Выборочный метод в социальной статистике

«Выборочный метод  в социальной статистике»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Наши знания, суждения и поступки в очень большой мере основаны на выборочных данных. Это утверждение  одинаково справедливо как для повседневной жизни, так и для научных исследований. Впечатление об учреждении, в котором ежедневно производятся тысячи различных операций, складывается часто на основании лишь одного или двух посещений этого учреждения за несколько лет. И в науке и в житейских делах нам доступен для изучения лишь фрагмент той общей картины, которая должна расширить наши знания.

Тому, как правильно получить выборку  и как сделать по ее данным обоснованные выводы, еще лет 30 назад не уделяли  внимания. Эти проблемы не играли бы особой роли, если бы материал, из которого мы производим отбор, был однороден, так что любая выборка дала бы приблизительно одинаковые результаты. Заключение о состоянии нашего здоровья делается по нескольким каплям крови, проанализированным в лаборатории. Такой метод основан на предположении, что циркулирующая кровь всегда хорошо перемешана и каждая ее капля несет одинаковую информацию, – предположении, в правильность которого мы, будучи неспециалистами, свято верим. Однако, когда изучаемый материал далеко не однороден, как это часто и бывает, способ получения выборки приобретает решающее значение, а изучение методов, позволяющих получить достоверные сведения, становится весьма важным.

На практике, в большинстве  случаев, для которых эта теория была разработана, совокупность, о которой мы хотим получить сведения, конечна и имеет четкие границы – жители города, станки на заводе, рыбы в озере. Иногда удобнее, казалось бы, получить нужные сведения, произведя сплошное обследование или перепись этой совокупности. Практические работники, привыкшие к сплошным переписям, сначала недоверчиво относились к выборочному методу и пользовались им неохотно. Хотя такого предубеждения более не существует, имеет смысл перечислить основные преимущества выборочного метода по сравнению со сплошной переписью.

В данной работе рассмотрим основы теории, созданной для обоснования  методов правильного отбора.

 

 

 

 

1. Суть выборочного  метода и его роль в социологии

Одной из задач, которые  стоят перед социологом при проведении исследования, является сбор необходимых эмпирических данных об объекте исследования. Множество элементов, составляющих объект исследования называют генеральной совокупностью  (ГС). Наиболее простым, на первый взгляд, способом сбора данных является сплошное обследование ГС. Однако применение сплошного обследования не всегда представляется возможным. В этом случае применяется выборочное обследование. Суть выборочного метода заключена в том, что обследованию подвергается только часть элементов ГС, которая называется выборочной совокупностью (ВС). Как писал профессор А. Кауфман, «изобретателем выборочного была сама жизнь». Действительно, еще до теоретического обоснования возможностей применения выборочного метода, статистики были вынуждены проводить выборочные обследования. Основными причинами для этого были отсутствие времени и средств.

Выборочный метод позволяет  не только сократить временные и материальные затраты на проведения исследования, но и повысить достоверность результатов исследования. Это утверждение может вызвать недоумение: как можно получить более достоверные данные, обследовав менее половины ГС? Достоверность полученной информации может быть не только не ниже, чем при сплошном обследовании, но и выше вследствие возможности привлечения персонала более высокого класса и применения различных процедур контроля качества получаемой информации.

Кроме того, выборочный метод имеет более широкую область применения. Широта области применения выборочного метода объясняется тем, что небольшой (по сравнению с ГС) объем выборки позволяет использовать более сложные методы обследования, включая использование различных технических средств (например, видео- и аудиоаппаратуры).

Следует различать единицы отбора и единицы наблюдения. Единицами отбора являются единицы или группы единиц ГС отбираемые на каждом этапе формирования ВС. Единицы наблюдения – это отобранные единицы ГС, характеристики которых непосредственно измеряются. Если выборка проходит в несколько этапов (многоступенчатая выборка), то единицы отбора и единицы наблюдения могут не совпадать. Мы будем рассматривать только одноступенчатую выборку, т.е. выборку, проходящую в один этап.

Развитие теории вероятностей позволило теоретически обосновать возможность применения выборочного метода. В основе теоретического обоснования выборочного метода лежит так называемый закон больших чисел. Физический смысл этого закона можно выразить следующим образом:

«при очень большом  числе случайных явлений средний  их результат практически перестает  быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности».

Также это дало возможность  определять ошибку репрезентативности. Репрезентативностью ВС называется ее способность адекватно представлять (репрезентировать) характеристики ГС. Ошибкой репрезентативности, как правило, называют отклонение выборочного среднего значения признака от генерального. Важно учитывать, что при помощи выборочного метода никогда нельзя получить абсолютно точную оценку наблюдаемого признака, всегда существует вероятность ошибки, но, если вероятность ошибки мала, то она скорее всего не произойдет.

Разделяют два типа ошибок. Случайная (статистическая) ошибка – это ошибки, которые возникают вследствие случайной вариации значений, вызванной тем, что наблюдается только часть единиц, а не вся ГС. Случайные ошибки уменьшаются с увеличением объема ВС. Случайную ошибку можно измерить методами математической статистики, если при формировании ВС соблюдался принцип случайности. Принцип случайности заключается в следующем: каждый элемент ГС имеет равную и отличную от нуля вероятность попасть в ВС. Иными словами, термин «случайный» употребляется здесь и далее как синоним слова «равновероятный».  Для соблюдения принципа случайности формирование выборочной совокупности должно проходить по строго определенным правилам, которые составляют метод формирования выборочной совокупности.

На практике принцип случайности  соблюсти очень сложно, а иногда просто невозможно, что приводит к  появлению систематической ошибки. Систематическая ошибка – это неконтролируемые перекосы в распределении выборочных наблюдений. Число опрошенных не влияет на величину систематической ошибки.

Общая типология методов отбора представлена на рис. 1. Рассмотрим их.

Рисунок 1. Типология методов отбора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Случайные  (вероятностные) методы отбора

2.1. Собственно случайная  выборка

Собственно случайная выборка  лежит в основе всех остальных  типов выборки, которые будут  рассмотрены далее.

2.1.1. Определение собственно  случайной выборки.

Выборка называется собственно случайной, если при извлечении выборки объема n все возможные комбинации из n элементов, которые могут быть получены из генеральной совокупности объема N, имеют равную вероятность быть извлеченными.

По определению, при  собственно случайной выборке выполняется принцип случайности.

2.1.2. Способы практической  реализации собственно случайной  выборки.

Отбор производится с помощью жеребьевки, таблицы (либо генератора) случайных  чисел. Главный принцип – случайность, т.е. все единицы генеральной совокупности имеют равную вероятность попасть в выборочную совокупность.

1. Принцип жеребьевки. Каждый элемент генеральной совокупности заносится на бумажку (это могут быть фамилии, адреса, просто номера (в этом случае выпавшие номера ставят в соответствие с людьми в списках) и т.д.), затем бумажки помещаются в барабан, перемешиваются и не глядя вытаскиваются.
2. Принцип таблицы случайных чисел. Начиная с любого места таблицы, берем четыре следующих друг за другом числа. Эти числа и будут номерами людей в списке, которых следует отобрать в выборку (числа, превышающие численность генеральной совокупности, опускаются).
3. Принцип генератора случайных чисел. Это то же самое, что и таблицы случайных чисел, только числа вырабатываются компьютером (для этого существует специальная программа).

Различают повторную и бесповторную выборку. При повторном отборе каждый выбранный элемент возвращается в ГС. При бесповторном отборе выбранный элемент не возвращается в ГС.

Также используются различные методы моделирования случайности.

1. Механическая выборка требует список характеристик респондентов (фамилии, адреса, телефоны и т.д.). Из этого списка через равные промежутки люди отбираются в выборку. Этот промежуток называется шагом выборки.

Начало отбора выбирается случайным образом в пределах шага выборки. Например, если шаг выборки равен 20, то начинать отбор надо с любого числа от 1 до 20.

2. Территориальный отбор используется, когда нет основы выборки или ее составление сопряжено с большими трудностями.

2.1.3. Вычисление ошибки репрезентативности для собственно случайной выборки.

Пусть нам необходимо оценить средний возраст некоторой  группы людей по ограниченному числу  наблюдений n. Оценкой среднего значения непрерывной случайной величины является математическое ожидание:

.

Естественной оценкой математического  ожидания является среднее арифметическое:

.

От оценки необходимо потребовать  следующие свойства:

1. состоятельность – оценка называется состоятельное, если при увеличении числа опытов оценка сходится по вероятности с искомым параметром,
2. несмещенность – оценка называется несмещенной, если выполнялось условие

,

3. эффективность – оценка называется эффективной, если ее дисперсия минимальна по сравнению с другими.

Среднее арифметическое обладает этими свойствами.

Оценка параметра является функцией от случайных величин  , , … , , поэтому сама является случайной величиной. Другими словами, мы можем сделать множество выборок, для каждой из которых значение оценки будет различно. По закону больший чисел распределение оценки является нормальным с математическим ожиданием

и дисперсией

,

где - генеральная дисперсия.

Тогда можно рассчитать вероятность того, что  попадет в интервал . Поскольку нам неизвестна величина , то мы будем говорить о вероятности, с которой интервал  накроет . Эта которая равна площади под графиком функции распределения случайной величины (см. рис. 2):

.

 

Рисунок 2. Распределение выборочной оценки среднего.

Приведем это распределение  к стандартному виду.

Произведем замену переменной:

.

Справа получили функцию Лапласа, которая табулирована (см. Приложение):

.

 

Нам не известно значение , поэтому заменим его на . Но в этом случае нужно использовать не нормальное распределение, а распределение Стьюдента.

,

где

При больших объемах  выборки вид распределения Стьюдента  приближается к виду нормального  распределения, поэтому для больших  выборок также можно использовать функцию Лапласа.

Для повторной выборки

      (1).

Для бесповторной выборки  необходимо внести поправку на конечность ГС

      (2).

Для большой ГС (объем  ВС составляет менее 5% от ГС) поправкой  на конечность совокупности можно пренебречь.

Про коэффициент доверия  следует сказать отдельно. Этот коэффициент исследователь выбирает сам. Чем меньше , тем меньше доверительный интервал, но тем меньше и вероятность того, что оценка не выйдет за пределы доверительного интервала.

Пример 1. Пусть была произведена выборка 1600 человек. Средний возраст по выборке – 30 лет, среднеквадратическое отклонение – 10 лет. Необходимо найти доверительный интервал.

Прежде всего, необходимо задать надежность оценки. Возьмем 95% надежность. Поскольку выборка большая, воспользуемся таблицей значений функции Лапласа и найдем коэффициент доверия - 1,96.

Тогда

.

С вероятностью 95% истинное средний возраст по ГС находится в интервале от 29,51 лет до 30,49 лет.

Для биномиального распределения

,

где – доля признака, .

Тогда для повторной  выборки из (1)

        (3),

для бесповторной выборки из (2)

      (4).

Пример 2. Из 200 опрошенных 55% - женщины. Действуем аналогично примеру 1. Выборку также можно считать большой. Тогда =1,96 для 95% надежности.

.

С вероятностью 95% доля женщин в ГС находится в интервале от 48% до 62%.

Таблица 1

 Формулы  ошибки репрезентативности для  собственно случайного отбора.[3, 16]

Предмет изучения.	Повторный отбор.	Бесповторный  отбор.
Среднее значение признака.
Доля  признака.

 

Где:

z – коэффициент доверия,

n – объем выборки,

- выборочная дисперсия,

N – объем генеральной совокупности,

- доля признака в выборочной  совокупности.

2.1.4. Определение объема  выборки.

Определение объема выборки – это  задача, обратная решенной выше задачи вычисления ошибки выборки.

Формулы для вычисления объема выборки при случайном  отборе – просто преобразованные формулы ошибки репрезентативности. Они представлены в таблице 4.

Таблица 2

Формулы для  определения объема выборки при  собственно случайном отборе

Предмет изучения.	Повторный отбор.	Бесповторный  отбор.
Среднее значение признака.
Доля  признака.

 

Из (1) легко получить искомое n

.

Для нахождения объема выборки  необходимо знать выборочное значение дисперсии признака. Его можно оценить несколькими способами .

1. Отобрать некоторое количество единиц из ГС. Рассчитать по полученной ВС . Рассчитать необходимый объем ВС и добрать недостающее число элементов .
2. Воспользоваться результатами предыдущих исследований (если таковые проводились).
3. Для биномиального распределения , где - доля признака, . Тогда из (3)

.

Произведение  максимально, когда . Таким образом, мы получаем выборку с некоторым запасом:

Точность и надежность выборки  мы задаем, исходя из целей исследования. Например, насколько важное управленческое решение будет принято на основе результатов исследования.

2.1.5. Плюсы и минусы  собственно случайной выборки.

Плюсом данного метода является полное соблюдения принципа случайности и, как следствие – избежание систематических ошибок.

Случайная выборка обладает рядом  недостатков, которые затрудняют ее применение на практике. Эти недостатки можно представить в трех пунктах:

Необходимость наличия списка элементов генеральной  совокупности. Обычно элементами генеральной совокупности являются люди; в этом случае в качестве списка могут выступать адреса, телефоны и т.д. Трудность здесь заключается в том, что получить такой список далеко не всегда представляется возможным. Следовательно, в тех случаях, когда невозможно получить список элементов генеральной совокупности, невозможно проводить и случайный отбор.

Сложность проведения опроса. Процедура опроса при случайном отборе является очень громоздкой и требующей много времени. Ведь в результате случайного отбора исследователь получает на выходе список фамилий респондентов (телефонов, адресов и т.д.), которых необходимо опросить. Иными словами, интервьюерам приходится «бегать» за каждым респондентом и добиваться от него согласия ответить на «парочку вопросов».

Осложняет дело и то, что респондентов порой бывает не так просто достать; в случае отсутствия респондента  его приходится посещать по нескольку  раз (по крайней мере не менее трех раз).

Все вышеперечисленное  ведет к повышенным временным  затратам на проведение опроса. Временные затраты можно уменьшить только благодаря привлечению дополнительных интервьюеров, т.е. только за счет дополнительных денежных расходов. Помимо этого возникает еще так называемая проблема неответивших.

Сравнительно  большой объем выборки. Для получения результатов со сравнительно высокой степенью точности собственно случайный отбор требует достаточно большого объема выборки по сравнению с другими видами отбора. Другими словами, случайный отбор обладает меньшей степенью точности, что в конечном счете является причиной его меньшей эффективности.

Существует два способа повышения  эффективности выборки, которые :

1. корректировка выборочных показателей,
2. использование методов построения выборки с внедрением элемента неслучайности.

2.2. Корректировка выборочных показателей

Как было сказано выше, корректировка  выборочных показателей является одним  из способов повышения эффективности  выборки.

В данном параграфе кратко проиллюстрируем  принцип корректировки выборочных показателей. Корректировка применяется для повышения точности выборки при существующей методике отбора в выборочную совокупность. Это возможно только за счет привлечения дополнительной информации о генеральной совокупности за предыдущие периоды времени.

Необходимо отметить, что исследователю важно не столько, чтобы средняя всех выборочных показателей была равна генеральному показателю (т.е. была несмещенной), сколько, чтобы стандартная ошибка (дисперсия) всех возможных выборок была наименьшей, т.е., чтобы риск ошибиться в отдельной выборке был как можно меньше [6, 35].

 Следующий пример продемонстрирует  возможность применения корректировки  результатов выборки. 

Пример: Допустим, что нам необходимо выяснить средний доход на этот год. В качестве генеральной совокупности выступают 12 человек, представленные в таблице 3.

Таблица 3

Распределение дохода гипотетических респондентов [6, стр.13].

Респондент.	Доход.
A.	1300
B.	6300
C.	3100
D.	2000
E.	3600
F.	2200
G.	1800
H.	2700
I	1500
J.	900
K.	4800
L.	1900
Общий доход.	32100
Средний доход.	2675

 

Пусть выборочная совокупность составляет 3 человека. Задача, таким образом, сводится к тому, чтобы по этим 3 людям оценить  средний доход всей генеральной  совокупности.

Допустим, что в нашу выборку, проведенную случайным методом, попали респонденты B,C,J. Средний доход в этом случае (равный 3433) оказывается намного выше аналогичного показателя в генеральной совокупности (2675). Это говорит о том, что в нашу выборку попали в основном богатые люди.

Применяя упомянутый принцип корректировки  выборочных показателей, можно скорректировать  результат расчета средней по случайной выборке. Для этого  необходимо иметь информацию об уровне доходов за прошлый период (например, за прошлый год). Если предположить, что уровни доходов данного и предыдущего периодов коррелированы, то можно скорректировать выборочный показатель на показатель прошлого периода.

Для этого нам необходимо знать средний доход всей генеральной  совокупности за прошлый год и  доходы респондентов B,C и J за прошлый год. Допустим, что эти доходы оказались соответственно 5500, 3500, 1200 (средняя соответственно = 3400), а генеральная средняя = 2883.

Корректировка, следовательно, будет выглядеть следующим образом:

2883*3433/3400 = 2911.

2911 и будет скорректированным средним доходом всей генеральной совокупности в этом году согласно рассматриваемому принципу корректировки выборочных показателей. Как видно, он гораздо более «похож» на истинное значение средней.

Данную операцию можно  провести для всех возможных выборок из 3 человек и получить среднюю и ошибку выборки. Эти данные представлены в следующей таблице.

Таблица 4

Показатели  случайной выборки и скорректированные  показатели.

Показатель.	Случайная выборка.	Скорректированные показатели.
Средняя.	2675	2658
Стандартная ошибка.	786	240

 

Как видно из таблицы, средняя скорректированных средних  является  смещенной (не совпадает  с генеральной средней), но зато ошибка выборки намного меньше. Это значит, что шанс получить «хорошую» выборочную оценку повышается.

Однако необходимо отметить, что в данном случае корректировку  можно применять только в случае сохранения структуры доходов за данный и предыдущий годы. В противном  случае данный метод может дать искаженные результаты.

И здесь опять происходит знакомый парадокс. Дело в том, что  для того, чтобы узнать, пропорционально  или непропорционально изменилась эта структура, нам нужно иметь  данные о генеральной совокупности за этот год. А это как раз то (и даже больше), что мы хотим выяснить нашим исследованием. Иными словами, мы не можем достоверно узнать, насколько связаны структуры доходов за данный и прошлый год. Мы можем только предполагать (на основании статистических данных за много лет и тому подобным показателям), что структура доходов не претерпела значительных изменений за год.

3. Выборочные  методы с внедрением элемента  неслучайности

Итак, рассмотрев вкратце  один из методов корректировки, можно  перейти непосредственно к рассмотрению типов (модификаций) собственно случайного отбора.

Использование различных типов  случайного отбора позволяет несколько  сгладить некоторые из вышеупомянутых трудностей, возникающих при проведении собственно случайного отбора. Например, некоторые типы случайного отбора позволяют  упростить организацию опроса, но главное – это то, что они увеличивают эффективность выборки.

Так при случайном отборе ошибка выборки контролируется только за счет изменения объема выборки. В рассматриваемых  же нами типах случайного отбора эффективность  выборки можно повысить за счет моделирования выборки без увеличения ее объема.

Под моделированием выборки понимается проведение случайного опроса с учетом информации о генеральной совокупности. Это означает, что по некоторым  параметрам составляется модель генеральной совокупности для того, чтобы уже на стадии, предшествующей стадии случайного отбора, повысить соответствие этих параметров в выборке и генеральной совокупности.

Однако модификации  случайного отбора не могут преодолеть всех трудностей, связанных со случайной выборкой. Это связано с тем, что все они являются разновидностями именно случайного отбора и в них используется принцип случайности.

Из этого следует, что проводить  любой случайный отбор невозможно без списка элементов генеральной  совокупности. Более того, большинство типов случайного отбора приводят к тем же трудностям при организации опроса, что и при собственно случайной выборке. Главное, чего достигают эти модификации случайного отбора, так это увеличения точности выборки.

Однако при формальном сходстве с собственно случайной выборкой, любая ее вариация есть все же некоторое отклонение от принципа случайности. Эти отклонения могут приводить к систематическим ошибкам, которые невозможны при собственно случайной выборке. Теперь непосредственно перейдем к рассмотрению типов случайного отбора.

3.1. Механическая выборка

Наиболее близкой к  собственно случайной выборке является механическая выборка. Однако даже она  может приводить к систематическим  ошибкам.

Практическая реализация.

Проведение механической выборки требует список характеристик респондентов (фамилии, адреса, телефоны и т.д.). Из этого списка через равные промежутки люди отбираются в выборку. Этот промежуток называется шагом выборки.

,

где

N – объем генеральной совокупности

n – объем выборочной совокупности.

Начало отбора выбирается случайным  образом в пределах шага выборки. Например, если шаг выборки равен 20, то начинать отбор надо с любого числа от 1 до 20.

3.1.1. Вычисление ошибки  выборки.

При определении ошибки репрезентативности используются те же формулы, что и при случайной выборке.