позволяет сделать вывод о том, что им были известны некоторые простейшие сведения из тригонометрии. Постепенно в геометрии и астрономии установились понятия синуса, косинуса, тангенса угла.

Одним из основоположников тригонометрии  считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во II в. до н. э. Гиппарх  является автором первых тригонометрических таблиц. Эти таблицы до нас не дошли, но они вошли (в усовершенствованном виде) в сочинения "великое построение" (Альмагест) знаменитого александрийского астронома Клавдия Птолемея жившего во второй половине II в. до н. э.

Эти таблицы являются таблицами значений удвоенного синуса половины соответствующего центрального угла. В них были даны значения хорд для всех углов (через каждые пол градуса) от 0° до 180°. Однако надо иметь в виду, что в древней Греции тригонометрия не выделялась в самостоятельную науку" а считалась частью астрономии.

Важный вклад в развитие тригонометрии был внесен индийской математикой в период V-X1I в. н.э. Индийские математики стали вычислять не полную хорду, как это делали греки, а ее половину (то есть "линию синусов"). Линия синусов именовалась ими "архаджива", что буквально означало “половина тетивы лука”. Индийцы составили таблицу синусов, в которой были даны значения полухорд, измеренных частями (минутами) окружности для всех углов от 0° до 90° (через каждые 3°45'). Эти таблицы были точнее таблиц Птолемея.

 В Х1-ХШ вв. в трудах математиков  Средней Азии, Закавказья, Ближнего Востока и Индии началось формирование тригонометрии как отдельной  науки. И в дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела способствовали развитию тригонометрии как науки. Особенно усиленно тригонометрия развивалась в средние века, в первую очередь на юго-востоке: в Индии (Ариабхата, Брамагупта, Бхаскара), в Узбекистане, Азербайджане и Таджикистане (Насирад-Дин ат-Туси, ал-Каши, ал-Бируни), в Арабии (Ахмад, ибн-Абдаллах, ал-Баттани). Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насирад-Дину Мухаммаду ат-Туси (1201-1274), написавшему "Трактат о полном четырехугольнике". Работы ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела математики. Однако в их трудах еще не было необходимой символики, и поэтому развитие тригонометрии происходило медленно.

С XV в. и в Европе появляются работы, посвященные вопросам тригонометрии. Немецкий ученый Иоганн Мюллер (1436-1476 гг.), известный в науке под именем Региомонтан, издал труд "Пять книг о треугольниках всех видов", сыгравший важную роль в развитии тригонометрии. Здесь дано систематическое изложение тригонометрии как самостоятельной научной дисциплины. Региомонтан составил таблицы синусов с точностью уже до 10-7. В его таблицах радиус круга принимался за 107 вместо числа кратного 60, то есть по сути был совершен переход от шестидесятеричной системы измерения к десятичной. В 1696 г. появился труд Варфоломея Питискуса "Тригонометрия, или Краткий обзорный трактат о решении треугольников ".

В XV-XVII в. в Европе было составлено и издано несколько тригонометрических таблиц. Над их составлением работали крупнейшие ученые: Н. Коперник (1473-1543), И. Кеплер (1571-1630), Ф. Виет (1540-1603) и др. В России первые тригонометрические таблицы были изданы в 1703 г. при участии Л.Ф. Магницкого.

Таким образом, тригонометрия  возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и применялась к решению геометрических задач. Развитие алгебраической символики позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул; применение отрицательных чисел позволило рассматривать направленные углы и дуги и распространить понятие тригонометрических линий (определенных отрезков в круге) для любых углов. В этот период создалась база для изучения тригонометрических функций как функций числового аргумента, основа аналитической теории тригонометрических (круговых) функций. Аналитический аппарат, позволяющий вычислять значения тригонометрических функций с любой степенью точности, был разработан Ньютоном.

Современный вид тригонометрия  получила в трудах великого ученого, члена Российской академии наук Л. Эйлера (1707-1783). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа – величины тригонометрических линий в круге, радиус которого принят за единицу ("тригонометрический круг" или "единичная окружность"). Эйлер дал окончательное решение о знаках тригонометрических функций в разных четвертях, вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, установил несколько неизвестных до него формул, ввел единообразные обозначения. Именно в его трудах впервые встречаются записи sin α, cos α, tg α, ctg α. Он также открыл связь между тригонометрическими и показательной функциями от комплексного аргумента. На основании работ Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.

Аналитическое (не зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, получило завершение в трудах великого русского ученого Н.И. Лобачевского.

 

1.2 Тригонометрия как учебный предмет

 

Тригонометрия состоит их двух различных частей:

а) первой (ее обычно называют гониометрией) – части математического анализа, где независимо от геометрических соображений аналитически раскрывается учение о трансцендентных тригонометрических функциях с их свойствами;

б) второй – собственно тригонометрии, где соединяются математический анализ и геометрия того или иного пространства.

В XVIII в., и особенно в XIX в., в связи с бурным развитием дифференциального исчисления, возникает новый предмет – математический анализ, и тригонометрия становится его составной частью. А учебный предмет тригонометрия с его первоначальной геометрической основой продолжает существовать самостоятельно. То есть возникают два направления учебного предмета тригонометрии: аналитическое решение треугольников и изучение свойств круговых (тригонометрических) функций.

В 1848 г. академик М.В. Остроградский предложил систему индуктивного изучения тригонометрии:

а) сначала (в младших классах) изучается  тригонометрия острого угла как  учение о вычислительных приемах  решения треугольников и фигур, сводимых к ним;

б) затем (в старших классах) обобщаются понятия тригонометрии острого  угла, то есть излагаются основы теории тригонометрических функций любого действительного аргумента.

С тех пор эта система успешно  применялась в отечественной  методике обучения тригонометрии в школе

 

1.3 Тригонометрия в школе до 1966 года

 

Основательное изучение тригонометрии начиналось очень рано, уже в 14 лет.

В Программе 1921 г. предписывалось во втором полугодии 7-го класса (2 часа в неделю) изучить раздел "Тригонометрия".

Изучение тригонометрического материала в семилетней школе было нацелено, прежде всего, на освоение практических методов решения определенных вычислительных геометрических задач, на расширение возможности вычисления элементов треугольников – на тригонометрию треугольника. При этом раннее введение тригонометрии треугольников существенно повышало требования к числовой культуре школьника и, прежде всего, требовало знания элементов теории приближений и измерений.

Несколько позже, уже  в программе средней десятилетней школы (например, в программе 1949 г.), начало изучения тригонометрии перемещается в курс геометрии 8-го класса, а в 7-м классе, также в курсе геометрии, обращается особое внимание (в пояснительной записке замечено даже "в особенности в сельских школах") на необходимость проведения измерительных работ на местности: провешивание линий, промер линий, проведение перпендикуляров эккером, измерение углов, определение расстояний и высот. Тем самым, с одной стороны, серьезно усиливался прикладной характер изучаемого в массовой школе математического материала, а с другой – создавалась хорошая опора для изучения формального материала курса тригонометрии.

А вот в 9-м классе (десятилетней школы) данной программы тригонометрия  начинает обретать черты отдельной школьной дисциплины. Внимание сосредотачивается на четырех тригонометрических функциях: синус, косинус, тангенс и котангенс. Секанс и косеканс даются в ознакомительном порядке. В 10-м классе предусматривается "решение косоугольных треугольников, основанное на теоремах синусов, косинусов и тангенсов с применением в соответствующих случаях различных таблиц".

Роль тригонометрического  материала в школьном образовании  оценивалась столь высоко, что до 1966 г. в 9-х и 10-х классах изучалась отдельная дисциплина "Тригонометрия", на которую выделяли 2 часа в неделю. Этот курс изучался параллельно с курсом алгебры. Для этой дисциплины был подготовлен и введен отдельный учебник (С. И. Новоселов "Тригонометрия. Учебник для 9-10 классов средней школы, выдержавший десять изданий).

