Выборочное исследование

 

 

Выборка

 

ВЫБОРОЧНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

 

Исследование статистической  совокупности с помощью выборочного метода предполагает получение ее характеристик  не  по  всем единицам наблюдения, а по  некоторой их части, сформированной в случайном порядке.

 

Источником информации  для  выборочного исследования является выборочное наблюдение, которое является одной из разновидностей несплошного  наблюдения.

 

Целесообразность  проведения  выборочных исследований диктуется целым рядом обстоятельств.

 

Во-первых, оно  существенно сокращает трудоемкость исследовательской работы как на получения исходной информации,  так  и  на всех этапах последующей обработки.

 

Во-вторых, дает  возможность  проводить  исследования  в тех случаях, когда регистрация информации связана с порчей или  уничтожением единиц наблюдения.

 

В-третьих, позволяет повысить точность  исходной  информации за счет  организации  ее сбора более квалифицированным персоналом по сокращенному числу единиц наблюдения.

 

В-четвертых, делает  возможным  исследования  статистических совокупностей с неограниченным объемом.

    

Следует подчеркнуть,  что  применение  выборочного метода не меняет цели исследования.  Как и в любой статистической  проблеме нас интересует характеристики всей совокупности,  подлежащей изучению. Такую совокупность обычно называют генеральной. Однако в данном случае характеристики генеральной совокупности получают на основе предварительной оценки  через аналогичные характеристики другой совокупности, которая имеет меньший объем и специально  формируется  из некоторых единиц, входящих в исходную (изучаемую) совокупность. Эту совокупность принято называть выборочной.

    

 

Очевидно, оценка генеральных характеристик на основе выборочных возможна только в  том  случае,  если формируемая совокупность является репрезентативной,  то есть достаточно хорошо отражающей те закономерности,  которые  имеются  в генеральной совокупности.

 

Обеспечение репрезентативности основано на применении специальных методов  отбора  единиц из исходной совокупности,  которые дают равную возможность (вероятность) быть выбранной любой единице.

 

Наиболее простым является метод отбора единиц без разделения исходной (генеральной) совокупности на части. Обычно он называется  собственно случайным отбором.  При его применении все  единицы исходной  совокупности  перенумеровываются,  после чего путем жеребьевки последовательно извлекаются одна за  одной  те  единицы, которые будут включены в выборочную совокупность.

Проведение жеребьевки связано с большими  трудозатратами  и, кроме того, требуют применения специальных технических средств фишки, шапки, барабаны и т.д.  Существенно упрощает вероятностный отбор использование  таблиц случайных чисел или компьютерных датчиков случайных чисел.

Собственно-случайный отбор  при любой технике его проведения должен обеспечить равную вероятность включения в выборку не только каждой единицы исходной совокупности, но и появление в выборке каждой возможной комбинации единиц. Строго говоря  это условие может быть выполнено только в том случае, если объем исходной совокупности остается постоянным  на всех этапах отбора единиц. Для этого отобранную единицу необходимо "возвращать" в исходную совокупность перед отбором следующей. Этот метод  принято называть собственно-случайным  повторным отбором. При повторном отборе одна и та же единица имеет  возможность попасть в выборку несколько раз,  что не всегда удобно для проведения исследования.

На практике чаще используют собственно-случайный  бесповторный отбор,  который предполагает исключение ранее выбранных единиц из исходной совокупности на всех последующих шагах выборки. При этом объем исходной совокупности постоянно уменьшается, что приводит к некоторому увеличению  вероятности выбора для последующих единиц. Это обстоятельство надо учитывать при проведении выборочного исследования, особенно если объем исходной совокупности не очень велик.

Необходимо отметить, что  собственно-случайный  отбор  нельзя заменить беспорядочным выбором единиц,  при  котором  проявляется субъективное мнение составителя выборки. Недопустима также произвольная замена случайно отобранных единиц другими.  Во всех  этих случаях нарушаются требования репрезентативности и точность оценки характеристик исходной совокупности становится неопределенной.

Другая группа методов отбора предполагает разделение генеральной совокупности на части.

Механический отбор основан на расположении единиц в естественном порядке (географическом, пространственном, алфавитном, временном), выделении равных по объему частей и включении в выборку по одной определенной единице из каждой части.

