Упругая и неупругая среды, параметры их характеризующие; расчет модуля Юнга и коэффициента Пуассона для земной коры, если для нее известны

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Российской  Федерации 

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

«Тюменский  государственный нефтегазовый университет» 

Институт  геологии и Геоинформатики

Кафедра разведочной геофизики

Расчетно-графическая  работа 

по дисциплине «Физика Земли» на тему:

«Упругая  и неупругая среды, параметры  их характеризующие; расчет модуля Юнга и коэффициента Пуассона для земной коры, если для нее известны средние значения скорости продольной и поперечной волн и плотность». 

Выполнила:

студент гр. ГОРзс-09

Яковлева  Н.Р. 

Проверил:

Профессор кафедры РГ

А.Н. Дмитриев 
 
 
 

Тюмень, 2010

СОДЕРЖАНИЕ.

Введение……………………………………………..……………………….стр. 3

1. Упругие и неупругие среды: определения и основные понятия…….…стр.4

2. Упругость  как физическое свойство…………………………………...…стр.7

3.  Земля как  физическая среда………………………………………….…..стр. 8

4. Виды деформаций  и способы их описания с точки зрения теории упругости…………………………………………………..…………………стр. 9

4.1. Деформации…………………………………………………………….. стр. 9

4.2. Тензор деформации………………………………………..………….. стр. 11

4.3. Тензор напряжения…………………………………………..……….. стр. 13

5. Закон Гука  и параметры, характеризующие  упругость среды………. стр. 14

6. Волны в  упругих средах…………………………………………...…… стр. 16

7. Расчет модуля  юнга и коэффициента Пуассона  для земной коры, если для нее  известны средние значения скорости  продольной и поперечной волн  и плотность……………………………………………………………...…… стр. 19

Заключение……………………………………………………………...…. стр. 21

Список использованной литературы……………………………..………. стр. 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ.

    Упругость как физическое свойство является важным параметром, с помощью которого можно охарактеризовать ту или иную геологическую среду. Непосредственно заглянуть в недра Земли и посмотреть из чего состоят ее слои и какими физико-химическим свойствами они обладают мы не может; но можем сделать это с помощью сейсмических волн. Данные о скорости прохождения слоев поперечными и продольными волнами, их отражении, поглощении дают нам представление о строении Земли.

    При высокоамплитудных воздействиях мантия может вести себя как вязкая жидкость. На этом свойстве построена гипотеза тектоники плит. Разломы в земной коре и землетрясения это проявления упругих свойств горных пород. Низкоамплитудные воздействия – звуковые волны ведут себя в горных породах почти как внутри абсолютно упругого тела. В реферате рассмотрены принципы и причины упругого и неупругого поведения горных пород.

    Деформации  являются следствием внешних воздействий, они зависят от упругих свойств материала.  Наблюдение за ними так же позволяет выявлять различия в физических свойствах горных пород  или их состоянии.

    Упругость среды можно охарактеризовать с  помощью модуля Юнга, коэффициента Пуассона, коэффициентов Ламэ.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   1. Упругие и неупругие среды: определения, основные понятия. 

   Для описания механических свойств массивов горных пород используются модели сплошных сред и дискретных. Модели сплошной среды включают в себя различные группы частных моделей, например, однородные и неоднородные, изотропные и анизотропные модели, линейные и нелинейные модели. Они, в свою очередь, делятся на ещё более частные модели - упругие, пластические, вязкие модели или комбинированные модели, обладающие одновременно свойствами нескольких из указанных моделей, например, упруго-пластичные, упруго-вязкие модели и т.д. Модели дискретной среды так же включают в себя группы моделей, таких, как модели распорной и безраспорной среды, модели упрочняющихся и разупрочняющихся сред и так далее.

   Число математических моделей, описывающих процессы деформирования реальных горных пород велико; но все они являются различными сочетаниями основных классических моделей - моделей упругого, пластического и идеально вязкого тела.

   Упругая модель является самой простой и наиболее часто используемой, и рассматривает среду с точки зрения теории упругости.