Учебник тригонометрии  предназначался для старшей ступени  обучения, то есть для тех школьников, кто планировал поступать в высшие учебные заведения страны.

Тригонометрическим уравнениям уделялось совсем немного внимания. В учебнике рассматривались простейшие тригонометрические уравнения, способ приведения к одной функции, способ разложения на множители и иллюстрировались возможности потери решений и появления посторонних решений при выполнении преобразований. Вместе с тем выделялся целый параграф, посвященный приближенным решениям тригонометрических уравнений.

 

1.4 Тригонометрия в школе после 1966 года

 

Начиная с середины шестидесятых годов в ходе подготовки и осуществления  реформы школьного математического образования, получившей в дальнейшем название "реформа А.Н. Колмогорова", отношение к тригонометрии стало меняться и со временем изменилось принципиально.

Прежде всего, это выразилось в изменении программных целей изучения данного раздела науки в школе. В программах основной школы семидесятых годов (например, в программе 1978 г. для десятилетней школы) о начале изучения такого специфического раздела математики, как тригонометрия, даже не упомянуто. Просто в пояснении к отдельным темам сказано, что в 8-м классе изучаются четыре темы, одна из которых "Поворот и тригонометрические функции".  

Тригонометрия утратила свое значение как отдельная школьная дисциплина и стала просто одним из многих разделов курса математики, который надлежало осваивать в силу того простого факта, что вопросы тригонометрии «традиционно» присутствовали в школьных программах и учебниках.

Обучение проводилось  по учебнику Е.С. Кочеткова, Е.С. Кочетковой. В поддержку этого учебника был издан сборник задач А.И. Худобина, Н.И. Худобина, М.Ф. Шуршалова.

Но эти учебник и  задачник переходного периода проработали в школе менее 10 лет. Вскоре им на смену пришел учебник "Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы" (1975) под редакцией А.Н. Колмогорова. В нем тригонометрия изучалась в конце 9-го в начале 10-го классов. Формально содержание обучения в целом было сохранено и даже расширено. Здесь вводилось радианное измерение угловых величин, тригонометрические функции и их свойства, формулы сложения, производные и исследование тригонометрических функций, тригонометрические уравнения и неравенства. В дальнейшем, после перехода к одиннадцатилетней школе, тригонометрический материал в основной ступени был значительно усилен.

 

1.5 Тригонометрия в современной школе

 

К концу XX в. в примерных  программах основного общего образования объем рекомендуемого к изучению в массовой школе тригонометрического материала заметно сократился. Например, в программе подготовленной Г.М. Кузнецовой в 1998 г. предлагается рассмотреть в основной школе:

1. в курсе алгебры  - синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла, основные тригонометрические тождества, формулы приведения;

2. в курсе геометрии  - синус, косинус, тангенс и  котангенс острого угла, решение  прямоугольных треугольников, метрические  соотношения между элементами произвольного треугольника: теорема синусов и теорема косинусов.

В старшей ступени  обучения для общеобразовательных  классов тригонометрические формулы сложения и их следствия, тождественные преобразования тригонометрических выражений получили статус необязательного материала. Оставлены лишь тригонометрические функции числового аргумента, свойства и графики тригонометрических функций. А более серьезные вопросы тригонометрии отнесены к программам повышенного уровня. Но и здесь преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму отнесено к необязательному материалу.

Таким образом, после 1966 г. тригонометрический материал стал постепенно «выжиматься» не только из основной школы, но и из курса старшей ступени обучения для общеобразовательных классов.

Введение всеобщего  и обязательно десятилетнего  образования в 1966 г. и последовавший затем переход к «знаниевой» педагогике принципиально изменили ситуацию, прежде всего в старшей и основной ступенях. Возникло две проблемы.

