Фирма по производству автомобилей выпускает модели типа А и В. Годовые производственные мощности цехов или отделов фирмы приведены в следующей таблице: Наименование цехов или участков Количество машин за год типа А типа В Кузовной 300 200 319 Шасси 480 160 (Решение → 10114)

заказ №38669

Фирма по производству автомобилей выпускает модели типа А и В. Годовые производственные мощности цехов или отделов фирмы приведены в следующей таблице: Наименование цехов или участков Количество машин за год типа А типа В Кузовной 300 200 319 Шасси 480 160 Двигателей 300 300 Сборочный 1020 204 1. Составить экономико-математическую модель расчета оптимальной годовой программы выпуска автомобилей; 2. Определить наиболее прибыльную для фирмы производственную программу, если расчетная прибыль от одной машины типа А составляет 22916,7 руб., а прибыль от одной машины типа B составляет 43750 руб. 3. Указать насколько изменится максимум суммарной прибыли фирмы, если предположить, что годовая производительность цеха шасси окажется: а) сниженной на 37,5%; б) увеличенной на 25%.

Решение:

1. Составим экономико-математическую модель задачи Переменные: Пусть х1 – планируемый объем выпуска машин типа А, х2 – планируемый объем выпуска машин типа В Тогда, программа выпуска машин предприятия будет представлять вектор искомых переменных х=(х1,х2) Функция цели: z = ожидаемая прибыль предприятия в плановом периоде, при выбранной программе выпуска х c1 = 22916,7 –прибыль от реализации одной машины типа А c2 = 43750 –прибыль от реализации одной машины типа В Тогда функция цели имеет вид: z  22916,7x1  43750х2  max 7 1 43750 2 22916, x  х - прибыль от продажи всех произведенных автомобилей. Ограничения: На выпуск всех машин двух типов каждому цеху дается период времени 1 год, причем все цеха работают одновременно. Нам примере кузовного цеха представим расчет затрат времени на изготовление одного автомобиля каждого типа. 320 В цехе за 1 год выпускается 300 автомашин типа А, тогда на производство одной машины потребуются затраты времени равные 300 1 от годового объема времени. В этом же цехе за 1 год также выпускаются 200 машин типа В, значит на производство одной машины потребуются затраты времени равные 200 1 от годового объема времени. Таким образом: 300 1 - норма расхода времени на производство одного автомобиля типа А в кузовном целее (величина выражена в долях года); 200 1 - норма расхода времени на производство одного автомобиля типа В в кузовном целее (величина выражена в долях года); Время работы цеха (в долях года) по изготовлению общего количества выпускаемых автомобилей типов А и В можно представить следующим образом: 200 1 300 1  Так как временной ресурс фирмы на выпуск всех машин составляет 1 год. Значит время работы цеха не должно превышать объема времени в 1 год. Отсюда получим ограничение: 1 200 1 300 1   Аналогично составляем ограничение для других цехов: Шасси 1 160 1 480 1   Двигателей 1 300 1 300 1   Сборочный 1 204 1 1020 1   Поскольку количество машин не может быть отрицательной, то значения х1 и х2 должны быть неотрицательны. , 0 x1 x2  Таким образом, имеем задачу линейного программирования: Найти наибольшее значение функции 7 1 43750 2 z  22916, x  х при ограничениях: 321                         , 0 1 204 1 1020 1 1 300 1 300 1 1 160 1 480 1 1 200 1 300 1 1 2 x x Для удобства расчетов приведем систему ограничений к следующему виду:                   , 0 5 1020 300 3 480 2 3 600 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x х х х х х х х х 2. Найдем оптимальный план выпуска автомобилей графическим методом а) Построим область допустимых решений Решением каждого ограничения системы является полуплоскость с граничащей ей прямой. 2 3 600 х1  х2  (1) Построим прямую 2 3 600 х1  х2  . Она проходит через точки (0;200) и (300;0). Для того чтобы определить, какая плоскость удовлетворяет неравенству, необходимо выбрать любую точку не принадлежащую прямой. Выберем точку начала координат (0;0), подставим в неравенство 2 3 600 х1  х2  и получим 0 < 600. Данное утверждение является верным, следовательно, неравенству соответствует нижняя полуплоскость, включающая точку (0;0). 3 480 х1  х2  (2) Построим прямую 3 480 х1  х2  . Она проходит через точки (0;160) и (480;0). Выберем точку начала координат (0;0), подставим в неравенство и получим 0 < 480. Данное утверждение является верным, следовательно, неравенству соответствует нижняя полуплоскость, включающая точку (0;0). 300 х1  х2  (3) Построим прямую 300 х1  х2  . Она проходит через точки (0;300) и (300;0). Выберем точку начала координат (0;0), подставим в неравенство и получим 0 < 300. Данное утверждение является верным, следовательно, неравенству соответствует нижняя полуплоскость, включающая точку (0;0). 5 1020 х1  х2  (4) 322 Построим прямую 5 1020 х1  х2  . Она проходит через точки (0;204) и (1020;0). Выберем точку начала координат (0;0), подставим в неравенство и получим 0 < 1020. Данное утверждение является верным, следовательно, неравенству соответствует нижняя полуплоскость, включающая точку (0;0). 0 x1  0 x1  - решение – прямая, совпадающая с осью ОХ2 0 x1  - решение – правая полуплоскость. 0 x2  0 x2  - решение – прямая, совпадающая с осью ОХ1 0 x2  - решение – верхняя полуплоскость. Т.е. ограничения х1  0 и х2  0 показывают, что решение системы находится в I четверти системы координат. Пересечение этих полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы и удовлетворяет условиям, определяет выпуклый четырехугольник. Полученный четырехугольник – область допустимых значений. Любая точка области является допустимым решением задачи. б) Найдем оптимальное решение Оптимальное решение может быть только в угловых точках многоугольника. Чтобы найти оптимальное решение построим линию уровня. Приравняем целевую функцию постоянной величине а: z  22916,7x1  43750х2  а Это уравнение является множеством точек, в котором целевая функция принимает значение, равное а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых называется линией уровня. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент С  , координаты которого являются частными производными функции z(x), т.е. С  =(22916,7; 43750). Чтобы построить этот вектор, нужно начало координат соединить с точкой (22916,7; 43750). Поскольку задача стоит на максимизацию прибыли, перемещаем линию уровня по направлению вектора- градиента С  . Максимума ( , ) 1 2 z x x достигает в угловой точке А. Находим координаты т. А. Она лежим на пересечении прямых. образуемых ограничениями (1) и (2):        3 480 2 3 600 1 2 1 2 х х х х      120 120