   В общем случае под упругостью понимается свойство тела деформироваться (из-за изменения взаимного расположения частиц в теле) под действием нагрузки и возвращаться в первоначальную форму и размеры после ее снятия. Если между деформацией и вызвавшими ее силами (напряжением) существует прямо пропорциональная зависимость, то такое тело называется идеально упругим; а соответствующее изменение формы - упругой деформацией. Соответственно, упругая среда – это линейно – деформированная среда, в которой напряжения и деформации связаны линейными зависимостями. Наглядно идеально-упругую среду можно представить в виде пружины, обладающей определенной жесткостью (модуль упругости Е), которая растягивается напряжением , причем деформация пружины e подчинена закону Гука в соответствии с диаграммой напряжений:

    .

   Рис 1. Упругая модель (модель Гука).

а - структурная  схема;

б - диаграмма  напряжений.   
 

   Во многих случаях применение упругой модели не требует в качестве обязательного условия способности пород восстанавливать начальные формы и размеры при снятии нагрузок. Если породы при рассмотрении конкретных задач испытывают деформации одного знака, то достаточно, если диаграмма « » при нагружении будет близка к линейной. В этом смысле упругую модель массива также называют линейно-деформируемой средой, причём её свойства в подобных случаях характеризуются модулем деформации, т.е. коэффициентом пропорциональности между напряжениями и деформациями. Несмотря на простоту выражений и сравнительно малую адекватность подобной модели поведению реальных массивов, упругая модель обладает весьма замечательным свойством - её применение обеспечивает получение верхних максимально возможных значений напряжений и нижнего предела, т.е. минимально возможных значений деформаций для изучаемых объектов.

   Некоторым горным породам в условиях естественного  залегания нехарактерна линейная связь между напряжениями и деформациями; поэтому рассматриваются модели, учитывающие неупругие свойства пород.  Такие пластичные модели отражают способность пород к необратимым деформациям.

   Пластическим  или неабсолютно  упругим называется тело, которое после прекращения внешних воздействий сохраняет новую форму или возвращается в прежнюю лишь постепенно. Неупругость представляет собой отклонение от свойств упругости при деформировании тела в условиях, когда остаточные деформации практически отсутствуют.

   Механизм  пластической деформации объясняется сдвигами материала по некоторым площадкам, в связи с этим структурную схему идеально пластической среды можно представить в виде элемента трения:

   Рис. 2. Структурная схема (а) и диаграмма  напряжений (б) идеально-пластической модели.  

   Горные  породы так же обладают реологическими свойствами, которые отражаются с помощью некоторого вязкого элемента Ньютона. Он представляет собой поршень в цилиндре с вязкой жидкостью, а деформация во времени уподобляется истечению вязкой жидкости сквозь поршень с отверстиями. Для идеально вязкой модели напряжения пропорциональны скорости деформации.

   Отдельно  идеально вязкие модели практически не используются, но в сочетании с упругими и пластическими их применяют при моделировании вязко - упругой среды.

   В случае, если горные породы наряду с упругими проявляют ещё и пластические свойства, то используются упруго - пластические модели, представляющие собой сочетание упругих и пластических элементов.

   Рис.3. Структурная схема (а) и диаграмма  напряжений (б) упруго -пластической модели. 

      При этом до некоторого предела, определяемого условиями предельного равновесия, в модели развиваются только упругие деформации, а по достижении этого предела - пластические. В соответствии с этим в массиве пород выделяются упругая и пластическая области. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   2. Упругость как физическое свойство. 

   Разделение  тел на упругие и пластические в какой-то степени условно, т.к. деформации, которым они могут подвергаться зависят и от свойств самого тела, и от приложенных сил. Если напряжение (т.е. сила, приложенная к единице площади) не превышает предела упругости, то деформация будет упругой, если превысит – будет иметь место пластическая деформация.

   Физическая природа упругости связана с электромагнитным взаимодействием (в том числе с силами Ван-дер-Ваальса в решетке кристалла).

