Плотность распределения 𝑓𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦) системы случайных величин (X,Y) имеет вид: (Решение → 15858)

Заказ №38675

Плотность распределения 𝑓𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦) системы случайных величин (X,Y) имеет вид: 𝑓𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) = { 6𝑒𝑥𝑝(−2𝑥 − 3𝑦), 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 0, иначе Случайные величины 𝑍 = |2𝑌 + 1| и T= −3𝑋 + 2𝑌 − 1 являются функциями от случайных величин Х,Y. Найти: а) плотность распределения 𝑓𝑍(𝑧) случайной величины Z б) дисперсию DT

Решение:

Найдем плотности вероятности компонент: 𝑓𝑋(𝑥) = ∫ 𝑓𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 +∞ −∞ = lim 𝑁→+∞ ∫ 6𝑒 −2𝑥−3𝑦𝑑𝑦 𝑁 0 = lim 𝑁→+∞ (− 1 3 ∙ 6𝑒 −2𝑥−3𝑦 )| 0 𝑁 = = −2 lim 𝑁→+∞ 𝑒 −2𝑥−3𝑁 + 2𝑒 −2𝑥−3∙0 = −2 lim 𝑁→+∞ 𝑒 −2𝑥 𝑒 3𝑁 + 2𝑒 −2𝑥 = 0 + 2𝑒 −2𝑥 = = 2𝑒 −2𝑥 𝑓𝑋(𝑥) = 2𝑒 −2𝑥 𝑓𝑌 (𝑦) = ∫ 𝑓𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 +∞ −∞ = lim 𝑁→+∞ ∫ 6𝑒 −2𝑥−3𝑦𝑑𝑥 𝑁 0 = lim 𝑁→+∞ (− 1 2 ∙ 6𝑒 −2𝑥−3𝑦 )| 0 𝑁 =