Во-первых, это проблема обучения всех детей в течение одиннадцати лет одному и тому же содержанию. Разные способности детей не дают возможности качественно решить эту проблему, если не признать необходимость принципиально понизить уровень среднего образования. Отсюда и все споры вокруг стандартов, и учебная перегрузка детей, и отвращение многих из них к математике как к наиболее формализованному учебному предмету. А тригонометрические функции действительного аргумента в курсе математики по части формализации занимают не последнее место. Отсюда и стремление исключить этот материал из обязательного минимума содержания образования.

Одновременно с этим тригонометрический материал традиционно  популярен при проведении всевозможных конкурсов, олимпиад и при отборе математически одаренных учащихся, поскольку он чрезвычайно удобен для усложнения заданий.

Другими словами, тригонометрический материал, теряя свое общеобразовательное  значение в представлениях некоторых  специалистов в области методики обучения математике, на практике все больше обретает характер селективного инструмента. Соответственно возрастает потребность определенной части учащихся и их родителей в хорошей организации обучения этому разделу в школьный период обучения. По крайней мере, к этой части учащихся можно отнести тех, кто заинтересован в продолжении обучения в учреждениях среднего и высшего профессионального образования. А в настоящее время это не менее половины выпускников.

Таким образом, вторая проблема – подготовка в массовой школе одаренных в академическом смысле детей к поступлению и обучению в вузе.

До шестидесятых годов  такие понятия как «репетитор», «факультатив», «класс (школа) с углубленным изучением предмета» и т.п. не были известны школьным работникам и их родителям. Действительно, поскольку только половина детей переходили на обучение в старшую ступень, а в ней допускалось отчисление за неуспеваемость, то необходимости понижать уровень образования в старшей ступени даже не возникало. В так организованной школе добравшийся до выпуска школьник в основном был весьма серьезно обучен и имел широкий кругозор.

В семидесятых-восьмидесятых годах стали возникать классы, а затем и школы с углубленным изучением какого-либо предмета, в девяностых – лицеи и гимназии.

В общеобразовательных классах, и в классах с углубленным изучением того или иного предмета или цикла предметов освоение опыта «создания» фрагмента науки, безусловно, должно присутствовать. А тригонометрия для этого, как и прежде, наиболее естественный раздел школьной математики.

 

2. Тригонометрические уравнения в школьном курсе алгебры

2.1 Простейшие тригонометрические уравнения

 

Уравнением называется равенство, содержащее переменную. А уравнения, в которых неизвестные содержатся под знаком тригонометрических функций, называются тригонометрическими уравнениями.

Решением уравнения  с неизвестным х называют число х_о, при подстановке которого в уравнение вместо х получается верное числовое равенство. Отличительная особенность тригонометрических уравнений – бесконечное множество корней. Эта особенность связана с характерным свойством тригонометрических функций – периодичностью. Решить уравнение – это значит найти все его решения или показать, что их нет.

Решение любого уравнения: сводится к  стандартному виду. Путем преобразований линейные уравнения сводят к виду ах = в, квадратные – к виду ax² + вx + c =0.

Необходимость классификации  уравнений вызывается невозможностью найти общий метод их решения. Известно, что целые алгебраические уравнения со времен Декарта (1596-1650) классифицируются по степени уравнения. Чем выше степень таких уравнений, тем сложнее взаимная связь неизвестного с коэффициентами уравнения и тем труднее выразить это неизвестное через коэффициенты.

В тригонометрии предпринимались  попытки создавать свою специфическую классификацию. Пример такой классификации, содержащей восемь типов тригонометрических уравнений, приводится в пособии И.К. Андронова, А.К. Окунева «Курс тригонометрии». Классифицировать тригонометрические уравнения по степени не имеет большого смысла, так как тригонометрические уравнения допускают повышение и понижение степени за счет использования формул половинного и двойного аргумента. Очевидно, что классифицировать тригонометрические уравнения имеет смысл с опорой на методы их решения. Здесь я попытаюсь показать, с какими методами решения тригонометрических уравнений мы сталкиваемся в учебнике для 10-11 классов общеобразовательных учреждений «Алгебра и начала анализа» под редакцией А. Н. Колмогорова (2001 г.).