   В твердых телах при нормальных температурах в отсутствии внешних напряжений атомы занимают равновесные положения, в которых сумма всех сил, действующих на каждый атом со стороны остальных равна нулю, а потенциальная энергия атома минимальна. Кроме сил притяжения и отталкивания, зависящих только от расстояния, в многоатомных молекулах и макроскопических телах действуют так же угловые силы, зависящие от валентных углов. При равновесных значениях валентных углов угловые силы так же уравновешены. Энергия макроскопического тела зависит от межатомных расстояний и валентных углов, принимая минимальное значение при равновесных значениях этих параметров. При действии внешних напряжений атомы смещаются из своих равновесных положений, что приводит к увеличению потенциальной энергии на величину равную работе внешних напряжений по изменению объема и формы тела. В результате внутри тела возникают внутренние силы, стремящиеся вернуть его в состояние равновесия. Эти силы называются внутренними напряжениями. Когда внешние напряжения исчезают, конфигурация упруго деформированного тела с его новыми межатомными расстояниям и валентными углами оказывается неустойчивой; она самопроизвольно возвращается в исходное равновесное состояние. Избыточная потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию колеблющихся атомов.

   При температурах, ниже температур плавления  атомы так же совершают малые  тепловые колебания относительно положения  равновесия и без приложения внешних  сил; поэтому модули упругости материала так же зависят и от температуры.

   В жидкости тепловые колебания имеют амплитуду, сравнимую с равновесным расстоянием, из-за этого атомы легко меняют свое положение и не сопротивляются касательным напряжениям, если их скорость значительно меньше скорости тепловых колебаний. В газообразном состоянии средние расстояния между атомами и молекулами значительно больше, чем в конденсированном; поэтому упругость газов и паров определяется тепловым движением молекул, ударяющихся о стенки сосуда, ограничивающего объем газа. 

   3. Земля как физическая среда. 

   Обычно  свойства вещества Земли рассматривают  с точки зрения механики простейших сплошных сред, каковыми являются идеально упругое тело Гука и идеальная  жидкость Ньютона. В природных телах могут происходить как упругие, так и пластические деформации. Это зависит и от свойств вещества, из которого состоит тело, от значения и характера приложенных сил, внешних условий (температуры, давления и т.д.). Если внешние силы малы и действуют кратковременно, то большинство тел ведет себя как идеально упругое тело; если силы воздействуют длительно, то  все твердые тела становятся пластичными. Например, вещество верхней мантии Земли реагирует на длительные нагрузки как вязкая жидкость; однако, даже в слое низких скоростей хорошо распространяются все виды упругих волн.

   Это относится и горным породам: в  зависимости от величины приложенных  сил их можно рассматривать либо как абсолютно упругие среды, либо как пластические. Это означает, что одни и те же горные породы могут обладать свойствами хрупкости и текучести, а так же испытывать необратимые деформации течения; затем могут образовываться разрывы и разломы.

   Сжатие  Земли достаточно хорошо отвечает условиям равновесия вращающейся жидкости, несмотря на изменение в скорости вращения Земли. Собственные колебания Земли, приливы, нутация согласуются с основными выводами теории упругости, если не считать процессов затухания этих движений и запаздывания приливов по фазе.

   Процесс возникновения глубоких и промежуточных землетрясений, в рамках общепринятых моделей, опирающихся на принцип упругой отдачи Рейда, оказывается необъяснимым с позиций механики упругой или идеально упругой среды.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   4. Виды деформаций и способы их описания с точки зрения теории упругости. 

   4.1. Деформации. 

   Упругие деформации. Если деформация тела достаточно мала, то по прекращении действия вызвавших ее сил тело возвращается в недеформированное состояние. Такие деформации называются упругими. В этом случае вся работа определяет изменение внутренней энергии элемента объема dE :

.

   При больших деформациях прекращение  действия внешних сил не приводит к полному исчезновению деформации, т.е. остаточная деформация приводит к  тому, что состояние тела отличается т первоначального. Эта деформация называется пластической и для нее правило не выполняется. При нулевом тензоре деформаций тензор напряжений так же равен нулю.

