Выборочные наблюдения

Министерство  образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа

по  дисциплине «Статистика»

на  тему «Выборочное  наблюдение» 
 
 
 
 
 
 

Выполнил: студент группы ДФ-281

специальность «Финансы и кредит»

Петров  И.Е.

Проверил: д.п.н., профессор

Селина  О.Ю.. 
 
 

Тольятти 2007

Содержание

Введение

  Выборочное  статистическое наблюдение является наиболее широко применяемым видом не сплошного  наблюдения. При выборочном методе обследованию подвергается сравнительно набольшая часть всей изучаемой совокупности (обычно до 5-10 %, реже до 15-20 %). При этом подлежащая изучению статистическая совокупность, из которой производится отбор части единиц, называется генеральной совокупностью. Отобранная из генеральной совокупности некоторая часть единиц, подвергающаяся обследованию, называется выборочной совокупностью или выборкой. Значение выборочного метода состоит в том, что при минимальной численности обследуемых единиц проведение исследования осуществляется в более короткие сроки и с минимальными затратами труда и средств. Это повышает оперативность статистической информации, уменьшает ошибки регистрации.

  Под выборочным понимается метод статистического  исследования, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой ее части, организованной по принципу случайного отбора. 
При случайном отборе каждой единице изучаемого объекта (массового явления, генеральной совокупности) обеспечивается определенная (обычно равная) вероятность попасть в количество обследуемых единиц (в выборку) и тем самым исключается субъективность, тенденциозность и односторонность в подборе этих единиц. 
При строгом соблюдении принятых правил отбора выборочное наблюдение репрезентативно в широком смысле слова: при нем обеспечивается близкое соответствие состава охваченной наблюдением выборки и состава генеральной совокупности. Благодаря этому по данных выборочного наблюдения можно определить с желательной степенью приближения интересующие исследователей характеристики изучаемого явления.

  Выборочный  метод при проведении ряда исследований является единственно возможным, например, при контроле качества продукции (товара). 
Выборочный метод иногда применяется для проверки данных даже сплошного учета. Минимальная численность обследуемых единиц позволяет провести исследование более тщательно и квалифицированно. Так, при переписи населения практикуются выборочные контрольные обходы для проверки правильности записей сплошного наблюдения.

  Большую актуальность приобретает выборочный метод в условиях перехода к рыночной экономике. Развитие различных форм собственности, изменения в характере  экономических отношений, как указывалось  в предыдущих лекциях, обусловливают  изменения функций учета и  статистики, сокращение и упрощение  статистической отчетности.

  По  сравнению с другими методами, применяющими не сплошное наблюдение, выборочный метод имеет существенное преимущество. При соблюдении правил научной организации выборочного  наблюдения появляется возможность  количественной оценки ошибки репрезентативности (представительности). 
Более того, способы определения ошибок выборки при различных приемах формирования выборочной совокупности и распространение характеристик выборки на генеральную совокупность составляют основное содержание статистической методологии выборочного метода.

1. Понятие выборочного наблюдения

  При сплошном наблюдении – множество  всех единиц данной совокупности носит  название генеральной совокупности. Средняя арифметическая какого-либо признака, вычисленная для всех единиц этой совокупности, носит название генеральной средней и обозначается символом х.

  В результате обследования можно получить не только средние величины, но и  относительные. Допустим, удельный вес  называется генеральной долей.

  Приведенным понятиям генеральной совокупности, генеральной средней, генеральной  доли при выборочном обследовании соответствуют  понятия выборочной совокупности, выборочной средней, выборочной доли.

  Выборочная  совокупность – это совокупность единиц, попавших в выборку. Средняя  арифметическая, вычисленная на основе значений какого-либо признака у всех единиц выборочной совокупности, носит  название выборочной средней и обозначается символом  х.

  Относительная величина доли, полученная в результате выборочного наблюдения, носит название выборочной доли. Если, например, в результате обследования взятых на выборку 200 шт. какого-либо изделия,. 4 оказались негодными, то это означает, что выборочная доля брака равна 4/200, т.е. = 0,02.

  В зависимости от конкретных условий  для выборки единиц применяются  различные приемы отбора:

  1. собственно случайный отбор - состоит в отборе случайно  попавших единиц совокупности;

  2. механический отбор – когда  все единицы наблюдаемой совокупности  располагают в определенной последовательности (по номерам, по алфавиту и  т.д.), единицы выбирают через определенный  промежуток;

  3. гнездовой отбор – производится  в том случае, если для изучения  берут не отдельные единицы  совокупности, а отдельные группы  единиц или гнезда;

  4. типический отбор – состоит  в том, что все единицы совокупности  предварительно распределяют на  группы по какому-либо типичному  признаку, после чего из каждой  типической группы отбирают единицы  для обследования;

  5. комбинированный отбор – применяют  сразу два вида отбора.

  В экономико-статистических исследованиях  используют следующие способы отбора единиц из генеральной совокупности:

  1. индивидуальный отбор – в выборку  отбираются отдельные единицы;

  2. групповой отбор – в выборку  попадаются качественно однородные  группы или серии изучаемых  явлений;

  3. комбинированный отбор – как  комбинация индивидуального и  группового отбора.

  В статистике различают также одноступенчатый  и многоступенчатый способы отбора единиц в выборочную совокупность.

  При одноступенчатой выборке каждая отобранная единица сразу же подвергается изучению по заданному признаку. Так  обстоит дело при собственно-случайной  и серийной выборке.

  При многоступенчатой выборке производят отбор из генеральной совокупности отдельный групп, а из групп выбираются отдельные единицы. Так производится типичная выборка с механическим способом отбора единиц в выборочную совокупность.

  Комбинированная выборка может быть двухступенчатой. При этом генеральная совокупность сначала разбивается на группы. Затем  производят отбор групп, а внутри последних осуществляется отбор  отдельных единиц.

  В зависимости от способа отбора единиц различают:

  1. повторная выборка. При повторном  отборе вероятность попадания  каждой отдельной единицы в  выборку остается постоянной, так  как после отбора какой-то единицы,  она снова возвращается в совокупность  и снова может быть выбранной;

  2. бесповторная выборка. В этом  случае каждая отобранная единица  не возвращается обратно, и  вероятность попадания отдельных  единиц в выборку все время  изменяется (для оставшихся единиц  она возрастает).

В статистике приняты  следующие условные обозначения:

     N - объем генеральной совокупности;

п - объем выборочной совокупности;

- средняя в генеральной совокупности;

- средняя в выборочной совокупности;

р - доля единиц в генеральной совокупности;

w - доля единиц  в выборочной совокупности;

- генеральная дисперсия;

S² - выборочная дисперсия;

- среднее квадратическое отклонение  признака в генеральной совокупности;

S - среднее  квадратическое отклонение признака  в выборочной совокупности. 

1.1. Механическая (систематическая)  выборка

  Механическая (систематическая) выборка - выборочный метод, при котором измеряемые единицы отбирают через равные интервалы.

  Механическая (систематическая) выборка - процедура  отбора каждого k-го элемента из списка элементов исходной совокупности. Номер первого элемента выборки часто определяется случайным образом (например, в таблице случайных чисел находят первое число в интервале от 1 до k), поэтому систематический отбор еще носит название псевдослучайного или квазислучайного. Число k называют интервалом или шагом систематического отбора и определяется как целая часть числа от деления количества элементов исходной совокупности на объем выборки (k =[N/n]).

  Механическая (систематическая) выборка - разновидность  случайной выборки, упорядоченная  по какому-либо признаку (алфавитный порядок, номер телефона, дата рождения и  т.д.). Первый элемент отбирается случайно, затем, с шагом ‘n’ отбирается каждый ‘k’-ый элемент. Размер генеральной  совокупности, при этом – N=n*k .  
   Систематический отбор был известен в земской статистике еще в конце XIX в. и применялся в массовых обследованиях крестьянских хозяйств наряду с методом типичных представителей - наиболее распространенной формой выборочных наблюдений того времени. Одной из основных причин возникновения в земской статистической практике первого исследования с систематическим отбором было отсутствие предварительных данных, на основе которых могли быть выделены типичные группы. Систематическая выборка в этих условиях была лучшей гарантией равномерного представительства всех типов хозяйств. 
   Систематический отбор из-за простоты реализации находит широкое применение и в наши дни. Так, вся статистика семейных бюджетов использует выборочные совокупности, построенные систематическим приемом. Социолог в своей работе также часто отдает предпочтение систематическому отбору. Систематически обычно отбираются населенные пункты и предприятия в пределах типичных групп, работающие на предприятиях, избирательные участки, адреса в избирательных списках и т.д. Систематический отбор прост и удобен, дает значительную экономию времени, что особенно важно, когда выборка извлекается в ходе обследования. 
Некоторые статистики относят систематический отбор к одному из видов направленного отбора в силу того, что номер первого элемента и интервал однозначно определяют выборочную совокупность, т.е. не выдерживается требование отличной от нуля вероятности попадания в выборку для каждого элемента. Строго говоря, систематическая выборка была бы полностью равносильно случайной, если бы элементы в списке располагались совершенно случайно. Такому условию не удовлетворяет ни один реальный список. Поэтому на практике систематический отбор считают эквивалентным случайному, если порядок расположения элементов в списке никак не связан с исследуемыми переменными. По сравнению со случайной выборкой систематический отбор часто позволяет с большей точностью оценивать средние значения исходной совокупности. Однако следует иметь в виду, что систематический отбор дает удовлетворительные результаты только в том случае, если в списках отсутствует цикличность, связанная с интервалом отбора, или др. тенденции, способные оказывать систематическое влияние на результат.

  Для определения средней ошибки механической выборки, а также необходимой  ее численности используются соответствующие  формулы, применяемые при собственно случайном бесповторном отборе, формулы

=                              (1.1) 

n =                                     (1.2)

  При этом, определив необходимую численность  выборки и сопоставив ее с объектом генеральной совокупности, как правило, приходится производить соответствующее  округление для получения целочисленного интервала отбора. Генеральная совокупность при механическом отборе можно ранжировать  или упорядочить по величине изучаемого или коррелирующего с ним признака, что позволит повысить репрезентативность выборки. Однако в этом случае возрастает опасность систематической ошибки, связанной с занижением значений изучаемого признака (если из каждого  интервала регистрируется первое значение) или его завышением (если из каждого  интервала регистрируется последнее  значение). Поэтому целесообразно  из каждого интервала отбирать центральную  или одну их двух центральных единиц. При этом порядковый номер единицы, с которой начинается отбор, определяется следующим образом. Если интервал отбора обозначить как k, то номер первой отбираемой единицы будет равен (k+1)/2 при k-нечетном и k/2 или (k+2)/2 при k-четном. Например, при 5-% выборке интервал отбора составит 20 единиц, тогда номер единицы, являющейся началом отбора, будет равен 20:2=10 или (20+2):2=11, т.е. отбор можно начинать с 10-й или 11-й единицы. В первом случае в выборку попадут 10, 30, 50, 70 и с таким же интервалом последующие единицы с номерами 11, 31, 51, 71 и т.д. Опасность систематической ошибки при механической выборке также может появиться вследствие случайного совпадения выбранного интервала и циклических закономерностей в расположении единиц генеральной совокупности. Так, при переписи населении 1989 г. в ходе 25%-го выборочного обследования семей была опасность попадания в выборку квартир только одного типа (например, только однокомнатных или только трехкомнатных), так как на лестничных площадках многих типовых домов располагаются именно по 4 квартиры. Чтобы избежать систематической ошибки, в каждом новом подъезде счетчик менял начало оборота. 

  1.2. Типическая (стратифицированная) выборка

  Типический  отбор целесообразно использовать в тех случаях, когда все единицы  генеральной совокупности объединены в несколько крупных типических групп. Такие группы также называют стратами, или слоями, в связи  с чем типический отбор также  называют стратифицированным или расслоенным. При обследовании населения в  качестве типических групп могут  быть выбраны области, районы, социальные, возрастные или образовательные  группы, при обследовании предприятий- отрасли или подотрасли, формы  собственности и т.д.

  Рассматривать генеральную совокупность в разрезе  нескольких крупных групп единиц имеет смысл только в том случае, если средние значения изучаемых  признаков по группам существенно  различаются. Например, с большой  уверенностью можно предположить, что  доходы населения крупного города будут  в среднем выше доходов населения, проживающего в сельской местности; численность работников промышленного предприятия в среднем будет выше численности работников торгового или сельскохозяйственного предприятия; средний возраст студентов будет значительно ниже среднего возраста занятого населения, и тем более пенсионеров. В то же время нет никакого смысла при выделении типических групп ориентироваться на признак, не связанный или очень слабо связанный с изучаемым. Например, при изучении доходов населения вряд ли улучшению результатов выборочного обследования будет способствовать деление населения на группы на основе первой буквы фамилии, так как маловероятно, что доходы людей, чья фамилия начинается с букв от А до К, будут существенно выше или ниже доходов лиц, носящих фамилию, начинающуюся с букв в интервале Л-Я.

  Отбор единиц в выборочную совокупность из каждой типической группы осуществляется собственно-случайным или механическим способом. Поскольку в выборочную совокупность в той или иной пропорции  обязательно попадают представители  всех групп, типизация генеральной  совокупности позволяет исключить  влияние межгрупповой дисперсии  на среднюю ошибку выборки. В то же время в выделении типических группах обследуются далеко не все  единицы, а только включенные в выборку. Следовательно, на величину полученной ошибки будет влиять различие между  единицами внутри этих групп, т.е. внутригрупповая  вариация. Поэтому ошибка типической выборки будет определяться величиной  не общей дисперсии, а только ее части - средней из внутригрупповой дисперсий.

  Отбор единиц в типическую выборку может  быть организован либо пропорционально  объему типических групп, либо пропорционально  внутригрупповой вариации (дифференциации) признака.

  При типической выборке, пропорциональной объему типических групп, число единиц, подлежащих отбору из каждой группы, определяется следующим образом:

                                                       (1.3)

   где - объем i-й группы

     - объем выборки из i-й группы. 

  1.3. Собственно-случайная  (простая случайная)  выборка.

  Случайная выборка - способ отбора, при котором  каждый элемент  генеральной совокупности имеет некоторую отличную от нуля вероятность  быть отобранным. Различают простой случайный отбор  (ПСО), когда вероятности попасть в выборку для каждого элемента равны (и отличны от нуля), и собственно случайный, или вероятностный, отбор. Реализовать процедуру ПСО можно двумя приемами: лотерейным методом и с помощью таблицы случайных чисел. При использовании лотерейного метода все элементы генеральной совокупности нумеруются числами от 1 до N, затем жетоны с номерами помещают в урну, тщательно перемешивают и извлекают последовательно n жетонов. Элементы совокупности, имеющие эти номера, и будут составлять выборку. Выделяют две схемы ПСО: отбор с возвращением (схема  Боули), когда извлеченный жетон опять возвращается в урну, и отбор "без возвращения" (бесповторный). В схему Боули все испытания поставлены в одинаковые условия и независимы друг от друга. В схеме "без возвращения" состав урны после каждого испытания изменяется, в итоге несколько снижается средняя ошибка выборки  и повышается устойчивость ее результатов. Однако если генеральная совокупность  достаточно велика и доля отбора не превышает 5%, то схема "без возвращения" практически равноценна схеме Боули. Рассмотренные схемы, являясь классическим примером реализации ПСО, на практике становятся чрезвычайно трудоемкими, т. к. для обеспечения равного шанса выбора требуется тщательное перемешивание жетонов. Поэтому при формировании равновероятной выборки элементов их больших совокупностей пользуются таблицами случайных чисел. Отметим, что при организации ПСО все элементы генеральной совокупности должны быть пронумерованы. Случайным образом могут отбираться не только элементы совокупности, но и целые группы, состоящие в общем случае из различного числа элементов. Конкретное сборочное исследование  обычно представляет собой сложную систему, в которой переплетаются различные схематичные элементы в сочетании с районированием, организацией многоступенчатого отбора и др. приемов формирования выборки. В основе построения любой выборки лежат два основных принципа: избежать смещенности результатов и добиться максимальной точности при заданных издержках. Единственный способ избежать смещений заключается в строгом соблюдении методики случайного отбора. Планы выборок могут отличаться разнообразием приемов, позволяющим повысить точность и снизить затраты на проведение исследования.

  Прежде  чем производить собственно-случайный  отбор, необходимо убедиться, что все  без исключения единицы генеральной  совокупности имеют абсолютно равные шансы попадания в выборку, в  списках или перечне отсутствуют  пропуски, нет игнорирования отдельных  единиц и т.п. Следует также установить четкие границы генеральной совокупности таким образом, чтобы включение  или невключение в нее отдельных  единиц не вызывало сомнений. Так, например, при обследовании  торговых предприятий  необходимо указать, включит ли генеральная  совокупность торговые павильоны, коммерческие палатки, передвижные торговые точки  и прочие подобные объекты; при обследовании студентов важно определить, будут  ли приняты во внимание студенты-заочники, экстерны, учащиеся в магистратуре, лица, находящиеся в академическом  отпуске и т.п. 

2. Расчетная часть 

2.1. Решение задач  по теме механическая (систематическая) выборка.