Так, например, если составить алфавитный список всех студентов ВУЗа и выбрать каждого десятого из этого списка, то этот отбор будет механическим. Очевидно, механический отбор всегда является бесповторным. Выбирая случайным образом первую единицу, от которой с постоянным шагом будут отобраны все остальные, здесь можно обеспечить равную вероятность выбора для каждой единицы. Вместе с тем, появление различных комбинаций единиц в выборочной совокупности равную вероятность иметь не будет. Поэтому в некоторых ситуациях механический отбор может содержать систематическую ошибку. Вместе с тем, на практике им часто пользуются, поскольку его организация менее трудоемка.

Районированный (стратифицированный) отбор предполагает разделение единиц генеральной совокупности на отдельные группы с последующим случайным отбором единиц из каждой группы в отдельности. При этом число единиц, выбираемых из отдельных групп как правило пропорциональна объему этих групп.

Так, например, если устанавливается оценка среднего роста студентов ВУЗа, то целесообразно вначале разделить всех студентов на юношей и девушек и затем сделать выборку их этих двух групп пропорционально их численности. Ошибка выборки при этом окажется меньше, чем при собственно случайном отборе, за счет того, что вариация роста внутри групп юношей и девушек окажется меньше, чем общая вариация по всей совокупности студентов.

В районированном отборе также наблюдается некоторый отход от принципов равновероятного выбора. Вместе с тем, при использовании этого метода обеспечивается необходимое представительство в выборке различных групп, имеющихся в генеральной совокупности. Кроме того, указанные выше обстоятельства приводят в данном случае к понижению вариации исследуемого признака, что позволяет уменьшить потребный объем выборки.

Серийный (гнездовой) отбор также связан с разделением генеральной совокупности на группы, но в выборку здесь попадают не отдельные единицы из групп, а группы целиком. Причем выбор групп может быть организован случайным образом. В этом методе обеспечивается равная вероятность попадания различных групп (серий) и равная вероятность появления в выборке различных комбинаций серий.

Серийным отбором обычно пользуются в тех случаях, когда другие приемы трудноосуществимы. Так, например, при изучении заработной платы работающих в промышленности сложно составить полные списки занятых на всех промышленных предприятиях. В этом случае сначала реально выбрать случайным образом некоторое количество предприятий и включить в выборку всех занятых на них работников.

Многоступенчатый отбор осуществляется в несколько этапов, обычно с применением на каждом их них различных приемов выборки.

Примером такого подхода может служить выборочное обследование семейных бюджетов. При этом на первой ступени можно применить районированный отбор населенных пунктов с целью обеспечения представительства в выборке различных экономических районов страны. На второй ступени с помощью механического отбора устанавливаются районы внутри населенных пунктов, в которых будет проведено обследование. И, наконец, на третьей ступени применяется серийный отбор домохозяйств для регистрации бюджетов отдельных семей.

Математически постановка задачи выборочного исследования формулируется следующим образом:

 

Пусть предполагается исследовать распределение некоторого признака в генеральной совокупности известного объема . Целью исследования является получение оценки характеристик этого распределения, которые можно назвать генеральными. К их числу относятся:

 

–  генеральная средняя  ,

–  генеральная доля  ,

–  генеральная дисперсия  ,

–  генеральное среднеквадратическое отклонение  .

 

Если проводится сплошное наблюдения, то на основе полученной информации можно выполнить точный расчет эмпирических значений этих характеристик. Однако, предположим, что в данной ситуации это сделать невозможно или затруднительно.

Воспользуемся тогда выборочным методом и для этого методом повторного собственно случайного отбора сформируем из генеральной совокупности выборочную объемом .  Очевидно  .

 

По зарегистрированным значениям признака у единиц выборочной совокупности могут быть рассчитаны соответствующие характеристики:

 

–  выборочная средняя  ,

–  выборочная доля  ,

–  выборочная дисперсия  ,

–  выборочная среднеквадратическое отклонение  .

 

Возникает вопрос о том как на основе известных выборочных характеристик оценить значения искомых генеральных характеристик ?  Для ответа на этот вопрос можно применить два подхода. Первый из них основан на предположении о примерном равенстве соответствующих выборочных и генеральных характеристик. Если отбор единиц был корректен и объем выборки достаточно велик, то то на основе закона больших чисел можно доказать, что:

 

  ;     ;      ;     .

 

То есть, значения полученных выборочных характеристик можно использовать в роли приблизительных оценок генеральных. Поскольку каждая из этих оценок представлена одним числом, то такие значения обычно называют точечными оценками генеральных характеристик.

Второй подход предполагает использование интервальных оценок, с помощью которых утверждается. что искомая генеральная характеристика находится внутри некоторого интервала значений. Так, например, одна из таких оценок может утверждать, что генеральная средняя находится внутри интервала . Или другими словами ее истинное значение оказывается не меньше, чем , и не больше .

 

Уточним способы получения точечных оценок по данным выборочной совокупности.

–  выборочная средняя ( )

,

где

 –  вариант значений признака, встречающиеся в выборке,

 –  число значений в выборке по  варианту (частота),

 –  объем выборочной совокупности.

 

Нахождение средних значений наиболее типично для количественных признаков. Так, если в ходе исследования устанавливается уровень цены рабочей силы, то для этого необходимо сформировать выборочную совокупность из числа наемных работников. Далее может быть зарегистрирована заработная плата каждого из отобранных работников и рассчитано ее среднее значение. Полученная таким образом выборочная средняя является точечной оценкой цены рабочей силы по всей совокупности работающих.

 

–  выборочная доля ( )

,

где

 – число единиц в выборке, отвечающих некоторому заданному условию.

 

Чаще всего необходимость оценки доли возникает при исследовании альтернативных признаков, у которых имеется только два возможных значения или состояния. Так, если изучаются вопросы занятости населения с точки зрения распространенности работы по совместительству, то можно сформировать выборочную совокупность из работников предприятий и организаций, установить численность совместителей в этой выборке и рассчитать их выборочную долю. Полученное значение можно рассматривать как точечную оценку генеральной доли совместителей среди всех работающих.

–  выборочная дисперсия ( )

.

 

Этот вариант выборочной дисперсии используется для характеристики вариации количественных признаков.

 

Точечная оценка генеральной дисперсии через известное значение выборочной дисперсии имеет свои особенности. Математически можно доказать, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой, то есть ее математическое ожидание оказывается несколько меньше генеральной дисперсии. Ниже будет приведено строгое доказательство этого утверждения. Для того чтобы получить несмещенную оценку генеральной дисперсии необходимо применить к выборочной определенный поправочный коэффициент:

 

  ,  где  –  объем выборочной совокупности.

 

Очевидно, чем больше объем выборки, тем величина поправочного коэффициента становится ближе к единице. Поэтому на практике при достаточно большом объеме выборки поправку к выборочной дисперсии можно не делать.

 

–  выборочное среднеквадратическое отклонение  ( )

 

.

 

Эта оценка также является смещенной. Поэтому в необходимых случаях целесообразно сделать поправку:

 

Полученные варианты точечных оценок имеют один общий недостаток. При их применении невозможно даже приблизительно представить ту ошибку, которая возникает при выборочном исследовании. Выборочные характеристики как правило близки к генеральным, но не исключено, что в конкретной однократной выборке ошибка может оказаться достаточно большой.

Существует методический прием, позволяющий резко снизить вероятность появления грубых ошибок. Он заключается в проведении контрольной (повторной) выборки обычно меньшего объема. Если характеристики, рассчитанные по контрольной выборке, не имеют существенных расхождений с первоначальными, то полученные выборочные характеристики можно с достаточной уверенностью использовать в роли точечных оценок генеральных характеристик.

Тем не менее, на практике чаще пользуются интервальными оценками, для получения которых помимо выборочных характеристик необходимо знать величину ошибки выборки.

Рассмотрим более подробно понятие ошибки выборки. Причина ее возникновения связана с тем, что отобранная для обследования статистическая совокупность может иметь по исследуемому признаку иную структуру, чем генеральная совокупность. Поэтому характеристики выборки в некоторой степени отличаются от генеральных. Следовательно, их использование  в качестве оценок порождает определенную ошибку, которую принято называть ошибкой репрезентативности. Различают систематические и случайные ошибки репрезентативности.