Решение тригонометрических уравнений выполняется в большинстве случаев (с помощью различных преобразований) путём сведения их к простейшим тригонометрическим уравнениям. Поэтому и работу с тригонометрическими уравнениями естественно начинать с простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение f(x) = а, где а – данное число, а f(x) – одна из основных тригонометрических функций, называют простейшим тригонометрическим уравнением. В школьном курсе рассматриваются следующие простейшие тригонометрические уравнения:                      sin t = a, cos t = a, tg t = a, ctg t = a.

Рассмотрим, при каких значениях а простейшие тригонометрические уравнения разрешимы (имеют решения) и как правильно находить все решения таких уравнений.

А) Уравнение sin t = a.

Так как множество  значений функции у = sinx – отрезок [– 1; 1], то уравнение sin t = a разрешимо только в том случае, когда |а| ≤ 1. И тогда решение данного уравнения находится по формуле: t = (– 1)ⁿarcsin a + πn, где n Î Z. Соответственно, если |а| > 1, то уравнение не имеет действительных корней. Это обстоятельство следует хорошо помнить, т. к. забывая об этом, часто допускают ошибки. Например, при решении уравнения                       sin t = часто, не обращая внимания на то, что > 1, пишут ответ:                                             t = (– 1)ⁿarcsin + πn, где n Î Z, который не имеет никакого смысла, т. к. функция                    arcsin a не определена в точке а = (эта точка не принадлежит области определения функции arcsin a).

Если а = – 1; 0; 1, то рассматривают частные случаи решения данного уравнения.

При а = – 1  х =

        а = 0     х = πn, где n Î Z;

        а = 1     х = 

Б) Уравнение cos t = a.

Это уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда |а| ≤ 1. Если это условие выполнено, то все решения уравнения cos t = a записываются в виде: t = ± arccos а + 2πn, где n Î Z. Соответственно, если |а| > 1, то уравнение не имеет действительных корней.

Если а = – 1; 0; 1, то  также рассматривают частные случаи решения данного уравнения.

При а = – 1  х =

        а  = 0     х =

        а  = 1     х = 

В) Уравнение  tg t = a.

Данное уравнение имеет решения при любом значении а Î (– µ; µ). Все решения уравнения задаются формулой t = arctg а + πn, где n Î Z. Частные случаи здесь не рассматривают.

Г) Уравнение сtg t = a.

Данное уравнение имеет  решения при любом значении а Î (– µ; µ). Все решения уравнения задаются формулой t = arсctg а + πn, где n Î Z. Частные случаи здесь также не рассматривают.

 

Ряд уравнений путём  элементарных преобразований: перенос  слагаемых из одной части уравнения  в другую, деление обеих частей уравнения на одно и тоже число, отличное от нуля, также очень легко сводятся к простейшим.

При решении простейших тригонометрических уравнений вида Аsin(вх + с) = d, Аcos(вх + с) = d, Аtg(вх + с) = d, Аctg(вх + с) = d следует обратить внимание на то, что они приводятся к виду sin(вх + с) = а,  cos(вх + с) = а, tg(вх + с) = а, ctg(вх + с) = а.

Сведение тригонометрических уравнений к простейшим тригонометрическим уравнениям выполняется различными способами. Первоначально надо рассмотреть тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрических функций стоит более сложное выражение, зависящее от х. для решения таких уравнений можно обозначить выражение, стоящее под знаком тригонометрической функции, одной буквой; решить простейшее тригонометрическое уравнение, а потом найти х, решая алгебраическое уравнение.

К таким уравнениям относятся  уравнения:

sin t = a	№ 138, 139, 142(а, в), 143(а), 144(а), 145(б, г), 146(б), 173(в)
cos t = a	№ 136, 137, 142(б, г), 143(б), 144(в), 145(а), 146(г), 172(б)
tg t = a	№ 140(а, в, г), 141(а, в), 143(г), 144(б), 145(в), 146(в), 173(б)
ctg t = a	№ 140(б), 141(б, г), 143(б), 144(г)