   В какой-то мере все тела, которые можно  считать твердыми, обладают свойством  упругости; но так как упругие деформации малы, глазом заметить их можно только при наблюдении за деформированием пластинок, струн, гибких стержней.

   Следствием  упругих деформаций являются упругие  колебания природных объектов и  конструкций: дрожание стального моста  во время прохождения поезда, дребезжание посуды в домах, расположенных у дороги, звучание струнных музыкальных инструментов и т.д.

   В процессе землетрясения происходят упругие колебания поверхности  земной коры; при сильном землетрясении  кроме упругих деформаций возникают пластические, иногда появляются трещины. Эти явления не относятся к упругости – в процессе деформирования твердого тела сначала всегда появляются упругие деформации, потом пластические, затем возникают микротрещины.

   Упругие деформации малы по сравнению с пластическими; они составляют не более 1%, тогда как пластические достигают 5-10 % и более.

   При деформировании с конечной скорость в теле возникают отклонения от теплового равновесия. Если взять равномерно нагретую тонкую пластинку, материал которой расширяется при нагревании и изогнуть ее, то растянутые волокна охладятся, а сжатые нагреются, вследствие чего возникнет поперечный перепад температуры. Таким образом, упругое деформирование вызовет нарушение теплового равновесия. Последующее выравнивание температуры путем теплопроводности представляет собой процесс, сопровождаемый необратимым переходом части упругой энергии в тепловую. Этим объясняется затухание свободных изгибных колебаний пластинки – термоупругий эффект. Такой процесс восстановления нарушенного равновесия называется релаксацией.

   При упругом деформировании сплава с  равномерным распределением атомов различных компонентов может  произойти перераспределение атомов в веществе, связанное с различием  их размеров. Восстановление равновесного распределения атомов путем диффузии так же представляет собой релаксационный процесс. Проявлениями неупругих, или релаксационных свойств так же являются упругое последействие в чистых металлах и сплавах, упругий гистерезис и.т.д.

   Деформация, возникающая в упругом теле, зависит не только от приложенных к нему внешних механических сил, но и от температуры, химического состава, внешних магнитных и электрических полей, величины зерна и т.д. это приводит к многообразию релаксационных явлений. Если силы, воздействующие на твердое тело, превосходят предел упругости, то возникает пластическое течение.

   Медленные неупругие деформации. Причина медленных неупругих деформаций твердых поликристаллических тел кроется в наличии в них точечных и линейных дефектов кристаллической структуры, вакансий и дислокаций. Эти дефекты возникают при росте кристаллов после их образования и при пластической деформации.

   Нужно упомянуть о явлении вязкоупругости – свойстве веществ в твердом состоянии быть как упругими, так и вязкими. Вязкоупругие напряжения и деформации зависят от истории протекания процесса деформирования и характеризуются рассеянием энергии на замкнутом цикле деформации и ее постепенном исчезновении при снятии нагрузки. При этом четко выражены ползучесть материалов и релаксация напряжений, которая может сопровождаться фазовым переходом.

   Ползучесть – процесс постепенного нарастания деформации во времени при постоянном напряжении, меньшем прочности на течение для данного материала. Деформация сдвига кристаллических и стекловидных тел возникает в том случае, если воздействия прикладываются в течение времени, существенно меньшего, чем некоторое характеристичное для данного материала время; между деформациями и напряжениями  в теле возникают соотношения, которые можно описать кривой, изображенной на рисунке 4.

   Связь между  и до точки а выражается согласно закону Гука по формуле , напряжение называется пределом пропорциональности. Напряжение - предел текучести, или прочность на течение; – прочность на разлом. Участок bc – область текучести или пластической деформации; сd- область упрочнения (в точке d происходит разрушение материала или образование разрыва, так же это может произойти в точке ).

   Рис. 4. Зависимость напряжения в среде от деформации ; А – общий вид; Б – для хрупких тел.

