Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Условный экстремум

СОДЕРЖАНИЕ

Ведение………………………………………………………………………………….3

1 Понятие экстремума функции. ...…………………………………………...............4

2 Условный экстремум функции ……………………..………………….………….. 8

3 Задачи на условный экстремум функции многих переменных…………………11

4 Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума функции многих переменных ………………………………………………………..13

5 Алгоритм нахождения экстремума функции методом множителей Лагранжа...17

6 Смысл множителей Лагранжа …………………………………………………….20

7 Преимущества и недостатки метода множителей Лагранжа………………….22

Заключение .…………………………………………………………………………23

Список использованных источников…………………………………………….. 24

ВВЕДЕНИЕ

Долгое время к задачам на отыскание экстремумов не было единых подходов. Но примерно триста лет назад – в эпоху формирования математического анализа – были созданы первые общие методы решения и исследования задач на экстремум.

Накопление методов дифференциального исчисления приняло наиболее явную форму у Ферма. В 1638 году он сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений функции f(x). Ферма составлял уравнение (f(x+h)-f(x))/h=0 и после преобразований в левой части полагал h=0.

К сожалению, Ферма не стремился публиковать свои работы, кроме того, пользовался труднодоступными для усвоения алгебраическими средствами Виета с его громоздкой символикой. Видимо, поэтому он не сделал последнего, уже небольшого, шага на пути к созданию дифференциального исчисления.

Накопление фактов дифференциального исчисления происходило быстро. В «Дифференциальном исчислении» (1755) Эйлера это проявляется уже в весьма полном виде.

Правила определения экстремумов функции одной переменной y=f(x) были даны Маклореном. Эйлер разработал этот вопрос для функции двух переменных. Лагранж показал (1789), как отличать вид условного экстремума для функции многих переменных.

Таким образом, в математике изучение задач на нахождение максимума и минимума началось очень давно. Но только лишь в эпоху формирования математического анализа были созданы первые методы решения и исследования задач на экстремум.

Данная тема актуальна в современности потому, что метод множителей Лагранжа применяется при решении задач нелинейного программирования, возникающих во многих областях (например, в экономике).

1 Понятие экстремума функции

Для начала рассмотрим понятие экстремума и необходимые условия экстремума функции.

Положим, что имеется некоторая функция с двумя переменными

Точка называется точкой экстремума (максимума или минимума) функции , если есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки .

При этом значение называется экстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Говорят также, что функция имеет в точке экстремум (или достигает в точке экстремума).

Заметим, что в силу определения точка экстремума функции лежит внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащей эту точку. Вид графиков, изображающих поверхности функций в окрестностях точек экстремума показан на рисунке 1.

Рисунок 1

Теперь установим необходимые условия, при которых функция достигает в точке экстремума; для начала будем рассматривать только дифференцируемые функции.

Необходимый признак экстремума: Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

, .

₍₁₎

Доказательство: Допустим, что функция имеет в точке экстремум.

Согласно определению экстремума функция при постоянном , как функция одного достигает экстремума при . Как известно, необходимым условием для этого является обращение в нуль производной от функции при , т. е.

₍₂₎

Аналогично функция при постоянном , как функция одного , достигает экстремума при . Значит,

₍₃₎

Что и требовалось доказать.

Точка , координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции , называется стационарной точкой функции.

Уравнение касательной плоскости к поверхности :

₍₄₎

для стационарной точки принимает вид .

Следовательно, необходимое условие достижения дифференцируемой функцией экстремума в точке геометрически выражается в том, что касательная плоскость к поверхности – графику функции в соответствующей ее точке – параллельна плоскости независимых переменных.

Для отыскания стационарных точек функции нужно приравнять нулю обе ее частные производные

(*)

и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Пример. Найдем точки экстремума функции

Приравнивая частные производные нулю:

₍₅₎

находим одну стационарную точку – начало координат. Здесь A=2, B=0, C= -2. Следовательно, и точка (0, 0) не является точкой экстремума. Уравнение есть уравнение гиперболического параболоида (рисунок 2) по рисунку видно, что точка (0, 0) не является точкой экстремума.

Рисунок 2

Локальные Экстремумы

Определение 1: Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум, если существует такая окрестность точки , для которой для всякой точки M с координатами (x, y) выполняется неравенство: . При этом, < 0 (приращение функции меньше нуля).

Определение 2: Говорят, что функция имеет в точке локальный минимум, если существует такая окрестность точки , для которой для всякой точки M с координатами (x, y) выполняется неравенство: . При этом, > 0 (приращение функции больше нуля).

Определение 3: Точки локальных минимума и максимума называются точками экстремума.

2 Условный экстремум функции

При отыскании экстремумов функции многих переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных.

Пусть заданы функция и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P(x, y), в которой значение функции является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P. Такие точки P называются точками условного экстремума функции на линии L. В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L.

Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное же, разумеется, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Данное утверждение можно пояснить на примере.

Графиком функции является верхняя полусфера (рисунок 3).

Рисунок 3

Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение x+y-1=0), то геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение функции достигается в точке , лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции на данной линии; ей соответствует точка M₁ на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.

Отметим, что в заключительной части задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области нам приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум.

Приступим теперь к практическому отысканию точек условного экстремума функции Z= f(x, y) при условии, что переменные x и y связаны уравнением j(x, y) = 0. Это соотношение будем называть уравнение связи. Если из уравнения связи y можно выразить явно через х: y=j(x), мы получим функцию одной переменной Z= f(x, j(x)) = Ф(х).

Найдя значение х, при которых эта функция достигает экстремума, и определив затем из уравнения связи соответствующие им значения у, мы и получим искомые точки условного экстремума.

Так, в вышеприведенном примере из уравнения связи x+y-1=0 имеем y=1-х. Отсюда

Легко проверить, что z достигает максимума при х = 0,5; но тогда из уравнения связи y=0,5, и мы получаем как раз точку P, найденную из геометрических соображений.

Очень просто решается задача на условный экстремум и тогда, когда уравнение связи можно представить параметрическими уравнениями х=х(t), y=y(t). Подставляя выражения для х и у в данную функцию, снова приходим к задаче отыскания экстремума функции одной переменной.

Если уравнение связи имеет более сложный вид и нам не удается ни явно выразить одну переменную через другую, ни заменить его параметрическими уравнениями, то задача отыскания условного экстремума становится более трудной. Будем по-прежнему считать, что в выражении функции z= f(x, y) переменная j(x, y) = 0. Полная производная от функции z= f(x, y) равна:

где производная y`, найдена по правилу дифференцирования неявной функции. В точках условного экстремума найденная полная производная должна ровняться нулю; это дает одно уравнение, связывающее х и у. Так как они должны удовлетворять еще и уравнению связи, то мы получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными

Преобразуем эту систему к гораздо более удобной, записав первое уравнение в виде пропорции и введя новую вспомогательную неизвестную l:

Знак минус перед l поставлен для удобства. От этих равенств легко перейти к следующей системе:

f`_x=(x,y)+lj`_x(x,y)=0, f`_y(x,y)+lj`_y(x,y)=0,

(**)

которая вместе с уравнением связи j(x, y) = 0 образует систему трех уравнений с неизвестными х, у и l.

Эти уравнения легче всего запомнить при помощи следующего правила: для того, чтобы найти точки, которые могут быть точками условного экстремума функции Z=f(x, y) при уравнении связи j(x, y) = 0, нужно образовать вспомогательную функцию

Ф(х,у)=f(x,y)+lj(x,y)

Где l – некоторая постоянная, и составить уравнения для отыскания точек экстремума этой функции.

Указанная система уравнений доставляет, как правило, только необходимые условия, т.е. не всякая пара значений х и у, удовлетворяющая этой системе, обязательно является точкой условного экстремума. Описанный прием решения задач на условный экстремум называется методом множителей Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа имеет наглядный геометрический смысл.

Предположим, что на рисунке 4 изображены линии уровня функции Z= f(x, y) и линия L, на которой отыскиваются точки условного экстремума.

Рисунок 4

Если в точке Q линия L пересекает линию уровня, то эта точка не может быть точкой условного экстремума т.к. по одну сторону от линии уровня функция Z= f(x, y) принимает большие значения, а по другую - меньшие. Если же в точке P линия L не пересекает соответствующую линию уровня и, значит, в некоторой окрестности этой точки лежит по одну сторону от линии уровня, то точка P будет как раз являться точкой

условного экстремума. В такой точке линия L и линия уровня Z= f(x, y) =С касаются друг друга (предполагается, что линии гладкие). И угловые коэффициенты касательных к ним должны быть равны. Из уравнения связи j(x, y) = 0 имеем

y`=-j`_x/j`_y, а из уравнения линии уровня y`=-f_x`/f_y`. Приравнивая производные и произведя простейшее преобразование мы получим уравнение

Приведенное рассуждение теряет силу, если линия уровня такова, что во всех ее точках f_x`=0, f_y`=0. Можно рассмотреть, например, функцию z = 4-x² и линию уровня x=0, соответствующую значению z = 4.

Можно искать условный экстремум функции f(x,y,z) при двух уравнениях связи: j₁(x, y, z) = 0 и j₂(x, y, z) = 0

Эти уравнения определяют линию в пространстве. Таким образом, задача сводится к отысканию такой точки линии, в которой функция принимает экстремальное значение, причем сравниваются значения функции только в точках рассматриваемой линии.

Метод множителей Лагранжа в этом случае принимается следующим образом: строим вспомогательную функцию

Ф(x, y, z) = f(x, y, z)+l₁j₁(x, y, z) +l₂j₂(x, y, z), где l₁ и l₂ – новые дополнительные неизвестные, и составляем систему уравнений для отыскания экстремумов этой функции.

Добавляя сюда два уравнения связи получаем систему уравнений с пятью неизвестными x, y, z, l₁, l₂. Искомыми точками условного экстремума могут быть только те, координаты х, у, z которых являются решением этой системы.

3 Задачи на условный экстремум функции многих переменных

Пусть на открытом множестве заданы функции

(6)

. Обозначим через множество точек , в которых все функции , обращаются в нуль:

(7)

Уравнения

(8)

называются уравнениями связи.

Определение 1. Пусть на задана функция . Точка называется точкой условного экстремума функции относительно (или при выполнении) уравнения связи (8), если она является точкой обычного экстремума этой функции, рассматриваемой только на множестве .

Иначе говоря, здесь значение функции в точке сравнивается не со всеми ее значениями в достаточно малой окрестности этой точки, а только со значениями в точках, принадлежащий достаточно малой окрестности и множеству . Как и в случае обычных экстремумов можно, естественно, рассматривать точки просто условного экстремума и точки строго условного экстремума.

Рассмотрим, например, функцию

₍₉₎

И уравнение связи

₍₁₀₎

Найдем условный экстремум функции (9) при выполнении уравнения связи (10). Из (10) имеем .

Таким образом, при выполнении условия связи функция (9) является функцией одного переменного, ее экстремум находится элементарно: приравнивая нулю ее производную (необходимое условие экстремума), получим , откуда . В этой точке функция (9), очевидно, имеет минимум (она является многочленом второй степени с положительным коэффициентом при старшем члене). Значению согласно уравнению связи (10) соответствует .

Следовательно, в точке функция (9) достигает минимума относительно уравнения связи (10). Геометрически это означает, что точка параболоида , находящаяся над точкой , является самой низкой из всех его точек, лежащих над прямой (10).

Предполагают, что

Функции и имеют непрерывные частные производные первого порядка на открытом множестве .
и ранг матрицы в каждой точке множества _р_а_в_е_н, т.е. числу строк.

Это означает, что функции системы (6) независимы в любой окрестности каждой точки .

Пусть ; согласно условию 2, в точке _{хоть один из определителей
вида
отличен от нуля; пусть
для определенности
в точке}

₍₁₁₎

_{Тогда
в силу теоремы
о неявных функциях
систему уравнений (}_{8) в некоторой окрестности
точки}_{можно разрешить относительно
переменных
:}

₍₁₂₎

_{Подставляя (}_{12) в функцию} _{, получим функцию}

₍₁₃₎

_{от
переменных}, определенную и непрерывную дифференцируемую в некоторой окрестности точки .

_Точка _{является точкой (строгого)
условного экстремума
для функции
относительно уравнения
связи (8) в том и только
том случае, когда точка

является точкой обычного (строгого)
экстремума для функции (13).
Это непосредственно
следует из того, что
условия (8) и (12) равносильны.}

4 Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума функции многих переменных

Теорема 1. Пусть точка является точкой условного экстремума функции при выполнении уравнений связи (8). Тогда существуют такие числа , что в точке выполняются условия

₍₁₄₎

Следствие. Положим

₍₁₅₎

где - числа, указанные в теореме. Функция (15) называется функцией Лагранжа. Если точка является точкой условного экстремума для функции, то она является стационарной точкой для функции Лагранжа, т.е. в этой точке

₍₁₆₎

Доказательство теоремы. Пусть _{– точка условного
экстремума для функции

и пусть в этой точке
для определенности
выполняется условие (11).
Тогда точка} _{является точкой
обычного экстремума
для функции
, поэтому в точке}

или

откуда, пользуясь инвариантностью формы первого дифференциала, для точки имеем

₍₁₇₎

Подставляя (12) в (8) и дифференцируя получившееся тождество в некоторой окрестности точки, а значит, и в самой точке, получим

₍₁₈₎

В формуле (18), также как и в формуле (17), дифференциалы есть дифференциалы независимых переменных, а дифференциалы есть дифференциалы функций .

Каковы бы не были числа , умножая равенство (18) в точке для функции на , и складывая их между собой и с равенством (17), получим

₍₁₉₎

Выбрав так, чтобы в точке выполнялись равенства

₍₂₀₎

Это всегда возможно, так как (20) является системой линейных относительно уравнений с определителем

не равным нулю.

При таком выборе имеем

₍₂₁₎

Здесь уже все дифференциалы есть дифференциалы независимых переменных и, значит, сами являются независимыми переменными, которые могут принимать любые значения. Беря , а все остальные дифференциалы, входящие в формулу (21), равными нулю, получим

₍₂₂₎

Тем самым мы доказали существование таких , что выполняются условия (20) и (22), т.е. условия (14).

Теорема доказана.

5 Алгоритм нахождения экстремума функции методом множителей Лагранжа

Пусть требуется найти экстремум функции n переменных f(x₁,x₂,…,x_n) при условии, что переменные x₁,x₂,…,x_n связаны соотношениями (ограничениями)

₍₂₃₎

среди которых количество m ограничений-равенств меньше числа n переменных, а количество l и r ограничений-неравенств может быть произвольным.

Для нахождения значений {x₁,x₂,…,x_n}=Х, необходимо доставляющих экстремумы функции f(X), можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа:

Ограничения-неравенства g(X)³0 приводятся к виду j(Х)£0, где j(Х) = - g(X).
Полученные ограничения-неравенства

₍₂₄₎

в свою очередь приводятся к ограничениям-равенствам путем введения l+r дополнительных переменных

₍₂₄₎

В результате задача поиска условного экстремума примет канонический вид:

₍₂₅₎

в котором соотношение m+l+r < n+l+r указывает на возможность получения множества допустимых решений, а значит, и нахождения среди них тех, которые доставляют экстремум f(X).

Составляется функция Лагранжа:

Ф(x₁,…,x_n,l₁,…,l_m+_l_+r) = f(x₁,x₂,…,x_n)+l₁q₁+l₂q₂+…+l_m+_l_+rq_m+_l_+r,

₍₂₆₎

в которой дополнительные переменные {l₁,…,l_m+_l_+r}=L называются неопределенными множителями Лагранжа.

Для составленной функции Лагранжа можно ставить задачу нахождения безусловного экстремума

Ф(Х,L) ® extr,

(27)

результат решения которой будет совпадать с искомым решением исходной задачи нахождения условного экстремума.

Для функции Ф(Х,L) составляются необходимые условия существования экстремума:

ÑФ(Х,L)=0

(28)

Или

(29)

Полученную систему уравнений ÑФ(Х,L)=0 решают, и в результате решения находят значения

(30)

удовлетворяющие необходимым условиям существования экстремума.

Для решения вопроса о том, существует ли в найденных точках максимумы или минимумы следует воспользоваться достаточными условиями существования экстремумов, которые для гладких функций Ф(×) формулируются следующим образом:

если в некоторой точке матрица вторых производных положительно определена, то в анализируемой точке лежит минимум функции f(Х);

если отрицательно определена - максимум.

Если Ф(Х,L) негладкая, то можно использовать достаточные условия вида, например, для максимума:

Ф(Х,L*) £ Ф(Х*,L*) = Ф(Х*,L),

(31)

однако проверка этих условий при большом числе переменных трудоемко, и при решении практических задач вопрос о наличии минимума или максимума решается на основании дополнительных соображений, вытекающих из содержания задачи.

6 Смысл множителей Лагранжа

При решении задачи Лагранжа мы интересовались значениями х₁,…,х_n; кроме того, нас могло интересовать экстремальное значение целевой функции f(X). Но в процессе решения попутно было определено значение еще одной величины – множителя Лагранжа.

Условный экстремум 📙 Реферат → 🆔 288147