Систематические ошибки возникают при нарушении принципа случайности отбора единиц, то есть из-за его тенденциозности. Устранение этих ошибок возможно только на основе только на основе строго соблюдения правил случайного отбора.

Случайные ошибки репрезентативности сохраняются даже при правильно организованном отборе. Избежать этих ошибок невозможно, однако их величину можно определить и учесть в процессе оценки генеральных характеристик по выборочным.

Ошибка конкретной выборки представляет собой абсолютную величину разности между соответствующими выборочной и генеральной характеристиками:

 

–  для средней    

–  для доли         

 

Эти выражения нельзя непосредственно применить для расчета ошибки, так как при использовании выборочного метода истинные значения генеральных характеристик так и остаются неизвестными.  Если же эти характеристики устанавливаются на основе сбора и обработки данных по всей генеральной совокупности, то сама идея выборочного метода становится бесполезной.

 

Можно попытаться изучить поведение этой ошибки экспериментальным путем. Если последовательно сформировать целую серию выборок и в каждой из них рассчитать значение определенной выборочной характеристики, то появится база для исследования изменения этого значения. Поскольку величина выборочной характеристики в каждой из выборок будет отлична от других, то в целом по серии она становится переменной, имеющей случайный характер. Соответственно, и ошибка выборки окажется в этой ситуации переменной случайной величиной, для которой по наблюдаемым значениям можно построить ряд распределения, рассчитать его параметры и на этой основе решить задачу расчета ошибки с заданной доверительной вероятностью.

Вместе с тем, такой чисто практический метод решения проблемы окажется довольно сложным и мало выиграет в трудоемкости по сравнению с прямым установлением характеристики по всей генеральной совокупности.

 

Существует более простой способ выявления характера распределения выборочной характеристики и ее ошибки. С помощью теорем математической статистики можно доказать, что любая выборочная характеристика при достаточно большом объеме выборки имеет нормальное (Гаусово) распределение независимо от исходной формы распределения признака в генеральной совокупности. На практике полагают, что выборка оказывается достаточно большого объема, если она насчитывает от 30 и более единиц наблюдения.

Зная теперь закон распределения выборочных характеристик, можно получить аналитические выражения для вычисления средней квадратической ошибки выборки ( ), которая по своей сути соответствует среднему квадратическому отклонению выборочной характеристики от генеральной.

Средняя квадратическая ошибка выборочной характеристики зависит от объема выборки и степени вариации признака в генеральной совокупности.

В случае формирования выборки собственно случайным повторным методом величина среднеквадратической ошибки выборочной средней определяется следующим выражением:

  ,

где

–  дисперсия признака в генеральной совокупности,

  –  объем выборочной совокупности.

 

В ряде случаев удобно использовать другую формулу:

,

где

–  среднеквадратическое отклонение признака в генеральной совокупности,

 

Следовательно, чем шире варьирует признак в генеральной совокупности, тем больше ошибка его выборочной средней. Чем больше единиц наблюдения включено в выборку, тем меньше величина ошибки выборочной характеристики.

Конечно же значение рассчитанной таким образом ошибки является средним для всего множества возможных выборок. В конкретной выборке ошибка может оказаться либо больше, либо меньше своего среднего значения. Обозначим ошибку выборочной средней в конкретной выборке через и в соответствии с законом нормального ее распределения определим вероятность того, что она не превзойдет некоторой величины кратной .  Используя для этого функцию Лапласа, можно записать:

 

Поскольку ошибки выборки могут быть как положительные, так и отрицательные, то вероятность появления их абсолютных значений должна быть удвоена:

 

Для практического определения этой вероятности используется специальная таблица, публикуемая в статистических справочниках.

Если доверительная вероятность задана, то величина  предельно возможной ошибки выборочной средней для конкретной выборки может быть установлена с помощью следующего равенства:

  ,

 

где выполняет роль коэффициента кратности, величина которого зависит только от принятой доверительной вероятности. Поэтому его обычно называют коэффициентом доверия.

 

Принципиально коэффициент доверия может принимать любые положительные значения. Однако в практических расчетах величину ограничивают довольно узкими пределами. По таблице функции Лапласа легко показать, что вероятность появления ошибки выборочной средней:

 

– в пределах      составляет  0,683

– в пределах      составляет  0,954

– в пределах      составляет  0,997

– в пределах      составляет  0,9999

 

Следовательно, существует крайне малая вероятность того, что ошибка выборочной средней по абсолютной величине окажется больше, чем    или  .

Расчет ошибки выборочной доли выполняется по тем же принципам с использованием дисперсии альтернативного признака, которая вычисляется по формуле:

 

  ,

где

 –  доля единиц в генеральной совокупности, обладающих данным свойством, или имеющих определенное значение признака (генеральная доля),

 – доля единиц в генеральной совокупности, не обладающих данным свойством, или имеющих другое значение признака (величина, дополняющая генеральную долю до единицы).

 

Тогда, средняя ошибка выборочной доли при собственно случайном повторном отборе может быть рассчитана с помощью следующего выражения:

 

 

Вероятность того, что выборочная доля отклонится от генеральной доли в ту или иную сторону больше, чем на  (или  ) крайне мала.

 

В рассмотренных теоретических формулах расчета ошибок выборочных характеристик используется генеральная дисперсия (или генеральное среднеквадратическое отклонение). Однако при выборочном исследовании их истинные значения неизвестны. Поэтому для практических вычислений приходится прибегать к приближенным формулам, в которых генеральные характеристики заменены выборочными. Очевидно, для этой замены целесообразно использовать несмещенные (исправленные) выборочные характеристики. Покажем связь генеральной и выборочной дисперсии, полагая, что расчеты их величин выполняются по несгруппированным данным.

 

Исходное выражение математического ожидания выборочной дисперсии имеет вид:

  .

 

Выполним алгебраические преобразования.

 

 

Каждое из трех слагаемых полученного выражения имеет свое содержание:

 

– первое слагаемое

  – генеральная дисперсия

 

– второе слагаемое

 

 

– минус удвоенный квадрат среднеквадратической ошибки выборки.

 

– третье слагаемое

 

–  квадрат среднеквадратической ошибки выборки.

Тогда можно записать:

 

.

 

Поскольку     , то:

 

  .

 

Таким образом, математическое ожидание выборочной дисперсии меньше генеральной дисперсии на величину .  Отсюда можно определить поправку к выборочной дисперсии для получения несмещенной оценки генеральной:

 

 

если   

,    то      

 

То есть, несмещенная оценка генеральной дисперсии равны выборочной дисперсии, домноженной на соотношение .

 

Теперь несложно получить расчетные формулы для практического вычисления среднеквадратических ошибок выборки:

 

 

– среднеквадратическая ошибка выборочной средней      

 

– среднеквадратическая ошибка выборочной доли:          

 

Полученные формулы справедливы для выборочного исследования, проводимого на основе собственно случайного повторного отбора. Для других методов отбора единиц следует сделать некоторые уточнения.

 

Формулы расчета среднеквадратических ошибок выборки, используемые при различных методах формирования выборочной совокупности целесообразно представить в сводной таблице.

 

 

Расчетные формулы для определения среднеквадратических ошибок выборки

 

Методы	Выборочные характеристики
отбора единиц	выборочная средняя	выборочная доля
Без разделения генеральной совокупности   повторный отбор
бесповторный отбор	– объем генеральной совокупности
С разделением генеральной совокупности   механический отбор	– шаг отбора
районированный отбор	– средняя внутригрупповая выборочная дисперсия	– средняя внутригрупповая дисперсия доли
серийный отбор (с равновеликими           сериями)	– межгрупповая (межсерийная)  дисперсия  – число серий в выборке – число серий в генеральной совокупности	– межгрупповая (межсерийная) дисперсия доли

При многоступенчатом отборе единиц общая среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики определяется с учетом ошибок, установленных для каждой ступени формирования выборочной совокупности:

 

  ,

где

 –  число ступеней отбора.

 

Формулы, указанные для расчета среднеквадратических ошибок выборочных характеристик позволяют при различных методах отбора единиц обосновать решение трех основных задач выборочного исследования:

 

1. Получать с заданной степенью надежности интервальные оценки генеральных характеристик.

 

известны:

 

объем генеральной совокупности  

объем выборочной совокупности  

доверительные вероятности      и

 

искомые значения:

интервальная оценка генеральной средней