Задача о замене оборудования

Министерство  образования и науки Республики Казахстан

Костанайский государственный университет имени А.Байтурсынова

Кафедра программного обеспечения

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат

На  тему: «Задача о замене оборудования»

Специальность 050704 – Вычислительная техника и  программное обеспечение

 

 

 

 

 

Выполнила:     Золотухина И., студентка 2 курса

очной формы  обучения

 

 

 

Руководитель:     Байманкулов А.Т., доцент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Костанай, 2011г.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………... 1. Характеристика состояния хозяйствующего  субъекта и выявление тенденций  его развития…………………………………………………...  2. Информационно-методическое  обеспечение экономического моделирования.  2.1 Методическая  база решения модели. 2.2 Информационно-методическое  обеспечение метода. 3. Расчет  показателей экономико-математической  модели и экономическая интерпретация  результатов. Заключение. Список литературы. Приложения

3   4   7 7 12   17 29 31 32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Большинство методов  исследования операций связано в  первую очередь с задачами вполне определенного содержания. Классический аппарат математики оказался малопригодным  для решения многих задач оптимизации, включающих большое число переменных и/или ограничений в виде неравенств. Несомненна привлекательность идеи разбиения задачи большой размерности  на подзадачи меньшей размерности, включающие всего по нескольких переменных, и последующего решения общей задачи по частям. Именно на этой идее основан метод динамического программирования.

Динамическое  программирование (ДП) представляет собой  математический метод, заслуга создания и развития которого принадлежит прежде всего Беллману. Метод можно использовать для решения весьма широкого круга задач, включая задачи распределения ресурсов, замены и управления запасами, задачи о загрузке. Характерным для динамического программирования является подход к решению задачи по этапам, с каждым из которых ассоциирована одна управляемая переменная. Набор рекуррентных вычислительных процедур, связывающих различные этапы, обеспечивает получение допустимого оптимального решения задачи в целом при достижении последнего этапа.

Происхождение названия динамическое программирование, вероятно, связано с использованием методов ДП в задачах принятия решений через фиксированные промежутки времени (например, в задачах управления запасами). Однако методы ДП успешно применяются также для решения задач, в которых фактор времени не учитывается. По этой причине более удачным представляется термин многоэтапное программирование, отражающий пошаговый характер процесса решения задачи.

Фундаментальным принципом, положенным в основу теории ДП, является принцип оптимальности. По существу, он определяет порядок поэтапного решения допускающей декомпозицию задачи (это более приемлемый путь, чем непосредственное решение задачи в исходной постановке) с помощью рекуррентных вычислительных процедур.

Динамическое  программирование позволяет осуществлять оптимальное планирование управляемых  процессов. Под «управляемыми» понимаются процессы, на ход которых мы можем  в той или другой степени влиять.

Пусть предполагается к осуществлению некоторое мероприятие  или серия мероприятий («операция»), преследующая определенную цель. Спрашивается: как нужно организовать (спланировать) операцию для того, чтобы она была наиболее эффективной? Для того, чтобы поставленная задача приобрела количественный, математический характер, необходимо ввести в рассмотрение некоторый численный критерий W, которым мы будем характеризовать качество, успешность, эффективность операции. Критерий эффективности в каждом конкретном случаи выбирается исходя из целевой направленности операции и задачи исследования (какой элемент управления оптимизируется и для чего).

Сформулируем  общий принцип, лежащий в основе решения всех задач динамического  программирования («принцип оптимальности»):

«Каково бы ни было состояние системы S перед очередным шагом, надо выбрать управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на данном шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным».

Динамическое  программирование – это поэтапное  планирование многошагового процесса, при котором на каждом этапе оптимизируется только один шаг. Управление на каждом шаге должно выбираться с учетом всех его последствий в будущем.

При постановке задач динамического программирования следует руководствоваться следующими принципами:

1. Выбрать параметры (фазовые координаты), характеризующие состояние S управляемой системы перед каждым шагом.
2. Расчленить  операцию на этапы (шаги).
3. Выяснить набор шаговых управлений x_i для каждого шага и налагаемые на них ограничения.
4. Определить какой выигрыш приносит на i-ом шаге управление x_i, если перед этим система была в состоянии S, т.е. записать «функцию выигрыша»:

.

5. Определить, как изменяется состояние S системы S под влиянием управление x_i на i-ом шаге: оно переходит в новое состояние

. (1.1)

6. Записать основное рекуррентное уравнение динамического программирования, выражающее условный оптимальный выигрыш W_i(S) (начиная с i-го шага и до конца) через уже известную функцию W_i+1(S):

. (1.2)

Этому выигрышу соответствует условное оптимальное  управление на i-м шаге x_i(S) (причем в уже известную функцию W_i+1(S) надо вместо S подставить измененное состояние )

7. Произвести условную оптимизацию последнего (m-го) шага, задаваясь гаммой состояний S, из которых можно за один шаг дойти до конечного состояния, вычисляя для каждого из них условный оптимальный выигрыш по формуле
8. Произвести условную оптимизацию (m-1)-го, (m-2)-го и т.д. шагов по формуле (1.2), полагая в ней i=(m-1),(m-2),…, и для каждого из шагов указать условное оптимальное управление x_i(S), при котором максимум достигается.

Заметим, что  если состояние системы в начальный  момент известно (а это обычно бывает так), то на первом шаге варьировать  состояние системы не нужно - прямо  находим оптимальный выигрыш  для данного начального состояния  S₀. Это и есть оптимальный выигрыш за всю операцию

9. Произвести безусловную оптимизацию управления, «читая» соответствующие рекомендации на каждом шаге. Взять найденное оптимальное управление на первом шаге ; изменить состояние системы по формуле (1.1); для вновь найденного состояния найти оптимальное управление на втором шаге х₂^* и т.д. до конца.

Данные этапы  рассматривались для аддитивных задач, в которых выигрыш за всю  операцию равен сумме выигрышей  на отдельных шагах. Метод динамического  программирования применим также и  к задачам с так называемым «мультипликативным» критерием, имеющим  вид произведения:

(если только  выигрыши w_i положительны). Эти задачи решаются точно так же, как задачи с аддитивным критерием, с той единственной разницей, что в основном уравнении (1.2) вместо знака «плюс» ставится знак «умножения»: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи о замене

Постановка задачи

 

Одной из важных экономических проблем, с которыми приходится встречаться на практике, является определение оптимальной стратегии в замене старых станков, производственных зданий, агрегатов, машин и т. д., другими словами, старого оборудования — на новое.

Старение оборудования включает его  физический и моральный износ, в  результате чего растут производственные затраты по выпуску продукции на старом оборудовании, увеличиваются затраты на его ремонт и обслуживание, а вместе с тем снижаются производительность и так называемая ликвидная стоимость.

Наступает момент, когда старое оборудование более выгодно" продать, заменить новым, чем эксплуатировать ценой  больших затрат. При этом оборудование можно заменить либо новым оборудованием  того же вида, либо новым, более совершенным  в техническом отношении, с учетом технического прогресса.

Оптимальная стратегия замены оборудования состоит в определении оптимальных  сроков замены. Критерием оптимальности при определении сроков замены может служить либо прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует максимизировать, либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение рассматриваемого промежутка времени, подлежащие минимизации. Известно, что при заданном плане выпуска продукции максимизация прибыли эквивалентна минимизации затрат. Практически удобнее пользоваться вторым критерием, вводя для учета снижения производительности условно приведенные затраты.

Условимся считать, что решения  о замене оборудования принимаются периодически в начале каждого промежутка (года, месяца, недели и т. д.), на которые разбит плановый период. Предположим также, что оборудование может использоваться неограниченно долго, если тратить достаточные суммы на его ремонт.

Основной характеристикой оборудования является его возраст. От возраста оборудования зависят эксплуатационные расходы, затраты на производство, производительность и ликвидная стоимость. Эти показатели изменяются, если учитывать технический прогресс, не только при замене старого оборудования новым, с новыми технико-экономическими характеристиками, но и новым того же типа, еще не использованным. В последнем случае изменение вызвано моральным износом.

Метод ДП обеспечивает единый подход к решению всех видов задач  о замене.

При составлении модели ДП мы рассматриваем процесс замены как n-шаговый, разбив весь плановый период на n промежутков. Так как в начале каждого из этих промежутков принимается решение либо о сохранении оборудования, либо о его замене, то управление на k-м шаге (k=1, ..., n) содержит всего лишь две альтернативные переменные. Обозначим через u^с решение, состоящее в сохранении старого оборудования, а через u^з решение, состоящее в замене старого оборудования новым. Функциональные уравнения, благодаря наличию двух альтернативных управлений на каждом шаге, содержат лишь две величины: одна выражает условную прибыль (условные затраты) при управлении u^с, другая—тот же показатель при управлении u^з. Условная оптимизация на каждом шаге состоит в вычислении двух величин и в выборе из них наибольшей (наименьшей). Это значительно упрощает расчеты на стадии условной оптимизации и позволяет решать вручную задачи о замене с большим числом шагов.

Построение модели ДП для  задачи о замене

Рассмотрим две модели ДП задачи о замене оборудования. В одной из них в качестве показателя эффективности выберем прибыль, которую следует максимизировать, в другой — суммарные затраты на эксплуатацию, которые следует минимизировать.

Задача 1. Определить оптимальные сроки замены оборудования в течение n лет, при которых прибыль от эксплуатации оборудования максимальна, если известны:

p — начальная стоимость оборудования;

f(t) — стоимость производимой продукции на оборудовании возраста t лет;

r(t) — ежегодные затраты на эксплуатацию оборудования возраста t лет;

j(t) —ликвидная стоимость оборудования возраста t лет.

Рассмотрим n-шаговый процесс, считая k-м шагом номер k-го года от начала эксплуатации (k=1, 2, ... , n). Выше указывалось, что управление на k-м шаге выбирается из двух возможных решений: u^с — сохранить и продолжать использование старого оборудования или u^з — заменить оборудование новым.

Будем считать, что в начале планового  периода возраст оборудования равен t₀. Состояние S_k-1 системы (оборудования) в начале k-гo шага характеризуется одним параметром S_k-1 = t — возрастом оборудования. Для k-гo шага параметр состояния t может принимать значения 0,1, 2, ..., k-1, т. е. t ≤ k-1.

Если к началу k-гo шага система находилась в состоянии S_k-1 = t, то под влиянием управления u^с в конце k-гo шага она перейдет в состояние S_k=t+1; возраст оборудования увеличится на один год. Под влиянием управления u^з, принятого на k-м шаге, система перейдет в состояние S_k=1 (замену произвели в начале k-гo года; в конце k-гo года возраст нового оборудования равен одному году).

Уравнение состояния для данного процесса имеет вид

 (1)

На рис. 1 состояние системы изображается точкой плоскости в системе координат k, t сплошными стрелками указаны переходы из данного состояния в состояние, соответствующее управлению u^с, а пунктирными — управлению u^з.

Рис. 1

Определим прибыль на k-м шаге (показатель эффективности k-гo шага), соответствующую каждому из альтернативных управлений u^с и u^з. Выбирая на k-м шаге управление u^с, мы сможем произвести продукции стоимостью f(t) на старом оборудовании, что потребует затрат r(t), поэтому прибыль равна f(t)—r(t). Обозначим ее через

Z_k^c=f(t)-r(t)                         (1.2)

При управлении u^з получим доход j(t) от продажи старого оборудования (ликвидную стоимость) и f(0) от произведенной на новом оборудовании продукции, затратив p на приобретение нового оборудования и r(0) на содержание нового оборудования. В этом случае прибыль (обозначим ее через Z_k^з) составляет

Z_k^з=j(t)+ f(0)-p- r(0)               (1.3)

Построим обратную вычислительную схему решения данной задачи методом  ДП.

Обозначим через Z_k(t) условную максимальную прибыль, полученную за n-k+1 шагов использования оборудования с k-гo по n-й шаг включительно, если к k-му шагу возраст оборудования составлял S_k-1 = t лет, при условии, что был выбран оптимальный режим эксплуатации. Соответствующее условное оптимальное управление на k-м шаге обозначим через u_k(t). Условный максимальный доход за последний n-й промежуток составляет

          (1.4)

Сравнив эти две величины для  всех возможных значений t<n, получим значения Z_n(t) и соответствующие значения u_n(t). Предположим, что для всех значений S_k = t известна максимальная прибыль, полученная за n-k шагов с (k+1)-го по n-й включительно. Поэтому основные рекуррентные соотношения можно записать в виде

        (1.5)

 

В уравнении (1.6) величина Z_k+1(1)— условная максимальная прибыль, полученная за n-k шагов, если к началу (k+1)-го шага система находилась в состоянии S_k = 1 (возраст оборудования составлял один год).

Процесс условной оптимизации на каждом шаге, начиная с n-го, сводится к сравнению двух величин в уравнениях (1.4) и (1.5) и выбору наибольшей из них. Этап условной оптимизации заканчивается, как обычно, получением последовательностей функций Z_k(t) и u_k(t).

На этапе безусловной  оптимизации для S₀=t₀ (возраст оборудования в начале процесса) получаем Z_max=Z₁(t₀), а далее по цепочке u₁=u₁(t₀) из (1) находим S₁=t₁ откуда u₂=u₂(t₁), и т. д. Оптимальное управление U=(u₁,u₂, … , u_n) представляет собой набор управлений u^с и u^з.

Замечание. В задаче 1 не рассматривался вопрос о том, что происходит с оборудованием после n лет его эксплуатации. Можно предположить, что n неограниченно велико и, рассматривая процесс для достаточно большого значения n, получить закономерность в оптимальном управлении в виде периодически повторяющихся циклов замены и использования старого оборудования (такой пример будет рассмотрен ниже). Можно также предположить, что после n лет использования оборудование продается и ликвидная стоимость присоединяется к общей прибыли. Во втором случае уравнения (1.4) принимают вид 

при u_n=u^c   

при u_n= u^з

 

Z_n(t)=max                                 (1.6)

 

Рассмотрим некоторую  модификацию задачи 1.

Задача 2 В задаче 1 предположим, что ежегодные затраты на эксплуатацию, ликвидная и начальная стоимость зависят не только от возраста оборудования t, но и от времени, прошедшего с начала процесса. Пусть r_k(t) - затраты на эксплуатацию в течение k-гo года, если со времени последней замены прошло t лет;

j_k(t) - ликвидная стоимость оборудования возраста t лет если оно продается в начале k-гo года; p_k — начальная стоимость оборудования, если оно куплено в начале k-гo года.

Требуется определить оптимальные  сроки замены старого оборудования новым в течение n лет с тем, чтобы минимизировать затраты на его содержание.

Показатель эффективности  в данной задаче - суммарные затраты на эксплуатацию оборудования. Затраты на k-м шаге, как и прежде, зависят от выбранного управления. При управлении u_k=u^c эти затраты равны Z_k^c=r_k(t), а при управлении u_k=u^з составляют Z_k^з= - j(t)+p_k+r_k(0).

 Пусть Z_k(t) — условные минимальные затраты за n—k +1 шагов с k-гo по n-й включительно, если к началу k-гo шага возраст оборудования составлял t лет, при условии, что был выбран оптимальный режим эксплуатации.

Рекуррентные соотношения  для Z_k(t) имеют вид

Z_k(t)= min   (1.7)

Для n–го шага соответсвенно получим

 

Вычислительный процесс строится как и в предыдущей задаче.

Введение в условие задачи функций, оценивающих затраты, выпуск продукции  и стоимость, зависящие не только от возраста t, но и непосредственно от k, т. е. от времени, прошедшего с начала процесса, является косвенным способом учета технического прогресса.

Как уже отмечалось неоднократно, модели ДП очень гибки и в смысле возможностей анализа чувствительности к вариации исходных данных, и в смысле возможностей включения в модель различных модификаций задачи. Так, например, аналогичная модель может быть построена для задач, в которых ежегодно рассматривается более двух вариантов управления («сохранение», «замена», «реконструкция» и т. д.). Можно рассматривать задачи, в которых затраты или прибыль зависят не только от возраста оборудования, но и еще от одного параметра, например, времени, прошедшего после восстановительного ремонта, и т. д.

Некоторые типы таких задач содержатся в упражнениях к этой главе. Рассмотренные в настоящем параграфе и предложенные в качестве упражнений задачи с двумя альтернативными управлениями — «замена» или «сохранение» — и одним параметром состояния — «возрастом» оборудования — относятся к одному из немногих случаев, когда при любой длительности планового периода можно получить решение, не применяя ЭВМ. Конечно, если подобные задачи приходится решать часто, то использовать ЭВМ, безусловно, необходимо.

 

Числовой пример

Решим теперь задачу 2 при заданных конкретных условиях.

Задача 3. Автомашина эксплуатируется в течение шести лет. В начале каждого года может быть принято решение о замене машины новой. Стоимость новой машины на k-м году эксплуатации составляет p_k = 5000 + + 500(k—1) руб. После t лет эксплуатации машину на k-м году можно продать за j(t)=p_k -2^-t руб. Стоимость содержания машины в течение k-го года составляет r_k(t)=0.1p_k(t+1) руб. Найти оптимальный способ эксплуатации машины: когда нужно заменить машину новой, чтобы суммарные затраты (с учетом затрат на покупку новой машины в начале срока эксплуатации и компенсации за счет заключительной продажи) были минимальны.

Процесс эксплуатации машины является шестишаговым. Состояние S_k-1 системы в начале k-го шага характеризуется одним параметром t — возрастом машины. Управление на каждом шаге состоит в выборе одного из двух решении: u^c - эксплуатировать старую машину; u^з —продать старую машину, купить новую (замена).

Модель ДП задачи совпадает с моделью задачи 2. Основные функциональные уравнения, соответствующие уравнениям (1.7) и (1.8), имеют вид

 

 

 

 

 

Запишем последнее уравнение, учитывая заданные в условии функции p_k. Условная оптимизация на 6-м шаге сводится к оптимизации по уравнению

 

 

для всех 0≤ t ≤5. Оптимизацию проведем в табл. 1.

t	750 (t+1) – 8000×2 –(t+1)	4250 – 7500 ×2-t	Z6(t)	u6(t)
0	750 - 4000 = - 3250	4250 – 7500= - 3250	-3250	uc(uз)
1	1500 - 2000 = - 500	4250 - 3750=500	-500	uc
2	2250 - 1000= - 1250	4250 - 1875=2375	1250	uc
3	3000 - 500 =2500	4250 -937,5=3312,5	2500	uc
4	3250 - 250 =3000	4250 - 468,8=3781,2	3500	uc
5	4500 - 125 =4375	4250 - 234,4=4015,6	4015,6	uз

Условная оптимизация на 5—1-м  шагах приведена в табл. 2 согласно уравнениям

 

В 5-м и 8-м столбцах табл. 2 помещены значения

 

и

,

а в 9-м столбце — минимальное из чисел, стоящих в 5-м и 8-м столбцах.

Безусловная оптимизация: Z_min = 17387,5 руб.

"Оптимальное управление: u₁ = u^с®S₁= t₁=1® u₂= u₂(1)= u^c®S₂=t₂ =2®u_з= u_з(2)= u^c®S₃=t₃= 3®u₄= u₄(3)= u^з®S₄= t₄= 1®u₅= u₅(1)= u^c®S₅= t₅= 2®u₆= u₆(2)=u^c (в этой цепочке использовались уравнения состояния (1.1) и последние столбцы табл. 2 и 1).

Оптимальное управление: U= ( и^с, и^с, и^с, и³, и^с, и^с). Следовательно, купленную автомашину следует эксплуатировать в течение трех лет, на 4-м году заменить новой и продолжать использовать оставшееся время.

Таблица 2

k	t (t<k)	50(t+1)* *(k+9)	Zk+1(t+1)	Zk(t, uc)	500(k+9)(1,1- -2-t)	Zk+1(1)	Zk(t, uз)	Zk(t)	uk(t)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
5	0	700	-500	200	7700-7000=700	-500	200	200	uc(uз)
	1	1400	1250	2650	7700-3500=4200	-500	3700	2650	uc
	2	2100	2500	4600	7700-1750=5950	-500	5450	4600	uc
	3	2800	3500	6300	7700-875=6825	-500	6325	6300	uc
	4	3500	4015,6	7515,6	7700- -437,5=7262,5	-500	6762,5	6762,5	uз
4	0	650	2650	3300	7150-6500=650	2650	3300	3300	uc(uз)
	1	1300	4600	5900	7150-3250=3900	2650	6550	5900	uc
	2	1950	6300	8250	7150-1625=5525	2650	8175	8175	uз
	3	2600	6762,5	9362,5	7150- -812,5=6337,5	2650	8987,5	8987,5	uз
3	0	600	5900	6500	6600-6000=600	5900	6500	6500	uc(uз)
	1	1200	8175	9375	6600-3000=3600	5900	9500	9375	uc
	2	1800	8987,5	10787,5	6600-1500=5100	5900	11000	10787,5	uc
2	0	550	9375	9925	6050-5500=550	9375	9925	9925	uc(uз)
	1	1100	10787,5	11887,5	6050-2750=3300	9375	12675	11887,5	uc
1	0	5500	11887,5	17387,5				17387,5	uc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Динамическое программирование –  это область математического  программирования, включающая совокупность приемов и средств для нахождения оптимального решения, а также оптимизации каждого шага в системе и выработке стратегии управления, то есть процесс управления можно представить как многошаговый процесс. Динамическое программирование, используя поэтапное планирование, позволяет не только упростить решение задачи, но и решить те из них, к которым нельзя применить методы математического анализа. Упрощение решения достигается за счет значительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того, чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапного планирования предполагает многократное решение относительно простых задач. Планируя поэтапный процесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т.е. при принятии решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель.

Однако  динамическое программирование имеет  и свои недостатки. В отличие от линейного программирования, в котором  симплексный метод является универсальным, в динамическом программировании такого метода не существует. Каждая задача имеет  свои трудности, и в каждом случае необходимо найти наиболее подходящую методику решения. Недостаток динамического  программирования заключается также  в трудоемкости решения многомерных  задач.  Задача динамического программирования должна удовлетворять два условия. Первое условие обычно называют условием отсутствия последействия, а второе –условием аддитивности целевой функции задачи.

На практике встречаются такие задачи планирования, в которых заметную роль играют случайные  факторы, влияющие как на состояние  системы, так и на выигрыш.   Существует разница между детерминированной  и стохастической задачами динамического  программирования. В детерминированной  задаче оптимальное управление является единственным и указывается заранее  как жесткая программа действий. В стохастической задаче оптимальное  управление является случайным и  выбирается в ходе самого процесса в зависимости от случайно сложившейся  ситуации. В детерминированной схеме, проходя процесс по этапам от конца  к началу, тоже находится на каждом этапе целый ряд условных оптимальных  управлений, но из всех этих управлений, в конечном счете осуществлялось только одно. В стохастической схеме это не так. Каждое из условных оптимальных управлений может оказаться фактически осуществленным, если предшествующий ход случайного процесса приведет систему в соответствующее состояние.

Принцип оптимальности является основой  поэтапного решения задач динамического  программирования. Типичными представителями  экономических задач динамического  программирования являются так называемые задачи  производства  и хранения, задачи распределения капиталовложений,   задачи   календарного   производственного  планирования и другие. Задачи динамического программирования применяются в планировании деятельности предприятия с учетом изменения потребности в продукции во времени. В оптимальном распределении ресурсов между предприятиями в направлении или во времени.

Описание характеристик динамического  программирования и типов задач, которые могут быть сформулированы в его рамках, по необходимости  должно быть очень общим и несколько  неопределенным, так как существует необозримое множество различных  задач, укладывающихся в схему динамического  программирования. Только изучение большого числа примеров дает отчетливое понимание  структуры динамического программирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

 

1.Калихман И.Л, Войтенко М.А. Динамическое программирование в примерах и задачах.- М.: Высшая школа, 1993.

2.Вентцель Е.С. Элементы динамического  программирования.- М.: Наука, 1984.

3. Алабин Б.К. Методы исследования операций.-М.: Статистика, 2001.

4. Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.И. Математические методы и модели в планировании.-М.: Экономика, 1987.

5.Колемаев В.А. Математическая экономика.- М.: Юнити,1998.

6. Лотов А.В. введение в экономико-математическое моделирование.-М.: Наука, 1984.

7. Ромакин М.И. Оптимизация планирования производства: экономико-математические модели и методы.-М.: Финансы и статистика, 1981.

8. Терехов Л.Л. Экономико-математические методы.- М.: Статистика, 1972.

9. Фатхутдинов Р.А. Разработка управленческого решения. Учебное пособие.-М.:Интер-Синтез, 1997.

10. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование.- М.: Мир, 1967.