Введение в классическую электродинамику

      ВВЕДЕНИЕ В КЛАССИЧЕСКУЮ ЭЛЕКТРОДИНАМИКУ 

Only you can to make all this wealth seem bright, 
Only you can to make the darkness fright, 
Only you and you alone can thrill me like you do, 
And to fill my heart with love for only you.

Only you can to make all this change in me, 
For it’s true - you are my destiny. 
When you hold my hand I understand the magic that you do 
You’re my dream come true, my one and only you.

Only you can to make all this change in me, 
For, it’s true - you are my destiny. 
When you hold my hand I understand the magic that you do

You’re my dream come true, my one and only you!  

      Электродинамика – это раздел физики, который изучает законы движения тел под влиянием внешних электрических и магнитных полей, которые создаются самими частицами. Эти поля (они называются электромагнитными) могут существовать и сами по себе, без источников. В таких случаях мы имеем дело с электромагнитными волнами. Такие волны могут поддерживать сами себя – то есть электрическое поле порождает магнитное, а магнитное поле – электрическое, и так далее.

      Классическая  электродинамика изучает частицы, движущиеся во внешнем поле по законам классической механики. Квантовая электродинамика изучает частицы, при движении которых во внешнем поле начинают проявляться квантовые эффекты. 

Краткая историческая справка.

      История развития электродинамики может  быть разбита на несколько частей.

1. Первые наблюдения (до 1600 г.).

   На  этом этапе люди наблюдали за молниями, пытались их осознать. Обнаружена способность  обработанного янтарного камня  притягивать мелкие пылинки. Китайские  моряки начали использовать магнит в  качестве компаса.

2. Первые эксперименты и накопление знаний об электричестве и магнетизму (1600 – 1800 гг.)

   Первые  систематические исследования электричества  и магнетизма были  предприняты  английским физиком Вильямом Вильбертом, который в 1600 г. написал книгу «О магните, магнитных телах и большом магните — Земле». На этом этапе развития электродинамики были открыты свойства точки Кюри, изобретены машина Герике,  громоотводы, электрометр (изобрёл Рихтер в 1752 г.), крутильные весы (изобретены Шарлем Кулоном в 1784 г. для измерения силы взаимодействия), доказана электрическая природа молнии (это было сделано политиком и учёным Франклином Рузвельтом).

3. Открытие основных законов электромагнетизма (1800 – 1900 гг.).

   Систематические исследования электромагнетизма начались в 1800 г. Толчком к этому послужило  открытие Вольтом первого источника  электричества («Вольтов столб»). Так же в этот период было доказано, что электричество порождает магнетизм, и магнетизм порождает электричество (обратное доказал Фарадей). В 1895 г. 17 мая русский учёный Попов первым передал электромагнитные сигналы на большое расстояние, в связи с чем этот день считается Днём Радио.

4. Построение современной электродинамики на основе Специальной Теории Относительности.

   К началу XX века основные уравнения электромагнитной теории были открыты. Лоренц открыл силу, которая… и ввёл понятие «собственного времени» (1895 г.). В 1896 г. Зееман – ученик Лоренца – обнаружил эффект расщепления спектральных линий при наличии внешнего поля (эффект Зеемана). В 1897 г. Лоренц объяснил это явление, и в 1902 году они оба получили Нобелевскую премию. В 1904 г. Лоренц вывел преобразования для координат и времени, Нильс Бор сформулировал постулаты. В 1905 г. А. Эйнштейн разработал Специальную Теорию Относительности (СТО), в которой вывел связь энергии и массы: E=mc², где  

Системы единиц.

      В классической электродинамике удобнее  всего пользоваться системой СГС (сантиметр, грамм, секунда). Эта система подразделяется на две: СГСЭ, которая специализируется на электрических величинах, и СГСМ, специализирующуюся на магнитных величинах.