   Упругая идеально пластичная реология. Породы проявляют хрупкость при низких всесторонних давлениях, а при больших напряжениях раскалываются. Но если всестороннее  давление близко к пределу прочности ( - предел упругости) происходит переход от упругого поведения к пластическому. Выше предела упругости происходит необратимая деформация пород. После наложения нагрузки напряжение и деформация меняются вдоль пути для пластического материала и вдоль пути для хрупкого. После снятия нагрузки – по пути для пластического, и по пути для хрупкого (в результате возникает остаточная пластическая деформация ).

   Переход деформации от упругой в пластическую зависит от всей предыстории нагружения. На упругопластическую деформацию сильно влияет температура: с ростом температуры  величина упругого поведения уменьшается. При построении кривых напряжение – деформация предполагается, что они не зависят от скорости нагружения, т.е. от времени. Вид кривой для любого материала сильно зависит от внешних условий (температуры, давления, скорости нагружения, продолжительности нагрузки, предыстории материала). Например, при повышении давления и температуры увеличиваются пластические свойства материалов; повышение только давления ведет к росту прочности материала ; повышение скорости нагружения способствует увеличению хрупкости материала; увеличение времени нагрузки – к появлению процессов течения в материале.   

   4.2. Тензор деформации. 

   Под действием внешних нагрузок тела меняют свою форму из-за смещения частиц относительно друг друга. Описать их положение после деформации можно, если известен вектор перемещений, отнесенный к исходному положению частиц. Мысленно выделенный в теле до деформации малый параллелепипед после нее изменит свою форму (длину ребер, и углы). Количественной мерой деформации будут относительные удлинения ребер малого параллелепипеда и относительное изменение углов относительно .  

   Таким образом, деформация полностью описывается  шестью компонентами. Три первые компоненты называются продольными (нормальными) деформациями, три остальных –  сдвиговыми. Величина деформации зависит от напряжений (внешних сил, действующих на единицу площади). Горные породы ведут себя как хрупкие тела только при малых деформациях, когда все шесть компонент деформации не превышают  . Таким образом, на каждую малую площадку, мысленно выделяемую в теле, действуют напряжения, имеющие перпендикулярную составляющую к площадке (нормальное напряжение) и две составляющие, направленные вдоль площадки (сдвиговые напряжения). Эти три компоненты напряжения создаются с помощью шести компонент тензора напряжения, которые в свою очередь, связаны с шестью компонентами малых деформаций законом Гука.

   Рис.5. Компоненты напряжений, действующих  в элементе породы. 

   Под действием внешних сил все  точки в деформированном теле смещаются из своего первоначального положения, описываемого радиус-вектором r (с координатами х1=х, х2=у, х3=z) в положение r`(c координатами xi). Смещение отображается вектором деформации U:

   U= r` - r;      или U=xi - x

   Изменение расстояния между точками описывается следующим образом. Пусть радиус-вектор до деформации был dxi, то после деформации радиус- вектор будет dxi`= dxi + du i , тогда расстояние между точками будет равно: 

             - расстояние до деформации; 

         - расстояние после деформации.

   Отсюда  получим: 

    , где 

    -  изменение элемента длины при деформировании тела.

   Тензор  = называется тензором деформации и является симметричным. Это значит, что его в каждой точке можно привести к главным осям и наглядно увидеть, что в каждом элементе объема деформацию можно рассматривать как совокупность трех независимых деформаций по трем перпендикулярным направлениям (главным осям тензора). Как правило, изменение расстояний в теле намного меньше самих расстояний, т.е. относительные удлинения малы по сравнению с единицей. Поэтому тензор малых деформаций будет выражаться следующим образом:

   4.3. Тензор напряжения. 

   Ключевым  фактором теории упругости является то, что все силы проявляют свое действие на тело только через поверхность. Т.е. для любого объема тела каждую из  трех компонент равнодействующей всех внутренних напряжений сил (f  -сила, dV – единица объема) преобразовать в интеграл по поверхности этого объема. Тогда вектор , будет являться дивергенцией некоего тензора второго ранга:

    , где

    - тензор  напряжений 

   Тогда силу, действующую на некоторый объем, можно рассчитать по следующей формуле: