Загальне поняття про статистичні індекси

Загальне  поняття про статистичні  індекси.

  Види індексів  

У статистиці під  індексом розуміють специфічну відносну величину, яка характеризує зміну  показника у часі та просторі. Індекси  можуть визначатися у неоднорідній сукупності, що складається з елементів, які безпосередньо не можна сумувати. 

З допомогою  індексів вирішують такі завдання статистичного  аналізу: 

- визначають  середній процент зміни показника  у часі в цілому по сукупності  або окремій групі; 

- визначають  середній процент зміни середнього  значення показника; 

- здійснюють  порівняння показника у просторі; 

- оцінюють вплив  окремих факторів на зміну  показника у часі або просторі. 

В залежності від  охоплення одиниць сукупності індекси  поділяються на індивідуальні, групові (субіндекси) та загальні. За методикою визначення та економічним змістом індекси бувають агрегатними, середньозваженими, індексами середніх величин, територіальними. 

В залежності від  бази порівняння індекси поділяються  на ланцюгові та базисні, а за економічним  змістом – на індекси динаміки, планового завдання, виконання плану. 

При визначенні індексу спочатку записується (будується) його формула, згідно якої робляться  обчислення. Показник, який досліджується  з допомогою індексу, називається  індексованим. 

Для запису формули  індексу використовують умовні позначення індексованих показників, які поділяються на якісні, кількісні та об'ємні. Якісні показники характеризують рівень ознаки у одиниці сукупності, а саме Р – ціна одиниці товару; Z – собівартість одиниці продукції; f - зарплата одного працівника; у – врожайність з 1 га.  

Кількісні показники  характеризують чисельність сукупності, а саме: q – кількість (фізичний обсяг) товару або продукції; Т – чисельність  працівників; S- посівні площі тощо.  

Об'ємні показники  являють собою обсяг ознаки і завжди є добутком якісного та одного кількісного показників, наприклад, pq = p*q - товарообороті або вартість продукції; zq = z*q - витрати на виробництво продукції; fT = f*T - фонд заробітної плати працівників; yS = y*S - валовий збір культур тощо. 

Для позначення часу використовують під строкові символи: 0 – попередній або базисний період, 1 – наступний або звітний період. Якщо відомі значення показників більш  ніж за два періоди, використовують порядкові номери 1,2,3, і т.д. 
 
 

Індивідуальні індекси: методика визначення і економічний зміст  

Індивідуальні індекси визначаються по окремих  одиницях статистичної сукупності та характеризують зміну індивідуальних значень індексованого показника. Ці індекси прийнято позначати і  з підстроковим позначенням індексованого показника. Індивідуальні індекси якісних показників визначаються за формулами: 

            Індивідуальні індекси кількісних  показників мають вигляд: 

Індивідуальні індекси об'ємних показників можна  записати наступним чином: 

Слід мати на увазі, що взаємозв'язок між індивідуальними  індексами можна використовувати  для розрахунку третього індексу  по двох відомих, наприклад: індекс фонду  заробітної плати становить 1,756 а  індекс заробітної плати визначається наступним чином: 

Наведемо приклад  розрахунку та економічної інтерпретації  індивідуальних індексів: 

Визначимо індивідуальні  індекси собівартості: 
 

. 

Отже, по продукції  А собівартість зросла на 12,5%, по продукції  Б залишилася без змін, а по продукції  В – зменшилася на 7,1%. 

Індивідуальні індекси кількості (фізичного обсягу) продукції: 
 

Таким чином, по продукції А виробництво зросло на 20%, по продукції Б – на 14,3%, а по продукції В – зменшилася на 28,6%. 

Індивідуальні індекси витрат на виробництво продукції: 

Витрати на виробництво  продукції А зросли на 35%, по продукції Б – на 14,3%, а по продукції В – скоротилися на 33,7%. 

Взаємозв'язок індексів: 

Агрегатний  індекс як основна  форма загального індексу  

Агрегатні індекси  відносяться до загальних індексів, які характеризують середню зміну індексованого показника у часі та просторі. В агрегатних індексах у чисельнику та знаменнику знаходяться суми добутків двох взаємопов'язаних показників, один з яких – якісний, а другий – кількісний. Позначаються агрегатні індекси літерою І з підстроковим символом індексованого показника. 

В залежності від  правил побудови агрегатний індексів розрізняють індексні системи Ласпейреса, Пааше та Фішера. В статистиці України  використовується комбінована система  агрегатних індексів, яка будується  за наступними правилами. 

В агрегатних індексах якісних показників індексований показник у чисельнику береться за звітний  період, а у знаменнику – за базисний, а співмножник (кількісний показник) у чисельнику і знаменнику фіксується на рівні звітного періоду (метод Пааше). Наприклад, 
 
 

агрегатний індекс ціни ,  агрегатний індекс собівартості , 

агрегатний індекс зарплати , агрегатний індекс урожайності . 

Таким чином, у  чисельнику агрегатного індексу  якісного показника  знаходиться  сума значень об'ємного показника за звітний період, а у знаменнику – розрахункові значення об'ємного показника у звітному періоді при умові збереження якісного показника на базисному рівні. 

В агрегатний індексах кількісних показників індексований індексований показник у чисельнику береться за звітний період, а у знаменнику за базисний, а співмножник (якісний показник) у чисельнику і знаменнику фіксується, тобто береться однаковим, на рівні базисного періоду (метод Ласпейреса). Наприклад,  
 

індекс фізичного  обсягу   або   , 

 індекс чисельності  працівників , 

індекс посівних площ . 

Отже, у знаменнику агрегатних індексів кількісних показників знаходиться сума значень об'ємного показника за базисний період, а  у чисельнику – розрахункові значення об'ємного показника при умові збереження якісного показника на базисному рівні. 

В агрегатних індексах об'ємних  показників у чисельнику знаходиться сума добутків якісного і кількісного показників за звітний  період, а у знаменнику – за базисний, тобто індексуються обидва показники. Наприклад,  

індекс товарообороті  або вартості продукції  , 
 

індекс витрат на виробництво продукції           , 

індекс фонду  заробітної плати                         , 

індекс валового збору (урожаю)                        . 

Отже, в чисельнику цих індексів сумуються значення об'ємного показника за звітний період, а у знаменнику – за базисний. 

Між агрегатними  індексами показників існує взаємозв'язок: агрегатний індекс об'ємного показника  дорівнює добутку агрегатних індексів якісного та кількісного показників. Наприклад , , , , . 

Наведемо приклад  розрахунку та економічної інтерпретації  агрегатних індексів: 

 Загальний агрегатний індекс ціни:  

Загальний агрегатний індекс фізичного обсягу:  

 Загальний  агрегатний індекс товарообороту:   

Отже, по трьох  товарах ціни в середньому зросли на 32,9%, кількість проданих одиниць (фізичний обсяг) зменшився в середньому на 20%, а товар оборот зріс на 6,3%. 

На основі агрегатних індексів можна визначити як загальний  приріст об'ємного показника в  абсолютному виразі, так і прирости за рахунок зміни якісного та кількісного показників. Для цього від чисельника відповідного індексу необхідно відняти знаменник. Наприклад, загальний приріст товарообороту: , приріст товарообороту за рахунок  

зміни цін: , приріст товарообороту за рахунок зміни фізичного  

обсягу: . 

Приклад розрахунків  на основі вищенаведених даних: загальний  приріст товарообороту:

;  
 

приріст товарообороту  за рахунок зміни цін:  
 

;  

приріст товарообороту  за рахунок зміни фізичного обсягу:  

Агрегатні індекси  можна визначати як ланцюгові  та базисні. В ланцюгових індексах індексований показник  береться за суміжні періоди  часу (наступний і попередній), а  у базисних – у знаменнику беруться значення індексованого показника за базисний період. Таким чином, перші індекси характеризують середню зміну індексованого показника за одиницю часу (у поточному періоді порівняно з попереднім),  а другі – за певний період часу (у поточному періоді порівняно з базисний). Наприклад, ланцюгові та базисі індекси цін розраховуються за формулами: 

ланцюгові                                                   базисні 

Середньозважені індекси  
 

Агрегатні індекси  кількісних та якісних показників можна  перетворити у середньозважені  індекси – середньоарифметичний або середньогармонійний відповідно. Середньозважені індекси використовуються у тих випадках, коли відомі індивідуальні індекси якісних або кількісних показників. По своїй суті ці індекси є середніми зваженими величинами, у яких варіантами виступають значення індивідуальних індексів досліджуваного показника. 

Агрегатні індекси  кількісних показників можна перетворити  у середньоарифметичні індекси  наступним чином: 

Отже, середньоарифметичний індекс доцільно використовувати у  тому випадку, якщо відомі індивідуальні індекси кількісного показника і значення об'ємного показника за базисний період. За своїм економічним змістом ці індекси аналогічні агрегатним. 

Приклад розрахунку середньоарифметичного індексу  посівних площ: 

Середньоарифметичний  індекс посівних площ: 

Отже, по трьох культурах посівні площі зросли в середньому на 3,4%. 

Агрегатні індекси  якісних показників можна перетворити  у середньогармонійні індекси наступним  чином: 

Середньогармонійні  індекси доцільно використовувати  в тих випадках, коли відомі індивідуальні індекси якісного показника і значення об'ємного показника у звітному періоді. 

Приклад розрахунку середньогармонійного індексу заробітної плати: 

Середньогармонійний індекс заробітної плати: 

Можна зробити  висновок, що у середньому по трьох цехах заробітна плати у звітному періоді порівняно з базисним зросла на 15,6%. 

На основі середньозважених індексів також можна розрахувати  приріст об'ємного показника за рахунок  індексованого, для чого від чисельника індексу необхідно відняти його знаменник. 
 

. 
 

 Індекси середніх величин (змінного складу, постійного складу, структурних зрушень)  

У статистичному  аналізі часто буває необхідним дослідити зміну у часі або  просторі середнього значення  якісного показника, наприклад, ціни, собівартості, урожайності, заробітної плати тощо. У цьому випадку середнє значення показника розраховується як середня арифметична зважена або як відношення обсягу ознаки до чисельності сукупності. Слід мати на увазі, що середній рівень будь-якої ознаки формується під впливом двох факторів – варіацією індивідуальних значень та структури сукупності. Наприклад, середній рівень заробітної плати може зростати за рахунок зростання оплати праці кожного працівника і за рахунок збільшення питомої ваги високооплачуваних працівників. 

Для вивчення динаміки середнього значення якісного показника  використовується система трьох  індексів: індекс змінного складу, індекс постійного складу та індекс структурних  зрушень. 

Індекс змінного складу характеризує зміну у процентах  середнього значення якісного показника у звітному періоді порівняно з базисним під впливом двох чинників разом. Цей індекс складається з двох дробів, причому перший дріб містить значення якісного та кількісного показників у звітному періоді, а другий – у базисному, тобто індекс є відношенням звітного середнього значення показника до базисного. Наприклад,  

індекс ціни змінного складу  ; 

індекс собівартості змінного складу    ; 

індекс заробітної плати змінного складу . 

Індекс постійного складу показує зміну (в %) середнього значення показника під впливом одного фактора – динаміки його індивідуальних значень. У цьому індексі індексується (змінюється) якісний показник, а кількісний фіксується на рівні звітного періоду. Наприклад,  
 

індекс ціни постійного складу:   ; 

індекс собівартості постійного складу: ; 
 
 
 

індекс зарплати постійного складу: . 

Індекс структурних  зрушень показує, на скільки процентів  змінилося середнє значення показника  під впливом змін у структурі  сукупності. У даному випадку індексується кількісний показник, а якісний фіксується на рівні базисного періоду.  Наприклад,

індекс структурних  зрушень ціни: ; 

індекс структурних  зрушень собівартості: ; 
 

індекс структурних  зрушень зарплати: . 

Між названими  трьома індексами існує взаємозв’язок: індекс змінного складу дорівнює добутку індексу постійного складу та індексу структурних зрушень. Отже, 

. 

На основі вказаних індексів можна визначити приріст  середнього значення показника в  абсолютному виразі загальний та за рахунок окремих факторів — якісного та кількісного (структурного). Наприклад:

приріст середньої  ціни (загальний): ; 

приріст середньої  ціни за рахунок зміни цін: ; 

приріст середньої  ціни за рахунок структурних зрушень: 

Індекс собівартості змінного складу: 
 

; 

Індекс собівартості постійного складу: 

;

Індекс структурних  зрушень: 
 

. 

Таким чином, середня  собівартість зросла на 7,3% , в тому числі  під впливом зміни індивідуальних значень показника — на 8,4%, а  за рахунок структурних зрушень  середнє значення зменшилося на 1%. 

Приріст середньої  собівартості: 

загальний ; 

за рахунок  зміни собівартості: ; 

за рахунок  структурних зрушень: