Заказ №39131

Груз массой 120 г, подвешенный на пружине жесткостью 50 Н/м, совершает затухающие колебания. Через 8 с после начала колебаний колебательная энергия системы уменьшилась на 60%, а амплитуда колебаний оказалась равной 0,7 см. Напишите уравнение колебаний груза. Найдите все параметры этих колебаний (частоту затухающих колебаний, период, время релаксации, добротность). Постройте график убывания амплитуды колебаний груза в интервале от нуля до времени релаксации. Принять начальную фазу равной 4  рад. Дано: m=120 г=0,12 кг k=50 Н/м t=8 c η=0,6 А=0,7 см=7∙10-3 м φ0= 4  рад Определить: x(t), v, T, τ, Q

Решение:

Уравнение затухающих колебаний имеет вид: 0 0 cos( ) t x A e t       , (1) где  - коэффициент затухания,  - частота затухающих колебаний. При затухающих колебаниях амплитуда уменьшается с течением времени по закону: t A A eo   , где Aо- амплитуда колебаний в начальный момент времени,  - коэффициент затухания. При гармонических колебаниях полная энергия 2 2 2 2 m kx E T       - сумма кинетической и потенциальной энергий. Полная энергия численно равна максимальной потенциальной или максимальной кинетической энергии: 2 2 max 2 2 kx kA E   Тогда 2 2 0 0 ; 2 2 kA kA E E   . 2 E A 0 0 2 t e E A          . По условию, 0 0 0 0 1 E E E E E E E        .     2 1 2 ln 1 ln 1 2 t e t t                 ln 1 0,6   0,0573 2 8       c -1 Время релаксации – промежуток времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз. Время релаксации связано с коэффициентом затухания 1 1 ; 17,45 0,0573   c     2 0 0 0 0 1 1 E A E A A A E A E               0 1 0,7 1,107 1 0,6 A     см Частота затухающих колебаний 2 2      o , Собственная частота колебаний пружинного маятника 0 k m   k 2 m   