      Многие  единицы, которые используются в  электродинамике, получили своё название по имени первооткрывателя явления, с которым связана данная величина. Например: Гильберт (СГСМ), Кулон (СИ), Вольт (СИ), Эрстед (СГСМ), Ампер (СИ), Фарада (СИ), Герц (СИ и СГС), Максвелл (СГСМ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ  КЛАССИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 

§1.1. Постулаты Специальной  Теории Относительности. 

      Математической  основой классической электродинамики является Специальная Теория Относительности. Основными понятиями СТО являются пространство и время. Пространство необходимо для того, чтобы указать место, где произошло некоторое событие, а время – для того, чтобы указать конкретный момент времени, когда оно произошло. Главная заслуга СТО заключается в том, что она внесла коренные изменения в представление о пространстве и времени.

      До  построения СТО пространство и время  рассматривались независимо друг от друга, при этом пространство считалось однородным и изотропным, а время отсчитывалось по некоторым «абсолютным» часам, которые шли одинаково во всех точках трёхмерного пространства. Однородность пространства означает, что в нём нет выделенных областей, все области равноправны. Изотропность пространства означает, что в нём нет выделенных направлений, все направления равноправны. Свойства изотропности и однородности связаны с законами Ньютона и обеспечивают выполнение законов сохранения импульса и момента импульса.

      Докажем, что из однородности пространства следует  закон сохранения импульса. Рассмотрим свободную частицу, которая движется равномерно и прямолинейно в однородном и изотропном пространстве (рис. 1.1). В этом случае скорости в любые моменты времени будут равны. Теперь пусть частица попадает в область пространства с нарушением однородности (рис. 1.2). Тогда скорость _{, с которой частица движется ещё в однородной и изотропной среде, уже не будет равна скорости , с которой частица будет двигаться в неоднородной среде, и скорости после выхода из области неоднородности. Таким образом, , следовательно, импульс сохраняться не будет: закон сохранения импульса в этом случае не выполняется.}

      Аналогично  можно показать, что из изотропности пространства следует закон сохранения момента импульса. В этом случае, после того, как частица попадёт  в область неизотропности, она  изменит своё направление (рис. 1.3) по сравнению с движением в однородном и изотропном пространстве (рис. 1.1). Таким образом, в неизотропном пространстве закон сохранения момента импульса выполняться не будет.

      В СТО пространство и время объединяются в единый пространственно-временной континуум (ПВК), где время рассматривается как четвёртая координата, наравне с пространственными. Свойства однородности и изотропности трёхмерного пространства Ньютоновой механики относятся и к четырёхмерному пространству, при этом все четыре координаты равноправны, а оси координат взаимно ортогональны.

      Важнейшими  объектами изучения в электродинамике  являются частицы и поля. Будем рассматривать в основном точечные частицы. Частица может считаться точечной, если её размер и форма не влияют на характер движения. Такие частицы обладают зарядом, равным по величине элементарному заряду, совпадающему с зарядом электрона: q=e=4,8*10^-10 СГСЕ.

        Взаимодействие между заряженными  частицами передается с помощью электрических и магнитных полей, которые они же сами и создают. При этом покоящийся заряд создает вокруг себя электрическое поле кулоновского типа, а движущиеся заряды создают также и магнитное поле. СТО разрешила спор о характере передачи взаимодействия между частицами. Согласно теории дальнодействия передача происходила мгновенно на большие расстояния. По теории близкодействия скорость передачи была конечной, взаимодействие передавалось постепенно, от точки к точке. эта теория является материальной: она подразумевает существование некой материи, через которую передаётся взаимодействие – эфир, поле, и т.д.

      Силовое поле можно определить с помощью пробной частицы, которая является индикатором данного поля. Такая частица не должна вносить никаких возмущений поле, в котором она находится. Силовое поле – это множество векторов, которые действуют на частицу, помещённую в область пространства. С геометрической точки зрения силовые поля являются примерами векторных полей.

      Теория  Ньютона является теорией дальнодействия. Сила, действующая на частицу, может быть определена через потенциальную энергию: .

      Действительно, если мы выведем один шарик из положения равновесия, приложив к нему силу (рис. 1.4), второй шарик тоже «почувствует» это действие в тот же момент.

       ; ; , => .

      Экспериментально было установлено, что , где - скорость света. Это означает, что все взаимодействия в природе распространяются со скоростью света .

      Основу СТО составляют два постулата Эйнштейна:

1. Скорость света не зависит от скорости движения источника и одинакова во всех

инерциальных  системах отсчета (ИСО).

2. Во всех ИСО законы природы действуют одинаково.

      Из  этих постулатов существует несколько  следствий.

1. Скорость любой материальной частицы не может превышать скорость света. Иначе такую частицу можно было бы использовать для передачи взаимодействия, распространяющегося в пространстве со скоростью больше скорости света, что невозможно.
2. Время не является абсолютным, оно течёт по-разному в разных системах отсчёта.
3. Абсолютно твердых тел не существует. Иначе, если бы тело было абсолютно твердым, то точка 2 (рис. 1.7) под действием силы должна была бы выйти из состояния равновесия одновременно с точкой 1, что в свою очередь невозможно, так как это запрещается первым постулатом Эйнштейна.

§1.2. Четырёхмерное пространство и четырёхмерная символика. 

      Время можно рассматривать как четвертую  координату наравне с тремя пространственными. Все четыре оси считаем взаимно ортогональными. Такое пространство будем считать однородным и изотропным всюду. Координаты точки в таком пространстве представляют собой совокупность четырёх величин, и образуют четырёхмерный вектор: , .

      Четырехмерный вектор определяет положение некоторой точки в пространстве, получившей название мировой точки. Если эта точка движется, то ее траектория называется мировой линией. Расстояние между двумя мировыми точками в четырёхмерном пространстве называется интервалом и определяется по формуле:

      Интервал  – инвариантная величина. Это означает, что во всех ИСО эта величина одна и та же, т.е если есть интервал в одной инерциальной системе координат, а - в другой, то: .

 Если время абсолютно, то при равенстве  следовало бы, что , что и имело место в механике Ньютона. Пусть теперь , а следовательно и . Найдём коэффициент k. Запишем равенство интервалов: .

      ИСО остаются таковыми, если они движутся относительно друг друга с постоянной скоростью.  Рассмотрим две системы: и , движущиеся относительно друг друга постоянной скоростью (рис. 1.6). В обеих системах координат скорость распространения света одинакова согласно первому постулату Эйнштейна - . Если в начальный момент времени , то можно записать: . Составим теперь квадрат интервала в четырехмерном пространстве: ; => т.к. , то , => (знак «+» взят для определенности).

      Если  теперь рассматривать радиус-вектор частицы в четырёхмерном пространстве, то его модуль можно записать так: . Таким образом .

      В данном рассмотрении четвертая координата является мнимой. Чтобы избавиться от мнимости вводят два типа четырехмерных векторов – контравариантные и ковариантные . Также контравариантные вектора иногда обозначают через , а ковариантные - .

      Далее для удобства будем считать, что  все греческие символы пробегают  значения от 0 до 3 - , а латинские – от 1 до 3 - .

      В различных формулах электродинамики  встречаются то верхние, то нижние индексы. Операция поднятия и опускания индексов производится посредством соответствующих  метрических коэффициентов или  метрики:

. Рассмотрим особый случай, когда интервал равен нулю. Для этого источник света поместим в начало координат, и тогда распространение луча света будет описываться уравнением:

      С математической точки зрения это  есть уравнение конуса в четырехмерном  пространстве, вершина которого лежит  в начале координат – так называемый световой конус (рис. 1.7). Рассмотрим сечение четырехмерного пространства: .

 Образующая конуса есть траектория луча света или его мировая  линия в четырехмерном пространстве.

      Рассмотрим  сечение конуса двухмерной плоскостью: и произвольную мировую линию (рис. 1.8). Разобьём линию на такие участки, на каждом из которых линия может считаться прямой. Тогда будем иметь несколько случаев, в зависимости от характера движения частицы.

1. Мировая линия идёт круче чем 45⁰. Тогда , что противоречит первому постулату Эйнштейна.
2. Мировая линия распространяется под углом, меньшим, чем 45⁰. Тогда ; таким образом, частица, которая находится в начале координат, не может проникнуть внутрь светового конуса.
3. Предельный случай: направление распространения составляет 45⁰ с осью координат. Тогда .
4. Частица не движется. Тогда x=const, мировой линией будет являться ось ct.

      Таким образом, любая мировая линия, описывающая любой реальный процесс, лежит строго внутри светового конуса. Вне светового конуса никакие процессы с частицами невозможны. С течением времени частица может только удаляться от поверхности светового конуса: - область абсолютного прошлого; - область абсолютного будущего. 

§1.3. Преобразование Лоренца  для координат  и времени. 

      В предыдущем параграфе было введено  понятие интервала. Его квадрат  можно представить как  . Покажем, что преобразования Галилея не удовлетворяют этому условию. Для этого распишем координаты в соответствии с этим преобразованием: .

      Будем считать эти преобразования промежуточными (~). Подставим это преобразование в выражение для квадрата интервала: . Инвариантность интервала при таком преобразовании не сохраняется, что противоречит утверждению об инвариантности интервала. Преобразуем теперь правую часть этого выражения:

      В последнем выражении была произведена  замена:  

      Если  теперь выразить и подставить в преобразование Галилея, получим в итоге преобразования

      Согласно  преобразованиям Галилея  : .

      Это и есть преобразование Лоренца для  времени. Получим теперь преобразование Лоренца для координаты: Окончательно, .

      В итоге преобразование Лоренца для  координат и времени выглядят следующим образом:

      Для обратного преобразования, то есть перехода от к , следует только изменить знак у на и штрихованные величины сменить на нештрихованные. Несложно показать, что обратное преобразование Лоренца оставляет интервал инвариантом.

В нерелятивистском приближении преобразования Лоренца  переходят в преобразование Галилея. Видно, что преобразования Галилея являются предельным случаем преобразования Лоренца, когда . То есть принцип соответствия между двумя теориями соблюден.

Если  в системе  частица покоится, то ее скорость относительно системы равна скорости системы относительно этой системы. То есть преобразование Лоренца выполняется для частиц, движущихся с релятивистскими скоростями.

Также нетрудно показать, что в нерелятивистском приближении выражение:  

§1.4. Преобразования Лоренца  для скоростей  и углов. 

      Преобразования  Лоренца для скоростей и углов  могут быть получены из преобразований Лоренца для координат и времени, если продифференцировать эти преобразования, полагая . Тогда . Исходя из определения для скорости , получаем для проекций скоростей: .

      Эти выражения есть преобразования Лоренца  для скоростей. В нерелятивистском приближении мы получим вновь преобразования Галилея, пренебрегая выражением

 Убедимся также, что преобразования Лоренца для скоростей не приводят к парадоксу как в преобразованиях  Галилея:

      Перейдем  теперь к преобразованиям Лоренца  для углов. Рассмотрим движение частицы с большой скоростью в произвольном направлении. Пусть в системе частица покоится (рис. 1.9). Тогда скорость в проекциях на оси и можно представить как:

      То  же в  системе:

      Задача  состоит в том, чтобы определить связь между и , для чего следует определить :

      Будем считать теперь, что  (это условие определения углов). Тогда .

      Отсюда  можно получить:

      Преобразования  Лоренца для телесного угла выглядят так: ,

откуда  можно напрямую записать, что , где . 

§1.5. Кинематические «парадоксы» СТО. 

      1. Эффект прожектора.

      Это реально наблюдаемый эффект, связанный  с излучением электромагнитных волн в современных ускорителях. В  настоящее время излучение электронов таково, что оно попадает в видимый  диапазон электромагнитных волн, т.е. электроны  становятся светящимися (синхротронное  излучение). Электроны движутся  в ускорителях по окружности. Если бы он двигался с  , то он излучал бы равномерно по всем направлениям.

      Но  если , то . Т.е., при поворачивании электрона, поворачивается ниточка света, которую он излучает. – угол между лучом света и направлением движения.

      Луч света идет почти параллельно  скорости, например, в случае наблюдения света звезд через иллюминатор ракеты (рис. 1.10).

      2. Аберрация света.

      Аберрация – отклонение направления кажущегося луча света от истинного.

 Этот эффект впервые наблюдался в 1727 году английским астрономом Джеймсом Брадлеем, еще задолго до создания СТО (1904-1905). Наблюдая положение звезд на небесной сфере в направлении, перпендикулярном к плоскости орбиты (рис. 1.5.1), Брадлей обнаружил, что, по мере движения Земли, эти звезды описывают маленькие окружности на небесной сфере. Он связал этот эффект со скоростью движения Земли и с конечностью распространения света.

        – это угол между направлением телескопа на звезду и направлением скорости движения телескопа за счет вращения Земли: . Угол Y¢ – тупой.

      Посчитаем a в угловых секундах, где – отклонение звезды от истинного направления:

Т.к. при малых углах, то .

      Открытие  Брадлея – это первое подтверждение теории Коперника о гелиоцентрическом строении мира.

 3. Замедление времени в движущейся системе координат (парадокс близнецов).

        Пусть некоторая частица находится  в начале координат системы  и неподвижна относительно этой системы. (рис. 1.18) Тогда ее скорость относительно системы будет равна . Время, которое отсчитывается по часам в системе , где частица покоится, будем называть собственным временем и обозначать через . Время, которое отсчитывается наблюдателем в системе будем тогда называть лабораторным временем и обозначать через .

      Если  записать преобразования координат  и времени, то получим:

      будем считать, что  , так как в системе частица покоится. Подставит выражение для в первую формулу: ,

 что  естественно для равномерно и  прямолинейно движущейся в  -системе частицы.

      Из  формулы преобразования времени  тогда получаем: .

.

      Эта формула описывает замедление времени: . Физический смысл этого выражения заключается в том, что в движущейся системе координат время течет медленнее, чем в неподвижной системе наблюдателя (рис. 1.19). Отметим, что если частица движется с ускорением , то для малых отрезков времени это соотношение также будет выполняться и формула будет справедлива:

      Если  в начальный момент времени  часы были синхронизированы, то уже через некоторое время движущиеся со скоростью часы будут запаздывать по отношению к неподвижным часам.

      Имеется множество прямых и косвенных  подтверждений эффекта замедления времени или, как более популярно, эффекта близнецов. Наиболее убедительный способ – с использованием времени жизни космических частиц.

Космические лучи были открыты Гессом  в 1912 г. Гесс рассматривал проблему ионизации в воздухе. Он наблюдал изменения в степени ионизации воздуха с высотой. С увеличением высоты ионизация увеличивалась.

Свинцовый ящик, в который был помещен  электроскоп, поднимали на различную высоту. Подняв ящик на высоту 1400 метров и открыв его, Гесс он увидел, что листочки электроскопа опали. Чем больше высота, тем больше космических лучей разряжают электроскоп.

      Эти лучи состоят в основном из протонов (~90%) и частично из -частиц. Время жизни -мезона . Время жизни -мезона . У поверхности земли или даже под землей обнаруживаются только -мезоны (рис. 1.20). -мезоны сильно взаимодействуют с атомами атмосферы. Длина пробега см. за счет того, что имеет место эффект замедления времени, время жизни у -мезонов увеличивается.

      Ашер в 1972 г. проводил опыт с двумя самолетами, на борту которых были установлены сверхточные часы. В результате у самолета, летящего на восток, часы отставали от тех, которые были на земле.