  Задача 1. В области зарегистрировано 6000 малых предприятий. Определим, сколько из них нужно отобрать в порядке механического отбора для определений средней численности занятых с ошибкой человека (P=0,997). По результатам ранее проведенного обследования известно, что среднее квадратическое отклонение численности занятых составляет 9 человек. Произведем расчет, воспользовавшись формулой (1.2):

  n=

  С учетом полученного необходимого объема выборки (177 предприятий) определим  интервал отбора:

  6000:177=33,9

  Определенный  таким образом интервал всегда округляется  в меньшую сторону, так как  при округлении в большую сторону  произведенная выборка не достигает  рассчитанного по формуле необходимого объема. Следовательно, в нашем примере  из общего регистра малых предприятий  необходимо отбирать каждое 33-е предприятие. При этом процент отбора составит 3,03 % (100%:33).

  Задача 2. В городе А 10 тыс. семей. В порядке механической выборки предполагается определить долю семей в городе А с числом детей три и более. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,02 человека, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,2. Рассчитаем необходимую численность выборки:

                    n = 4· 0,2 · 10 000 / (0,02)2 · 10 000 + 4 ·  0,2 = 1 666 семей

      При повторном способе отборки  численность выборки рассчитывается  по формуле:

                                           n = w (1-w) t2 / Δ2

      При типической (районированной) выборке  генеральная совокупность разбивается  на однородные типические группы  по какому-либо признаку или  районы. Из каждой типической  группы или района в случайном  порядке отбираются единицы выборочной  совокупности. Отбор единиц из  типов может производиться тремя  методами: пропорционально численности  единиц типических групп, непропорционально  численности единиц типических  групп, пропорционально колеблемости  в группах.

      Рассмотрим типическую выборку  с пропорциональным отбором единиц  из типических групп. Объем  выборки из типической группы  при отборе, пропорциональном численности  единиц типических групп, определяется  по формуле

                            = n ·  

    где  — объем выборки из типической группы;

    n — общий объем выборки;

    — объем типической группы;

    N — объем генеральной совокупности.

      Средняя ошибка выборочной средней  при бесповторном случайном                  и механическом способе отбора  внутри типических групп рассчитывается  по формуле (1.2), где  - средняя из выборочных дисперсий типических групп. 

  2.2. Решение задач  по теме типическая (стратифицированная) выборка

  Задача 1. Общая численность населения области составляет 1 млн. чел., в том числе городского – 600 тыс. чел. И сельского – 400 тыс. чел. Если в ходе выборочного наблюдения планируется обследовать 50 тыс. жителей, то эта численность должна быть поделена пропорционально объему типических групп:

  городское населения - = 50000* = 30000 чел.;

  сельское  население - = 50000* = 20000 чел.

  Процесс формирования данной выборки представлен  на рисунке 1 (см. Приложение). Средняя  ошибка типической выборки определяется по формулам:

       (повторная выборка)                       (1.4)

   (бесповторная выборка)     (1.5)

  где - средняя из выборочных дисперсий типических групп.

  Рассмотрим  данный вариант типической выборки  на условном примере.

  10-% бесповторный типический отбор  работников предприятия, пропорциональный  размерам цехов, проведенный с  целью оценки потерь из-за временной  нетрудоспособности, привел к следующим  результатам (табл. Результаты обследования  работников предприятия в Приложении).

  Рассчитаем  среднюю из внутригрупповых дисперсий:

   = =

  Определим среднюю и предельную ошибки выборки (с вероятностью 0,954):

   = 0.29;

  Рассчитаем  выборочную среднюю:

   = 14.6 дня. 

  В результате проведенных расчетов с  вероятностью 0,954 можно сделать вывод, что среднее число дней временной  нетрудоспособности одного работника  в целом по предприятию находится  в пределах:

  14,6-0,58

  При определении необходимого объема типической выборки в рассмотренных выше формулах (1.4) и (1.5) общую дисперсию  наблюдаемого признака необходимо заменить на среднюю из внутригрупповых дисперсий. Тогда данные формулы примут следующий  вид:

  n =         (повторный отбор)                      (1.6)

    n =         (бесповторный набор)    (1.7)

  Предположим, в рассмотренном выше примере  нам необходимо определить среднее  число дней временной нетрудоспособности одного работника с предельной ошибкой 0,5 дня. Учитывая величину полученной ранее  средней из внутригрупповых дисперсий  определим необходимый объем  типической выборки при условии  бесповторного объема:

    n =   = 420.4/

  Таким образом, мы получили, что при заданных условиях для достижения требуемой  точности необходимо обследовать выборочным методом не менее 421 чел. Распределим  эту численность на три цеха рассматриваемого предприятия пропорционально их размерам:

   = 421 = 131.6

   = 421 = 184.2